Modulo Matemática Básica

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CONHECIMENTOS NUMÉRICOS 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
As operações matemáticas básicas são ​adição, subtração​, ​multiplicação e ​divisão​. Além 
dessas, existem ​potenciação​, ​radiciação e outras que só são estudadas adiante, no 
Ensino Superior. Essas operações possuem propriedades básicas que serão listadas 
neste artigo e são divididas em dois grupos: no primeiro, adição e subtração; no 
segundo, multiplicação e divisão. Isso acontece porque essas operações são 
consideradas inversas. 
A adição é a operação matemática que reúne objetos que possuem a mesma natureza, 
mas que estão em dois grupos distintos. Por exemplo: João possuía uma caixa com 12 
lápis de cor. Quando chegou em casa, ganhou de seus pais uma nova caixa com outros 
12. Agora ele possui 24 lápis de cor. Nesse exemplo, os lápis foram somados. 
A subtração é a operação matemática que retira elementos de mesma natureza de um 
grupo. Por exemplo, se João resolvesse dar 4 de seus lápis a um amigo, ficaria apenas 
com 20. 
Quando a adição é definida no conjunto dos ​números inteiros​, que possui números 
negativos, a subtração passa a ser considerada uma adição de inversos aditivos. Essa, 
na verdade, é uma das propriedades da adição, que será explicada a seguir. 
Propriedades da adição 
1 – A ordem em que dois números são somados não altera o resultado da soma. 
Matematicamente: 
a + b = b + a 
Essa propriedade é chamada de ​comutatividade​. 
2 – Em uma soma de três números: a + b + c, somar a + b e depois c tem o mesmo 
resultado que somar b + c e depois a. Matematicamente: 
(a + b) + c = a + (b + c) 
Essa propriedade é chamada de ​associatividade​. 
3 – Existe um número, chamado de ​elemento neutro (nesse caso, zero), que não 
influencia o resultado da soma. Assim: 
a + 0 = 0 + a = a 
4 – Para todo número x existe um número – x em que a soma entre eles é igual a 0. 
x + (– x) = 0 
1 
https://www.preparaenem.com/matematica/adicao-e-subtracao-de-numeros-inteiros-.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/dicas-para-calculo-multiplicacao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/algoritmo-divisao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/potenciacao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/radiciacao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros-.htm
 
Essa última propriedade permite compreender a subtração como uma adição de 
inversos aditivos. Isso, de certa forma, permite incluir a operação subtração na 
operação adição, tornando-as uma só. Contudo, para melhor compreensão dos alunos, 
esse detalhe é pouco mencionado em sala de aula. 
Assim, a subtração 77 – 42 pode ser vista como a seguinte adição: 
77 + (– 42) 
Por isso, foram criadas regras de sinais para adição de números reais, que são as 
seguintes: 
a) Se os sinais dos números forem positivos, o resultado da soma será positivo; 
b) Se os sinais dos números forem negativos, o resultado da soma será negativo; 
c) Se os sinais dos números forem diferentes, devemos diminuí-los e manter no 
resultado o sinal daquele que possui o maior módulo, ou seja, aquele que é maior, 
independentemente do sinal. 
Essas regras são muito substituídas em sala de aula pelo seguinte: 
Sinais iguais, soma e conserva. 
Sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior. 
Multiplicação e divisão 
Algo parecido acontece com a multiplicação e divisão. Todavia, antes de expor esse 
fato, é necessário compreender essas operações e conhecer suas propriedades. 
A multiplicação é entendida como uma sequência de somas em que as parcelas são 
números iguais. Veja uma soma que contém 8 parcelas: 
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 
A multiplicação substitui a notação da soma pela seguinte: 
8·4 
8 é o número de parcelas e 4 é o número que está sendo somado. 
Observando que o resultado da multiplicação acima é 32, pois a soma de 8 parcelas do 
número 4 é igual a 32, podemos definir a divisão como operação inversa: 32 objetos 
divididos igualmente em 8 partes. Cada parte ficará com 4 desses 32 elementos. 
As operações multiplicação e divisão também são inversas, o que nos faz pensar se, 
assim como adição e subtração, também é possível compreender a divisão como uma 
multiplicação por inversos. A resposta é sim e isso depende de uma das propriedades 
da multiplicação. 
Propriedades da multiplicação 
1 – A ordem em que os fatores são multiplicados não altera o resultado do produto 
(sinônimo de multiplicação). Matematicamente: 
2 
 
