CCEC0002 - Condições de equilíbrio Cargas

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Disciplina CCEC0002 – Análise de Estruturas I. Prof. Felipe Alexander Vargas Bazán 
Universidade Federal do Maranhão 
CAPÍTULO 2 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. CARGAS 
1 Condições de equilíbrio 
• Para que um corpo, submetido a um sistema de forças, esteja em equilíbrio, é necessário que essas 
forças não provoquem qualquer tendência de translação ou rotação ao corpo. 
• Como a tendência de translação é dada pela resultante 𝐑 das forças e a tendência de rotação em 
torno de um ponto O qualquer é dada pelo momento resultante 𝐌𝑂𝑅 das forças em relação a esse 
ponto, a condição necessária e suficiente para que um corpo, submetido a um sistema de forças, 
esteja em equilíbrio é dada pelas equações: 
� 𝐑 = 0𝐌𝑂𝑅 = 0
 ⇒ � ∑𝐅 = 0∑𝐌𝑂 = 0
 (2.1) 
onde 𝐑 é a resultante das forças e 𝐌𝑂𝑅 seu momento resultante em relação a qualquer ponto do espaço. 
• Como 𝐑 = (∑𝐹𝑥) 𝐢 + �∑𝐹𝑦� 𝐣 + (∑𝐹𝑧) 𝐤 e 𝐌𝑂𝑅 = (∑𝑀𝑥) 𝐢 + �∑𝑀𝑦� 𝐣 + (∑𝑀𝑧) 𝐤 , têm-se as seis 
equações universais da estática, que regem o equilíbrio de um sistema de forças no espaço: 
�
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝑀𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑦 = 0
∑𝐹𝑧 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0
 (2.2) 
1.1 Caso particular: sistema de forças paralelas no espaço 
• Seja o sistema de forças paralelas no espaço da Fig. 2.1. Neste caso, as equações ∑𝐹𝑥 = 0, ∑𝐹𝑦 = 0 
e ∑𝑀𝑧 = 0 resultam em identidades. Assim, este caso é regido apenas pelas seguintes equações: 
�
∑𝑀𝑥 = 0
∑𝑀𝑦 = 0
∑𝐹𝑧 = 0
 (2.3) 
 
Fig. 2.1. Sistema de forças paralelas no espaço. 
• Alternativamente, pode ser utilizado para o estudo do equilíbrio deste sistema de forças o 
seguinte conjunto de equações (Fig. 2.2): 
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�
∑𝑀𝑥 = 0
∑𝑀𝑦 = 0
∑𝑀𝑡 = 0
 (2.4) 
onde a terceira equação representa o somatório de momentos nulo em relação a um eixo t (Fig. 2.2), 
situado sobre o plano xy (plano perpendicular à linha de ação das forças paralelas), mas não 
concorrente com os eixos x e y em O. 
 
Fig. 2.2. Sistema de forças paralelas – momentos em relação a um eixo t. 
• Este tipo de sistema de forças aparece no estudo das grelhas. 
1.2 Caso particular: sistema de forças coplanares 
• Seja o sistema de forças situadas no plano xy indicado na Fig. 2.3. Neste caso, as condições de 
equilíbrio ficam reduzidas ao seguinte conjunto de três equações: 
�
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝑀𝑂 = 0
 (2.5) 
onde MO é o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O arbitrário, situado no plano das 
forças. 
 
Fig. 2.3. Sistema de forças coplanares. 
• As duas equações de projeções ∑𝐹𝑥 = 0 e ∑𝐹𝑦 = 0 podem ser substituídas por duas equações de 
somatório de momentos nulo em relação a dois outros pontos O′ e O″ do plano xy, desde que O, O′ 
e O″ não sejam colineares (Fig. 2.4): 
�
∑𝑀𝑂 = 0
∑𝑀𝑂′ = 0
∑𝑀𝑂″ = 0
 (2.6) 
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Fig. 2.4. Sistema de forças coplanares – momentos em relação a outros dois pontos. 
• Alternativamente, as duas equações de projeções ∑𝐹𝑥 = 0 e ∑𝐹𝑦 = 0 podem ser substituídas por 
uma equação de somatório de momentos nulo em relação ao ponto O′ e outra de somatório de 
projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular à reta OO′ (Fig. 2.5): 
�
∑𝑀𝑂 = 0
∑𝑀𝑂′ = 0
∑𝐹𝑡 = 0
 (2.7) 
 
