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EAE0207 - Matemática aplicada à Economia 1a Lista de Exercícios 2o semestre de 2012 Prazo da entrega: até 28/08/2012 Entregar diretamente na monitoria 1. Dada a matriz A = 24 2 1 �30 2 1 5 1 3 35, encontre: a) adjA; b) detA; c) A�1. 2. Considere o sistema: x+ y � w = 0 x� z + w = 2 y + z � w = �3 x+ y � 2w = 1 a) Calcule o posto da matriz dos coe cientes b) Calcule o posto da matriz ampliada c) Descreva a solução deste sistema 3. Considere um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz n � n. Que condição se deve impor sobre A para que o sistema admita soluções diferentes da trivial (X = 0)? 4. Verdadeiro ou falso: a) Se detA = 1, então A�1 = A. b) SeA é umamatriz triangular superior não-singular, então sua inversa também será uma matriz triangular. c) Se A é uma matriz escalar (isto é kIn) então det A = kn. 5. Considere umamatriz triangularA(n; n). Mostre que detA = a11a22:::ann: 6. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P�1AP . Mostre que, se A é semelhante a B, então detA = detB. 1 7. Mostre que os seguintes subconjuntos do R4 são subespaços: a) W = f(x; y; z; t) 2 R4j x+ y = 0 e z � t = 0g b) U = f(x; y; z; t) 2 R4j 2x+ y � t = 0 e z = 0g 8. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2; 2) (isto é, do espaço de matrizes 2x2). Em caso a rmativo, exiba uma base e mostre como ela gera o subespaço. a) V = �� a b c d � com a; b; c; d 2 R e b = c � b) W = �� a b c d � com a; b; c; d 2 R e b = c+ 1 � 9. Considere dois vetores (a; b) e (c; d) no plano. Mostre que, se ad� bc = 0, os vetores são LD; se ad� bc 6= 0, eles são LI. 10. Mostre que �� 1 0 0 0 � ; � 0 1 0 0 � ; � 0 0 1 0 � ; � 0 0 0 1 �� é base de M(2; 2). Sejam W1 e W2 os seguintes subespaços de M(2; 2): W1 = �� a b c d � tais que a = d e b = c � W2 = �� a b c d � tais que a = c e b = d � a) Determine W1\ W2 e exiba uma base. b) Determine W1+ W2. c) W1+ W2 = M(2; 2)? 11. Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n � n. Qual é a dimensão deste espaço? 12. Veri que se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as op- erações usuais. No caso a rmativo, exiba uma base e dê sua dimensão. a) Matrizes diagonais n � n. b) Matrizes escalares n � n. c) V = f(a; a; :::; a) 2 Rn : a 2 Rg d) f(1; a; b) : a; b 2 Rg 2 13. O vetor w = (1;�1; 2) pertence ao subespaço deR3 gerado pelos vetores u = (1; 2; 3) e v = (3; 2; 1)? 14. Mostre que os vetores u = (�5; 3; 2) e v = (3;�1; 3) não geram o R3. 15. Mostre que, em um espaço vetorial V , existe um único vetor nulo e cada elemento v 2 V possui um único inverso. (Dica: use as propriedades que de nem um espaço vetorial). 16. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1;�1; 0; 0), v2 = (0; 0; 1; 1), v3 = (�2; 2; 1; 1) e v4 = (1; 0; 0; 0). a) O vetor (2;�3; 2; 2) pertence a este subespaço? Justi que. b) Exiba uma base para este subespaço e encontre sua dimensão. c) Este subespaço é igual ao R4? Justi que. 17. Considere o sistema linear S dado por: 2x1 + 4x2 � 6x3 = a x1 � x2 + 4x3 = b 6x2 � 14x3 = c Seja W = f(x�1; x�2; x�3) 2 R3: (x�1; x�2; x�3) é solução de Sg. Isto é, W é o conjunto solução do sistema S. a) Que condições devemos impor a a; b; c para que W seja subespaço vetorial de R3? b) Nas condições de nidas no item (a), encontre uma base para W . c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para qualquer sistema homogêneo? 18. SejamW1 = fx; y; z; t) 2 R4j x+y = 0 e z�t = 0g eW2 = fx; y; z; t) 2 R4j x� y � z + t = 0g subespaços de R4. a) Determine W1 \W2 e exiba uma base para este subespaço. b) Determine W1 +W2. c) W1 +W2 é soma direta? Justi que. d) W1 +W2 = R4? Justi que. 3
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