Apontamentos de mat financeira - 2021

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Matemática Financeira 
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A NECESSIDADE DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Todos os dias nos deparamos com as seguintes palavras: taxa de juros, capital, desconto, 
etc. Estes conceitos surgiram quando o Homem percebeu a existência de uma estreita 
relação entre o dinheiro e o tempo. 
 
Nos antigos costumes, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras 
conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos 
costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. O 
primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocavam 
directamente mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objectos de grande 
necessidade. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia foi o boi. Em outros 
lugares era usado colares de pérolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por 
trocar faixas de tecido por animais ou objectos. O tecido era a moeda. No Egipto, a 
moeda era o metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata). Desse modo, as 
mercadorias passaram a ser trocadas em função de seu "justo preço". 
 
Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras, as moedas dos 
diferentes países eram trocadas. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram 
conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes 
quantidades. Tem início a actividade de guardar e emprestar dinheiro. Com isto, os 
bancos são criados. O primeiro banco privado foi fundado pelo Duque Vitali em 1157, 
em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
Com a criação dos bancos a Matemática Financeira evoluiu e passou a estar mais 
presente na vida das pessoas. 
 
Hoje ela além de fazer parte de nosso quotidiano, tornou-se uma importante ferramenta 
para todos, já que auxilia na resolução de problemas que envolvem o cálculo do valor de 
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prestações, no pagamento de impostos, rendimento de poupanças e outros. Para tanto, é 
de fundamental importância o entendimento de alguns termos e conceitos. 
 
Formas de Aplicação ou Destino dos Rendimentos 
 
O rendimento que as pessoas dispõem pode ser destinado para o consumo ou aforro 
(poupança). 
 
O consumo consiste na compra de bens para o consumo final. 
 
O aforro consiste em manter na sua forma líquida ou colocar a render juros. A parte de 
rendimento que é mantida na sua forma líquida é designada por capital monetário e o 
processo de manter o capital a render juros é designada por investimento financeiro e o 
rendimento colocado a render juros por capital financeiro. 
 
O capital monetário ou rendimento mantido na sua forma líquida torna-se improdutivo, 
isto é, não produz rendimento adicional e o objectivo principal deste é suportar as 
despesas correntes. Esse processo de manter o rendimento improdutivo é designado por 
entesouramento. 
 
Objecto de Estudo 
 
O objecto de estudo da Matemática Financeira é o tratamento matemático do juro, as suas 
várias aplicações. 
 
O juro é o preço do capital financeiro, ou seja, é o custo pela utilização de recursos 
alheios. 
 
 
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Função Juro 
 
Refere-se a correspondência existente entre o juro e os elementos capital, tempo e taxa de 
juro. Indica as relações matemáticas existentes entre o juro e capital, tempo e taxa de 
juro. 
 
Juro como função de Capital 
 
Para cada variação do capital, mantendo constante o tempo e a taxa de juro, 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
J = f (C) juro como função do capital 
 
A relação é positiva, ou seja, um aumento do capital corresponde a um aumento do valor 
do juro, e uma diminuição do capital corresponde a uma diminuição do valor do juro. 
 
Juro com função do Tempo 
 
Para cada variação do tempo, mantendo constante o capital e a taxa de juro, 
corresponderá um determinado valor de juro. 
J = f (T) juro como função do tempo 
 
A relação é positiva também, ou seja, um aumento do tempo corresponde a um aumento 
do valor do juro, e uma diminuição do tempo corresponde a uma diminuição do valor do 
juro. 
 
Juro como função da taxa de juro 
 
Para cada variação da taxa de juro, mantendo constante o capital e o tempo, 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
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J = f (i) juro como função da taxa de juro 
 
A relação também é positiva, ou seja, um aumento da taxa de juro corresponde a um 
aumento do valor do juro, e uma diminuição da taxa de juro corresponde a uma 
diminuição do valor do juro. 
 
Juro com função de capital, tempo e taxa de juro 
 
Para cada variação simultânea do capital, tempo e a taxa de juro; corresponderá a um 
determinado valor de juro. 
 
J = f (C; T; i) 
 
A relação é positiva também, ou seja, um aumento simultâneo do capital, tempo e taxa de 
juro corresponde a um aumento do valor do juro, e uma diminuição do capital, tempo e 
taxa de juro corresponde a uma diminuição do valor do juro. 
 
Condições Básicas para a existência do juro 
 
Para que exista o juro é necessário que a existência de Capital, Tempo e Taxa de Juro; 
esses valores devem ser positivos e maiores que zero. 
 
Regras da Matemática Financeira1 
 
1. É uma impossibilidade em Matemática Financeira a presença de capital, presença 
de tempo e ausência de juro. A ausência de capital e tempo e presença de juro é 
outra impossibilidade. 
 
1 A Matemática Financeira rejeita certas práticas, mas há que reconhecer que a liberdade negocial entre 
partes, devidamente esclarecidas, é sempre mais forte que qualquer imperativo da matemática. 
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2. Qualquer operação matemática sobre 2 ou mais capitais requer a sua 
homogeneização no tempo. Ou seja, C1 + C2; C1 – C2; C1 = C2, etc, só pode fazer-
se se e só se esses capitais estiverem referidos ao mesmo momento, ou data focal 
(ou seja, quando esses capitais estiverem localizados no mesmo momento). 
3. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no início do período, 
multiplicado pela taxa de juro a vigorar nesse período. 
 
Processo de Capitalização 
 
Consiste em fazer render um determinado capital ao fim de um determinado período. Um 
processo de capitalização é composto por vários sub-processos de capitalização também 
designados por períodos de capitalização (ou períodos de formação de juro). 
 
Em cada sub-processo de capitalização (período de capitalização), encontramos o capital 
inicial periódico, juro periódico e o capital final periódico. 
 
O capital inicial periódico é o rendimento colocado a render juros; o juro periódico é o 
rendimento produzido num determinado período e o capital final periódico é a soma do 
capital inicial periódico e o juro periódico. 
 
Se considerarmos CIK como capital inicial do período K e JK o juro do período K e CFK o 
capital final do período, então:CFK = CIK + JK 
Onde: K = 1,2,3....n 
 
 CIk CFk 
 
 
 Jk 
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No período k (ou qualquer outro período), o capital final desse período (CFk) será igual 
ao capital no início desse período (CIk) mais o juro produzido nesse período (Jk). 
 
 
Casos notáveis de Processos de Capitalização 
 
O juro periódico produzido pode manter-se no processo ou retirado do processo, daí que 
existem dois casos notáveis: 
− 1º- Os juros periódicos saem do processo- aqui o capital inicial periódico 
permanece o mesmo e o juro periódico será constante se a taxa de juro for a 
mesma ao longo do processo. Este tipo de processo é designado por processo de 
capitalização simples. 
− 2º- Os juros periódicos permanecem no processo- aqui os juros periódicos 
permanecem no processo e tem efeitos na produção de outros juros. O capital 
inicial periódico será composto por capital mais juro. Este tipo de processo é 
designado por processo de capitalização composto. Os capitais iniciais periódicos 
são diferentes e crescentes e os juros periódicos também crescentes. 
 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
- Regime de Capitalização Simples; 
- Regime de Capitalização Composto; 
- Regime de Capitalização Dito Simples; 
- Regime Misto. 
 
 
 
 
 
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Regime de Capitalização simples – Característica Principal 
 
✓ O juro produzido por período sai do processo de capitalização e como 
consequência o capital mantém-se constante em cada período de capitalização e 
igual ao investido no início do processo. 
 
CI1=C0 CI2=CF1=C0 CI3=CF2=C0 CIn=CFn-1=C0 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF1 = CI1 
Ou seja: CF1 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2 = C0) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF2 = CI2 
Ou seja: CF2 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3 = C0) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF3 = CI3 
Ou seja: CF3 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4 = C0) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
No último período o Jn sai do processo juntamente com o capital, ou seja, é retirado 
juntamente com o capital inicial, então: CFn = CIn + Jn 
 
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Conclusão: 
 
✓ Em cada período de capitalização, o capital mantém-se constante em cada período 
de capitalização e igual ao investido no início do processo: 
 
CI1 = CI2 = CI3 = CI4 = ...... = CIn 
 
✓ Em cada período de capitalização, o juro é constante e incide sobre o capital 
investido no início do processo: 
 
J1 = J2 = J3 = J4 = ..... = Jn= CI*i = C0*i 
 
✓ O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro final do processo 
(ou seja, o juro do último período): 
 
CFn = CI + JF, onde JF = juro do último período 
 
Como o juro periódico é igual em todos os períodos: 
 
JF = JK = CI*i = C0*i 
 
Então, o capital final será dado pela seguinte fórmula: 
 
CFn = CI + CI*i → CF = CI (1+i) = C0 (1+i) 
 
 
 
 
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EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a 
uma taxa de juro anual de 20%, com os juros pagos no final de cada ano. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como os juros são pagos no final de cada ano, então estamos perante o regime de 
capitalização simples, pois os juros são do processo de capitalização periodicamente, ou 
seja, anualmente. 
 
a) O montante recebido em cada período de capitalização é o juro produzido 
nesse período. Assim sendo, é necessário calcular o juro do primeiro e do 
quarto ano: 
J1 =J4= CI*i=100.000*20%=20.000 
b) O montante recebido no 5º ano (último período/ano) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+i)=100.000 (1+20%)=120.000 
c) Não é possível determinar o juro acumulado porque este regime não acumula. 
 
