Exercicios Resolvidos_2011

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Exerćıcios de Cálculo Diferencial e Integral I,
Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes
2011
1
Introdução
Neste texto apresentam-se os enunciados de conjuntos de exerćıcios para as aulas
de problemas do curso de Cálculo Diferencial e Integral I do Mestrado em Engenharia
Aeroespacial e do Mestrado em Engenharia Mrcância.
Complementam-se esses enunciados com conjuntos de exerćıcios resolvidos ver-
sando a matéria associada a cada um dos referidos conjuntos de exerćıcios.
2
1a Ficha de problemas
Prinćıpio de indução matemática. O axioma do supremo e suas consequências
1. Usando o prinćıpio de indução matemática, demonstre as seguintes afirmações:
a) 52n − 1 é divisivel por 8, qualquer que seja n ∈ N
b) n < 2n, n ∈ N
c)
n∑
k=1
(2k − 1) = n2, n ∈ N
d)
1
1.2
+
1
2.3
+ ...+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
, n ∈ N
2. Mostre que o conjunto
{x ∈ R : |x− 2|+ |x+ 1| < 5}
é limitado.
3. Considere os seguintes conjuntos:
A = {x ∈ R : |x|+1 > 2x} B = {x ∈ R : x4+3x3+2x2 ≤ 0} C = R\Q
(a) Mostre que A =] −∞, 1[ e B = [−2,−1] ∪ {0}. Verifique se os conjuntos
A, B, C, A∩B ∩C, são majorados ou minorados e caso sejam, indique em
R o conjunto dos majorantes e dos minorantes dos mesmos.
(b) Caso existam, determine em R o supremo, infimo, máximo e minimo de
cada um dos conjuntos A, B, C, A ∩B ∩ C.
4. Mostre que, se X e Y são subconjuntos de R, tais que, supX > inf Y , existem
x ∈ X e y ∈ Y , tais que, y < x
3
Exerćıcios resolvidos
Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que, para todo o n ∈ N, o
natural n3 + 2n é diviśıvel por 3.
Resolução. Pretende-se provar que n3 + 2n = 3k para algum k ∈ Z, qualquer
que seja n ∈ N. Para base da indução tem-se, com n = 1,
13 + 2.1 = 3⇒ k = 1 ∈ Z
logo a base da indução é uma proposição verdadeira. Para o passo indutivo, n3+2n =
3k ⇒ (n+ 1)3 + 2(n+ 1) = 3k′ (k, k′ ∈ Z), tem-se
(n+1)3+2(n+1) = (n3+2n)+(3n2+3n+3) = 3(k+n2+n+1)⇒ k′ = k+n2+n+1 ∈ Z
Logo o passo indutivo é verdadeiro e proposição é verdadeira para todo o n ∈ N.
4
2a Ficha de problemas
Sucessões de números reais
1. Considere a sucessão xn
x1 =
3
2
xn+1 =
1
3
(x2n + 2)
a) Recorrendo ao prinćıpio de indução matemática, verifique que 1 < xn < 2,
n ∈ N.
b) Mostre que a sucessão é decrescente.
c) A sucessão xn é convergente em R? Justifique.
2. Seja un o termo geral de uma sucessão tal que, para qualquer n ∈ N,
un > 0 e
un+1
un
< 1
a) Justifique que a sucessão un é convergente. Mostre ainda, recorrendo à
definição de limite, que o limite de un não pode ser um número negativo.
b) Indique o supremo e o ı́nfimo do conjuntos dos termos da sucessão e conclua
se este conjunto tem máximo ou mı́nimo? Justifique abreviadamente as
respostas.
3. Determine, se existirem, os limites das sucessões que têm por termo de ordem n:
a)
n2 − 1
n4 + 3
, b)
2n + 1
2n+1 − 1
, c)
n
1
2 + n
n
1
3 + (n2 + 1)
5
2
, d)(1 +
1
n3
)
n2
, e)
(1
4
)
−n
9
n
2
(1
4
)
−n
+ 9
n
2
.
4. Considere as sucessões xn e yn, tais que xn é uma sucessão monótona, yn é uma
sucessão limitada
|xn − yn| <
1
n
n ∈ N.
a) Mostre que a sucessão xn é limitada.
b) Mostre que as sucessões xn e yn são convergentes e que
lim
n→+∞
xn = lim
n→+∞
yn = a ∈ R
5
3a Ficha de problemas
Sucessões de números reais
1. Determine, se existirem em R, os limites das sucessões que têm por termo de
ordem n:
a)
nn
3nn!
