Bernoulli- Mecanica de Fluidos

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Escola Técnica de Sete Lagoas – Mecânica - 4/9/2007
TEOREMA DE BERNOULLI
INTRODUÇÃO
Radicada em Basiléia, Suíça, a família Bernoulli (ou Bernoulli) tem um papel de destaque nos meios científicos dos séculos XVII e XVIII: dela descendem nada menos que dez cientistas eminentes, que revolucionarão a Física e a Matemática do período. Pela diversidade e profundidade de seus trabalhos, Daniel Bernoulli - simultaneamente filósofo, físico, fisiologista, médico, botânico e matemático - é considerado por muitos o mais brilhante representante dessa família excepcional. 
O físico Daniel Bernoulli estudou o escoamento dos fluidos e nos entregou um teorema que é de extrema utilidade nos diversos campos da tecnologia de fluidos: "Se a velocidade de uma partícula de um fluido aumenta enquanto ela se escoa ao longo de uma linha de corrente, a pressão do fluido deve diminuir". 
É por este princípio que se explica a capacidade de sustentação de uma aeronave já descrito na parte de teoria. O teorema de Bernoulli é usado dentre outras coisas, para calcular a velocidade de fluidos em regime de confinamento, já que se baseia nas leis de conservação de energia aplicadas ao movimento dos fluidos. Nota-se que o escoamento é mais rápido na região mais estreita e a pressão será menor. 
Equação da Continuidade
          Seja um fluido ideal de densidade r em escoamento estacionário numa tubulação sem derivações. Durante um intervalo de tempo Dt, a mesma quantidade de fluido atravessa a seção 1, de área A1, com velocidade de módulo v1, e a seção 2, de área A2, com velocidade de módulo v2. Assim, em termos da massa:
          r A1v1 Dt = r A2v2 Dt
ou:
          A1v1 = A2v2
ou, ainda:
          Av = constante
          Esta é a equação da continuidade. A quantidade Q = Av = V / Dt é chamada vazão e representa o volume (V) de fluido que escoa através de uma seção reta por unidade de tempo. 
          Uma aplicação imediata da equação da continuidade permite explicar o estreitamento de um filete de água que sai de uma torneira na vertical. Por efeito da gravidade, a velocidade da água aumentada enquanto cai, de modo que a área da seção reta do filete diminui. A mesma equação permite explicar por que um estreitamento na extremidade de uma mangueira faz com que o jato de água atinja uma distância maior.
Se não há ganho nem perda de massa, dm/dt deve ser constante. Então, para as duas seções diferentes da figura:
μ1 S1 v1 = μ2 S2 v2 .Se o fluido é incompressível, a massa específica é constante e a igualdade fica:
S1 v1 = S2 v2 .Notar que esta e a anterior valem para qualquer tipo de seção transversal. Para tubos de seção circular:
μ1 D12 v1 = μ2 D22 v2 .E, no caso de fluidos incompressíveis, D12 v1 = D22 v2 
Na prática, os líquidos são quase sempre tratados como incompressíveis. Em alguns casos, gases podem ser assim considerados se as variações de pressão são pequenas (como em sistemas de ventilação) e se os erros decorrentes forem aceitáveis.
Equação de Bernoulli
A energia potencial da água muda enquanto ela se move. Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume  V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial da água no resto do tubo é a mesma que a energia potencial da água antes do movimento. Logo, temos que
mudança na energia potencial = massa da água em V ´ g ´ mudança na altitude
                                                   = densidade ´ V ´  g  ´  (h2 ? h1) = r V g (h2 ? h1).
A energia cinética da água também muda. Novamente, só precisamos achar a mudança na energia cinética em um pequeno volume  V, como se a água na posição 1 fosse substituida pela água na posição 2 (veja a figura acima). A energia cinética da água no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes do movimento. Logo, temos que 
mudança na energia potencial = ½ m v22 ? ½ m v12 = ½ r V v22 ? ½ r V v12.
Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição 2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade de trabalho é  W = F1 l1 ? F2 l2.  Mas, força = pressão vezes área, de modo que  W = p1 A1 l1 ? p2 A2 l2 = p1 V - p2 V . 
O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo, 
p1 V - p2 V = r V g (h2 ? h1) + ½ r V v22 ? ½ r V v12
ou 
p1 V + r V g h1+ ½ r V v12 = p2 V + r V g h2 + ½ r V v22.
Dividindo por V,  temos que 
    p1 + r g h1+ ½ r v12 = p2 + r g h2 + ½ r v22           1
ou 
    p + r g h+ ½ r v2= constante.                   2
A energia presente em um fluido em escoamento pode ser separada em quatro parcelas, a saber, energia de pressão (piezocarga), energia cinética (taquicarga), energia de posição (hipsocarga) e energia térmica. Partindo do princípio da conservação de energia, para duas seções transversais em dois pontos distintos, 1 e 2 do escoamento , estas parcelas podem ser agrupadas da seguinte forma: 
                                             