a·b = b·a 
Essa propriedade é chamada de ​comutatividade​. 
2 – Em uma multiplicação que envolve 3 números, multiplicar os dois primeiros e 
depois o último tem o mesmo resultado que multiplicar os dois últimos e depois o 
primeiro. Observe: 
(a·b)·c = a·(b·c) 
Essa propriedade é chamada de ​associatividade​. 
3 – Existe um elemento (nesse caso, o número 1), chamado de ​elemento neutro​, que 
não influencia o resultado de uma multiplicação. Matematicamente: 
a·1 = 1·a = a 
4 – Para todo número, existe um ​elemento inverso​, e a multiplicação de um número 
pelo seu inverso resulta no elemento neutro. Assim: 
a·(1/a) = 1 
O elemento inverso da multiplicação é representado por uma fração e dá precedentes 
para que qualquer divisão seja a multiplicação de um número por algum inverso. Por 
exemplo, a divisão 16:4 é o mesmo que a multiplicação a seguir: 
16·1/4 
O resultado dessa multiplicação é 4. 
Também existem regras de sinais para a multiplicação. Elas são as seguintes: 
“​Em uma multiplicação, sinais iguais têm como resultado um número positivo e sinais 
diferentes têm como resultado um número negativo.” 
Propriedade distributiva 
Existe ainda uma propriedade que envolve multiplicação e adição ao mesmo tempo. 
Assim, conforme o discutido acima, também envolve divisão e subtração igualmente. 
Dados os números reais a, b e c, vale: 
a·(b + c) = a·b + a·c 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles 
são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da 
matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e 
subconjuntos. 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
3 
 
O conjunto dos ​números naturais é representado por N. Ele reúne os números que 
usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
● N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números 
naturais não-nulos, ou seja, sem o zero. 
● Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais 
pares. 
● Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números 
naturais ímpares. 
● P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos ​números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos 
números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z 
(N ⊂ Z): Subconjuntos dos Números Inteiros 
● Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos 
números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero. 
● Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. 
Note que Z+ = N. 
● Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem ozero. 
● Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros 
não-positivos. 
● Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e 
sem o zero. 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
O conjunto dos ​números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que 
podem ser escritos na forma p/q, sendo ​p​ e ​q​ números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto 
de Q. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
4 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
 
● Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números 
racionais sem o zero. 
● Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos 
números racionais positivos e o zero. 
● Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números 
racionais positivos, sem o zero. 
● Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos 
números racionais negativos e o zero. 
● Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números 
racionais negativos, sem o zero. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
O conjunto dos ​números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais 
não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... 
ou 1,203040... 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não 
irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 
1,3333333... 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos ​números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos 
números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, 
Q e I são subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. 
Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
● R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
● R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
● R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
● R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
● R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
5 
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
 
 
Intervalos Numéricos 
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de 
intervalos. Sejam ​a ​e​ b​ números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais: 
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b} 
 
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x 
< b} 
 
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x 
≤ b} 
 
Propriedades dos Conjuntos Numéricos 
 
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas 
propriedades: 
● O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: 
Z (N ⊂ Z). 
6 
 
● O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: 
(Z ⊂ Q). 
● O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais 
(R). 
● Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais 
(I) são subconjuntos dos números reais (R). 
 