, b)
3n
n2
, c)
n80 + n!
nn + 50n!
, d) n
√
(n+ 1)!− n!
2. Analise as sucessões un, vn e wn do ponto de vista da convergência e determine,
caso existam, os seus sublimites
a)un = cos(n!π), b)vn =
n cos(nπ)
2n+ 1
, c)wn = sen(
nπ
2
) + cos(
nπ
2
)
3. a) Mostre que se u2n converge para a ∈ R e u2n+1 converge para b ∈ R, então
a e b são os únicos sublimites de un.
b) Mostre que se u2n, u2n+1, u3n são convergentes então un é convergente.
4. Considere a sucessão de termos positivos, xn, definida por
x1 = 3 xn+1 =
3(1 + xn)
xn + 3
a) Mostre que
|xn+2 − xn+1| =
6|xn+1 − xn|
(xn + 3)(xn+1 + 3)
.
b) Mostre que a sucessão xn é contrativa ou seja que existe 0 < c < 1 tal que
|xn+2 − xn+1| ≤ c|xn+1 − xn|
c) Sendo xn convergente, determine o valor de limxn.
6
Exerćıcios resolvidos
Considere a sucessão majorada un, definida por
u1 =
√
2, un+1 =
√
3un + 2 n ∈ N
i) Mostre por indução matemática que a sucessão un é estritamente crescente.
ii) A sucessão un é convergente? Justifique.
iii) Determine o limite da sucessão vn =
32n+2 + 32n−1
9 + 9n+1
, n ∈ N.
Resolução.
i) Pretende-se provar que un+1 − un > 0 qualquer que seja n ∈ N. Para n = 1,
u2 − u1 =
√
3
√
2 + 2 −
√
2 > 0. A base da indução é, portanto, verdadeira.
Para m ∈ N mostre-se que se um+1 − um > 0 então um+2 − um+1 > 0.
Da definição da sucessão, tem-se
um+2 − um+1 =
√
3um+1 + 2−
√
3um + 2 =
(da hipótese de indução) >0︷ ︸︸ ︷
um+1 − um√
3um+1 + 2 +
√
3um + 2
> 0
Pelo prinćıpio de indução matemática un+1− un > 0, ∀
n∈N
, isto é, a sucessão un
é estritamente crescente.
ii) Da aĺınea anterior, como un é estritamente crescente é limitada inferiormente,
sendo o seu primeiro termo, u1, um dos minorantes do conjunto dos seus ter-
mos. Sendo un também majorada conclui-se que a sucessão un é uma sucessão
limitada. A sucessão un é assim convergente pois é uma sucessão monótona e
limitada.
iii)
vn =
32n+2 + 32n−1
9 + 9n+1
=
329n + 3−19n
9 + 9.9n
Dividindo ambos os membros da fracção pela exponencial dominante (de maior
base), 9n, vem
9 + 3−1
91−n + 9
−→
n→+∞
9 + 3−1
0 + 9
=
28
27
7
Considere a sucessão
un = (−1)n
sen(nπ/2)
n
, n ∈ N
i) Indique, caso existam em R, o supremo, ı́nfimo, máximo e mı́nimo do conjunto
dos termos da sucessão un.
ii) A sucessão é convergente? Justifique.
iii) A subsucessão u3n é convergente? Justifique e em caso afirmativo determine o
sublimite.
Resolução.
i) Tem-se
u4n = u4n+2 = u2n = 0 , u4n+1 =
−1
4n+ 1
e u4n+3 =
1
4n+ 3
Como as subsucessões indicadas contêm todos os termos da sucessão un, u4n+1
é crescente e u4n+3 é decrescente resulta que, qualquer que seja n ∈ N,
u1 = −1 ≤ un ≤ 1/3 = u3
Então, sendo U = {un : n ∈ N},
supU = maxU = 1/3 e inf U = minU = −1
ii) Como un é o produto de uma sucessão limitada, an = (−1)n sen(nπ/2), por
um infinitésimo, bn = 1/n, un → 0 logo trata-se de uma sucessão convergente.
iii) Dado que, pela aĺınea anterior, un é uma sucessão convergente, qualquer sub-
sucessão de un é convergente para o limite de un. Logo u3n é convergente e o
seu limite é 0.