que é conhecida como teorema de Bernoulli para fluidos reais, onde 
p = pressão, Kgf/m²;
  = peso específico, Kgf/m³;
v = velocidade do escoamento, m/s;
g = aceleração da gravidade, m/s²;
Z = altura sobre o plano de referência, m;
hf= perda de energia entre as seções em estudo, devido a turbulência, atritos, etc, denominada de perda de carga, m;
  = fator de correção de energia cinética devido as variações a de velocidade na seção
Esta é a equação de Bernoulli.  Ela implica que, se um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido. Quanto mais rápido  o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma altura no fluido.
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Perda de Carga Distribuída
Perda de carga ao longo das tubulações, causada pela resistência ao escoamento entre camadas adjacentes do fluído e entre o fluído e a canalização. Seu valor é:
diretamente proporcional ao comprimento da canalização; 
inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; 
diretamente proporcional a uma potência da velocidade; 
variável com a natureza das paredes do conduto; 
independente da posição do tubo; 
independente da pressão interna sob a qual o líquido escoa. 
Demonstração do Teorema de Bernoulli
    Na física, tanto líquidos como a água, como gases tipo o ar são considerados fluidos. Uma propriedade curiosa dos fluidos é que, quando a velocidade aumenta, a pressão diminui. Em vez de usar palavras, podemos fazer um experimento para explicar melhor esse fenômeno. Então, recorte duas tirinhas de papel e coloque-as uma de cada lado da boca, como mostra a figura. O quê você acha que vai acontecer quando soprar entre as tiras? Elas vão se afastar, certo? Experimente e veja que elas se aproximam. Isso acontece porque o ar que sai da sua boca está se movendo mais rápido do que o ar de fora. Assim, a pressão do ar da boca é menor que a pressão de fora, que acaba empurrando as tiras de papel para dentro. 
  
    Agora vamos acompanhar uma bola em movimento. O ar está passando pela bola, enquanto ela se move, um pouco de ar também é arrastado por ela durante os giros. Onde a bola e o ar se movem na mesma direção, a velocidade é maior, e a pressão é menor. Onde o ar arrastado pela bola se move em direção contrária ao ar que passa pela bola, a velocidade é menor e, conseqüentemente, a pressão é maior. Essa diferença de pressão faz com que a bola se desvie do seu caminho normal, produzindo o chamado efeito Magnus. Utilizando esse efeito podemos fazer uma bola flutuar no ar. Basta colocarmos um jato de ar e uma bolinha de isopor. A bola flutuará mesmo se o jato estiver inclinado. 
Escoamento de um fluido ideal
Para o escoamento sem atrito de um fluido incompressível ideal, vale a equação desenvolvida por Daniel Bernoulli:
h + p / (µ g) + c2 / (2 g) = H (constante),em qualquer ponto do fluxo. Onde
h: altura em relação a um plano de referência.
p: pressão.
µ: massa específica.
g: aceleração da gravidade.c: velocidade.
Essa igualdade é a lei da conservação da energia aplicada ao escoamento. Desde que ele ocorre sem atrito, não há troca de energia com o meio e a energia total do fluido permanece constante. 
As parcelas têm dimensão de comprimento e podem ser entendidas como alturas, em relação a um plano de referência, representativas das formas de energia presentes no escoamento:
	
