Estrut Isostatica_Manoel Junior 2020

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ESTÁTICA 
Introdução às Estruturas 
Ano Letivo 2020 
Manoel Junior 
1 
ESTRUTURAS ISOSTATICAS 
ISO 
REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
CONCEITOS BÁSICOS 
 FORÇA 
Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o 
estado de movimento ou provocar deformação em um corpo. É uma 
grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão 
da física: 
 
onde: 
F = força 
m = massa do corpo 
a = aceleração provocada 
 
Sendo força um elemento vetorial se caracteriza por: 
Direção; sentido; módulo ou intensidade e ponto de aplicação 
F = m.a 
2 
 Exemplo 1 : 
 efeito: movimento 
F = m . a 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 : PESO DOS CORPOS 
 
 
 O peso é uma força oriunda 
da ação da aceleração da gravidade, 
tendo características definidas: 
 direção - vertical 
 sentido - de cima para baixo 
 módulo - P = m.g (onde (g) representa a aceleração da 
gravidade) 
 ponto de aplicação - centro de gravidade do corpo 
3 
 UNIDADES 
 
N - Newton kN -kiloNewton kgf -kilograma força 
 
1 kgf = 10 N 1 kN = 10³ N 1 kN = 10² kgf 
1 kN = 10³ N = 10² kgf 
 PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO 
 
 A toda a ação corresponde uma reação igual e contrária (3ª 
lei de Newton). 
 
Podemos observar que as duas forças dos exemplos tem pontos 
de aplicação diferentes e portanto causam efeitos diferentes, 
cada uma atuando no seu ponto de aplicação. 
4 
 CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS 
 
 As forças são classificadas em forças de contato (ex: locomotivas, 
musculares, etc..) e de ação à distância (ex: elétricas, gravitacionais, 
magnéticas, etc...). 
 
Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo: 
5 
 FORÇAS EXTERNAS: atuam externamente em uma estrutura e 
podem ser: 
 
 ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer 
ponto de uma estrutura . Correspondem às cargas as quais 
estaremos submetendo a estrutura, normalmente conhecidas ou 
avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio 
das estruturas, etc... 
 
 reações : São forças que surgem em determinados pontos de uma 
estrutura (vínculos ou apoios), sendo consequência das ações 
portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se 
equivalerem as ações. 
 
 FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos 
materiais que formam o corpo rígido (solicitações internas). Se o corpo 
rígido é estruturalmente composto de diversas partes, as forças que 
mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas 
(forças desenvolvidas em rótulas). 
6 
 DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS 
 
 Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções . 
 
 Normalmente usamos como referência três direções ortogonais entre si, 
escolhidas de acordo com o problema. 
 Qualquer força em um plano pode ser decomposta segundo duas 
direções. Normalmente nos interessam duas direções 
perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com o 
problema. 
 Vamos nos ater ao caso plano que é o mais usual 
7 
 Exemplo: 
(F) - força a ser decomposta 
(x,y) - direções ortogonais escolhidas como referência 
(a) - ângulo formado por F em relação ao eixo x. 
(Fx, Fy)- componentes da força nas direções dos eixos x e y 
 Por trigonometria: 
 
Fx = F . cos a Fy = F . sen a Fy/Fx = tg a 
 
A força F decomposta também pode ser chamada de resultante da soma 
vetorial de suas componentes Fx e Fy . 
 Atenção: Observe que soma vetorial ou geométrica não corresponde a 
soma algébrica. 
8 
 MOMENTO DE UMA FORÇA 
 MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um 
ponto) 
 
 Definição : Chama-se momento de uma força F em relação à um ponto "0", 
o produto vetorial do vetor OA pela força F ,sendo "A" um ponto qualquer 
situado sobre a reta suporte da força F . Logo também é um vetor, e para 
a sua caracterização precisamos determinar o seu módulo, direção e 
sentido. 
O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado 
sentido em relação ao ponto considerado. O vetor momento apresenta as 
seguintes características: 
9 
 Direção : perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor AO. 
 