 
 
 
 
 
 
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Regime de Capitalização composto – Característica Principal 
 
✓ Neste regime os juros não saem do processo de capitalização, mantém-se no 
processo e constituem uma nova parcela para efeitos de cálculo do juro do 
período seguinte. 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF1 = CI1 + J1 
Como J1 = CI1*i = C0*i, então: 
CF1 = CI1 + CI1*i = C0 + C0*i = C0(1+i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF2 = CI2 + J2 
Como J2 = CI2*i e CI2 = CF1, então: 
CF2 = CI2 + CI2*i = CF1 + CF1*i = CF1(1+i) 
Como CF1 = C0(1+i), então: 
CF2 = CF1(1+i) = [C0(1+i)](1+i) = C0(1+i)
^2 
Ou seja: CF2 = C0(1+i)
^2 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF3 = CI3 + J3 
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Como J3 = CI3*i e CI3 = CF2, então: 
CF3 = CI3 + CI3*i = CF2 + CF2*i = CF2(1+i) 
Como CF2 = C0(1+i)
^2, então: 
CF3 = CF2(1+i) = [C0(1+i)
^2](1+i) = C0(1+i)^3 
Ou seja: CF3 = C0(1+i)
^3 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o capital/saldo em dívida, então: CFn = 
CIn + Jn 
Como Jn = CIn*i e CIn = CFn-1, então: 
CFn = CIn + CIn*i = CFn-1 + CFn-1*i = CFn-1(1+i) 
Como CFn-1 = C0(1+i)
^n-1, então: 
CFn = CFn-1(1+i) = [C0(1+i)
^n-1](1+i) = C0(1+i)^n 
Ou seja: CFn = C0(1+i)
^n que não será o capital inicial do período seguinte porque não 
existe período seguinte (é o último período). 
 
Conclusão: 
 
✓ Os capitais periódicos não são iguais, diferente do regime simples. O capital 
inicial do período é igual ao capital final do período anterior: 
 
CI1 ≠ CI2 ≠ CI3 ≠……≠ CIn ou seja, CIk = CFk-1 
 
✓ O juro produzido em qualquer período é diferente do juro produzido no período 
anterior: 
 
J1 ≠J2 ≠ J3 ≠ ........ ≠ Jn 
 
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✓ O juro periódico incide sobre o capital em dívida no início desse período (que é o 
capital final do período anterior): 
 
Jk = CIk * i = CFk-1 * i = C0(1+r)^
k-1 * i 
 
✓ Os juros produzidos ao longo do processo são entregues juntamente com o capital 
inicial no final do processo, isto é, o capital final do processo é igual ao capital 
inicial + o juro total produzido durante o processo. 
 
CFn = C0 + JT 
 
✓ O juro total é igual a diferença entre o capital final do processo e o capital inicial 
do processo: 
 
JT = CFn – C0 = C0 (1+i)
n – C0 = C0 [(1+i)
n – 1] 
 
✓ O capital final do processo é composto por 3 parcelas, o capital inicialmente 
investido, o juro produzido com base no capital inicialmente investido e o juro 
produzido pelo juro capitalizado (juro do juro). O juro do juro é igual ao capital 
final menos capital inicial e menos a soma dos juros produzidos somente com 
base em capital inicial, ou seja: 
 
JJ = Cn – C0 – n * C0 * i. 
 
Por exemplo, no período 2 acima, o J2 = CI2*r, mas como CI2 = CF1 = C0+J1, 
então: J2 = (C0+J1)*i = C0*r + J1*i. 
 
Aqui temos i. juros que são calculados com base em capital inicial (C0*i) e ii. 
juros que são calculados com base em outro juro (J1*i). 
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Assim, o juro sobre juro no período 2 (JJ2) = J2 – C0*i (ou seja, será igual ao juro 
produzido no 2 periodo, retirado o juro calculado apenas com base no capital 
inicial). 
 
EXEMPLO 1: Num empréstimo de MT 200.000,00, pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Determine: 
 
a) O juro produzido no 1 e 3 ano; 
b) O juro acumulado no final do empréstimo; 
c) O capital acumulado no final do empréstimo; 
d) O juro sobre juro. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15% composto 
a) Jk = CIk*i = CFk-1*i  J1 = CI1*i = 200.000*15% = 30.000 
J3 = CI3*i = CF2*i = Co(1+i)
2*i = 200.000(1+15%)2*15% = 39.675 
O juro do período k é igual ao capital final do período anterior (k-1) multiplicada pela 
taxa de juro do período k. 
b) JT = Co [(1+i)n -1] = 200.000 [(1+15%)6 -1] = 262.612,1531 
O juro acumulado no final do empréstimo é igual ao capital acumulado no final (Cn) 
subtraída pelo capital no início do empréstimo (Co). 
c) CF = Co + JT = 200.000+262.612,1531 = 462.612,1531 ou 
CF = Co(1+i)n = 200.000(1+15%)6 = 462.612,1531 
O capital final é igual ao capital inicial adicionado ao juro acumulado no final do 
empréstimo. 
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d) JJ = JT – C0 – n*C0*i = 462.612,1531 – 200.000 – 6*200.000*15% = 
462.612,1531 – 200.000 – 180.000 = 82.612,1531 
EXEMPLO 2: Um indivíduo depositou, por 10 anos, MT 40.000,00 numa instituição de 
poupança que remunerava a taxa anual composta de 15%. Sabendo que passados 4 anos, 
aquela taxa foi alterada para 20% e a partir do 7 ano para 25%, afectando então todo o 
capital acumulado. Determine: 
 
a) O montante recebido no final da aplicação; 
b) O juro produzido no 5 ano; 
c) O juro produzido no 8 ano. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 40.000, i1 = 15%, n = 10, i2 = 20%, i3 = 25% 
a) Neste exercício, como estamos na presença de várias taxas de juros, 
primeiro devemos determinar o valor acumulado nos primeiros 4 anos 
em que vigora a taxa de 15%: CF4 = Co(1+15%)
4; 
Depois temos que calcular o valor acumulado nos 2 anos seguintes em 
que vigora a taxa de 20%. No entanto, valor inicial deste período (2 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 4 anos, assim: CI = 
Co(1+15%)4. 
CF6 = CI(1+20)
2 = Co(1+15%)4(1+20%)2 
Por fim, temos que calcular o valor acumulados dos últimos 4 anos, 
em que vigora a taxa de 25%. O valor inicial deste último período (4 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 6 anos, assim CI = 
Co(1+15%)4(1+20%)2. 
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CF10 = CI(1+25%)
4 = Co(1+15%)4(1+20%)2(1+25%)4 = 
40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)4 = 245.954,0039 
b) J5 = CF4*i2 = 40.000(1,15)4*20% = 13.992,05 
c) J8 = CF7*i3 = 40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)*25% = 31.482,1125 
 
Regime de capitalização “dito simples” – características 
 
É um processo convencional, sem sustentação teórica, e que mais se pratica dada a 
facilidade de entendimento, mesmo por pessoas pouco versadas em matemática 
financeira. Contém em si características que são relativas ao regime simples e outras que 
são relativas ao regime composto. 
 