Considere a sucessão convergente vn = xn + yn, n ∈ N em que
xn =
2n+5 − 3n
3n+1 + 22n
+
n
√
(n+ 2)!
n! + 1
e
yn+1 =
1
2
(
yn +
5
yn
)
, y1 = 1
Determine o limite da sucessão vn
8
Resolução. Tem-se
2n+5 − 3n
3n+1 + 22n
=
2−n+5 − (3/4)n
3(3/4)n + 1
→ 0− 0
3− 0 + 1
= 0
e
(n+ 3)!
(n+ 1)! + 1
(n+ 2)!
n! + 1
=
(n+ 3)!
(n+ 2)!
n! + 1
(n+ 1)! + 1
=
1 + 3n−1
1 + n−1
1 + 1
n!
1 + 1
(n+1)!
→ 1 + 0
1 + 0
1 + 0
1 + 0
= 1⇒ n
√
(n+ 2)!
n! + 1
→ 1
Logo xn → 0 + 1 = 1. Então, como yn = vn − xn, yn é uma sucessão convergente.
Sendo a ∈ R o seu limite, yn+1 → a pois é uma subsucessão de yn. Aplicando limites
a ambos os termos da igualdade que define, por recorrência, yn, tem-se, visto que
todas as sucessões envolvidas são convergentes,
a =
1
2
(
a+
5
a
)
⇔ a2 = 5⇔ a = ±
√
5
Como y1 > 0 e yn > 0 ⇒ yn+1 > 0, yn é, por indução, uma sucessão de termos
positivos. Assim, o seu limite não pode ser negativo e a =
√
5. Conclui-se, assim,
que vn → 1 +
√
5
9
4a Ficha de problemas
Funções reais de variável real. Continuidade e limites.
1. Considere a função f :]− 1, 1[→ R
f(x) =
x− 2
x+ 1
a) Calcule
lim
x→−1
f(x) e lim
x→1
f(x)
b) Mostre que f é estritamente crescente e indique, justificando, se é majorada
ou mı́norada e se tem máximo ou mı́nimo em ]− 1, 1[.
c) Se xn for uma sucessão com termos em ] − 1, 1[, convergente para 1, qual
será o limite de f(xn)? Justifique.
d)Dê um exemplo de uma sucessão yn, de termos em ]−1, 1[, tal que a sucessão
f(yn) não seja limitada.
2. Mostre, usando a definição de limite, que limx→0(1− x sen( 1x)) = 1
3. Seja a função f : R→ R, cont́ınua no ponto 1,
f(x) =

a sen(π
2
x) se x ≥ 1
arcsen(x) se − 1 < x < 1
0 se x ≤ −1.
a) Determine a.
b) Determine f( 4
π
arccos(−4
5
)) e f(cos(5π
12
)).
c) Estude a função f do ponto de vista da continuidade, em cada ponto x ∈
R. Indique o contradomı́nio da função f . Indique ainda se a função tem
no domı́nio máximo, mı́nimo, supremo ou ı́nfimo e, no caso de existência,
indique o valor.
d) Diga se existem e, no caso de existência, calcule os limites
lim
x→−∞
f(x) e lim
x→+∞
f(x)
4. Sendo g : [0, 1]→ R, uma função cont́ınua, justifique que:
10
a) Não existe qualquer sucessão xn de termos em [0, 1] tal que qualquer que
seja n ∈ N, g(xn) = n.
b) Se existe uma sucessão xn de termos em [0, 1] tal que qualquer que seja
n ∈ N, g(xn) = 1n , então existe c ∈ [0, 1] tal que g(c) = 0.
5. Seja f : [−1, 1]→ [−π
4
, π
4
], uma função cont́ınua, verificando a condição
f(−1) = f(1) = π
4
.
a) A equação f(x)− x = 1 tem solução em [−1, 1]? Justifique.
b) Determine, justificando, o limite da sucessão vn = tg(f(un)), em que
un =
1−n
n
.
11
5a Ficha de problemas
Funções reais. Diferenciabilidade.
1. Defina a derivada das seguintes funções, definidas em R:
a) f(x) =
x− 1
x2 + 3
, b) g(x) = x
3
√
x2 + 1, c) h(x) = x sen(x2).