DIVISIBILIDADE 
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que 
permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são 
chamadas de critérios de divisibilidade. 
Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, 
ou seja, quando ele é par. 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos 
for divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é 
divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado 
pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. 
Exemplo: 
1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 
7 
 
Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado 
pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos 
for divisível por 9. 
Exemplo: 
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 
18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. 
8 
 
Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos 
dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. 
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas 
de 3ª ordem, e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
1) 87549 
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 
Si-Sp = 22-11 = 11 
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 
2) 439087 
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 
Si-Sp = 10-21 
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 
(diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 
21. Então temos a subtração 21-21 = 0. 
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
Divisibilidade por 12 
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 
Exemplos: 
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos 
algarismos, 20). 
9 
 
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 
3) 340 não é divisível por 12 (é divisívelpor 4, mas não é divisível por 3). 
 
Divisibilidade por 15 
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. 
Exemplos: 
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). 
Divisibilidade por 25 
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. 
Exemplos: 
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o 
coeficiente entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando 
duas razões possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas 
grandezas são proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de 
razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas 
proporcionais entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as ​unidades de medida terão de ser 
as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas ​A​ e ​B ​temos: 
10 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa ​fração​, o numerador é o número acima e o denominador, o de 
baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo ​porcentagem​, também 
chamada de razão centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de 
antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
11 
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também 
chamado de “quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada 
pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita através da ​regra de três​, utilizamos o cálculo 
da proporção para encontrar o valor procurado. 
Veja também: ​Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
 é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
 
 
 
 
 
 
 
12 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/grandezas-proporcionais-grandezas-diretamente-inversamente-proporcionais/
 
PORCENTAGEM 
A Porcentagem ou Percentagem representa uma razão cujo denominador é igual a 100 
e indica uma comparação de uma parte com o todo. 
O símbolo % é usado para designar a porcentagem. Um valor em porcentagem, pode 
ainda ser expresso na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) ou como 
um número decimal. 
Exemplo: 
 
Para facilitar o entendimento, veja a tabela abaixo: 
13 
Porcentagem Razão Centesimal Número Decimal 
1% 1/100 0,01 
5% 5/100 0,05 
10% 10/100 0,1 
120% 120/100 1,2 
250% 250/100 2,5 
 
Como Calcular a Porcentagem? 
Podemos utilizar diversas formas para calcular a porcentagem. Abaixo apresentamos 
três formas distintas: 
● regra de três 
● transformação da porcentagem em fração com denominador igual a 100 
● transformação da porcentagem em número decimal 
Devemos escolher a forma mais adequada de acordo com o problema que queremos 
resolver. 
Exemplos: 
1) Calcule 30% de 90 
Para usar a regra de três no problema, vamos considerar que 90 corresponde ao todo, 
ou seja 100%. O valor que queremos encontrar chamaremos de x. A regra de três será 
expressa como: 
 
 
Para resolver usando frações, primeiro temos que transformar a porcentagem em uma 
fração com denominador igual a 100: 
 
Podemos ainda transformar a porcentagem em número decimal: 
30% = 0,3 
0,3 . 90 = 27 
O resultado é o mesmo nas três formas, ou seja 30% de 90 corresponde a 27. 
2) 90 corresponde a 30% de qual valor? 
14 
 
Note que nesse exemplo, já conhecemos o resultado da porcentagem e queremos 
conhecer o valor que corresponde ao todo (100%). 
Usando a regra de três, temos: 
 
 
Podemos ainda resolver o problema transformando a porcentagem em número 
decimal: 
30% = 0,3 
Então é só resolver a seguinte equação: 
 
Assim, 30% de 300 é igual a 90. 
3) 90 corresponde a quanto por cento de 360? 
Podemos resolver esse problema escrevendo na forma de fração: 
 
Ou ainda, podemos resolver usando regra de três: 
 