	Fig 01
	h energia potencial da massa do fluido.
p / (µ g) energia adquirida pelo fluido devido à compressão com volume constante.
c2 / (2 g) energia cinética devido à velocidade adquirida.
Na Figura 01, esquema de um escoamento simples de um líquido, considerando pressões relativas, isto é, pressão nula significa pressão atmosférica.
Considera-se o reservatório continuamente abastecido e, assim, no ponto 0, o fluido está em repouso.
Portanto, neste ponto, toda energia do fluido é a energia potencial representada pela altura física h0 e as demais parcelas são nulas. No ponto 1, a energia potencial é menor (h1) e o fluido tem uma determinada pressão e velocidade. No ponto 2, a energia potencial é ainda menor (h2) e o fluido tem maior pressão e velocidade. As colunas de líquidos colocadas nos pontos 1 e 2 têm alturas correspondentes às energias de pressão em cada ponto, conforme indicado na figura.
A equação de Bernoulli em termos de pressões:
Multiplicando ambos os lados por µg, h µ g + p + c2 µ / 2 = H µ g (constante) 
Portanto, todas as parcelas têm dimensão de pressão e são muitas vezes denominadas
	h µ g pressão estática
	p pressão
	c2 µ / 2 pressão dinâmica
	H µ g pressão total
Mudança de seção:
No escoamento da Figura 02, o ponto 2 tem uma seção transversal menor que a seção de 1. Desde que estamos considerando o fluido incompressível, a vazão volumétrica é a mesma nos dois pontos. Assim,
Q = π D12 c1 / 4 = π D22 c2 / 4. Ou c1 / c2 = (D2 / D1)2. Isso demonstra que uma redução de seção provoca um aumento da velocidade do fluido.
Desde que o escoamento é horizontal, a pressão estática é a mesma em ambos os pontos e a equação de Bernoulli fica:
	
	Fig 02
p1 + c12 µ / 2 = p2 + c22 µ / 2.
Notar que o aumento de velocidade na seção estrangulada é compensado pela menor pressão dinâmica. Se fossem colocadas colunas de líquido em cada, a redução da pressão dinâmica seria claramente observada, conforme indicado na figura.
Chamando R = (D2/D1)2, conforme equação anterior c2 = c1 / R. E, substituindo c2 na equação de Bernoulli: p1 + c12 µ / 2 = p2 + c12 µ / 2 R2. Isolando o valor de c1, temos:
c1 = { 2 (p2 - p1) / [ µ (1 - 1/R2] }1/2.
E é possível determinar a vazão Q conforme fórmula anterior. Ou seja, uma variação de seção possibilita a determinação da vazão a partir da leitura das pressões dinâmicas, em orifícios na parede da tubulação. Apesar da suposição de um fluido ideal, a aproximação é válida para muitos casos reais e também são usados fatores ou tabelas de correção para melhor precisão.
Tubo de Pitot: 
Na Figura 03 o circuito 1 recebe a pressão dinâmica mais a pressão cinética do escoamento e o circuito 2 recebe apenas a pressão dinâmica. Portanto, um manômetro de coluna líquida indica a diferença entre as mesmas, isto é, a pressão cinética.
	
	Fig 03
Portanto, a parcela da pressão cinética na equação de Bernoulli será
 c2 µ / 2 = p1 - p2 ou
c = [ 2 (p1 - p2) / µ ]1/2 
E é possível determinar a vazão conforme já visto na seção anterior.
As proporções da figura estão propositalmente exageradas. Na prática, os tubos de Pitot são finos e podem ser introduzidos em um pequeno orifício na tubulação. São bastante usados na medição da vazão de ar em sistemas de ventilação e outros.
Aplicações da equação de Bernoulli
Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cima. O ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são empurradas para frente.
Chaminé: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.
Medidores de velocidade de um fluido: Na figura (a) abaixo, se existir ar em movimento no interior do tubo,  a pressão P é menor do que P0, e  aparecerá uma diferença na coluna de fluido do medidor. Conhecendo a densidade do fluido do medidor, a diferença de pressão, P-P0 é determinada. Da equação de Bernoulli, a velocidade do fluido dentro do tubo, v, pode ser determinada.
 
O medidor da figura (b) acima pode determinar a diferença de velocidade entre dois pontos de um fluido pelo mesmo princípio, conhecidos como medidores de Venturi.
	
Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no canudo (redução da pressão estática), que conseqüentemente pulveriza a água no interior do tubo. Esse sistema é muito utilizado nos carburadores de motores a explosão, onde o ar que entra é misturado ao combustível pulverizado pelo tubo de Venturi e se dirige para os tubos de admissão.
Aviões: A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que o  ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo.  De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o avião no ar. 
 