 Sentido : regra da mão direita. 
 
 Módulo: produto do módulo da força F pela menor distancia do ponto "0" a 
reta suporte da força. 
 
 Ponto de aplicação : ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento. 
|Mo|=|F| .|AO|.senα 
Regra da mão direita: 
OBS 1 : posiciona-se os dedos da mão direita no 
sentido da rotação da força em torno do ponto O e 
o polegar indica o sentido do momento. 
OBS 2:. a distância d que representa o módulo do vetor OA é 
também chamada de braço de alavanca. Ela é a menor 
distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao 
qual se calcula o momento , isto é, pode ser obtida pela 
perpendicular à reta que passa pelo ponto. 
10 
OBS 3 : Podemos representar o sentido do momento no plano usando convenções 
simples Podemos 
 Podemos também convencionar sinais + ou - para cada um dos sentidos, 
de acordo com a nossa escolha. 
 MOMENTO AXIAL ( momento de uma força em relação a um eixo) 
 DEFINIÇÃO: 
 
 É o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar 
produzido pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser 
representado por uma grandeza escalar quando se adota uma convenção 
para a orientação do eixo. 
 
 É o momento polar produzido pela projeção ortogonal da força sobre 
uma reta perpendicular ao plano do eixo, em relação a este eixo 11 
Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo 
Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo 
12 
Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer) 
OBSERVAÇÃO: 
O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a 
força e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos). 
13 
 UNIDADE DE MOMENTO 
 
 Sendo o momento produto de uma força por uma distancia, a unidade desta 
grandeza é o produto de uma unidade de força por uma unidade de 
distancia. 
 
Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc 
 SISTEMA DE FORÇAS 
 É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou 
em um ponto material. 
14 
 PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE OU FORÇAS EQUIVALENTES: 
 Este princípio estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de 
um corpo rígido permanecem inalteradas se uma força F , que atua em um 
dado ponto do corpo rígido é substituída por uma força F ' de mesmo 
módulo, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que 
as duas tenham a mesma linha de ação (mesma reta suporte). 
 As forças citadas tem o mesmo efeito sobre o corpo e são chamadas de 
equivalentes. 
Exemplo: 
15 
 RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES: 
 A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma 
geométrica à partir do ponto de forças equipolentes as que constituem o 
sistema, formando um polígono. 
Obs: Forças equipolentes são aquelas que tem mesmo módulo, mesma 
direção e mesmo sentido. 
 Resultante: Origem no ponto escolhido como referência e extremidade com 
a última força. 
Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de 
referência, podemos determinar a resultante de uma forma mais simples, 
obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções 
de todas as forças sobre este eixo. 
 Exemplo 1: Soma geométrica 
16 
 Exemplo 2: Soma geométrica 
 OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a 
resultante é nula. 
 Exemplo 3 : Forças concorrentes em um ponto de um plano 
17 
A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano pode ser 
calculada através da decomposição destas forças em relação à duas direções 
ortogonais escolhidas. 
 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando 
simultaneamente em um corpo é igual a somado efeito produzido 
por cada uma das forças atuando isolada" 
A partir deste princípio podemos dizer que: 
 
1. O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica 
dos momentos polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada 
uma das forças atuando isolada. 
 
2. O momento axial produzido por um sistema de forças atuando 
simultaneamente em um corpo é igual a soma algébrica dos momentos 
axiais, produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças 
 atuando isolada. 18 
 BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS 
CONCEITO 
Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças 
paralelas de módulos iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de 
forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de módulo igual 
ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas. 
CONCLUSÃO: O binário é um vetor livre pois seu efeito 
independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer 
ponto do plano o binário tem o mesmo valor. 
19 
 EQUIVALENCIA DE BINÁRIOS 
 Dois binários são equivalentes quando tem o mesmo momento polar 
resultante 
Exemplo 1: convenção (sentido anti-horário positivo) 
Superposição de efeitos: 
 
