Matemática II - AVAMEC 06

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MINICURSO 2 AS FUNÇÕES E SUAS DERIVADAS
UNIDADE 2 REGRAS DE DERIVAÇÃO
Slide 7 de 7
Calcule a derivada das seguintes funções:
 
 
 
 
I.      f(x) = 3 + x−−√
II.    f(x) = 5 + 3x−2
III.  f(x) = 3x +
1
x
V I.   f(x) = 6 +x3 x−−√3
As respectivas respostas dos itens acima são:
a I.       (x) =f ′ 12 x√
II.     (x) =f ′ −6
x3
III.   (x) = 3 −f ′ 1
x2
V I.    (x) = 18 +f ′ x2 1
3 x2√
3
b I.       (x) =f ′ 2x√
II.     (x) =f ′ 6
x3
III.   (x) = 3 +f ′ 1
x2
V I.    (x) = 18 +f ′ x2 1
3 x3√
c I.       (x) = −f ′ 12 x√
II.     (x) =f ′ −6
x3
QUESTÃO 1 DE 5

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III.   (x) = 3 −f ′ 1
x2
V I.    (x) = 18 +f ′ x2 1
3 x2√
3
d I.       (x) =f ′ 2x√
II.     (x) =f ′ 6
x3
III.   (x) = 3 +f ′ 1
x2
V I.    (x) = 18 +f ′ x2 1
3 x3√
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 1
Para resolver essas derivadas, vamos utilizar as propriedades de derivação: 
 Se então . Considere um número real 
 Se então . Considere e números reais 
 Se então 
 Se então um número real. 
a)   f(x) = a,     (x) = 0f ′  a 
b)   h(x) = ax + b,     (x) = ah′  a   b 
c)   n(x) = g(x) + m(x),     (x) + (x)g′ m′
d)   r(x) = a ,  xn   (x) = n ⋅ a ⋅ n − 1).Considere a r′ x(
I. f(x) = 3 + x −−√
f(x) = 3 +    ⟹    (x) = (3 + (   x −−√ f ′ )′ x −−√ )′
 
 
 
 
 
  ⟹    (x) = 0 + (f ′ x
1
2 )′
  ⟹    (x) = ⋅f ′
1
2
x −1
1
2
  ⟹    (x) = ⋅f ′
1
2
x
−1
2
  ⟹    (x) = ⋅f ′
1
2
1
   x
1
2
  ⟹    (x) =f ′
1
 2  x −−√
II.  f(x) = 5 + 3x−2
 f(x) = 5 + 3    ⟹    (x) = (5 + ( 3  x−2 f ′ )′ x−2 )′
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  ⟹    (x) = 0 + (−2) ⋅ 3f ′ x−2−1
  ⟹    (x) = −6f ′ x−3
  ⟹    (x) =f ′
−6
   x3
III.  f(x) = 3x + 1
x
 f(x) = 3x +    ⟹    (x) = (3x + (1
x
f ′ )′ 1
x
)′
 
 
 
 
  ⟹    (x) = 3 + (f ′ x−1)′
  ⟹    (x) = 3 + (−1)f ′ x−1−1
  ⟹    (x) = 3 −f ′ x−2
  ⟹    (x) = 3 −f ′
1
x2
IV.  f(x) = 6 +x3 x −−√3
 f(x) = 6 +    ⟹    (x) = (6 + (x3 x −−√3 f ′ x3)
′
x −−√3 )
′
 
 
 
 
 
  ⟹    (x) = 3 ⋅ 6   +  (   f ′ x3−1 x
1
3 )′
  ⟹    (x) = 3 ⋅ 6   +   ⋅f ′ x2
1
3
x −1
1
3
  ⟹    (x) = 18   +   ⋅f ′ x2
1
3
x−
2
3
  ⟹    (x) = 18   +   ⋅f ′ x2
1
3
1
x
2
3
  ⟹    (x) = 18   +  f ′ x2
1
 3   x2
−−−√3
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Calcule sabendo que é igual a:  (x) f ′  f(x) 
I. 
3 + 3x2
5x − 3
II. ⋅x−−√
3
+ 2x3
As respectivas respostas dos itens acima são:
 a I.       15 − 18x − 15x
2
(5x − 3)2
II.     −
1
2 x −−√
9x2
( + 2x2 )2
 b I.       15 − 18x − 15x2
(5x − 3)2
II.     −
1
2 x −−√
9x2
( + 2x3 )2
 c I.       15 − 18x − 15x2
(5x − 3)2
II.    
1 − 9x2
2 − ( + 2x−−√ x3 )2
 d I.       15 − 18x + 15x2
(5x − 3)2
II.     −
1
2 2
–√
9x2
( + 2x3 )2
Respostas - Questão 2
Para resolver essas derivadas, vamos utilizar algumas propriedades de derivação, mas as principais
delas são as regras do quociente e do produto: 
 f(x) =    ⟹    (x) =
 g(x) 
 h(x) 
f ′
   (x) ⋅ h(x)  −  g(x) ⋅ (x)  g′ h′
[ h(x)   ]2
QUESTÃO 2 DE 5