Na figura abaixo, podemos observar as principais forças que agem em um avião
Para isso, teremos que estudar o teorema de Bernoulli, e entender o que é sustentação e arrasto.
Bernoulli foi um ‘cientista’ que além de estudar cálculo diferencial e integral entre outras coisas, enunciou a lei que diz: ‘quanto maior for o fluxo de ar que passa por uma determinada superfície, menor será a pressão a que essa estará submetida’.
Vejamos os exemplo que ilustra a situação:
Podemos constatar experimentalmente da seguinte maneira: pegue uma garrafa de algum refrigerante qualquer, encha recipiente de água. Agora, mantendo a garrafa em pé, com um compressor de ar, assopre com o fluxo de ar paralelo à horizontal. Você observará que o liquido tenderá a sair da garrafa.
Isso ocorre por que o com o ar em movimento sobre a superfície da água, promove a diminuição da pressão que o liquido está submetido. Assim a água tende a ‘voar’.
Esse trabalho elaborado por Bernoulli, foi responsável por grande parte da evolução da aeronáutica. Nada mais que promoveu o inicio da realização de um dos sonhos mais antigos do homem, VOAR. 
O Arrasto
A força conhecida como arrasto é aquela causada pela resistência e pela turbulência do ar. . Tomemos o exemplo de dois objetos de diferentes formatos: um cubo e um cone.
O cubo exercerá maior resistência à passagem do ar, pois tem uma grande superfície de contato direto inicial com o ar.O cone terá menor resistência à passagem do ar, pois possui uma pequena superfície de contato direto inicial, o contato maior se dá ao longo do cone e não encontra resistência.
	
Observe que o ar escoa com maior fluidez através do cone, e com maior dificuldade através do cubo, onde a superfície termina abruptamente, provocando turbilhonamento do ar.
Para que seja possível projetar um veículo que usa o ar para se locomover, é preciso que este veículo produza pouco arrasto. Assim como o capô de um carro ou o casco de um navio, o avião é todo projetado com a intenção de produzir o menor arrasto possível naquelas partes que não produzem sustentação.
Para melhor ilustrar: quando você estiver andando com seu carro em uma auto estrada, tente colocar a mão para fora da janela. Você irá observar que ela tenderá ficar para trás.
Outro exemplo clássico do efeito da resistência do ar é : em algum dia de ventania, observe um pequeno zunido vido dos fios de alta tensão. Esse barulho se deve ao ar em turbilhonamento. 
Puxando o assunto para os aviões, podemos observar que, em seus projetos, tendem a minimizar o arrasto. Pois o intuito éminimizar o turbilhonamento. Vejamos algumas ilustrações:
A figura acima é um ótimo exemplo de objeto com aerodinâmica boa, ou melhor, otimizada. Pois produz o mínimo de arrasto, o mínimo de turbilhonamento de ar. Já na figura abaixo, alterando o angulo de ataque, altera-se o arrasto. Isso por que o angulo de ataque também influencia na sustentação do aerofólio. Se ele for muito grande , a tendência é o turbilhonamento do ar, causa o stol(perda de sustentação). Note-se que o ângulo de ataque é o ângulo que a linha de comprimento da asa faz com a horizontal (por exemplo, quanto mais um avião se inclina para cima, maior é o seu ângula de ataque. Se ele permanece na horizontal, seu ângulo de ataque fica próximo a zero).
Retomando o exemplo do fio de alta tensão, nessa figura podemos entender o que realmente acontece. 
Para evitar o turbilhonamento do ar na superfície da asa, adota-se a forma de carenagem arredondada, para que como na figura acima o turbilhonamento ocorra na parte posterior do aerofólio, isto é, o perfil que nós conhecemos de asa é esse pois ele ‘força’ o ar a se deslocar sobre a superfície de forma natural como se essa estivesse apenas ‘cortando’, procurando manter o ambiente como era antes, sem turbulência.
Note que pela figura abaixo, que a velocidade do ar no extradorso (em cima) é maior que no intradorso (embaixo). Mas a velocidade do ar no final do aerofólio tende a ser igual se otimizado o arrasto.
Nesta figura, podemos entender com mais clareza quais as forças que agem em uma asa. Note a resultante, a soma vetorial de L (Sustentação) e D (Arrasto). 
SUSTENTAÇÃO
A sustentação é baseada em alguns fatores importantes: o perfil da asa, o ângulo de ataque e a velocidade aerodinâmica.
A lei da sustentação é baseada no teorema de Bernoulli e na Equação do Escoamento. O terorema de Bernoulli diz que: "Quanto maior a velocidade de escoamento do ar, maior será a pressão dinâmica e menor será a pressão estática". A Equação do Escoamento diz que quanto mais estreito fôr o tubo de escoamento, maior é a velocidade do fluido e vice-versa.
Para efeito de explicação: 
A Pressão Dinâmica é aquela produzida pelo ar em movimento. Ao chocar-se com algum objeto, esse ar vai produzir uma certa pressão. Essa é a pressão dinâmica.
Pd=1/2D x V²
onde Pd= pressão dinâmica ; D=densidade do ar ao nível de vôo ; 
V= velocidade relação ao ar;
A Pressão Estática é aquela produzida pela concentração das moléculas de ar. Agora que sabemos que o ar escoa mais rapidamente em superfícies mais estreitas, podemos começar a entender o que faz um avião voar. Vamos observar o perfil da asa de um avião:
	