Fig. 2.5. Sistema de forças coplanares – momento em relação a um ponto e projeções segundo eixo t. 
• O caso de sistema de forças coplanares é frequente na análise estrutural, correspondendo a 
estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano. 
1.2.1 Caso particular de sistema de forças coplanares: forças concorrentes 
• Seja o sistema de forças da Fig. 2.6, todas coplanares e concorrentes em um mesmo ponto O. Neste 
caso, permanecem apenas as duas equações de projeções: 
�
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
 (2.8) 
 
Fig. 2.6. Forças coplanares e concorrentes em um mesmo ponto. 
• Este caso aparece no estudo do equilíbrio dos nós de uma treliça plana. 
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1.2.2 Caso particular de sistema de forças coplanares: forças paralelas 
• Seja o sistema de forças da Fig. 2.7, todas coplanares e paralelas entre si. Neste caso, a equação 
∑𝐹𝑥 = 0 resulta em uma identidade, ficando o seguinte conjunto de equações: 
�
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝑀𝑂 = 0
 (2.9) 
 
Fig. 2.7. Forças coplanares e paralelas entre si. 
• A equação ∑𝐹𝑦 = 0 pode ser substituída por uma equação de somatório de momentos nulo em 
relação a um segundo ponto O′, desde que a reta OO′ não seja paralela à direção das forças: 
�
∑𝑀𝑂 = 0
∑𝑀𝑂′ = 0
 (2.10) 
• Este caso aparece no estudo das vigas. 
2 Graus de liberdade e apoios 
2.1 Graus de liberdade 
• A ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado ponto, é igual à: 
(i) ação de sua força resultante, que provoca uma tendência de translação, e à 
(ii) ação de seu momento resultante em relação ao ponto, que provoca uma tendência de rotação. 
• Portanto, uma estrutura no espaço tem seis graus de liberdade (três translações e três rotações). 
• Estes seis graus de liberdade precisam ser restringidos, a fim de evitar toda tendência de 
movimento da estrutura, permitindo seu equilíbrio. 
• Tal restrição é dada por apoios, os quais impedem as tendências possíveis de movimento, através 
do surgimento de reações destes apoios sobre a estrutura nas direções dos movimentos 
impedidos (isto é, dos graus de liberdade restringidos). 
• As reações de apoio opõem–se às cargas aplicadas à estrutura. Este conjunto de cargas e reações 
forma um sistema de forças em equilíbrio, regido pelo grupo de equações apropriado. 
2.2 Apoios 
• Um modelo estrutural tem condições de contorno em termos de deslocamentos e rotações que 
representam as ligações do modelo com o meio externo, o qual pode ser as fundações da estrutura 
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ou outra estrutura conectada à estrutura sendo modelada. A ligação de um modelo estrutural com 
o meio externo é considerada por meio de apoios, que representam condições de suporte nos 
pontos de contato externo. 
• Os apoios têm a função de restringir graus de liberdade das estruturas, provocando reações nas 
direções dos movimentos impedidos. 
• Os apoios são classificados de acordo com o número de graus de liberdade permitidos (ou do 
número de movimentos impedidos). 
• No caso de estruturas no espaço, os apoios podem ser, então, de seis tipos diferentes, isto é, 
podem permitir cinco, quatro, três, dois, um ou nenhum grau de liberdade. 
2.2.1 Estruturas planas carregadas no próprio plano 
• Para este caso, existem três graus de liberdade. Supondo a estrutura situada no plano xy (Fig. 2.8), 
os graus de liberdade são: 
(i) translação na direção x, 
(ii) translação na direção y, e 
(iii) rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano xy (eixo z). 
 