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Vamos resolver cada uma dessas derivadas separadamente:
f(x) = g(x) ⋅ h(x)   ⟹    (x) = (x) ⋅ h(x)  +  g(x) ⋅ (x)f ′ g′ h′
I.  f(x) =
 3 + 3 x2
5x − 3
 f(x) =    ⟹    (x) =
 3 + 3 x2
5x − 3
f ′
  (3 + 3 ⋅ (5x − 3)  −  (3 + 3) ⋅ (5x − 3   x2 )′ x2 )′
[ 5x − 3   ]2
 
 
 
 
 
 
  ⟹    (x) =f ′
  (6x) ⋅ (5x − 3)  −  (3 + 3) ⋅ (5)  x2
[ 5x − 3   ]2
  ⟹    (x) =f ′
  30 − 18x − 15 − 15  x2 x2
 (5x − 3)2
  ⟹    (x) =f ′
  15 − 18x − 15  x2
 (5x − 3)2
II.  f(x) =     ⋅  x −−√
3
  + 2 x3
 f(x) =     ⋅      ⟹    (x) = (      +  (         ∗x −−√
3
  + 2 x3
f ′ x −−√ )
′ 3
  + 2 x3
)′
 g(x) =   =    ⟹    (x) = ⋅x −−√ x
1
2 g′
1
2
x −1
1
2
 
 
 
  ⟹    (x) = ⋅g′
1
2
x−
1
2
  ⟹    (x) = ⋅g′
1
2
1
x
1
2
  ⟹    (x) =g′
1
 2  x −−√
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Voltando em temos:
 h(x) =      ⟹ (x) =
3
  + 2 x3
h′
  (3 ⋅ ( + 2) −  3 ⋅ ( + 2  )′ x3 x3 )′
( + 2  x3 )2
 
 
  ⟹    (x) =h′
  0 − 3(3 )  x2
( + 2  x3 )2
  ⟹    (x) =h′
   − 9   x2
( + 2  x3 )2
  ∗,  
 f(x) =     ⋅      ⟹    (x) = (      +  (         ∗x −−√
3
  + 2 x3
f ′ x −−√ )
′ 3
  + 2 x3
)′
     ⟹   (x) = −f ′
1
2  x −−√
  − 9  x2
 ( + 2  x3 )2
Calcule sabendo que é igual a:  (x) g′  g(x) 
I.   ⋅ cosxex
II.  
  1 +   ex
  1 −   ex
III.   ⋅ ln x + 2x2 ex
VI.  
 ln x 
x
Dica 1: (ln x =)′
1
x
Dica 2: ( =ex)′ ex
As respectivas respostas dos itens acima são:
a I.       ⋅ (cosx − senx)ex
QUESTÃO 3 DE 5
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II.    
2ex
(1 + ex)2
III.  
x ln x − (x + 1)(1 + ln )
(x ln x)2
IV .   
1 − ln x
x2
b I.       ⋅ (cos x − sen x)ex
II.    
2ex
(1 − ex)2
III.  (2x ⋅ ln x + x) + (2 )ex
IV .   
1 − ln x
x2
c I.       ⋅ (cos x + sen x)ex
II.    
2ex
(1 − ex)2
III.  
x ln x − (x + 1))(1 + ln x)
(x ln x)2
IV .   
1 + ln x
x2
d I.       ⋅ (cos x − sen x)ex
II.    
2ex
(1 − ex)2
III.  (2x ⋅ ln x + x) + (2 )ex
IV .   
1 + ln x
x2