Os perfis de asas podem ser de duas maneiras: Os perfis com os dois lados iguais são chamados simétricos, e são normalmente usados para os componentes da empenagem, como a deriva e os estabilizadores. Os perfis com lados de formato diferentes, assim como o da figura, são chamados assimétricos.
Os elementos de um perfil de uma asa são: 
Bordo de Ataque: É a extremidade dianteira do perfil, onde o ar bate primeiro. 
Bordo de Fuga: É a extremidade traseira do perfil, por onde o ar escoa e livra a asa. 
Extradorso: É a superfície superior do perfil, o lado de cima. 
Intradorso: É a superfície inferior do perfil, o lado de baixo. 
Corda: É uma linha reta imaginária que liga o bordo de ataque ao bordo de fuga. 
Linha de Curvatura Média: É a linha que separa igualmente o extradorso do intradorso. 
Para entendermos a sutentação, admitimos que o ar bata a uma determinada velocidade sobre um perfil, que nesse exemplo será assimétrico. Ao atingir o bordo de ataque, o ar escoará para o extradorso ou o intradorso. Repare que o caminho a ser percorrido pelo ar no intradorso é menor que no extradorso, onde, devido a curvatura da asa, o caminho será maior. 
Para constatarmos isso bastaria que pegássemos uma fita métrica e medirmos a corda de uma asa assimétrica no extradorso e no intradorso. Digamos hipotéticamente que a medição no intradorso fosse 1,24 metros. No extradorso, a medição daria 1,33 metros.
Como vimos no tubo de Venturi, ao estreitarmos o tubo de escoamento, o ar acelera. Como a asa estará envolta em ar, a camada superior àquela que escoa sobre a superfície atuará como as paredes do tubo de Venturi. Observe a figura:
	
O ar, encerrado entre as camadas de ar logo acima, acelera no extradorso, enquanto a superfície reta do intradorso sofre uma aceleração mínima do escoamento. Lembrando novamente o teorema de Bernoulli, que quanto maior a pressão dinâmica, menor será a pressão estática, o resultado disso será pressão estática no extradorso menor que a pressão estática no intradorso.
Como as pressão estáticas atuam por todos os lados em todas as direções, no extradorso ela atuará de cima para baixo, e no intradorso atará de baixo para cima. Como a pressão estática no intradorso (de baixo para cima) será maior que a pressão estática no extradorso, a asa ganhará sustentação. Essa força de sustentação deverá ser igual ao peso do avião para fazê-lo voar em linha reta. Como essas forças mudam de intensidade com a mudança da velocidade do ar, essa força pode às vezes ser superior ou inferior, devendo ser compensada com mudanças no ângulo de ataque do avião.
Para efeito de explicação:
Ângulo de Ataque: são as mudanças que ocorrem no ângulo relativo de incidência do ar sobre a asa. Esse ângulo não tem a ver com a atitude da aeronave em relação ao horizonte, é apenas o ângulo formado pela corda da asa e o vento relativo que bate no bordo de ataque.
As asas simétricas possuem os dois lados iguais, então, como voam?
Vamos observar o perfil de uma asa simétrica:
	
As asas simétricas são muito usadas em aviões acrobáticos, pois propiciam melhor capacidade para o vôo de dorso, já que o ângulo de ataque será o mesmo que na posição normal. As asas simétricas somente proporcionam sustentação a partir de um determinado ângulo de ataque positivo. Em asas assimétricas, este ângulo é muito menor devido ao se formato.
O escoamento do ar em uma asa simétrica se dá, como falamos antes, apartir de um determinado ângulo de ataque. Veja a figura:
	
A partir de um certo ângulo de ataque, o vento relativo passa a percorrer um caminho maior por cima do que por baixo, pois o intradorso diminui a sua área de incidência do escoamento ao passo que o extradorso aumenta a mesma. Isso produzirá a situação de sustentação.
Essa pressão, para o uso na aviação, é a pressão atmosférica. 
Após vários refinamentos matemáticos nas fórmulas que nos permite equacionar a sustentação e o arrasto, temos:
Para a sustentação:
Para o arrasto causado pela asa:
onde:
L= sustentação;
Cl = coeficiente de sustentação;
 = densidade do ar;
v= velocidade;
S= Área da seção vertical da asa;
CD= coeficiente de arrasto.