 Se quizermos o efeito de dois binários atuando simultaneamente: 
 
M = M1 + M2 = 240 kN.m 
20 
 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS À UM PONTO 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par , onde 
o vetor é a resultante das forças , localizada à partir de um ponto 
arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante do sistema 
em relação ao mesmo ponto. 
Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado. 
Exemplo 2 : Reduzir o sistema acima ao ponto A. 
21 
 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS 
Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço. 
Se tomarmos 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz 
necessário por uma questão de classificação e organização de método, 
podemos dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de movimento: 
 
 Translação segundo as três direções de referência. 
 Rotação em torno das três direções de referência. 
Dizemos que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças 
atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto é, sua 
resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto é nulo. 
22 
Como costuma-se trabalhar com as forças e momentos referenciadas a um 
sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 
equações abaixo são satisfeitas: 
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 
23 
O que é uma Estrutura? 
 Estrutura: é a parte ou o 
conjunto das partes de uma 
construção destinada a 
resistir aos carregamentos 
atuantes. 
 
NBR 6118/2003 
 “o objetivo da análise 
estrutural é determinar os 
efeitos das ações em uma 
estrutura, com a finalidade 
de efetuar verificações de 
estados limites últimos 
(ELU) e de serviço (ELS).” 
24 
25 
 Elementos Lineares 
 
São elementos estruturais que 
apresentam uma de suas dimensões 
predominando sobre as outras duas. 
Classificação dos Elementos Estruturais 
26 
Classificação dos Elementos Estruturais 
 Elementos de Superfície ou Laminares 
São elementos estruturais que 
apresentam duas de suas dimensões 
predominando sobre a terceira. 
27 
Elementos de Volume 
São elementos estruturais que 
apresentam as três dimensões na 
mesma ordem de grandeza. 
Classificação dos Elementos Estruturais 
28 
 Cargas Permanentes: determinadas com boa 
precisão 
 