 
Desta forma, 90 corresponde a 25% de 360. 
15 
 
JUROS 
JUROS SIMPLES 
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de um aplicação financeira 
ou de uma compra feita a crédito, por exemplo. 
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A 
esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em 
porcentagem. 
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou 
aplicado ou emprestado. 
Exemplo 
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, 
em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas 
compras a prazo, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar? 
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos 
pagar. Assim, se compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido 
pela taxa cobrada. 
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 
reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos: 
 
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de 
R$ 212. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60 a mais do valor inicial. 
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060. 
Fórmula: Como Calcular o Juros Simples? 
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de 
número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
16 
 
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do 
período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital). 
Sua fórmula será: 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
Exemplos 
1) Quanto rendeu a quantia de R$ 1200, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% 
ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? 
Sendo: 
C = 1200 
i = 2% ao mês = 0,02 
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma 
unidade de tempo da taxa de juros. 
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360. 
2) Um capital de R$ 400, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, 
resultou no montantede R$ 480 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? 
Considerando, 
C = 400 
i = 4% ao mês = 0,04 
M = 480 
temos: 
 
17 
 
JUROS COMPOSTOS 
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, 
o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados 
(juros sobre juros). 
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado 
nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou 
investimentos). 
Exemplo 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a 
juros de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período? 
18 
Mês Juros Valor 
1 10% de 10000 = 1000 10000 + 1000 = 11000 
2 10% de 11000 = 1100 11000 + 1100 = 12100 
3 10% de 12100 = 1210 12100 + 1210 = 13310 
 
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final 
do período será resgatado o valor de R$13.310,00. 
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em 
matemática financeira​. São eles: 
● Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento. 
● Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital. 
● Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode 
ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano. 
● Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros. 
Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos? 
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão: 
M = C (1+i)t 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
t: período de tempo 
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. 
Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo 
devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula: 
J = M - C 
Exemplos 
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros 
compostos. 
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos 
sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da 
taxa mensal de juros? 
Sendo: 
C = 500 
M = 800 
19 
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
 
t = 4 
Aplicando na fórmula, temos: 
 
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos 
multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 
12,5 % ao mês. 
2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros 
compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês? 
Sendo: 
C = 5000 
i = 1% ao mês (0,01) 
t = 1 semestre = 6 meses 
Substituindo, temos: 
M = 5000 (1 + 0,01)6 
M = 5000 (1,01)6 
M = 5000 . 1,061520150601 
M = 5307,60 
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, 
assim: 
J = 5307,60 - 5000 = 307,60 
O juro recebido será de R$ 307,60. 
3) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$20 000,00 gere o montante de R$ 
21 648,64, quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos? 
Sendo: 
C = 20000 
20 
 
M = 21648,64 
i = 2% ao mês (0,02) 
Substituindo: 
 
O tempo deverá ser de 4 meses. 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica corresponde a uma 
função dentro de um agrupamento de números. 
De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma 
sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto. 
Classificação 
As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, por exemplo: 
SF = (2, 4, 6, ..., 8) 
SI = (2,4,6,8...) 
Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas reticências no 
final. Além disso, vale lembrar que os elementos da sequência são indicados pela letra 
a. Por exemplo: 
1° elemento: a1 = 2 
21 
 
4° elemento: a4 = 8 
O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo representado por an. 
Nesse caso, o an da sequência finita acima seria o elemento 8. 
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira: 
SF = (a1, a2, a3,...,an) 
SI = (a1, a2, a3, an...) 
Lei de Formação 
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada para calcular qualquer termo de uma 
sequência, expressa pela expressão: 
an = 2n2 - 1 
Lei de Recorrência 
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer termo de uma sequência numérica a 
partir de elementos antecessores: 
an = an-1, an-2,...a1 
Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 
Dois tipos de sequências numéricas muito utilizadas na matemática são as progressões 
aritmética e geométrica. 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA ( P.A) 
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre 
dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de 
razão da P.A.. 
Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são 
resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior. 
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são 
multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados. 
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos 
(P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita). 
Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por 
exemplo: 
● a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita. 
● a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita. 
22 
 
