Autovalores e Autovetores em Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 9- AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES– AULA 9 
ÁLGEBRA LINEAR 
Conteúdo Programático desta aula 
 
. Operador Linear 
 
. Método do Polinômio Característico 
 
. Método do Polinômio Característico: 
 Determinação dos Autovalores e Autovetores de uma 
Matriz 
 
 
 
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES– AULA 9 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
OPERADOR LINEAR 
DEFINIÇÃO 
 Como vimos anteriormente um operador linear é uma 
transformação linear de um espaço vetorial V nele próprio 
T:VV. Desse modo, toda matriz que representa um operador 
linear em relação a uma base de V é sempre quadrada e de 
ordem (dimV x dimV). 
Exemplo: 
T(x,y) = (x-y , x+y) é um operador linear do espaço R² no 
espaço R². 
A matriz que representa essa operação na base canônica do 
R² é: M = 1 -1 
 1 1 
 
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DEFINIÇÃO 
 Se é um operador linear, então um escalar 
é chamado um AUTOVALOR DE T se existe um vetor não nulo x 
em tal que T(x) = x. 
 Os vetores não nulos x que satisfazem esta equação são 
chamados AUTOVETORES DE T ASSOCIADOS A . 
Exemplo. 
Seja o Operador Linear T:R²R² dado por : T(x,y) = (2x , -2y) 
Devemos achar os vetores v((x,y) ≠ (0,0) do espaço R² de 
modo que: 
 T(x,y)=(2x,-2y)= (x,y) 
ou queremos encontrar soluções não nulas para o sistema 
linear homogêneo a seguir: 
 
 
RRT
nn
: 
R
n



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 Tais soluções ocorrem quando o determinante da matriz 
dos coeficientes do sistema for necessariamente igual a 
zero. 
Assim: 
det 2- 0 = 0 => 2- 0 = 0 => 
 0 - 2- 0 -2- 
 
 (2- )(-2- ) = 0 => ou que são os 
 AUTOVALORES do Operador Linear T 
)(
0)2(0
0)2(
2
2
I
yx
x
yy
xx



















  21  22 
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 Os autovetores são obtidos resolvendo-se o sistema (I) 
para cada autovalor encontrado. 
 
Assim: 
 
-Para o autovalor =2 , o sistema (I) se reduz a: 
 
-  x= qualquer valor real 
 
-  y=0 
- Logo os AUTOVETORES associados ao autovalor = 2 são 
da forma: 
 
- com xR e x≠0} 






040
000
yx
yx

 )0,(
1
xV 
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-Para o autovalor = -2, o sistema (I) se reduz a: 
 
 
- qualquer valor real 
 
- Logo os AUTOVETORES associados ao autovalor =-2 são 
da forma: 
 
- {(0,y) com yR e x≠ 0} 
 
 
 
 






yyx
xyx
000
0004

V 2
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MÉTODO DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO 
 Seja A uma matriz de ordem nxn que representa o 
operador linear T em uma base do espaço . Para determinar 
os autovalores e autovetores da matriz A devemos resolver a 
equação matricial Av = v sendo real e v≠ 0  
 Os autovalores da matriz A serão dados pelas raízes 
reais de um polinônio em do grau n denotado por p( ) 
que se chama POLINÔMIO CARACTERÍSTICO. 
 Os autovetores de A serão dados pela resolução de um 
sistema linear homogêneo de equações do tipo 
indeterminado. 
R
n
  Rn
 
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MÉTODO DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO - DETERMINAÇÃO 
DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ 
 
 Seja A uma matriz de ordem nxn. 
1º) Representar a matriz onde In é a matriz 
identidade de mesma ordem de A 
2º) Obter o polinômio característico da matriz A: 
 p( ) = det = 0 
3º) Os autovalores da matriz A serão dados pelas raízes do 
polinômio característico p( ) 
4º) Para cada valor encontrado resolver o sistema 
homogêneo v = 0 , para v ≠ 0. 
)( InA 
 )( InA 


)( InA 
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EXEMPLO 
Calcular os autovalores e autovetores da matriz A = 1 2 
 0 -1 
SOLUÇÃO 
1º) A - I2 = 1 2- 1 0 1- 2 
 0 -1 0 1 = 0 -1- 
 
 
2º) p( ) = det (A - I2) = ² - 1 = 0 
 
3º) Os AUTOVALORES DA MATRIZ A são as raízes de p( ) dadas 
por e . 
 
 
 
 
  

1
1
 1
2

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4º) Para 1 = 1 , o sistema a ser desenvolvido é: 
 
 
 que possui solução dada por: 
 
 Para 2 =-1 , o sistema a ser desenvolvido é: 
 
 
 que possui solução dada por: 
 






0020
020
yyx
yx
)0,(
1
xV 






000
022
yx
yxyx
),(
2
yyV 
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Na aula de hoje estudamos: 
 
. Operador Linear 
 
. Método do Polinômio Característico 
 
. Método do Polinômio Característico: 
 Determinação dos Autovalores e Autovetores de uma 
Matriz