Fig. 2.8. Caso de estruturas planas carregadas no próprio plano. 
• Os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos são os seguintes. 
(a) Apoio do 1º gênero ou rolete 
Neste tipo de apoio (Fig. 2.9), apenas a translação em uma direção é impedida, permitindo a 
translação na direção perpendicular a ela, assim como a rotação. Na direção do único movimento 
impedido, aparecerá uma reação de apoio R. 
 
Fig. 2.9. Apoio do 1º gênero. 
(b) Apoio do 2º gênero, articulação ou rótula 
Neste tipo de apoio (Fig. 2.10), todas as translações possíveis são impedidas, permanecendo livre 
apenas a rotação. Na direção das translações impedidas, aparecerão as reações H e V, cuja 
composição vetorial dará a reação de apoio resultante no apoio. 
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Fig. 2.10. Apoio do 2º gênero. 
(c) Apoio do 3º gênero ou engaste 
Neste tipo de apoio (Fig. 2.11), todos os movimentos possíveis são impedidos. Na direção de cada 
um dos movimentos impedidos (duas translações e uma rotação), aparecerão as reações H, V e M. 
 
Fig. 2.11. Apoio do 3º gênero. 
3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático 
• Uma estrutura que pode ter suas reações de apoio e os esforços internos em todas as seções de 
suas barras determinados apenas por condições de equilíbrio (ou seja, apenas pela estática) é 
denominada estrutura estaticamente determinada ou estrutura isostática (Fig. 2.12). 
 
Fig. 2.12. Pórtico plano isostático. 
• Uma estrutura que não pode ter suas reações de apoio e os esforços internos em todas as seções 
de suas barras determinados apenas pelas condições de equilíbrio é denominada estrutura 
estaticamente indeterminada ou estrutura hiperestática (Fig. 2.13). 
 
Fig. 2.13. Pórtico plano hiperestático. 
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• Uma estrutura cujos vínculos externos e internos são insuficientes para manter o equilíbrio 
estático da estrutura e/ou de suas partes é denominada estrutura hipostática e é instável (Fig. 
2.14). 
 
Fig. 2.14. Pórtico plano hipostático. 
4 Cargas 
• Na análise estrutural, podem ocorrer cargas com diferentes leis de distribuição. 
4.1 Cargas concentradas 
• Considere-se, por exemplo, uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre uma 
ponte (Fig. 2.15). 
 
Fig. 2.15. Roda de caminhão sobre ponte: idealização de carga concentrada. 
• A reação P é descarregada ao longo da área de contato da roda com a ponte (caracterizada por 𝑎), 
que é muito pequena, mas não é nula. A rigor, portanto, não é aplicada uma carga concentrada P 
na estrutura; é aplicada uma carga distribuída, mas segundo uma área tão pequena que pode ser 
considerada nula em presença das dimensões da estrutura. 
• As cargas concentradas são, assim, uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo 
áreas tão pequenas (em relação às dimensões da estrutura) que podem ser consideradas nulas. 
4.2 Cargas distribuídas 
 
Fig. 2.16. Exemplo de carregamento distribuído sobre uma estrutura. 
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• Seja uma estrutura E (Fig. 2.16), que suporta um corpo C de peso específico 𝛾. Este peso introduz 
na estrutura E um carregamento, distribuído e contínuo. 
• O volume do corpo que carrega um trecho de comprimento 𝑑𝑠 da estrutura é 𝑆 𝑑𝑠, onde 𝑆 é a área 
da seção determinada em C por um plano perpendicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume 
é 𝑑𝑃 = 𝛾 𝑆 𝑑𝑠. 
• A taxa de distribuição de carregamento ao longo do eixo da estrutura é 𝑞(𝑠) = 𝑑𝑃
𝑑𝑠
= 𝛾 𝑆, variando 
proporcionalmente com a variação da área 𝑆 (Fig. 2.17). 
 
