aula 4 mecanica dos fluidos

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DINÂMICA DOS FLUIDOS –
PARTE II
FACULDADE ESTÁCIO 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA MECÂNICA DOS FLUIDOS
MSc. Paulo José Simão Gonçalves
Manaus
2021
1. TIPOS DE ENERGIA
Com base na equação da continuidade e no
comportamento de um fluido em tubos de corrente, pode-
se concluir que nenhuma energia é adicionada ou retirada
durante o seu escoamento. Contudo, uma determinada
energia pode ser transformada em outro tipo durante esta
movimentação.
Por isso, o balanço das energias deve ser identificado por
meio de uma equação. Todavia, antes é preciso conhecer
os tipos de energias existentes, que são:
a) Energia potencial (Ep): representa a energia calculada a
partir do posicionamento de uma partícula no campo
gravitacional em relação a um plano referencial e sendo
medida pelo potencial trabalho realizado nela. Para os
fluidos, o que interessa é a diferença (entre dois pontos
1. TIPOS DE ENERGIA
distintos) das energias potenciais entre dois ou mais
pontos.
b) Energia cinética (Ec): é a energia obtida pelo
movimento de uma partícula (ou do fluido por completo),
sendo calculada por:
c) Energia de pressão (Epr): é a energia correspondente ao
trabalho potencial das forças de pressão que atuam no
escoamento do fluido.
Onde:
m – massa do sistema;
g – aceleração da gravidade;
z – profundidade em relação
ao plano referencial (PHR).
Onde:
v – velocidade da
partícula (ou do fluido).
Fonte: BRUNETTI (2008).
1. TIPOS DE ENERGIA
Considerando que em um tubo de corrente a pressão é
uniforme em uma de suas seções, a força resultante
aplicada na interface desta seção será igual F = p. A.
Para o intervalo de tempo “dt”, o fluido deslocará “ds”
sob ação desta força, produzindo um trabalho igual a:
Como dW = dEpr = p.dV
Fonte: BRUNETTI (2008).
2. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
O princípio da conservação de energia surge da 1ª Lei da
Termodinâmica que, para um determinado volume, afirma
que:
“A diferença entre o calor e o trabalho gerados pelo
sistema (ou máquina) e o seu entorno é equivalente a
variação de energia pelo tempo”.
Sendo representado por:
2. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
A energia total gerada pode ser representada por:
Onde:
eint – energia interna específica e relacionada a
temperatura;
v – velocidade de movimentação de uma partícula;
g – aceleração da gravidade (= 9,81 m/s2);
ρ – massa específica;
z – profundidade (ou altura) da partícula em relação a um
nível de referência.
Assim, a expressão do princípio da conservação de
energia (válida para os fluidos) pode ser reescrita como:
2. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Onde:
QC – representa a taxa de calor adicionada (ou retirada)
pelo meio em relação a um determinado volume;
W – representa a taxa de trabalho realizada (considerando
essa variação positiva) deste volume no meio onde se
encontra;
– vazão de energia para dentro (ou para fora) do 
volume (que pode ser referente a de um fluido);
– taxa de energia de acumulação no interior do
volume (que pode ser referente a de um fluido).
3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Uma aplicação prática na mecânica dos fluidos referente a
equação de energia considera a análise sob um
escoamento permanente e sua integração com a linha de
corrente.
Considerando que as propriedades do fluido na entrada e
saída serão preservadas, chega-se a:
Sendo que:
3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
E:
- a energia interna é constante: eint1 = eint2 = eint
A equação da conservação de energia pode ser reescrita
como:
Aplicando o princípio da conservação de massa, em que:
3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação passa a ficar restrita a:
Que reorganizada, produz a equação de Bernoulli:
Onde:
3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Fonte: BRUNETTI (2008).
Assim, pode-se concluir o que foi dito anteriormente
sobre o fato de que nenhuma energia é perdida ou criada,
mas que:
e que
4. PRESSÃO DE ESTAGNAÇÃO
A equação de Bernoulli pode ser aplicada em algumas
situações específicas referente ao escoamento dos
fluidos.
Considere o estudo das linhas de corrente de um jato de
água entre os pontos 1 e 2 da figura abaixo:
Fonte: COIMBRA (2015).
4. PRESSÃO DE ESTAGNAÇÃO
Se for considerado que:
- Os dois pontos estão sob o mesmo eixo, logo para
qualquer plano referencial, z1 = z2;
- Por não existir nenhuma linha de corrente no ponto 2,
pode-se admitir que v2 = 0.
Assim, a equação de Bernoulli aplicada a este exemplo
poderá ser reescrita em termos de pressão por:
v1
2 + p1 = p2
2g ρ.g ρ.g 
p2 - p1 = v1
2
ρ ρ 2
∆p = v1
2. ρ
2
4. PRESSÃO DE ESTAGNAÇÃO
O termo ∆p está relacionado a variação de pressão
(devido ao aumento da carga volumétrica) nos dois
pontos e é denominado de pressão dinâmica.
A pressão P1 medida no ponto 1 é denominada de pressão
estática, podendo ser medida pelo manômetro durante o
escoamento do fluido.
A pressão P2, referente ao ponto 2, seria a pressão total
ou de estagnação, sendo obtida pela soma das pressões
estáticas e dinâmicas.
Com isso, pode-se afirmar que o peso dos volumes de
controle (e reduzidos a um ponto em 1 e 2) é equilibrado
pela força hidrostática de flutuação.
