IAL_2

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3 – Eliminação Gaussiana
 Substituir o sistema por um sistema equivalente mais fácil de resolver. Forma escalonada reduzida.
Exemplo:
 
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Quais as características da forma escalonada:
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 Forma escalonada reduzida:
Exemplo:
 Matriz escalonada reduzida Matriz escalonada
 
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 Forma escalonada reduzida:
Exemplo:
 Matriz escalonada reduzida Matriz escalonada
 
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 Identifique se a matriz é escalonadas reduzida.
 
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 Identifique dentre as matrizes escalonadas, as escalonadas reduzidas.
 
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 Identifique dentre as matrizes escalonadas, as escalonadas reduzidas.
 
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 Identifique dentre as matrizes escalonadas, as escalonadas reduzidas.
 
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 Identifique dentre as matrizes escalonadas, as escalonadas reduzidas.
 
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Algoritmo de escalonamento (Eliminação de Gaussiana)
Operações elementares
Multiplicar;
Trocar;
Somar.
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Operações elementares
Multiplicar;
Trocar;
Somar.
X K + Linha 1
K x
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Exemplo: Utilize as operações sobre linhas para encontrar um sistema equivalente no formato de uma matriz escalonada reduzida.
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L1
L2
L3
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-2L1 + L2 = L2
-3L1 + L3 = L3
Passo 1: Use a variável x1 (que corresponde ao pivô da 1º linha) para eliminar as demais variáveis x1
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½ L2 = L2
-3L2 + L3 = L3
-L2 + L1 = L1
Passo 3
Passo 2: Use a variável x2 (que corresponde ao pivô da 2º linha) para eliminar as demais variáveis x2
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2L3 = L3
x 2
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-11/2 L3 + L1 = L1
7/2 L3 + L2 = L2
Passo 3
Passo 3: Use a variável x3 (que corresponde ao pivô da 3º linha) para eliminar as demais variáveis x3
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x1
x2
x3
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
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Passo 1: Use a variável x1 (que corresponde ao pivô da 1º linha) para eliminar as demais variáveis x1
Passo 3
Passo 2: Use a variável x2 (que corresponde ao pivô da 2º linha) para eliminar as demais variáveis x2
Passo 3
Passo 3: Use a variável x3 (que corresponde ao pivô da 3º linha) para eliminar as demais variáveis x3
Matriz escalonada
Eliminação Gaussiana
Passos subsequentes
Eliminação de Gauss-Jordan
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Suponha a matriz resultado:
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Suponha a matriz resultado:
Impossível !!!
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Exercício proposto:
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 Exemplo 2 – Aplique as operações elementares para transformar a matriz abaixo para a forma escalonada e, depois, para forma escalonada reduzida.
É provável ser um sistema de várias soluções!!!
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x1 e x2
Variáveis dependentes
Colunas pivô
 Seja:
x3
Variável livre
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 Exemplo 2 – Aplique as operações elementares para transformar a matriz abaixo para a forma escalonada e, depois, para forma escalonada reduzida.
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 Exemplo 2 – Aplique as operações elementares para transformar a matriz abaixo para a forma escalonada e, depois, para forma escalonada reduzida.
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Passo 1
Identificar a primeira coluna não nula (coluna pivô);
O elemento pivô número não nulo.
L1
L3
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Passo 2: Use a variável x1 (que corresponde a pivô da 1º linha) para eliminar as demais variáveis x1
- L1 + L2 = L2
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Passo 3
- 3/2L2 + L3 = L3
Passo 3: Use a variável x2 (que corresponde ao pivô da 2º linha) para eliminar as demais variáveis x2
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9/2L2 + L1 = L1
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Passo 3
-2L3 + L2 = L2
-15L3 + L1 = L1
Passo 4: Use a variável x5 (que corresponde ao pivô da 3º linha) para eliminar as demais variáveis x5
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Passo 3
1/3L1 = L1
1/2L2 = L2
Passo 5: Verifique se a matriz equivalente está no formato de matriz escalonada reduzida.
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Passo 3
Passo 6: Solução do sistema.
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