- O capital inicial de qualquer período é igual ao capital final do período anterior: 
CIK = CFK-1 (características do regime composto); 
- O juro de qualquer período incide sobre o capital investido no início do processo: 
JK = C0 * i (características do regime simples), “ferindo” a 3ª regra da matemática 
financeira já referida, fazendo com que não se produzam os juros de juros; 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 não sai do processo, então: CF1 = CI1 + J1 
Como J1 = C0*i, então: 
CF1 = CI1 + C0*i = C0 + C0*i = C0(1+i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
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No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 não sai do processo, então: CF2 = CI2 + J2 
Como J2 = C0*i e CI2 = CF1 = C0(1+i), então: 
CF2 = CF1+ C0*i = C0(1+i) + C0*i = C0(1+i+i) = C0(1+2*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+2*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 não sai do processo, então: CF3 = CI3 + J3 
Como J3 = C0*i e CI3 = CF2 = C0(1+2*i), então: 
CF3 = CF2+ C0*i = C0(1+2*i) + C0*i = C0(1+2*i+i) = C0(1+3*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+3*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o saldo em dívida, então: CFn = CIn + Jn 
Como Jn = C0*i e CIn = CFn-1=C0[1+(n-1)*i], então: 
CFn = CFn-1 + C0*i = C0[1+(n-1)*i] + C0*i = C0[1+(n-1)*i + i] = C0(1+n*i) 
Ou seja: CFn = C0(1+n*i) que não será o capital inicial do período seguinte porque não 
existe período seguinte (é o último período). 
 
Conclusão: 
 
Os capitais periódicos não são iguais, igual ao regime composto e diferente do 
regime simples. O capital inicial do período é igual ao capital final do período 
anterior: 
 
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CI1 ≠ CI2 ≠ CI3 ≠……≠ CIn ou seja, CIk = CFk-1 
 
✓ Os juros produzidos periodicamente são iguais e são todos calculados sobre o 
capital inicialmente investido (igualao regime simples): 
 
J1 = J2 = J3 = ........ = Jn 
 
✓ O juro periódico incide sobre o capital inicialmente investido: 
 
Jk = C0 * i 
 
- O juro total do processo é igual a pura soma dos juros produzidos ao longo do 
processo: JT = ∑ C0*i = n * C0 * i 
 
- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro total: CFn = Cn = 
C0 + n * C0 * i = C0 (1 + n * i) 
 
- Quando são dadas várias taxas ao longo do processo de capitalização: CFn = Cn = 
C0 + J1 + J2 + J3 + Jn = C0 + C0*i1 + C0*i2 + C0*i3 +...+ C0*in = 
= C0 (1 + i1 + i2 + i3 +....+ in) 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a 
uma taxa de juro anual de 20%, com os juros (sem juros de juros) pagos no final da 
aplicação. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
d) Os juros de juros produzidos ao longo do processo. 
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e) O montante recebido no 5 ano, considerando que no primeiro ano vigorou 
a taxa de 20%, no segundo 21%, terceiro 22%, quarto 24% e no quinto 
ano 25%. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Não é possível determinar o montante recebido periodicamente uma vez 
que neste regime os juros são acumulados e entregues no final do 
processo. 
b) O montante recebido no 5 ano (último período) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+n*r) =100.000 (1+5*20%) =200.000. 
c) JT = n * C0 * r = 5*100.000*20%=100.000,00. 
d) Neste regime não há lugar a produção de juros de juros. 
e) CF= C0 (1 + r1 + r2 + r3+..+rn)=100.000*(1+21%+22%+23%+24%+25%)= 
 = 215.000 
 
Regime misto – Características 
 
É uma situação em que ou funcionam os regimes composto e simples em simultâneo ou 
funcionam os regimes dito simples e simples em simultâneo. Implica que uma parte de 
juros seja retirado do processo e o remanescente seja recapitalizado ou simplesmente 
acumulado. 
 
 
 
 
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Duas hipóteses podem acontecer neste tipo de regime: 
 
1. Tratar-se de levantamento de uma parte de juros e a parte remanescente ser 
recapitalizado ou acumulado; o processo continuará até ao penúltimo período 
e sendo que no último período levantar-se-á a totalidade dos juros juntamente 
com o montante acumulado no início desse último período. 
 
2. Tratar-se de pagamento de imposto pela retenção na fonte – implica que 
apenas serão recapitalizados ou acumulados uma parte de juros até ao final do 
processo de capitalização. 
 
Se considerarmos: 
α – percentagem dos juros pagos/retirados (que saem do processo); e 
β – percentagem dos juros remanescentes (retidos/mantidos no processo) 
α + β = 1 ou α + β = 100% 
 
Fórmulas para a 1ª Hipótese: 
 
Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 (1 + β*r)
n-1*(1+r) Capital Final 
JK = C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Produzido 
JKα = α * C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Pago 
JKβ = β * C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Retido 
 
Graficamente (regime composto com pagamento parcial de juros): 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
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No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como do J1 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J1” é retirado) então só 
ficará “β*J1”, assim: CF1 = CI1 + β*J1 = C0 + β*C0*i = C0(1+ β*i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+ β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como do J2 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J2” é retirado) então só 
ficará “β*J2”, assim: CF2 = CI2 + β*J2 
Como CI2 = CF1 = C0(1+ β*i), e J2 = CI2*i=CF1*i = C0(1+ β*i) * i, então: 
CF2 = C0(1+ β*i) + β*C0(1+ β*i)*i = C0(1+ β*i)(1+ β*i) = C0(1+ β*i)
^2 
Ou seja: CF2 = C0(1+ β*i)
^2 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como do J3 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J3” é retirado) então só 
ficará “β*J3”, assim: CF3 = CI3 + β*J3 
Como CI3 = CF2 = C0(1+ β*i)
^2, e J3 = CI3*i=CF2*i = C0(1+ β*i)
^2 * i, então: 
CF3 = C0(1+ β*i)
^2 + β*C0(1+ β*i)^2 *i = C0(1+ β*i)^2(1+ β*i) = C0(1+ β*i)^3 
Ou seja: CF3 = C0(1+ β*i)
^3 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o capital/saldo em dívida, então: CFn = 
CIn + Jn 
Como Jn = CIn*i (no último período não pagamento parcial do juro) e CIn = CFn-1, então: 
CFn = CIn + CIn*i = CFn-1 + CFn-1*i = CFn-1(1+i) 
Como CFn-1 = C0(1+ β*i)
^n-1, então: 
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CFn = CFn-1(1+i) = [C0(1+ β*i)
^n-1](1+i) = C0(1+ β*i)^n-1(1+i) 
Ou seja: CFn = C0(1+ β*i)
^n-1(1+i) que não será o capital inicial do período seguinte 
porque não existe período seguinte (é o último período). 
 
Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 [1 + (n-1)β*r+r] Capital Final 
JK = C0*r Juro Periódico Produzido 
JKα= C0*r*α Juro Periódico Pago 
JKβ= C0*r*β Juro Periódico Retido 
 
Graficamente (regime dito simples com pagamento parcial de juros): 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como do J1 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J1” é retirado) então só 
ficará “β*J1”, assim: CF1 = CI1 + β*J1 = C0 + β*C0*i = C0(1+ β*i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+ β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como do J2 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J2” é retirado) então só 
ficará “β*J2”, assim: CF2 = CI2 + β*J2 
Como CI2 = CF1 = C0(1+ β*i), e J2 = β*C0*i, então: 
CF2 = C0(1+ β*i) + β*C0*i = C0(1+ β*i + β*i) = C0(1+ 2*β*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+ 2*β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
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No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como do J3 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J3” é retirado) então só 
ficará “β*J3”, assim: CF3 = CI3 + β*J3 
Como CI3 = CF2 = C0(1+ 2*β*i), e J3 = β*C0*i, então: 
CF3 = C0(1+ 2*β*i) + β*C0*i = C0(1+ 2*β*i + β*i) = C0(1+ 3*β*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+ 3*β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = C4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o saldo em dívida, então: CFn = CIn + Jn 
Como Jn = C0*i e CIn = CFn-1=C0[1+ β*(n-1)*i], então: 
CFn = CFn-1 + C0*i = C0[1+ β*(n-1)*i] + C0*i = C0[1+ β*(n-1)*i + i] 
Ou seja: CFn = C0[1+ β*(n-1)*i + i]que não será o capital inicial do período seguinte 
porque não existe período seguinte (é o último período). 
 