2. Determine, conhecendo as derivadas das funções tangente e seno, as derivadas
das funções:
a) h1(x) = arctg x, ∀x ∈ R b) h2(x) = arcsen x, ∀x ∈ [−1, 1]
3. Determine a derivada para cada uma das seguintes funções:
a) earctg x, x ∈ R b) (lnx)x, x ∈]1,+∞[ c) xxx−1 , x ∈ R+
4. Seja a função f : R→ R
f(x) =

x
1−x se x < 0
arctg(x) se x ≥ 0
a) Sendo a < 0 e b > 0, calcule f ′(a) e f ′(b) e escreva equações das tangentes
ao gráfico de f nos pontos de abcissa a e b.
b) Justifique que f ′(0) = 1.
c) Utilize os resultados de a) e b) para justificar que f não tem extremos locais.
5. Considere a função f definida em R, cont́ınua no ponto 0 e tal que
f(x) =
x
2 + e
1
x
, ∀x 6= 0
Determine as derivadas laterais de f no ponto 0.
6. Seja a função definida por y =
√
chx− 1. Indique para a função referida o
domı́nio, o domı́nio de diferenciabilidade e a função derivada.
Determine as derivadas laterais em 0.
7. Determine o domı́nio, o domı́nio de diferenciabilidade e a função derivada das
funções:
a) ln (x shx); b) arcsen(arctg x); c)
ex
1 + x
; d) ln(arcsen(
x+ 1
x− 1
))
8. Sejam a, b reais e f uma função cont́ınua em [a, b] duas vezes diferenciável em
]a, b[. Suponha que o gráfico de f e o segmento de recta de extremos (a, f(a)) e
(b, f(b)) se intersectam um ponto (x0, f(x0)) com x0 pertencente a ]a, b[. Mostre
que existe c pertencente a ]a, b[ tal que f ′′(c) = 0.
12
6a Ficha de problemas
Funções reais. Diferenciabilidade
1. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→0
10x − 5x
x
b) lim
x→0+
x2 sen ( 1
x
)
senx
c) lim
x→0+
e−
1
x
x
d) lim
x→+∞
x
1
x−1
2. Calcule
a) lim
x→+∞
(lnx)
1
x b) lim
x→0+
(senx)senx c) lim
x→0+
lnx
x2eln
2 x
d) lim
x→0
(chx)cothx
3. Seja f : [−1
2
, 1
2
]→ R tal que f(x) = arctg(x2) + 1
a) Determine o polinómio de Taylor de 2o grau em potências de x.
b) Determine um majorante para o erro que se comete em [−1/2, 1/2] ao apro-
ximar f pelo polinómio indicado em a).
4. Prove que se g : R→ R é três vezes diferenciável e se g′′′(x) > 0, ∀x ∈ R, então
g não pode ter mais do que dois pontos de extremo local. Admitindo agora que
g tem de facto extremos locais em α e β, com α < β, indique se g(α) e g(β) são
máximos ou mı́nimos da função. Justifique.
Escreva a fórmula de Taylor para g e com resto de Lagrange de segunda ordem
e aproveite-a para mostrar que g(x) > g(β) para x > β.
5. Seja f : R→ R, f(x) = |x|e1−x2
a) Estude a função f do ponto de vista da continuidade e da diferenciabilidade.
Em cada ponto em que f não seja diferenciável, calcule as derivadas laterais.
b) Complete o estudo da função f , considerando em particular os aspectos se-
guintes: crescimento, extremos, concavidade, inflexões e asśıntotas. Esboce
o gráfico da função f .
13
Exerćıcios resolvidos
Seja f : R→ R a função definida por
f(x) =
{
α arctg x se x ≥ 1
e x−1 se x < 1
i) Determine para que valores de α ∈ R a função é cont́ınua no ponto 1.
ii) Sendo α = 4
π
, determine a função derivada de f .
iii) Verifique que f é uma função crescente. Determine, justificando, o seu contra-
domı́nio.