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para 
representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um 
número que indica sua posição na sequência. 
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que 
ocupa a 4ª posição na sequência. 
Classificação de uma P.A. 
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em: 
● Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), 
sendo r = 0. 
● Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), 
sendo r = 2. 
● Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r 
= - 5 
Propriedades da P.A. 
1ª propriedade: 
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma 
dos extremos. 
Exemplo 
 
2ª propriedade: 
23 
 
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a 
média aritmética dos outros dois termos. 
Exemplo 
 
3ª propriedade: 
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média 
aritmética do primeiro termo com o último termo. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de 
quaisquer termos consecutivos, ou seja: 
 
24 
 
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo: 
 
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo: 
 
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos: 
 
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar: 
 
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do 
primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior. 
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termogeral da P.A., que nos permite 
conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos: 
 
Onde, 
an : termo que queremos calcular 
a1: primeiro termo da P.A. 
n: posição do termo que queremos descobrir 
r: razão 
Exemplo 
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...) 
Solução 
Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). 
Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos: 
an = a1 + (n - 1) . r 
a10 = 26 + (10-1) . 5 
a10 = 26 + 9 .5 
a10 = 71 
25 
 
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71. 
Soma dos Termos de uma P.A. 
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula: 
 
Onde, 
Sn: soma dos n primeiros termos da P.A. 
a1: primeiro termo da P.A. 
an: ocupa a enésima posição na sequência 
n: posição do termo 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ( P.G) 
Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente 
(q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual. 
Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, 
corresponderá ao próximo número, por exemplo: 
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...) 
No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os 
números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o 
número 2: 
2 . 2 = 4 
4 . 2 = 8 
8 . 2 = 16 
16 . 2 = 32 
32 . 2 = 64 
64 . 2 = 128 
128 . 2 = 256 
Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número 
racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0). 
 
26 
 
Classificação das Progressões Geométricas 
De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) 
em 4 tipos: 
PG Crescente 
Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, 
por exemplo: 
(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3 
PG Decrescente 
Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada 
por números decrescentes. 
Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por 
exemplo: 
(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3 
PG Oscilante 
Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e 
positivos, por exemplo: 
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2 
PG Constante 
Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por 
exemplo: 
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1 
 
Fórmula do Termo Geral 
Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão: 
 
Onde: 
an: número que queremos obter 
a1: o primeiro número da sequência 
27 
 
q(n-1)​: razão elevada ao número que queremos obter, menos 1 
Soma dos Termos da PG 
Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
onde: 
Sn: Soma dos números da PG 
a1: primeiro termo da sequência 
q : razão 
n: quantidade de elementos da PG 
Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG 
(1,2,4,8,16, 32,...): 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é 
utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n 
etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes. 
Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída 
de y possibilidades, então existem x . y possibilidades. 
Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas 
para determinar o total de possibilidades. 
28 
 
Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne 
os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é 
muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de 
fenômenos. 
Exemplo 1 
João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do 
hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do 
shopping para o centro histórico. 
 
De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando 
pelo shopping? 
Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a 
estrutura de um problema e visualizar o número de combinações. 
Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de 
árvore. 
29 
 
 
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping 
para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12. 
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, 
efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. 
Exemplo 2 
Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos 
principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma 
refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? 
Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos 
menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S). 
30 
 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam 
ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. 
CONHECIMENTOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Média, Moda e Mediana são medidas de tendência central utilizadas em estatística. 
Média 
A média (Me) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de dados e 
dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto. 
Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais adequada para 
situações em que os dados são distribuídos mais ou menos de forma uniforme, ou 
seja, valores sem grandes discrepâncias. 
Fórmula 
 
31 
 
Sendo, 
Me: média 
x1, x2, x3,..., xn: valores dos dados 
n: número de elementos do conjunto de dados 
Exemplo 
Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes idades: 28, 27, 19, 
23 e 21 anos. Qual a média de idade desta equipe? 
Solução 
 
Média Aritmética Simples 
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são 
relativamente uniformes. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. 
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso). 
Fórmula 
 
Onde, 
Ms: média aritmética simples 
32 
 
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados 
n: número de dados 
Exemplo: 
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que 
ele obteve no curso? 
 