Fórmulas para a 2ª Hipótese: 
 
Nesta hipótese apenas a fórmula de cálculo do capital final (ou acumulado) é que muda, o 
resto mantém-se inalterado, ou seja: 
 
Cn = C0 (1+ β*r)
n para o Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 (1 + nβ* r) para o Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de 
juros 
 
EXEMPLO: Num empréstimo de MT 200.000,00 pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Considerando que 
30% dos juros periódicos saem do processo, sendo a restante capitalizada, determine: 
 
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a) O juro produzido no 1 e 4 ano; 
b) O juro pago no 1 e 4 ano; 
c) capital acumulado no final do empréstimo 
 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15%, α = 30%, β = 70% 
a) Jk = Co(1+β*i)k-1*i 
 J1 = Co(1+0,7*15%)
1-1*15% = Co*15% = 200.000*15% = 30.000 
J4 = Co(1+0,7*15%)
4-1*15% = 200.000(1+0,7*15%)3*15% = 
40.476,98 
Aqui pretende-se determinar o montante de juro produzido periodicamente (a soma do 
juro pago e o juro retido). 
b) J1pago = α* J1produzido = 30%*30.000 = 9.000 
J4pago = 30%*J4produzido = 30%*40.476,98 = 12.143,09 
Neste caso, pretende-se saber o valor do juro que foi pago, ou seja, do montante de juro 
produzido qual o montante que foi pago no primeiro e no quarto ano. 
c) CF6 = CI6+Jult = CI6+CI6*i = CF5+CF5*i = Co(1+β*i)5+Co(1+β*i)5*i = 
Co(1+β*i)5(1+*i) = 200.000(1+0,7*15%)5(1+15%) = 378.912,7562 
 
NOTA: 
Para se determinar o capital final (ou acumulado) neste regime misto é necessário 
considerar que em todos os períodos (excepto o último), a taxa de juro será 
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multiplicada pela percentagem dos juros que ficam retidos no processo (β). No 
último período, o juro é calculado com base na totalidade da taxa de juro. 
 
Regimes de Capitalização – Quadro Resumo 
 
 Simples Composto Dito simples 
CIK C0 CFK-1 CFK-1 
JK C0 * i CIK * i C0 * i 
CFn C0 (1+i) C0 (1+i)
n C0 (1+n*i) 
JT ------- C0 [(1+i)
n-1] C0 * n * i 
JJ ------- Cn - C0 - C0 * n * i -------- 
 
 
NOTA: 
 n, i (ou seja, o tempo e a taxa de juro) devem vir expressos na mesma 
unidade de tempo que é o período de capitalização, ou seja, se período de 
capitalização for mensal, n e i, deverão vir expressos em meses (ou seja, 
devem ser convertidos para meses); se o período de capitalização for anual, n 
e i, deverão vir expressos em anos (ou seja, devem ser convertidos para anos). 
 
Cálculo do juro quando o tempo vem dado em dias (e a taxa de juro é anual): 
 
J = 
365
r *t *C0 , onde n = 
365
t
 para o ano civil e dividir por 360 para o ano comercial 
 
Cálculo do juro quando o tempo vem dado em meses (e taxa de juro é anual): 
 
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J = 
12
r *t *C0 , onde n =
12
t
 
 
Deve-se utilizar o ano comercial (360) somente quando for indicado, pois que, nos casos 
em que nada se diz, utiliza-se o ano civil (365). 
 
NOTA IMPORTANTE: 
 
 Na presença de um exercício, o primeiro passo será identificar o período de 
capitalização (ou seja, o período de formação de juros). ESTE DEVE SER O 
NOSSO PRIMEIRO DADO. 
 Para este primeiro capítulo, se não nos derem o período de capitalização, 
subentende-se que este coincide com o período da taxa de juro, ou seja, se a 
taxa de juro for anual o período de capitalização será anual, se for trimestral 
o período de capitalização também será trimestral. 
 Se não nos derem o período da taxa de juro, subentende-se que o período é 
anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JURO 
 
- Introdução. Disparidade entre o período da taxa e o período de capitalização 
- Taxas equivalentes e taxas proporcionais 
- Taxas efectivas e taxas nominais 
- Processo de capitalização com um número não inteiro de períodos de 
capitalização: solução prática e solução teórica. 
 
Assumimos até aqui que o período de capitalização coincide com o período de referência 
da taxa de juro, mas nem sempre isto ocorre, situação há em que a taxa de juro vem dada 
numa unidade de tempo diferente do período de capitalização. 
 
Exemplo: Investimos MT 10.000,00, no processo de capitalização composto, a taxa de 
juro de 10% ao ano, com capitalização semestral e durante um ano. 
 
Neste caso, a taxa de juro dada é de período anual e a capitalização faz-se ao semestre. A 
questão que se coloca é de como capitalizar ao semestre com uma taxa anual? 
 
A disparidade entre o período de capitalização e o de referência da taxa de juro, leva-nos 
a questão de equivalência de taxas de juros e considerando o nosso exemplo, teríamos 
que procurar uma taxa de juro de período semestral – período de capitalização – que 
fosse equivalente a taxa anual de 10%. 
 
 A priori diríamos que a taxa semestral procurada é de 5% e obtida da seguinte forma: 
1 ano ----------- 10% X = 
ano1
%10 *ano5,0
 = 5% ao semestre 
½ ano ----------- X 
 
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Considerando o conceito de equivalência de taxas, que diz que “duas taxas de juro 
referidas a períodos diferentes (uma anual ou maior e outra subanual ou menor) dizem-se 
equivalentes, quando aplicadas ao mesmo capital inicial e para a mesma duração do 
processo de capitalização produzem o mesmo valor acumulado. 
 
Considerando o nosso exemplo e tomando a taxa de 10% ao ano e o tempo em um ano, e 
usando o conceito de equivalência de taxas, teremos para valor acumulado: 
 
CF1ano = 10.000 (1+10%) = 11.000 
 
Tomando a taxa de 5% ao semestre e o tempo em semestre (2 semestres = 1 ano – a 
mesma duração), teremos para valor acumulado: 
 
CF2 sem = 10.000 (1+5%)
2 = 11.025 
 
Comparando os dois valores acumulados, concluímos que estes são diferentes e onde 
então podemos dizer que a taxa de 10% ao ano não é equivalente a taxa de 5% ao 
semestre. 
 
Posto isto, qual é então a taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%? 
 
Considerando o conceito de equivalência de taxas acima referido e representando i’ a taxa 
semestral equivalente a taxa anual de 10%, podemos estabelecer a equivalência de taxas 
com base na equação abaixo: 
 
 CF1ano = CF2sem 
10.000 (1+10%) = 10.000 (1+i’)2 
 (1+10%)=(1+i’)2 
 i’ = (1+10%)1/2 – 1 = 4,88% (taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%) 
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Se 4,88% é a taxa semestral equivalente, que tipo de taxa é então a taxa de 5%? 
 
A taxa de 5% foi obtida com recurso a proporcionalidade directa, donde é designada por 
taxa proporcional. 
 
Assim,podemos concluir que entre duas taxas referidas a períodos diferentes (uma taxa 
anual ou maior e outra subanual ou menor), podemos encontrar dois tipos de relações: 
relação de equivalência e a relação de proporcionalidade. 
 
Atenção: tem que ser taxas de períodos diferentes (uma deve ser maior que outra). 
 
Fórmulas 
 
Seja: 
i  taxa anual (ou maior) equivalente 
i(m)  taxa anual (ou maior) proporcional, composta m meses durante o ano 
 Exemplos: 
i(2) = taxa anual proporcional, composta semestralmente (duas vezes ao 
ano) 
i(4) = taxa anual proporcional, composta trimestralmente (quatro vezes ao 
ano) 
i(12) = taxa anual proporcional, composta mensalmente (doze vezes ao ano) 
im  taxa subanual (ou menor) reportada ao período que corresponde a 1/m do ano. 
Exemplos: 
 i2 = taxa semestral 
 i4 = taxa trimestral 
 i12 = taxa mensal 
 
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Considerando que entre a taxa i e a taxa im existe uma relação de equivalência e tomando 
em atenção o conceito de equivalência de taxas, teremos a seguinte equação de 
equivalência: 
 
C0 (1+i) = C0 (1+im)
m 
 
(1+i) = (1+ im)m Esta é a equação de equivalência de taxas. 
 
Onde: 
m = é o número de vezes que o período da taxa subanual (ou menor) cabe no período da 
taxa anual (ou maior), ou seja: m = 
 
Atenção: a equação de equivalência acima, apenas aceita taxas equivalente (não 
aceita taxas proporcionais ou nominais). 
 
Considerando que entre a taxa i(m) e a taxa subanual im, existe uma relação de 
proporcionalidade, teremos a seguinte equação de proporcionalidade 
 
i(m) --------------------- 1 ano 
im -------------------- 1/m do ano 
 
im = Esta é a equação de proporcionalidade de taxas. 
 
Onde: 
 
m = é o número de vezes que o período da taxa subanual (ou menor) cabe no período da 
taxa anual (ou maior), ou seja: m = 
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Atenção: a equação de proporcionalidade acima, apenas aceita taxas proporcionais 
(não aceita taxas equivalentes). 
 
Taxas efectivas e nominais 
 
Quando a relação que existe entre a taxa anual (ou maior) i e a taxa subanual (ou menor) 
im for de equivalência, é indiferente trabalhar com a taxa anual i (contando o tempo em 
anos) ou trabalhar com a taxa subanual im (contando o tempo em meses) pois obtém-se o 
mesmo valor acumulado. Assim, podemos concluir que se i e im são equivalentes, 
então ambas são efectivas (portanto, taxas equivalentes são efectivas). 
 