Resolução.
i) Como f está definida à esquerda e à direita do ponto 1 por expressões diferentes,
f é cont́ınua nesse ponto sse existirem e forem iguais os limites laterais f(1−)
e f(1+). Tem-se
f(1+) = lim
x→1+
α arctg x = α arctg 1 = α
π
4
f(1−) = lim
x→1−
e x−1 = e 0 = 1
Logo f é cont́ınua em 1 sse απ
4
= 1 isto é sse α = 4
π
.
ii) Comece-se por notar que f é diferenciável em todos os pontos x 6= 1 pois coin-
cide numa vizinhança de qualquer desses pontos com o produto ou a composta
de funções diferenciáveis em todo o seu domı́nio (neste caso a exponencial, o
arco-tangente e funções polinomiais). Assim sendo, podem aplicar-se as regras
de derivaáão e obtém-se (sempre para x 6= 1 e α = 4
π
):
f ′(x) =

4
π
(x)′
1 + x2
se x > 1
(x− 1)′ex−1 se x < 1
=

4
π
1
1 + x2
se x > 1
ex−1 se x < 1
Falta verificar se existe derivada em 1. Como, novamente, a função é definida
por expressões diferentes à esquerda e à direita do ponto, f é diferenciável em
14
1 sse f ′e(1) = f
′
d(1). Tem-se (note-se que f(1) = 1)
f ′e(1) = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1−
e x−1 − 1
x− 1
= 1
f ′d(1) = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1+
4
π
arctg x− 1
x− 1
= lim
y→π
4
+
4
π
y − 1
tg y − 1
=
4
π
lim
y→π
4
+
y − π
4
tg y − 1
=
=
4
π
1
(tg y)′y=π
4
=
4
π
cos−2(π
4
)
=
2
π
em que o primeiro limite é um limite notável e no segundo limite se fez a
mudança de variável y = arctg x e se reconheceu o inverso do limite que dá a
derivada da função tg y no ponto π
4
. Então f não é diferenciável no ponto 1 e
a derivada de f é definida por
f ′ : R \ {1} → R
f ′(x) =

4
π
1
1 + x2
se x > 1
ex−1 se x < 1
iii) Como 4
π
1
1+x2
> 0 para todo o x ∈ R, f ′ é positiva em ]1,+∞[ e, como f é
cont́ınua em 1, f é crescente em [1,+∞[. Por outro lado, como ex−1 > 0 para
todo o x ∈ R, f ′ é positiva em ]−∞, 1[ e, como f é cont́ınua em 1, f é crescente
em ] −∞, 1]. Então, f é crescente em R. Assim sendo, tendo em conta que
as desigualdades anteriores são estritas e, portanto f é estritamente crescente,
f(R) =]f [−∞), f [+∞)[. Tem-se, ainda,
f(+∞) = limx→+∞ 4π arctg x =
4
π
π
2
= 2
f(−∞) = limx→−∞ e x−1 = 0
e, portanto, o contradomı́nio de f é f(R) =]0, 2[.
Sendo f : R \ {0} −→ R a função definida por:
f(x) = arctg
(
1
x
)
i) Escreva o polinómio de Taylor de 2o grau em potências de x + 1 associado à
funáão f .
ii) Determine ∫ √3
1
f(x)dx
Resolução.
15
i) Dado que é a composta de um arctg com uma função racional, a função f é
pelo menos 2 vezes diferenciável numa vizinhança do ponto −1.
O polinómio de Taylor de 2o grau, p2(x), em potências de x + 1 associado à
função f , define-se a partir do teorema de Taylor por:
P2(x) = f(−1) + f ′(−1)(x+ 1) +
f ′′(−1)
2!
(x+ 1)2
com
f(−1) = π
4
,
f ′(−1) =
(
arctg
1
x
)′
x=−1
=
( − 1
x2
1 + 1
x2
)
x=−1
=
(
−1
x2 + 1
)
x=−1
− 1
2
,
f ′′(−1) =
(
− 1
1 + x2
)′
x=−1
=
(
2x
(1 + x2)2
)
x=−1
= −1
2
i.e. P2(x) =
π
4
− (x+1)
2
− (x+1)
2
4
.
ii) Usando o método de integração por partes e fazendo u′ = 1 e v = arctg 1
x
vem
u = x, v′ = −1
x2+1
e
∫ √3
1
f(x)dx =
[
x arctg
1
x
]√3
1
−
∫ √3
1
−x
1 + x2
dx
= (
√
3 arctg
1√
3
− arctg 1) + 1
2
∫ √3
1
2x
1 + x2
dx =
=
(√
3
π
6
− π
4
)
+
[
ln(1 + x2)
2
]√3
1
=
=
(√
3
π
6
− π
4
)
+
1
2
(ln 4−ln 2) = π
12
(
2
√
3 + 3
)
+ ln
√
2
16
Considere a função definida em R pela expressão
F (x) =

(x− 1) ln |x− 1| se x ≤ 0
arctg
√
1
x
− π
2
se x > 0
i) Determine o domı́nio de diferenciabilidade de F e calcule F ′.