Média Aritmética Ponderada 
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de 
dados pelo seu peso. 
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos. 
Fórmula 
 
Onde, 
Mp: Média aritmética ponderada 
p1, p2,..., pn: pesos 
33 
 
x1, x2,...,xn: valores dos dados 
Exemplo: 
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média 
que o aluno obteve no curso. 
34 
Disciplina Nota Peso 
Biologia 8,2 3 
Filosofia 10,0 2 
Física 9,5 4 
Geografia 7,8 2 
História 10,0 2 
Língua Portuguesa 9,5 3 
Matemática 6,7 4 
 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
A média geométrica é definida, para números positivos, como a raiz n-ésima do 
produto de ​n​ elementos de um conjunto de dados. 
Assim comoa média aritmética, a média geométrica também é uma medida de 
tendência central. 
É usada com mais frequência em dados que apresentam valores que aumentam de 
forma sucessiva. 
Fórmula 
 
Onde, 
MG: média geométrica 
n: número de elementos do conjunto de dados 
x1, x2, x3, ..., xn: valores dos dados 
Exemplo: ​Qual o valor da média geométrica entre os números 3, 8 e 9? 
Como temos 3 valores, iremos calcular a raiz cúbica do produto. 
35 
 
 
Aplicações 
Como o próprio nome indica, a média geométrica sugere interpretações geométricas. 
Podemos calcular o lado de um quadrado que possui a mesma área de um retângulo, 
usando a definição de média geométrica. 
Exemplo: 
Sabendo que os lados de um retângulo têm 3 e 7 cm, descubra qual a medida dos 
lados de um quadrado com a mesma área. 
 
Uma outra aplicação muito frequente é quando queremos determinar a média de 
valores que alteraram de forma contínua, muito usada em situações que envolvem 
finanças. 
Exemplo: 
Um investimento rende no primeiro ano 5%, no segundo ano 7% e no terceiro ano 
6%. Qual o rendimento médio desse investimento? 
Para resolver esse problema devemos encontrar os fatores de crescimento. 
36 
 
● 1.º ano: rendimento de 5% → fator de crescimento de 1,05 (100% + 5% = 
105%) 
● 2.º ano: rendimento de 7% → fator de crescimento de 1,07 (100% + 7% = 
107%) 
● 3.º ano: rendimento de 6% → fator de crescimento de 1,06 (100% + 6% = 
106%) 
 
Para encontrar o rendimento médio devemos fazer: 
1,05996 - 1 = 0,05996 
Assim, o rendimento médio dessa aplicação, no período considerado, foi de 
aproximadamente 6%. 
Moda 
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo 
assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem. 
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, 
dois valores são mais frequentes. 
Exemplo 
Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 
34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra? 
Solução 
37 
 
Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que apresentou 
maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a: 
Mo = 36 
Mediana 
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o 
valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente. 
Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela 
média dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por 
dois. 
Exemplos 
1) Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de 
alunos. Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 
m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas 
dos alunos? 
Solução 
Primeiro devemos colocar os valores em ordem. Neste caso, colocaremos em ordem 
crescente. Assim, o conjunto de dados ficará: 
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78 
Como o conjunto é formado por 9 elementos, que é um número ímpar, então a 
mediana será igual ao 5º elemento, ou seja: 
Md = 1,65 m 
2) Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 44, 15, 32). 
38 
 
Solução 
Primeiro precisamos colocar os dados em ordem, assim temos: 
15, 15, ​27, 32​, 32, 44 
Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, a mediana será 
igual a média dos elementos centrais, ou seja: 
 
 
 
 
39