No entanto, se ao invés de uma relação de equivalência, tiver uma relação de 
proporcionalidade entre a taxa i(m) e im, então teremos uma taxa efectiva (que é aquela 
cujo período coincide com o período de capitalização), e a outra designa-se por taxa 
proporcional ou nominal. 
 
Outros Conceitos de Taxas 
 
Taxas ilíquidas e taxas líquidas 
 
Chama-se taxa ilíquida (ou bruta) à taxa que não leva em consideração a existência de 
impostos sobre os juros produzidos e a taxa líquida que já reflete o efeito da fiscalidade. 
 
Regra geral, sempre que há juro, há imposto. Este imposto é normalmente determinado 
aplicando uma taxa (t) ao montante do juro produzido, pelo que o beneficiário fica apenas 
com o restante do juro periódico produzido (a outra parte vai para o Estado). 
 
 
 
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Fórmula: 
Seja: 
iliq  taxa de juro líquida 
iiliq  taxa de juro ilíquida (ou bruta) 
t  taxa de imposto2 
 
Assim teremos  iliq = iiliq(1- t) 
 
Taxas correntes e taxas reais 
 
Chama-se taxa corrente à taxa que não leva em consideração o efeito correctivo da 
inflação e a taxa real aquela que já reflecte essa correcção. 
 
Existe inflação num dado período quando nesse período o nível geral de preços sobe. 
 
Portanto, quando a taxa de juro real for inferior a taxa de juro corrente significa que, em 
termos reais, o poder de compra se deteriore. Por outro lado, quando a taxa de juro real 
for superior a taxa de juro corrente significa que, em termos reais, o poder de compra seja 
maior. 
 
Fórmula: 
 
Seja: 
i  taxa de juro corrente (anual) 
iz  taxa de juro real (anual) 
z  taxa de inflação 
 
 
2 É chamada de taxa liberatória, na medida em que “libera” o beneficiário da obrigação de incluir esses 
rendimentos na sua declaração anual de rendimentos 
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Assim, teremos  iz
3 = 1
z1
i1
−
+
+
 
 
Como se chegou a esta fórmula? 
 
Através da expressão abaixo: 
C0(1+i) = C0(1+z)(1+iz)  (1+i) = (1+z)(1+iz)  (1+iz) = 
z1
i1
+
+
 iz = 1
z1
i1
−
+
+
 
 
Vejamos, agora, o que sucede para n períodos de tempo, se as taxas forem variáveis 
período a período. Aqui deve-se determinar a taxa real média para o prazo da aplicação e 
que notaremos por i’z. Logo, vem que: 
 
C0(1+i1)*….*(1+in) = C0(1+z1)*….*(1+zn)(1+iz) 
 
Donde resulta que: 
 
iz = 1
)z(1*....*)z1(
)i1(*....*)i(1
n1
n1 −
++
++
 
 
Exemplo 1: Dada a taxa anual efectiva de 10%, calcule a taxa equivalente de período 
bimestral. 
Dados: 
i = 10% anual (1 + i) = (1 + im)
m 
i6 = ? bimestral (1 + 10%)= (1 + i6)
6 
m = 12/2 = 6 (1,1)1/6 - 1 = i6 
 i6 = 1,6% 
 
 
3 Deve perceber-se que, em rigor, a taxa real não é igual à diferença entre a taxa corrente e a taxa de 
inflação conforme vem nalguns manuais de economia 
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E é a taxa equivalente para o período de 7 meses? 
Dados: 
i = 10% anual (1 + 10%) = (1 + i12/7)
12/7 
i12/7 = ? (7 meses) i12/7 = (1,1)
7/12 – 1 
m = 12/7 i12/7 = 5,72% 
 
 
Exemplo 2: Um depósito no montante de MT 8.000,00 esteve colocado durante 2 anos, 
em regime de juro composto, à taxa de 6%. Qual será o valor real dos juros produzidos, 
sabendo que no primeiro ano a taxa de inflação foi de 3% e de 1,75% no segundo ano? 
 
Dados: 
C0 = 8.000 
i = 6% 
z1 = 3% 
z2 = 1,75% 
 
Vamos calcular o juro, considerando à taxa real média para o prazo da aplicação. Assim 
sendo, vem que: 
 
iz = 1
)%75,13%)(11(
%)6(1 2
−
++
+
 iz = 7,2% 
 
Podemos, agora, calcular o montante dos juros. E sendo que a taxa obtida anteriormente 
se reporta a todo o prazo da aplicação, o montante total dos juros pode ser obtido 
multiplicando esta taxa pelo valor de C0. Donde resulta que: 
 
Jz (juro real) = iz*C0 = 7,2%*8.000 = 576,00 
 
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Exemplo 3: Qual o capital final real líquido de um capital de MT 100.000,00 que esteve 
aplicado a prazo em regime de juro composto, durante 5 anos, sabendo que: 
- Produziu, durante os 3 primeiros anos, juros à taxa de 8%, tendo sido de 6% a 
taxa praticada nos 2 últimos; 
- Do 1º ao 5º ano da aplicação se observou uma taxa de inflação da ordem dos 
6,75%, 4,5%, 5% e 6,5%, respectivamente?Considere uma taxa liberatória de 20%. 
 
Resolução: 
 
Determinar o capital final real líquido implica considerar, em simultâneo, os efeitos da 
fiscalidade e da inflação. 
 
Assim, os juros vão capitalizar à taxa líquida, isto é, 6,4% (=8%*80%) nos 3 primeiros 
anos e 4,8% (=6%*80%) nos 2 últimos. 
 
O capital final real líquido será determinado da seguinte forma: 
 
CFRL = C0*
)z)(1z)(1z)(1z)(1z1(
)i1()i(1
54321
2
2
3
1
+++++
++
 
 
Enquanto que as taxas constantes no numerador nos permitem apurar o valor líquido do 
capital, no denominador consideramos o efeito resultante da perda do poder de compra da 
moeda. Logo, 
 
CFRL = 100.000*
)%5,6)(1%7)(1%5)(1%5,4)(1%75,61(
%)8,41()6,4%(1 23
+++++
++
= 99.115,28 
 
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O capital final real líquido é inferior ao seu valor inicial, donde resulta que a 
rendibilidade auferida por este investimento, ao longo dos 5 anos, não foi suficiente para 
compensar os efeitos das elevadas taxas de inflação, sendo que deverá ser procurado uma 
aplicação alternativa. 
 
 
 DADA UMA TAXA DE JURO ANUAL EFECTIVA, COMO PODEMOS 
OBTER UMA TAXA DE JURO NOMINAL REFERIDA PARA O MESMO 
PERÍODO, OU SEJA, COMO PODEMOS OBTER A TAXA DE JURO ANUAL 
NOMINAL? 
 
 
 
 
 
 Equivalência Proporcionalidade 
 
 
 
RESPOSTA: Como as equações de equivalência e de proporcionalidade apenas aceitam 
taxas de períodos diferentes (uma maior e outra menor), então não vai ser possível 
calcular taxa anual nominal directamente da taxa anual efectiva (pois ambas tem o 
mesmo período, são ambas anuais). Assim, dada uma taxa de juro anual efectiva, para se 
obter uma taxa de juro anual nominal, primeiro temos que achar a taxa de juro em que o 
seu período coincide com o período de capitalização (conforme a figura imediatamente 
acima). Ou seja, se a capitalização for ao semestre (por outras palavras, se a formação do 
juro for semestral) então, devemos achar primeiro a taxa de juro semestral. 
 
Portanto: 
Taxa de juro 
anual efectiva 
Taxa de juro 
anual nominal 
Taxa de juro em que o 
seu período coincide 
com o período de 
capitalização. 
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1. Se a taxa dada for anual efectiva, primeiro temos que calcular a taxa subanual usando 
a equação de equivalência. E depois a partir dessa taxa subanual podemos calcular a 
taxa anual nominal usando a equação de proporcionalidade; 
2. Mas, se a taxa dada for anual nominal, primeiro temos que calcular a taxa subanual 
usando a equação de proporcionalidade. E depois a partir dessa taxa subanual 
podemos calcular a taxa anual efectiva usando a equação de equivalência. 
 
 
PROCESSOS DE CAPITALIZAÇÃO COM UM NÚMERO NÃO INTEIRO DE 
PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO – REGIME COMPOSTO. 
 
Seja um processo de capitalização com n períodos inteiros de capitalização, mais uma 
fracção x cuja duração é inferior ao período p de capitalização. 
 