ii) Determine os intervalos de monotonia, os extremos e o contradomı́nio da fun-
ção F .
iii) Considere a sucessão wn = 1 + 2
−n. Determine o limite da sucessão F (wn).
iv) A função F restrita a ]0,+∞[ é invert́ıvel? Justifique e, em caso afirmativo,
determine a derivada da função inversa em F (1).
v) Justifique que existe c ∈]1, 3[ tal que F ′(c) = −π/24.
Resolução.
i) F é diferenciável em R− ∪ R+ pois coincide numa vizinhança de qualquer
desses pontos com a composta e o produto de funções diferenciáveis nos pontos
correspondentes (neste caso, funções racionais cujos denominadores não se
anulam, função logaritmo, função módulo cujo argumento não se anula, função
arco-tangente e função ráız quadrada cujo argumento não se anula).
1a Resolução Para saber se F é diferenciável na origem calculam-se as deriva-
das laterais usando a definição:
F ′e(0) = lim
x→0−
F (x)− F (0)
x− 0
= lim
x→0−
(x− 1) ln |x− 1|
x
= lim
x→0−
(1−x) ln(1− x)
−x
= (1−0).1 = 1
usando o limite notável limx→0
ln(x+1)
x
= 1 e
F ′d(0) = lim
x→0+
F (x)− F (0)
x− 0
= lim
x→0+
arctg
√
1
x
− π
2
x
lim
y→π/2−
y − π/2
cotg2 y
=
1
−2 cotg y sen−2 y
∣∣∣∣
y=π/2
= −∞
fazendo a mudança de variável y = arctg
√
1
x
e reconhecendo o limite assim
obtido como o inverso do limite que define a derivada da função cotg2 y no
ponto y = π/2. Como F tem uma derivada lateral infinita na origem não é
diferenciável na origem e o seu domı́nio de diferenciabilidade é R \ {0}, sendo
17
a sua derivada definida, nesse conjunto, através das regras de derivação:
F ′(x) =

ln(1− x) + 1 se x < 0
−1
2
x−3/2
1 + (x−1/2)2
se x > 0
=

ln(1− x) + 1 se x < 0
−1
2x1/2(x+ 1)
se x > 0
2a Resolução Em R \ {0} podem-se usar as regras de derivação, obtendo:
F ′(x) =

ln(1− x) + 1 se x < 0
−1
2
x−3/2
1 + (x−1/2)2
se x > 0
=

ln(1− x) + 1 se x < 0
−1
2x1/2(x+ 1)
se x > 0
Como F (0−) = limx→0−(x−1) ln |x−1| = 0 = F (0) e F (0+) = limx→0+ arctg
√
1
x
−
π
2
= π/2− π/2 = 0, F é cont́ınua na origem. Tem-se, ainda
F ′(0+) = lim
x→0+
−1
2x1/2(x+ 1)
= −∞
e
F ′(0−) = lim
x→0−
ln(1− x) + 1 = 1
Assim, pelo Teorema de Lagrange, como F é cont́ınua em [−�, �] e diferenciável
em ]−�, �[, para algum � > 0, e existem os limites laterais F ′(0+) e F ′(0−), tem-
se que F ′d(0) = F
′(0+) = −∞ e F ′e(0) = F ′(0−) = 1 logo F não é diferenciável
na origem. Então o domı́nio de diferenciabilidade é R \ {0} e F ′ está definida,
nesse conjunto, pela expressão obtida pelas regras de derivação.