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Respostas - Questão 3
Para resolver essas derivadas, vamos utilizar as propriedades e regras de derivação, dentre elas, as
principais são as regras do produto e do quociente, a saber: 
 f(x) =    ⟹    (x) =
 n(x) 
 h(x) 
f ′
   (x) ⋅ h(x)  −  n(x) ⋅ (x)  n′ h′
[ h(x)   ]2
f(x) = n(x) ⋅ h(x)   ⟹    (x) = (x) ⋅ h(x)  +  n(x) ⋅ (x)f ′ n′ h′
I. g(x) = ⋅ cos xex
g(x) = ⋅ cos x   ⟹    (x) = ( ⋅ cos x + ⋅ (cos xex g′ ex)′ ex )′
 
 
 
 
  ⟹    (x) = ( ) ⋅ cos x + ⋅ (−sen x)g′ ex ex
  ⟹    (x) = (cos x − sen x)g′ ex
II.  g(x) =  
 1 +  ex
 1 −  ex
 g(x) =      ⟹    (x) =
 1 +  ex
 1 −  ex
g′
  (1 + ⋅ (1 − )  −  (1 + ) ⋅ (1 −   ex)′ ex ex ex)′
 (1 −  ex)2
 
 
 
 
 
  ⟹    (x) =g′
  ( ) ⋅ (1 − )  −  (1 + ) ⋅ ( − )  ex ex ex ex
 (1 −  ex)2
  ⟹    (x) =g′
   (1 − ) + (1 + )   ex ex ex ex
 (1 −  ex)2
  ⟹    (x) =g′
   (1 − + 1 + )  ex ex ex
 (1 −  ex)2
⟹    (x) =g′
  2   ex
 (1 −  ex)2
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Para resolver essa derivada, você deve saber que:
Dessa forma,
III.  g(x) = ⋅ ln x + 2x2 ex
 ( = 2xx2 )′
 (ln x =)′ 1
x
 ( ⋅ ln x = ( ⋅ ln x  +   ⋅ (ln x  = 2x ⋅ ln x + ⋅x2 )′ x2 )′ x2 )′ x2 1
x
 (2   =  (2 ⋅ 2 + 2 ⋅ (   =  2ex)′ )′ ex ex)′ ex
  g(x) = ⋅ ln x  +  2    ⟹    (x) = ( ⋅ ln x   +  (2x2 ex g′ x2 )′ ex)′
 
 
 
  ⟹    (x) = 2x ⋅ ln x + ⋅   +  2g′ x2 1
x
ex
  ⟹    (x) = 2x ⋅ ln x + x + 2g′ ex
IV.  g(x) =
 ln x 
x
 g(x) =    ⟹    (x) =
 ln x 
x
g′
  (ln x ⋅ x − ln x(x   )′ )′
x2
   ⟹    (x) =g′
   ⋅ x  − ( ln x) ⋅ 1  1
x
x2
  ⟹    (x) =g′
  1 − ln x  
x2
Calcule as derivadas das seguintes funções:
I.  f(x) = cos(3x)
QUESTÃO 4 DE 5
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II. 
III. 
IV. 
As respectivas respostas dos itens acima são:
 g(x) = (3 + 1x2 )3
 h(x) = ln( + 3)x2
 k(x) =
x − 1
x + 1
− −−−−
√3
a I.       (x) = sen(3x) ⋅ 3f ′
II.     (x) = −18x(3 + 1g′ x2 )2
III.   (x) =h′
2x
+ 3x2
IV .    (x) =k′
1
   3    ( x − 1
x + 1
)
2
− −−−−−−−−
⎷
3
b I.(x) = −sen(3x) ⋅ 3f ′
II.     (x) = 18x(3 + 1g′ x2 )2
III.   (x) =h′
2x
+ 3x2
IV .    (x) =k′
1
       ( x − 1
x + 1
)
2
− −−−−−−−−
⎷
3
c I.       (x) = −sen(3x) ⋅ 3f ′
II.     (x) = 18x(3 + 1g′ x2 )2
III.   (x) =h′
2x
+ 3x2

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IV .    (x) = ⋅k′
1
   3   ( x − 1
x + 1
)
2
− −−−−−−−−
⎷
3
2
(x + 1)2
d I.       (x) = sen(3x) ⋅ 3f ′
II.     (x) = 18x(3 + 1g′ x2 )2
III.   (x) =h′
2x
+ 3x2
IV .    (x) =k′
1
       ( x − 1
x + 1
)
2
− −−−−−−−−
⎷
3
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 4
Para responder os itens dessa questão, precisamos saber a regra da cadeia e aplicá-la a cada um
deles.
I. f(x) = cos(3x)
Seja Assim, 
 