Expressando o período não inteiro x em fracção de período inteiro p, teremos x/p e para o 
nosso processo de capitalização n + x/p períodos de capitalização. 
 
No período de capitalização p (período inteiro) vigora a taxa i, e se o nosso processo 
tivesse só n períodos inteiros, o valor acumulado seria obtido com base na formula Cn = 
C0 (1 + i)
n, mas acontece que para além dos n períodos, temos um período não inteiro x/p, 
donde que o valor acumulado do processo será ser igual ao valor acumulado dos n 
períodos inteiros mais o juro do período não inteiro x/p. Ou seja, 
 
Cn+x/p = Cn + Jx/p 
Cn = C0 (1 + i)
n e Jx/p = CIx/p * ix/p 
Como CIx/p = Cn então 
Cn+x/p = C0 (1+i)
n + C0 (1+i)
n * rx/p 
 = C0 (1+i)
n (1+ix/p) 
 
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Neste tipo de problemas, normalmente é conhecido a taxa do período inteiro (i), mas não 
é conhecido a taxa do período não inteiro. Como não é conhecido, deve ser calculado. 
Mas, para calcular temos que saber que tipo de relação existe entre a taxa de período 
inteiro (i) e taxa de período não inteiro (ix/p)? 
 
a) Se a relação for de equivalência (a solução é teórica) 
 
Ou seja, neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa equivalente, 
donde a taxa subanual (a não inteira) é obtida por recurso a equação de equivalência de 
taxas. Assim: 
 
Dados: 
i = taxa do período inteiro 
ip/x = ? taxa do período não inteiro 
m = p/x (onde p é o período da taxa inteira ou maior e x é o período da taxa não inteira ou 
menor) 
 
(1+i)=(1+ip/x)
p/x Donde ip/x = (1+i)
x/p – 1 
 
Assim, Cn+x/p = C0 (1+i)
n (1+ip/x) = C0 (1+i) [1+(1+i)
x/p – 1] = C0 (1+i)
n (1+i)x/p 
 = C0 (1+i)
n+x/p 
 
b) Se a relação for de proporcionalidade (a solução é prática) 
 
Ou seja, neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa proporcional, 
donde a taxa subanual (não inteira) é obtida por recurso a equação de proporcionalidade 
de taxas. 
 
Assim: 
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ip/x = 
 
Assim, Cn+x/p = C0 (1+i)
n (1+ip/x) = C0 (1+i)
n (1+
p
x
* i) 
 
NOTA: Nas duas relações acima, devemos assegurar que o período da taxa i (taxa 
inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa i (inteira) será 
uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é 
possível usar na equação de equivalência como na equação de proporcionalidade. 
 
 
CASO DE REGIME PURAMENTE SIMPLES 
 
No regime simples, vimos que o juro é pago no final de cada período da sua 
formação/produção e no final do processo o devedor tem a pagar o capital inicialmente 
obtido mais o juro do último período. O último período, é neste caso o período não inteiro 
(x/p), donde: 
 
C n+x/p = C0 + Jx/p e Jx/p = C0 * rp/x, onde Cn+x/p = C0 + C0 * ip/x = C0 (1+ip/x) 
 
a) Se a relação for de equivalência (solução teórica): 
 
A taxa subanual será ip/x = (1+i)
x/p – 1 
 
E o Cn+x/p = C0 [1+(1+i)
x/p -1] = C0 (1+i)
x/p 
 
Ou seja, Cn+x/p = C0 (1+i)
x/p 
 
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b) Se a relação for de proporcionalidade (solução prática): 
 
A taxa subanual (ou taxa de período não inteiro) será ip/x = 
p
x
 * i 
E o Cn+x/p = C0 (1+
p
x
* i) 
 
NOTA: Nas duas relações acima, devemos também assegurar que o período da taxa 
i (taxa inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa i (inteira) 
será uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é 
possível usar na equação de equivalência como na equação de proporcionalidade. 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 80.000,00, esteve colocado durante 10 anos e 11 meses, 
num processo de capitalização composto de período trimestral, a taxa de juro anual 
nominal de 20%. Determine o capital acumulado, considerando para eventual fracção do 
período de capitalização: 
 
a) Taxa proporcional; 
b) Taxa equivalente. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Co = 80.000, n = 10 anos e 11 meses, im = 20%a) Primeiro passo é identificar o período de capitalizacapo. Neste 
exercício é trimestral. 
Depois calcular a taxa que coicide com o período de capitalização, ou 
seja, a taxa trimestral (essa taxa é simultaneamente efectiva e nominal. 
É a taxa que calcula juros): 
i4 = 
4
%20
 = 5% 
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Depois converter o tempo para o período de capitalização, ou seja, 
para trimestres: 
n = 43 + 
3
2
trimestres 
Teremos 43 periodos inteiros e um período não inteiro (2/3) 
Por fim, calcular o valor acumulado usando a fórmula da solução 
prática: 
Cn+x/p =Co(1+i)
n(1+x/p*i) = 80.000(1+5%)43(1+2/3*5%) = 673.705,80 
 
b) Nesta alínea, é só calcular o valor acumulado usando a fórmula da 
solução teórica: 
Cn+x/p = Co(1+i)
n+x/p = 80.000(1+5%)43+2/3 = 673.528,60 
 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 10.000,00 foi colocado durante 3 anos e 5 meses, num 
processo de capitalização simples, a taxa de juro anual nominal de 15% (capitalização 
trimestral). Calcule o valor no final do processo, considerando que na eventual fracção do 
período, vigorou: 
a) Solução teórica (taxa equivalente); 
b) Solução prática (taxa proporcional). 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 10.000, n = 3 anos e 5 meses, i(4) = 15%, i4 = ? 
 
a) i4 = 15%/4 = 3,75% 
Cn+x/p = Co(1+i)
x/p = 10.000(1+3,75%)2/3 = 10.248,50 
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b) Cn+x/p = Co(1+x/p*i) = 10.000(1+ 2/3*3,75%) = 10.250,00 
 
DESCONTOS 
 
- Introdução 
- Desconto Simples: Desconto por Fora e Desconto por Dentro 
- Desconto Composto 
- Desconto bancário de letras e livranças 
 
Até aqui temos analisado processos de capitalização que vão do início até ao vencimento 
dos mesmos, mas nem sempre isso ocorre, situação há em que quer por necessidade do 
devedor como do credor os processos são interrompidos antes do seu vencimento, quando 
faltam t períodos do processo por cumprir. 
 
Perante esta situação, quanto é que o devedor terá que pagar na data da antecipação? Ou 
ainda, do ponto de vista do credor, quanto ele irá receber na data da antecipação? 
 
Cn = valor nominal da dívida 
Cn-t = valor actual da dívida 
n-t = momento da antecipação da dívida 
t = número de períodos que faltam por vencer 
 
Na data da antecipação, o devedor irá pagar o valor actual da dívida, isto é, o valor 
nominal da dívida actualizado ou descontado para o momento da antecipação. 
Designando por Desconto, o encargo que o credor suporta pelo recebimento antecipado 
da dívida e representando por D, podemos concluir que o valor actual da dívida (Cn-t) é 
igual ao valor nominal da dívida (Cn) deduzido do montante de Desconto (D): 
 
Cn-t = Cn – D 
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Donde virá para Desconto: D = Cn – Cn-t 
 
Dissemos que o valor actual da divida resulta da actualização ou desconto do valor 
nominal pelos t períodos que faltam por vencer. Para fazer a actualização ou desconto 
teremos de pressupor a existência de um processo de capitalização implícito que vai 
correr do momento do vencimento da dívida (n) e o momento da antecipação (n-t). 
 
Esta capitalização poderá ser feita recorrendo ao regime dito simples ou ao regime 
composto. O caso de regime puramente simples, deixa de ter relevância dado que neste 
regime o capital em dívida em qualquer momento corresponde ao valor inicialmente 
cedido mais o juro do período vencido. 
 
Ao Desconto realizado com base no regime dito simples, designa-se por Desconto 
Simples e ao realizado com base no regime composto designa-se por Desconto 
Composto. 
 
Desconto Simples 
 
Tem como base o regime de capitalização dito simples e corresponde ao juro dito simples 
referente aos t períodos que faltam por cumprir, e pode ser calculado com base no valor 
actual da divida ou com base no valor nominal da dívida. 
Desconto por Dentro ou Racional – neste caso o desconto corresponde ao juro dito 
simples calculado com base no valor actual da dívida: 
 
DD = JDS = Cn-t * t * r 
 
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Acontece que no momento da actualização, não conhecemos o valor actual da dívida, 
pelo que devemos procurar uma fórmula que nos permita determinar o valor do desconto 
com base no valor nominal da dívida. 
 