Fig. 2.17. Carregamento distribuído ao longo do eixo da estrutura. 
• Os tipos mais usuais de cargas distribuídas na prática são as cargas uniformemente distribuídas 
(𝑆 = constante) e as cargas triangulares (casos de empuxos de terra e água), indicadas na Fig. 2.18. 
 
Fig. 2.18. Carga uniformemente distribuída e carga triangular. 
• Com menos frequência, ocorrem carregamentos parabólicos e, em casos ainda mais raros, 
carregamentos de forma totalmente aleatória. 
• A fim de possibilitar o cálculo de reações de apoio e esforços internos em estruturas submetidas a 
carregamentos distribuídos, é necessário determinar a resultante do carregamento distribuído, em 
intensidade, direção (linha de ação) e sentido. 
• Como uma carga distribuída pode ser encarada como uma soma infinita de cargas concentradas 
infinitesimais, 𝑞(𝑠) 𝑑𝑠, a resultante do carregamento distribuído é igual a (Fig. 2.19): 
𝑅 = ∫ 𝑞(𝑠) 𝑑𝑠𝐵𝐴 , ou seja, 𝑅 é igual à área Ω limitada entre a curva que define a lei de variação do 
carregamento e o eixo da estrutura. 
 
Fig. 2.19. Resultante de um carregamento distribuído. 
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• Para obter-se a posição desta resultante, deve-se notar que, como ela é a força capaz de substituir 
estaticamente o carregamento distribuído atuante, deverá produzir, em relação a qualquer ponto, 
o mesmo momento que o das forças das quais ela é resultante. Assim, chamando de �̅� a distância 
da resultante a um ponto genérico 𝑂, tem-se: 
Momento resultante em relação ao ponto genérico 𝑂 = 𝑅 �̅� = �̅� ∫ 𝑞(𝑠) 𝑑𝑠𝐵𝐴 
Soma dos momentos das componentes em relação ao mesmo ponto 𝑂 = ∫ (𝑞(𝑠) 𝑑𝑠) 𝑠𝐵𝐴 
Igualando, obtém-se: 
�̅� =
∫ 𝑞(𝑠) 𝑠 𝑑𝑠𝐵𝐴
∫ 𝑞(𝑠) 𝑑𝑠𝐵𝐴
 
• Pela expressão obtida para �̅�, esta distância pode ser interpretada como a razão entre o momento 
estático da área Ω em relação ao eixo 𝑧 e o valor Ω desta área, ou seja, �̅� é a distância do centro de 
gravidade da área Ω ao eixo 𝑧. 
• Portanto, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área compreendida entre a linha 
que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de 
aplicação o centro de gravidade da referida área. 
4.3 Cargas-momento 
• As cargas-momento ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na estrutura, 
mas têm importância fundamental como ferramenta de resolução das estruturas hiperestáticas. 
• Uma carga-momento é caracterizada pela sua intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação 
(Fig. 2.20). 
 
Fig. 2.20. Carga-momento. 
• Podem ocorrer, também, cargas-momento distribuídas. Embora sua ocorrência seja pouco 
frequente na análise estrutural das estruturas compostas por barras, tais cargas são regidas pelos 
mesmos princípios obedecidos pelas demais. 
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	1 Condições de equilíbrio
	1.1 Caso particular: sistema de forças paralelas no espaço
	1.2 Caso particular: sistema de forças coplanares
	1.2.1 Caso particular de sistema de forças coplanares: forças concorrentes
	1.2.2 Caso particular de sistema de forças coplanares: forças paralelas
	2 Graus de liberdade e apoios
	2.1 Graus de liberdade
	2.2 Apoios
	2.2.1 Estruturas planas carregadas no próprio plano
	3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático
	4 Cargas
	4.1 Cargas concentradas
	4.2 Cargas distribuídas
	4.3 Cargas-momento