Além disso, 
 
Portanto,
 u = 3x.     cos(3x) = cos(u)
   = 3
du
dx
 
 
 
 
= co (u) ⋅f ′ s′ u′
= co (u) ⋅f ′ s′ u′
= −sen(3x) ⋅ 3f ′
II.  g(x) = (3 + 1x2 )3
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Seja Assim, 
 
Além disso, 
 
Portanto,
 u = 3 + 1.  x2   (3 + 1 = (ux2 )3 )3
   = 6x
du
dx
 
 
 
 
 
 
= 3(u ⋅g′ )2 u′
= 3(u ⋅g′ )2 u′
= 3(3 + 1 ⋅ 6xg′ x2 )2
= 18x(3 + 1g′ x2 )2
III.  h(x) = ln( + 3)x2
Seja Assim, 
 
Além disso, 
 
Portanto,
 u = + 3.  x2   ln( + 3) = ln(u)x2
   = 2x
du
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
= l (u) ⋅h′ n′ u′
= l (u) ⋅h′ n′ u′
= ⋅h′
1
u
u′
= ⋅ 2xh′
1
+ 3x2
IV.  k(x) =   
 x − 1 
x + 1
− −−−−−−
√3
Para resolver essa derivada, você deve saber que se 
então Caso tenha dúvidas, tente derivar utilizando a regra
da derivada de potência ( ).
 n(a) = = ,  a −−√3 a
1
3
  (a) = .   n′
  1  
     a2
−−√3
 [    =  n ⋅  an ]′ an−1
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Seja Assim, 
 
Ainda, precisamos calcular :
 u = .  
 x − 1 
 x + 1 
  =
 x − 1 
 x + 1 
− −−−−−
√3 u −−√3
 
du
dx
u =
 x − 1 
 x + 1 
Assim,
 
 
 
 
 
 
=u′
 (x − 1 ⋅ (x + 1)  −  (x − 1) ⋅ (x + 1  )′ )′
(x + 1)2
=u′
 1 ⋅ (x + 1)  −  (x − 1) ⋅ 1 
(x + 1)2
=u′
 x + 1 − x + 1 
(x + 1)2
=u′
 2 
(x + 1)2
Por fim,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k(x) =   
 x − 1 
 x + 1 
− −−−−−−
√3
k(x) =   
 x − 1 
 x + 1 
− −−−−−−
√3
k(x) = u −−√3
(x) = ⋅k′ u −−√3 u′
(x) = ⋅k′
1
3  u2
−−√3
u′
(x) = ⋅k′
1
3 ⋅  ( ) x − 1 
 x + 1 
2
− −−−−−−−−−
⎷
3
 2 
(x + 1)2
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Funções
Analise as funções a seguir e determine suas derivadas:
Em relação à essas funções, associe o gráfico de cada função primitiva (antes de derivar) ao de sua função
derivada. Os gráficos das funções primitivas vão de à . Os outros gráficos são das funções derivadas.
Assim, no gráfico das derivadas você deve selecionar o número do gráfico da sua função primitiva.
Dica: Por exemplo, se você acha que o gráfico é referente à então você vai analisar os
quatro últimos gráficos (de à ) e palpitar sobre qual se refere à . Nesse gráfico que você acha
que representa marque a opção pois assim, associará o gráfico de com o de .
Para a análise desses gráficos, não utilize calculadora gráfica, pois assim, você pode observar melhor o
comportamento de cada um.
g(x) = 1
x
m(x) = ln x
n(x) = ex
o(x) = 2x + 1− −−−−√
 I   IV
 I   m(x) = ln x,  
 a   d   (x)m′
  (x),  m′  I,    m(x)    (x)m′
I
II
III
IV
QUESTÃO 5 DE 5
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Gráficos
a
 