Sabendo que: 
 
D = Cn – Cn-t e D = DD = Cn-t * t * r, então Cn – Cn-t = Cn-t * t * r 
 Cn = Cn-t (1+t * r)  Cn-t = 
r*t1
Cn
+
(Fórmula de cálculo do valor actual com base no 
valor nominal). 
 
Assim, como DD = Cn-t * t * r e Cn-t = 
r*t1
Cn
+
, então DD = 
r*t1
r*t*Cn
+
(Fórmula de cálculo 
do desconto por dentro, com base no valor nominal). 
 
Desconto por Fora ou Comercial – É o que mais se pratica e toma como base o valor 
nominal da dívida, ou seja, o desconto corresponde ao juro dito simples calculado com 
base no valor nominal: 
 
DF = JD S= Cn * t * r 
 
Para calcular o valor actual, sabemos a priori que: 
 
D = Cn – Cn-t e DF = Cn * t * r, então Cn * t * r = Cn – Cn-t 
Assim, Cn-t = Cn (1 - t * r) (Fórmula de cálculo do valor actual com base no valor 
nominal). 
 
Nota: 
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Tanto o desconto por fora como por dentro são utilizados para períodos de tempo curtos, 
geralmente inferiores a 1 ano. Normalmente a taxa de juro que nos é dada é de período 
anual pelo que nos casos em que o tempo vem dado em meses ou dias deve-se dividir o t 
por 12 quando o tempo vem dado em meses e por 365 ou 360 quando o tempo vem dado 
em dias. 
Desconto Composto 
 
Utiliza o regime de capitalização composto. 
 
O valor actual é calculado com base na actualização do valor nominal nos moldes do 
regime de capitalização composto: 
 
Cn-t = Cn (1+r)
-t 
 
Sabendo que: 
 
D = Cn – Cn-t e que Cn-t = Cn (1+r)
-t, então D = Cn – Cn (1+r)
-t  D = Cn [1-(1+r)
-t] 
 
Desconto de títulos de crédito 
 
A emissão de títulos de crédito (letras e livranças) ocorre, no contexto da actividade 
comercial, essencialmente devido a 2 razões: 
 
1. A emissão de um título de crédito justifica-se perante a ausência de uma forte 
relação de confiança entre o devedor e o credor. Em caso de incumprimento, a 
posse do título permite ao credor mover uma acção contra o devedor; 
2. Mesmo havendo confiança, a existência de um título de crédito possibilita a sua 
apresentação a desconto junto de uma instituição bancária (desconto bancário), 
que adianta ao credor os fundos correspondentes à dívida titulada. Acresce ainda 
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que os títulos podem ser endossados (desse modo, os próprios títulos funcionam 
como meios de pagamento, uma vez que o direito ao crédito é transferido para 
outrem). 
 
Letras – Conceito e Características 
 
A letra é um título de crédito pelo qual uma pessoa (sacador/credor) ordenaa outra 
(sacado/devedor) que lhe pague a si próprio ou a um terceiro (tomador/beneficiário) uma 
determinada importância, em determinada data. 
Para além dos intervenientes acima apontados – sacador, sacado e tomador ou 
beneficiário – outros poderão surgir no contexto da emissão e da negociação de uma 
letra: 
− Aceitante – o sacado após ter reconhecido o saque e assinado a letra; 
− Endossante – pessoa que transfere os seus direitos por intermédio do acto de 
endosso; 
− Endossado – aquele a quem são transmitidos os direitos pelo endossante; 
− Cedente – pessoa que apresenta a letra ao banco para desconto. 
 
Desde a emissão da letra até ao seu vencimento, duas situações podem ocorrer: 
 
1. A letra pode permanecer em carteira ou na fonte, isto é, na posse do sacador ou 
daquele a quem o título foi endossado até ao vencimento. No vencimento, 
compete ao devedor proceder à liquidação do montante em dívida junto do 
beneficiário (ou sacador), sem que haja intervenção directa de uma entidade 
bancária; 
2. A letra pode ser apresentada a desconto junto de uma entidade bancária, nos casos 
em que o sacador (ou da pessoa cuja posse da letra se encontra) necessite de 
fundos antes do vencimento. A entidade bancária credita na conta à ordem do 
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cedente o valor líquido da operação, já deduzidos os encargos inerentes ao 
desconto. 
 
Desconto de letras 
 
No desconto de letras, designaremos por desconto bancário a totalidade de encargos a 
deduzir ao valor nominal do título. Quais são esses encargos? 
 
✓ O juro ou o desconto propriamente dito (calculado segundo as regras do desconto 
comercial simples, também designado por desconto por fora) – vamos representar 
por DF; 
✓ A comissão de cobrança, que é uma percentagem ou permilagem que incide, em 
regra, sobre o valor nominal da letra. No fundo é o preço de um serviço prestado 
pelo banco e varia de banco para banco, de acordo com factores como o local de 
pagamento diferente do local de desconto da letra, etc – vamos representar por α. 
✓ Imposto de selo, que é um encargo fiscal, imposto por lei (ao contrário do juro, 
comissão de cobrança e portes que são receita do banco, o imposto de selo é 
receita do Estado). Incide sobre o somatório do montante dos juros (desconto por 
fora) e da comissão de cobrança) – vamos representar por I; 
✓ Portes, à semelhança do que sucede com as comissões de cobrança, o valor de 
portes depende do estabelecido na tabela de preços de cada banco, muito embora 
sejam, em regra, de montante reduzido. Destinam-se a cobrir despesas de correio 
e/ou de comunicação associadas ao desconto da letra. O seu montante é fixo por 
letra, sendo também frequente a isenção do pagamento para determinados 
segmentos da clientela – vamos representar por P. 
 
NOTA: 
A prática bancária permite que as letras sejam liquidadas nos 2 dias posteriores ao 
seu vencimento. 
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Assim, 
 
DB = Juros + Comissão de Cobrança + Imposto de Selo + Portes. 
DB = DF + C + IS + P 
DB = (DF + C)(1 + I) + P 
DB = (Cn * t * r + α*Cn)(1+I) + P 
DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P 
 
As vendas crédito e o cálculo do valor nominal da letra 
 
As vendas quanto a modalidade de pagamento poderão ser a pronto ou a crédito e no caso 
das vendas a crédito estas poderão levar a emissão de letras e livranças. 
Na emissão desses títulos de crédito em geral, e da letra em particular, um dos princípios 
a que se deve obedecer é a inclusão do valor da dívida a pagar na data do vencimento. Na 
determinação deste montante, temos que ter em conta um dos dois pressupostos, como 
vimos atrás: 
 
1. A letra é emitida pressupondo o seu imediato desconto junto ao banco. Neste 
caso quem concede efectivamente o crédito é o banco, pois que o 
vendedor/sacador realiza de imediato por recurso ao desconto bancário o valor do 
preço de pronto pagamento. Nesta opção podemos encontrar duas alternativas: 
 
a) Emissão de uma só letra – neste caso o crédito é representado por uma 
letra aceite pelo comprador/sacador e na determinação do valo nominal 
dessa letra, o vendedor inclui para além do preço de pronto pagamento (é 
dívida para o comprador e representaremos pela letra PPP) o valor do 
encargo de desconto da mesma junto ao banco: 
 
Cn = PPP + DB 
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Se: DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P 
Então Cn = PPP + Cn(t * r + α)(1+I) + P 
Cn = 
I)1)( r *(t - 1
P PPP
++
+

 
 
Ou, Cn = 
I)1)( r *(t - 1
P Parcial) Pagamento - (PPP
++
+

, no caso em que o vendedor 
procede ao pagamento de uma parte do PPP. 
 
 
b) Emissão de várias letras – Neste caso a dívida é representada por várias 
letras de vencimentos distintos. Quanto ao valor nominal, este poderá ser 
constante ou variável e essa variação poderá obedecer a uma lei específica 
(progressão aritmética, geométrica) ou não. 
 
Na determinação do valor nominal de cada letra, o somatório dos valores nominais das 
letras será igual a PPP (valor em dívida) mais o somatório do desconto bancário das 
letras. 
 
 += DBPPPCn 
 
Ou,  += DBParcial) Pagamento-PPP(Cn no caso em que o vendedor procede ao 
pagamento de uma parte do PPP. 
 