 Peso próprio da estrutura 
 Peso dos revestimentos 
 Peso das paredes 
 
 Cargas Variáveis: estimadas por normas 
 
 Peso de ocupação das pessoas 
 Peso dos mobiliários 
 Peso de veículos 
 Força do vento 
 Forças que Atuam nas Estruturas 
29 
 Comportamento dos materiais estruturais 
Em Estática admite-se que um corpo/estrutura tenha sempre um comportamento 
perfeitamente elástico. 
30 
3
1 
32 
33 
34 
35 
36 
Graus de Liberdade de um Corpo 
 Graus de liberdade de um corpo: é o número de parâmetros 
necessários e suficientes para determinar a sua posição no espaço. 
Obs: um corpo no espaço tem 6 graus de liberdade - 3 rotações e 3 translações - 
que são os parâmetros necessários para definir a sua posição relativamente a um 
sistema de eixos ortogonais. 
37 
O número de graus de liberdade é de 3, sendo 2 translacções nas 
direcções dos eixos dos XX e dos ZZ e 1 rotação em torno do eixo dos 
YY. 
Qualquer outra tendência de translacção ou rotação obrigaria o corpo a sair do plano que 
contém as forças, o que não é de considerar por implicar a existência de solicitações fora do 
referido plano. 
Na prática, o caso mais comum é a totalidade das forças actuarem num mesmo 
plano, por exemplo o plano XZ. 
38 
VINCULAÇÃO ESTRUTURAL 
 Articulação entre Chapas 
 São as ligações 
internas que 
unem as chapas. 
39 
Articulação entre Barras 
 São as ligações internas através das 
quais são unidas as barras; 
ligações 
Apoios 
40 
 Tipos de Apoios 
 Apoio Móvel (ou Apoio Simples, ou Apoio sobre Rolamentos) 
é composto essencialmente por uma base superior que pode rodar 
em relação a base inferior através de uma rótula cilíndrica. Este 
conjunto pode por sua vez deslocar-se como um todo ao longo da 
base (solo), graças aos rolamentos colocados entre esta superfície e 
a base inferior. 
41 
 Apoio Fixo (ou Apoio Duplo) 
Difere do apoio móvel pelo fato da base inferior ser fixa ao solo. 
 Apoio Encastrado (ou Encastramento) 
Suprime os três graus de liberdade do corpo possíveis no plano XZ. 
Para que a primeira representação esquemática seja correta, é necessário que a 
distância l0, indicada na figura, seja muito pequena de modo que o elemento 
estrutural naquela distância possa ser considerado como perfeitamente rígido. 42 
 Apoio de 1º Gênero 
43 
 Apoio de 2º Gênero 
44 
 Apoio de 3º Gênero 
45 
Exemplo Prático 
 uma ponte, onde é utilizado uma placa de neoprene na 
junção entre o pilar e a ponte. 
46 
Exemplo Prático 
 uma ponte, onde é utilizado uma placa de neoprene na 
junção entre o pilar e a ponte. 
47 
Exemplo Prático 
 uma ponte, onde é utilizado uma placa de neoprene na 
junção entre o pilar e a ponte. 
48 
Exemplo Prático 
 uma ponte de Portugal, onde é utilizado uma placa de 
neoprene na junção entre o pilar e a ponte. 
49 
 Rolete sustentando uma viga de 
concreto. 
Exemplo Prático 
50 
 Sistema articulado sustentando 
uma viga de concreto. 
Exemplo Prático 
51 
Exemplo Prático 
 Apoio fixo de um viga num pilar de 
encaixe. 52 
Exemplo Prático 
 Apoio fixo de um viga num pilar de 
encaixe. 53 
Exemplo Prático 
 Apoio fixo de uma estrutura pré-fabricada 
de concreto. Console. 
54 
Exemplo Prático 
 Engaste em uma estrutura metálica, este 
tipo de apoio não permite translação e 
rotação. 
55 
Exemplo Prático 
 Engaste em uma estrutura de concreto. 56 
 Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas 
distribuídas ou combinação de ambas. Quando se trabalha com cargas 
distribuídas, pode-se substituí-la por uma carga concentrada, e assim 
facilitar bastante os demais cálculos. 
 
Tipos de Carregamento 
 
 Carga Concentrada 
Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em 
um único ponto sobre a estrutura, sendo geralmente 
representado em kilograma-força(kgf) ou Newton(N). 
57 
 Carga Distribuída 
Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por 
unidade de comprimento, geralmente representado em kilograma 
força por metro (kgf/m) ou Newton por centímetro (N/cm). Quando 
a carga por unidade de comprimento possui valor constante, é 
atribuído o nome de carga uniformemente distribuída. 
Exemplo de Carga Uniformemente Distruibuída 
 
 
Exemplode Carga Uniformemente Distruibuída. 
58 
 Viga em balanço 
Consiste de uma viga que possui um apoio engastado, não sendo livre a sua rotação. 
 Tipos de Vigas 
 Viga Bi-apoiada 
 
Consiste de uma viga apoiada em dois apoios articulados, sendo um fixo e o outro 
móvel. 
 Viga com extremidade em balanço 
 Consiste de uma viga com extremidade em balanço, sendo articulada em um apoio 
fixo e um apoio móvel. 
59 
 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS SISTEMAS 
ESTRUTURAIS PLANOS ISOSTÁTICOS 
Estruturas isostáticas 
 
 Estruturas com vínculos externos em número 
necessário e suficiente para sua determinação 
geométrica, ou seja, com as equações de 
equilíbrio é possível a determinação das forças 
externas incógnitas (reativas) . 
60 
Tipos de cargas externas 
 Cargas distribuídas: carregamento distribuído ao 
longo do comprimento de uma barra, na direção ou 
perpendicularmente ao seu eixo axial. 
 
 
 
 
 Cargas concentradas: carregamento distribuído em 
um comprimento considerado pequeno em relação ao 
comprimento de uma barra, podendo ser considerado 
como praticamente concentrado em um ponto. 
 