5. VELOCIDADE DE ESCOAMENTO
Por meio da equação de Bernoulli, também é possível
calcular a variação das velocidades no escoamento
quando nenhuma delas é nula.
Considere que a figura abaixo representa uma linha de
corrente de um escoamento incompressível, permanente
e homogêneo.
Fonte: COIMBRA (2015).
5. VELOCIDADE DE ESCOAMENTO
Caso no ponto A1 seja introduzido um tubo piezométrico
com seção transversal paralela a linha de corrente, o
líquido o adentrará até a altura l1 para equilibrar a pressão
neste ponto (pressão estática).
Colocando no ponto A2 um outro tubo será verificado uma
nova altura l2. Como foi visto anteriormente que:
PA2 – PA1 = ∆v
Considerando que h1 ≠ h2, v1 ≠ v2 ≠ 0, além de que a
fórmula da carga de pressão afirma que :
l = P = P
ρ.g γ
Constata-se que ∆P = ∆l.γ.
5. VELOCIDADE DE ESCOAMENTO
Assim, a diferença de carga de pressão entre os pontos A1
e A2 será igual a:
Mas se um tubo (denominado de Pitot) for instalado com a
seção transversal na posição normal a linha de ação
(ponto A da figura ao lado),
haverá neste ponto uma pres-
-são de estagnação (Pt), que
extrapola a pressão estática (P)
que seria obtida pelo uso do tubo
piezométrico, calculando a velo-
-cidade de escoamento do fluido
por: v2 = 2. (Pt – P)
ρ Fonte: COIMBRA (2015).
5. VELOCIDADE DE ESCOAMENTO
Onde:
P – pressão estática em A
(com v ≠ 0);
Pt – pressão de estagnação
em A (com v = 0).
ρ – massa específica do fluido
incompressível e homogêneo
em regime permanente.
O tubo de Pitot (juntamente
com tubos piezômetricos) é
adotado em aviões para deter-
-minação da velocidade de voo
a partir de sua ligação a um
manômetro diferencial.
Fonte: VILLANOVA (2011).
6. TEOREMA DE TORRICELLI
Considerando o escoamento permanente e
unidimensional, pode-se considerar que a equação de
Bernoulli pode ser escrita como:
Onde:
H (t) – carga total obtida em função do tempo.
Incluindo as restrições do escoamento irrotacional
(velocidade angular nula) para um tubo de corrente com
seções variáveis distintas e com velocidades uniformes, a
equação novamente é modificada para:
6. TEOREMA DE TORRICELLI
Ilustrada conforme a figura abaixo:
Para duas superfícies livres de um líquido, em que as
pressões atuantes são iguais a atmosférica, sendo uma
delas situada na parte superior do reservatório (com
velocidade u1 nula) e outra em um jato em uma saída
inferior (com velocidade u2), a equa-
-ção anterior pode ser adaptada para:
Fonte: BRUNETTI (2008).
6. TEOREMA DE TORRICELLI
Sendo:
Assim, considerando o desnível h = h1 – h2, pode-se obter
a velocidade finita do jato por:
Que é ilustra o Teorema de Torricelli.
Fonte: COIMBRA (2015).
7. EQUAÇÃO DE EULER
Para o estudo de uma linha de corrente instantânea L,
pode-se considerar um conjunto de eixos distintos aos
cartesianos (x, y e z), denominados de naturais (e
identificadospelas letras n, s e m), conforme ilustrado
abaixo.
Fonte: COIMBRA (2015).
7. EQUAÇÃO DE EULER
Da aplicação da 2ª Lei de Newton para o escoamento
ideal, pode-se adotar a equação de Euler, que relaciona as
forças de pressão com as de inércia. Nesse escoamento,
atuam as mesmas forças presentes no fluido em repouso.
Através destas equações, deve-se calcular todas as
componentes da velocidade em torno dos eixos naturais,
a pressão e a massa específica em todos os pontos do
fluido.
Utilizando as expressões das acelerações obtidas em
função da força gravitacional atuante em fluido,
7. EQUAÇÃO DE EULER
Para as coordenadas cartesianas, as equações de Euler
serão iguais a:
Enquanto para as coordenadas naturais (com uma
associação feita em relação as coordenadas cartesianas),
ao igualar os componentes da aceleração aos da força
resultante, chega-se a:
7. EQUAÇÃO DE EULER
Sendo r uma coordenada esférica. Logo, para o
escoamento incompressível e homogêneo, adota-se:
Para o escoamento bidimensional (em relação aos eixos s
e n, por exemplo), as expressões adotadas serão:
7. EQUAÇÃO DE EULER
Enquanto que para o escoamento unidimensional (em
relação ao eixo s, por exemplo), emprega-se a seguinte
expressão:
Equivalente a:
Ou seja, a equação de Bernoulli é empregada para este
caso de escoamento com velocidade em um único eixo.
REFERÊNCIAS
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. 2a Ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall. 2008.
COIMBRA, A. L. Mecânica dos fluidos. 1ª Ed. Rio de
Janeiro: E-papers, 2015.
GOMES, M. H. R. Apostila de mecânica dos fluidos.
Faculdade de Engenharia da Universidade de Juiz de
Fora. Juiz de Fora.
VILLANOVA, L. C. Manual dos fluidos. 3a Ed. Santa
Maria: E-tec Brasil. 2011.