 
 
 
 
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2. A letra é emitida pressupondo a sua retenção pelo credor ate ao vencimento. 
Neste caso na determinação do valor nominal este para além da PPP (dívida) irá 
incluir o juro relativo ao crédito pelo tempo que vai da emissão até ao vencimento 
do título: 
 
Cn = PPP (1+ t*r) 
 
Ou, Cn = (PPP-Pagamento Parcial) (1+ t*r) 
 
 
A reforma da letra e o cálculo do valor nominal da nova letra 
 
Chegada a data de vencimento da letra, uma das duas situações pode ocorrer: o devedor 
paga o valor em dívida ou o devedor não paga. Nesta segunda hipótese, ele pode negociar 
com o vendedor a prorrogação do prazo, pois uma das condições essenciais da letra é a 
inclusão da data de vencimento e esta não pode ser rasurada. Esta situação leva a emissão 
de uma nova letra com um novo prazo de vencimento – a esta substituição de uma letra 
vencida por uma nova de vencimento posterior designa-se por reforma da letra. 
 
Os procedimentos para o cálculo do valor nominal da nova letra (Cn+t) são os mesmos 
que vimos anteriormente, mas só que o preço de pronto pagamento (PPP) é substituída 
pelo valor nominal da antiga letra (Cn). 
Há reforma total/integral quando na data de vencimento o devedor/comprador não 
efectua qualquer amortização. No caso da reforma parcial, o devedor/comprador liquida 
certa percentagem do valor em dívida, havendo lugar à emissão de uma nova letra 
correspondente à quantia remanescente. 
 
 
 
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Livranças – Conceito e Características 
 
A livrança é um título de crédito negociável, através do qual o subscritor se compromete 
a pagar ao beneficiário, ou à ordem deste, uma dada importância,numa data futura. As 
livranças são utilizadas, na maioria dos casos, para titular financiamentos bancários de 
curto prazo, em que o beneficiário é uma instituição bancária, apesar de existirem 
livranças em que ambos os intervenientes são particulares. 
 
A livrança distingue-se da letra, na medida em que a primeira se trata de uma promessa 
de pagamento, a segunda comporta uma ordem de pagamento. Por outro lado, a letra 
surge na sequência de uma transacção comercial, sendo que a livrança se associa a 
financiamentos directos. 
 
Na livrança intervirão o subscritor ou emitente, quem emite o título e que pela sua 
assinatura se obriga a pagar uma determinada importância no futuro e o beneficiário ou 
tomador, aquele a quem ou à ordem de quem, o título é pagável. 
 
Desconto de livranças 
 
No desconto de livranças (também chamada de desconto por financiamento) são devidos 
juros calculados de modo idêntido ao caso das letras, isto é, considerando os 2 dias 
adicionais para pagamento. Porém, estando as livranças na posse do banco que realiza a 
operação de financiamento, não são devidas as quantias referentes a comissões de 
cobrança e portes. Mas, é cobrado o imposto de selo, que, como apontámos atrás resulta 
da imposição legal (receita do Estado), incidindo assim, sobre o montante dos juros. 
 
Assim sendo, no contexto do desconto por financiamento, os encargos cingem-se aos 
juros, determinados em função do montante de crédito efectivamente concedido e ao 
imposto de selo. 
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Existem 2 principais possibilidades no que concerne à concessão de crédito titulado por 
intermédio de livranças, a saber: 
 
 
1. O valor nominal da livrança inclui o montante de capital mutuado, bem como os 
respectivos encargos. 
 
Nesta opção, uma vez que o valor nominal da letra engloba os encargos inerentes à 
operação de desconto, na data da emissão, a conta à ordem do subscritor será creditada 
pelo capital mutuado (C0), devendo a mesma ser debitada, no vencimento, pelo valor 
nominal da livrança. 
 
VN = C0 + DD + IS 
VN = C0 + DD + DD*I = C0 + DD (1+I) 
 
VN = C0 + D*t*i (1+I) = C0 [1+t*i(1+I)] (aqui, o VN é diferente do C0) 
 
2. O valor nominal da livrança corresponde ao capital mutuado, sendo os encargos 
pagos antecipadamente pelo seu valor actual. 
 
Aqui o valor nominal vai corresponder à quantia a liquidar no vencimento e o saldo final 
na conta à ordem do subscritor na data de emissão será menor que o valor do título e a 
diferença corresponderá aos encargos actualizados de acordo com a modalidade do 
desconto por dentro. 
 
SF (saldo final na conta do subscritor) 
SF = VN – DD – IS sendo que IS = DD*I 
SF = VN – (DD + IS) = VN – (DD + DD*I) 
SF = VN – DD(1+I), 
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Mas como os encargos são pagos antecipadamente, existe a necessidade de actualizar 
esses encargos para o momento presente, nos moldes do desconto por dentro, ou seja: 
SF = VN – )I1(
r *t 1
DD
+
+
 
Os encargos do desconto, são calculados, como dissemos atrás, através do montante 
efectivamente emprestado. Neste caso, como os encargos são pagos antecipadamente, e 
pese embora o montante que será saldo final na conta do devedor seja menor, o valor do 
empréstimo é o valor nominal (C0 = VN), pelo que os encargos incidirão sobre o valor 
nominal da livrança. Assim, DD = VN*t*i 
 
Pelo que, SF = VN – )I1(
r *t 1
i*t*VN
+
+
= VN 





+
+
− )I1(
r *t 1
i*t
1 
 
SF = VN 





+
+
− )I1(
r *t 1
i*t
1 ou SF = C0 





+
+
− )I1(
r *t 1
i*t
1 
 
A reforma da livrança e o cálculo do valor nominal da nova livrança 
 
Os procedimentos na reforma da livrança são os mesmos que vimos da reforma da letra. 
Pode existir também a reforma total/integral ou a reforma parcial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
- Equivalência Simples; 
- Equivalência composta. 
 
A relação entre o devedor e o credor em muitos casos não se resume a uma única dívida, 
pode ser estendida a várias dívidas que o devedor tem para com o seu credor e pode haver 
interesse em substituir essas dívidas por um pagamento único ou por vários pagamentos. 
Tanto num como noutro, os capitais a substituir como os capitais substitutos deverão ser 
financeiramente equivalentes. 
 
Diz-se que dois ou mais capitais são financeiramente equivalentes quando, para um 
determinado momento (data focal), os seus valores actuais são iguais. 
 
Para estabelecer a equivalência de capitais é necessário considerar dois passos: 
 
1. Actualizar todos os capitais para um determinado momento, data focal, (para 
facilitar, consideraremos o momento presente), o que pressupõe a existência de 
um processo implícito de capitalização que vai decorrer entre o vencimento de 
cada capital e o referido momento, pelo que é necessária a adopção de uma taxa 
de juro, neste caso, designada de taxa de avaliação. A actualização pode efectuar-
se recorrendo ao regime de capitalização dito simples ou ao regime composto, dai 
resulta a equivalência simples e composta. 
 
2. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualar aos valores actuais 
dos capitais substitutos. No caso de substituição de vários capitais por um único 
pagamento a esse pagamento único é designado por capital comum (CC) e o 
vencimento desse capital designa-se por vencimento comum (t). 
 
 
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Equivalência Simples 
 
Toma como base o regime dito simples e actualização dos capitais é feita nos moldes do 
desconto por fora ou por dentro, daí desdobra-se em equivalência por fora e por dentro. 
 
 Equivalência por dentro 
 
Neste caso toma-se a fórmula do valor actual por dentro para a actualização dos capitais. 
 
Seja os capitais Cx e Cy vencíveis em tx e ty, para que esses capitais sejam equivalentes é 
necessário que os seus valores actuais sejam iguais. Sabendo que o valor actual no 
Desconto por Dentro é dado pela formula: Cn-t = 
r*t1
Cn
+
 e considerando os passos 
necessários para estabelecer a equivalência: 
 
1º. Actualizar os capitais (para o momento presente, para facilitar): 
 
Cα-tα = 
r*t1
C


+
; Cβ-tβ = 
r*t1
C


+
 
 
2º. Igualar os valores actuais: 
 
r*t1
C
r*t1
C




+
=
+
 
 
No caso de equivalência de vários capitais por um único capital (CC) 
 
Sejam os capitais C1; C2;....; Cn, vencíveis em t1; t2;.....; tn. Para substituir esses capitais 
por um capital único de vencimento único (t), teremos: 
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1º. Actualizar os capitais (para o momento presente): 
 
C1-t1 = 
r*t11
C1
+
; C2-t2 = 
r*t21
C2
+
; Cn-tn = 
r*tn1
Cn
+
 
 
VA = 
r*t1
(t) CC
+
 
 
2º. Adicionar os valores actuais a substituir e igualar ao valor actual do capital único: 
 
r*t1
CC(t)
r*tn1
C
.......
r*t21
C
r*t11