61 
Equações de equilíbrio no plano 
 
Definição: Um sistema estrutural, submetido a 
carregamentos conhecidos, mantém-se em 
equilíbrio devido às reações (incógnitas) 
correspondentes aos vínculos externos que 
restringem os graus de liberdade (movimentos) 
deste sistema. 
 
Reações de apoio: Dado o corpo rígido (chapa) 
qualquer contido no plano Oxy, sujeito a 
carregamento externo conhecido, para o seu 
equilíbrio deve-se ter: 
62 
Estrutura de chapa isostática 
 
Número de vínculos externos: 
 bext = 3.c = 3.1 = 3 
 
3 reações de apoio incógnitas 
 
Equações de equilíbrio 
 












0
0
0
z
y
x
M
F
F
x 
y z 
63 
 Determinação de cargas atuantes em vigas 
Considerando o modelo arquitetônico, o exercício tem 
por objetivo determinar a ação das cargas ativas e 
reativas atuantes nas vigas, apresentando os resultados 
em diagramas de corpos livre. 
O modelo arquitetônico apresentado é um módulo 
integrante de um Edifício composto por quatro 
módulos. Para fins didático será analisado 
individualmente. 
64 
65 
 Características construtivas 
 Sistema estrutural de massa composto por pilares , vigas e lajes 
executados em concreto armado. 
 As paredes externas são de tijolo maciço, e as internas de tijolo furado. 
Método de resolução do exercício 
1º Passo: Analisar o modelo arquitetônico 
 
 Verificar a função dos espaços, ou seja , verificar qual é o uso do espaço 
 arquitetônico, pois, em função do uso do espaço é que se determina 
 a carga acidental; 
66 
 Verificar as características dos elementos estruturais; 
 
 Verificar a dimensão dos elementos; 
 
 Verificar os materiais de construção dos elementos. 
 
Obs: É em função dessas características que se determina a carga 
 permanente do elemento 
2º Passo: Traçar o modelo estrutural 
 
 Ele consiste na identificação dos elementos estruturais e dos 
vínculos de ligação entre os elementos, ou entre o elemento e o solo, 
solicita-se; 
 Desenhar a planta de formas: pré-dimensionar os elementos, 
pilares, vigas e lajes; 
 Montar os modelos estruturais das vigas 
67 
Atenção! 
 
 Não esqueça de que um elemento estrutural isostático necessita 
somente de três, e não mais de três, restrições para que seja 
considerado um elemento isostático. Assim, para elementos 
biapoiados é necessário um vinculo de 1ª espécie em um dos 
apoios, e um vínculo de 2ª espécie no outro. Para elementos em 
balanço é necessário apenas um vinculo de 3ª espécie. 
3º Passo: determinar as cargas atuantes nas lajes 
 
 Para verificar a condição de carregamento das lajes é necessário 
 determinar o peso próprio dos elementos ( cargas permanentes) e 
 os pesos decorrentes da utilização do espaço (cargas acidentais) 
4º Passo: determinar as cargas atuantes nas vigas 
 
 Para verificar a condição de carregamento das vigas é necessário 
 determinar o peso próprio dos elementos ( cargas permanentes) e 
 os pesos decorrentes da utilização do espaço (cargas distribuídas) 
68 
5º Passo: traçar o diagrama de corpo livre das vigas 
 O resultado final será um diagrama no qual será representado o 
somatório das cargas distribuídas e das cargas concentradas em cada 
trecho de continuidade (cargas ativas), e as reações vinculares ( cargas 
reativas) 
6º Passo: determinar as reações de apoio na viga. 
 