b
III 
IV 



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c
 
d
I 
II 


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Respostas - Questão 5
Nesse quadro encontram-se as respostas para os gráficos das funções. Primeiramente, vamos
analisar detalhadamente cada gráfico, pois acreditamos que se você errou essa questão, a
probabilidade de ter dificuldades com gráficos é grande. Mas, caso você não tenha interesse nessas
análises e só queria saber as correspondências corretas, veja quais são:
Agora, se o seu caso é o da pessoa que tem dificuldades para analisar gráficos, fique tranquilo(a) que
nunca é tarde demais! Vamos verificar a derivada de cada função? 
Como o enunciado do exercício disse, os gráficos de I à IV são das funções dadas (
 e ). Então vamos analisar cada uma delas, juntamente com suas
derivadas.
Gráfico I: Gráfico :  n(x) = .  ex  c   (x) = .  n′ ex
Gráfico II: Gráfico :  g(x) = .  
1
x
 b   (x) =g′ −1
x2
Gráfico III: Gráfico :  o(x) =  2x + 1  − −−−−−√  a   (x) =  o′
1
   2x + 1 − −−−−−√
Gráfico IV: Gráfico :  m(x) = ln x.    d   (x) =m′
1
x
g(x),  m(x),  n(x)   o(x)
 g(x) =
1
x
 
 
 g(x) = =
1
x
x−1
(x) = −1 ⋅g′
1
   x2
Vamos analisar o domínio e contradomínio dessas funções? 
Veja bem, em temos que quando é positivo, também é.
Se é negativo, também é. Quando é muito grande (em módulo)
positivamente, ou seja, se tende a infinito positivo, então é muito
pequeno (se aproxima de zero pela direita - por valores positivos). Quando é
muito pequeno (mas grande em módulo), ou seja, se tende a infinito
negativo, então é muito pequeno e negativo (se aproxima de zero pela
esquerda). 
Assim, para essa função, podemos descartar os gráficos I, III e IV. Assim,
descobrimos que o gráfico de é o II. E o de sua derivada?
 g(x) = y = ,
1
x
 x   y 
 x   y   x 
 x   y 
 x 
 x 
 y 
 g(x) =  
1
x
Note que a função derivada de é 
Independente do sinal de sempre será positivo e, dessa forma, 
 sempre será negativo. Ora, o único gráfico das derivadas (de 
à ) que só tem valores negativos para é o gráfico 
Logo, o gráfico deve ser relacionado ao gráfico II.
 g(x)    (x) = −1 ⋅ .g′
1
   x2
 x,     x2
  (x) =  g′
−1
   x2
 a 
 d   y   b.
 b 
31/10/2021 17:37 Matemática - Cálculo
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 m(x) = ln x
Vimos anteriormente que se então . O gráfico
dessa derivada, é igual ao gráfico de e, assim, no gráfico das derivadas
fica fácil localizá-lo (letra ). Vamos encontrar dentre os gráficos de I à IV, qual
o de . Primeiramente, devemos lembrar da definição de
logaritmo:
 m(x) = ln x,     (x) =m′
1
x
 g(x) 
 d
 m(x) = ln x 
 lo  b = c  ⟺    = bga ac
O logaritmo natural (ln) é, por definição, o logaritmo na base : e
 lnx = d  ⟺    lo  x = d  ⟺    = xge ed
Como é diferente de 0, né? Além disso, em não
pode ser negativo, pois não existe número real tal que resultará nesse
 negativo. Disso, concluímos que o gráfico da função é o IV.
Assim, relacionamos o gráfico IV ao gráfico .
 e    = 1,  e0  y = ln x,   x 
 d,      ed
 x   m(x) = ln x
 d
 n(x) = ex
Vimos anteriormente que se não pode ser negativo, pois
não existe número real tal que resultará nesse negativo. Disso,
concluímos que o gráfico dessa função só passa pelos valores positivos de .
Além disso, quando . Dos gráficos que sobraram, podemos dizer
que o gráfico I se refere à 
 
Como a derivada de é então os dois gráficos são iguais,
restando-nos associar I à 
 n(x) = = f,   f ex
 x,      ex  f 
 y
 x = 0,  y = 1
 n(x) = .ex
 n(x)    (x) = ,  n′ ex
 c.
 o(x) = 2x + 1 − −−−−−√
De cara, quando nos deparamos com uma raiz quadrada (no conjunto dos
números reais), sabemos que não existe saída negativa. Ou seja, 
 e . Para ser igual a zero, 
também tem que ser, ou seja, deve ser igual a . Podemos visualizar
facilmente isso no gráfico II. 
 
A derivada dessa função é Como o denominador não
pode ser negativo, sempre será negativa (veja no gráfico ).
 y = ≥ 0 2x + 1 − −−−−−√  2x + 1 ≥ 0  y   2x + 1 
 x  = 0, 512
  (x)= .o′
−1
 2x + 1 − −−−−−√
  (x) o′  b
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