1. Identificar e destacar do sistema os elementos estruturais que serão 
analisados. 
2. Desenhar o modelo estrutural (ME); 
 
3. Traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analisado; 
 
4. Determinar um sistema de referencia (SR) para a analise; 
 
5. Estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE); 
 
6. Calcular as reações do sistema (estrutura); 
 
7. Traçar o diagrama de corpo livre real (DCLR) do elemento analisado. 
 
69 
Determinação dos esforços solicitantes 
 
As equações de equilíbrio determinam as 
condições da estrutura, ou de parte dela, à 
esquerda ou à direita da seção transversal 
estudada. 
Exemplo 
 
 
 
 
 
x 
y 
C B 
RVA 
A 
RVB 
RHA 
4,0 1,5 m 
5,0 kN/m 
8,0 kN 
8,0 kN 
70 
m 
5,0 kN/m 
1,50m 4,00 m 
Reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
Carga distribuída transformada 
em força concentrada fictícia, 
Fq = (5,0).(5,5) = 27,5 kN 
Equações de equilíbrio 
 
x 
y 27,5 kN 
RA RB 
HA 
4,0 1,5 m 
  
kNRVRVM
kNRVRVRVRVF
kNRHRHF
BBzA
BABAy
AAx
9,1804.
2
5,5
.5,270
5,2705,5.50
0,800,80












kNRR CA 6,89,185,275,27 
8,0 kN 
71 
+ 
 Sistema de referencia 
Positivo Negativo 
y 
x 
x 
y 
72 
Fim! 73 
CONTEÚDO 
TEÓRICO 
PARTE 1 
1. Esforços solicitantes em estruturas 
planas isostáticas 
1.1- Definição e convenção de sinais 
Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços 
solicitantes em uma seção transversal genérica são as 
forças que equilibram as ações externas que atuam à 
esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes 
formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma 
direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas 
duas seções transversais. 
74 
Estas forças atuantes na seção transversal podem 
ser reduzidas a uma força resultante aplicada em 
um ponto (centro de gravidade da seção) e a um 
momento (binário) resultante. 
 
 
 
 
 
Para facilitar os cálculos destes esforços 
solicitantes, obtêm-se as componentes destas 
resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos 
eixos ortogonais a este, que contêm a seção 
transversal da barra. 
75 
 
 N - força normal ou 
 axial 
 V - força cortante 
 M - momento fletor 
 T - momento torçor 
As componentes destas forças, considerando-
se estrutura plana e carregamento contidos 
no plano xy, são os esforços solicitantes 
esforço axial N, momento fletor Mz e esforço 
cortante Vy. 
76 
Convenção de sinais: sentidos positivos dos 
 esforços 
 
Esforço normal (axial): N 
 
Esforço cortante: V 
 
Momento fletor: M 
 
Momento torçor: T 
+ 
+ 
+ 
+ 
E D 
+ 
+ 
+ 
+ 
77 
Determinação dos esforços solicitantes 
 
As equações de equilíbrio determinam as 
condições da estrutura, ou de parte dela, à 
esquerda ou à direita da seção transversal 
estudada. 
Exemplo 
 
 
 
 
 
x 
y 
C B 
RVA 
A 
RVB 
RHA 
4,0 1,5 m 
5,0 kN/m 
8,0 kN 
8,0 kN 
78 
m 
5,0 kN/m 
1,50m 4,00 m 
Reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
Carga distribuída transformada 
em força concentrada fictícia, 
Fq = (5,0).(5,5)= 27,5 kN 
Equações de equilíbrio 
 
x 
y 27,5 kN 
RA RB 
HA 
4,0 1,5 m 
  
kNRVRVM
kNRVRVRVRVF
kNRHRHF
BBzA
BABAy
AAx
9,1804.
2
5,5
.5,270
5,2705,5.50
0,800,80












kNRR CA 6,89,185,275,27 
8,0 kN 
79 
+ 
Esforços solicitantes 
 
 
 
 
 
 
 
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A) 
 
equações de equilíbrio 
 
10,0 
kN 
RA 
2,0 
MB 
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,70
2
0,2
.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0






VB 
NB 
HA 
80 
Modelo estrutural de viga 
81 
Diagrama de corpo livre 
82 
Fim! 83 
CONTEÚDO 
TEÓRICO 
PARTE 2