ii) Pela aĺınea anterior, F ′(x) < 0 para x ∈ R+ e F ′(x) > 0 para x ∈ R−. Logo,
dado que F é cont́ınua na origem, F é estritamente decrescente em [0,+∞[ e
estritamente crescente em ]−∞, 0] e tem um máximo na origem com F (0) = 0
que é o único extremo da função. Como
F (+∞) = lim
x→+∞
arctg
√
1
x
− π
2
= 0− π
2
= −π
2
e
F (−∞) = lim
x→−∞
(x− 1) ln |x− 1| = −∞(+∞) = −∞
tem-se que, pelo estudo da monotonia apresentado, o contradomı́nio de F é
F (R) = F (R−0 ) ∪ F (R+) =]−∞, 0]∪]− π2 , 0[=]−∞, 0].
iii) Como wn = 1 + 2
−n → 1 + 0 = 1 e F é cont́ınua em 1, visto que é diferenciável
nesse ponto (aĺınea (i)), o limite da sucessão F (wn) é limF (wn) = F (1) =
arctg(1)− π
2
= π
4
− π
2
= −π
4
18
iv) Pela aĺınea (ii), F é estritamente decrescente em ]0,+∞[ logo é injectiva nesse
intervalo e, portanto, F restrita a esse intervalo é invert́ıvel. Pelo teorema da
derivada da função inversa tem-se, sendo G a inversa dessa restrição,
G′(F (1)) =
1
F ′(G(F (1)))
=
1
F ′(1)
=
1
−1
4
= −4
v) Pela aĺınea (i), F é cont́ınua em [1, 3] e diferenciável em ]1, 3[ pois é diferen-
ciável em R+. Então pelo teorema de Lagrange existe um c ∈]1, 3[ tal que
F ′(c) =
F (3)− F (1)
3− 1
=
arctg
√
1
3
− arctg
√
1
1
2
=
π/6− π/4
2
= − π
24
Seja f : R→ R uma função diferenciável em R. Suponha que f é par e que existe,
emR, o limite limx→+∞ f(x) = L.
i) Mostre que f é limitada em R.
ii) Supondo adicionalmente que a função satisfaz
f(n+ 1) =
f(n)
2n
, ∀n∈N
mostre que, necessariamente, se tem que verificar L = 0.
Resolução.
i) Como f é diferenciável em R é cont́ınua em R e, portanto, limitada em qualquer
intervalo limitado. Por outro lado, como f(+∞) = L, qualquer que seja δ > 0
existe � > 0 tal que f(x) ∈]L− δ, L+ δ[ para x > 1
�
. Por simetria, visto que f
é par, f(x) ∈]L− δ, L+ δ[ para x < −1
�
. Então f é limitada em R.
ii) Como existe f(+∞) = L, pela definição de limite segundo Heine, existem e
têm o mesmo valor os limites das sucessões f(n+1) e f(n). Aplicando limites a
ambos os membros da igualdade, visto que tratarem de sucessões convergentes
e 1
2n
→ 0, tem-se
lim f(n+ 1) = lim
f(n)
2n
⇔ L = 0
19
7a Ficha de problemas
Primitivação
1. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções, indicando os do-
mı́nios correspondentes:
a)
2√
x
, b)
x
√
x
2
, c)
1√
4− x2
, d)
2
1− 2x
e)
1
4 + x2
, f) cos3 x sen2 x , g)
1
sen2 2x
, h) (
1
2x− 1
)
2
i) cotg x , j) tg5 x , k)
x+ 1
x2 + 1
, l) sen x
√
1− cosx
m)
(arctg x)4
x2 + 1
, n)
x2
x2 + 2
, o)
2x4 − 3x2 + 1
3x2
, q)
2x+ 3
2x+ 1
,
r)
e
1
x
x2
, s)
4x
x4 + 1
, t)
1
x lnx2
, u)x
√
1 + x2
v)
ex
1 + ex
, x) ecos
2 x sen 2x , y)
ex
4 + e2x
, z)
x√
1− 2x4
2. Determine a função f que verifica as seguintes condições: f : R\{1} −→ R,
f
′′
(x) =
1
(1− x)2
, f(0) = 0, limx→+∞ f
′
(x) = 1, f(e+ 1) = 0 e f
′
(0) = 0
3. Usando o método de primitivação por partes, determine uma primitiva de cada
uma das seguintes funções, indicando os domı́nios correspondentes:
a)x cos 2x , b) ln 2x , c) arctg x , d)x3 chx
e) arcsen2 x , f)x cosx senx , g) (
1
x2 + 1
)
2
, h) cos(lnx)
i)x2 lnx , j)x2e2x , k)
ln 2x√
x
, l) 2x arctg x
20
8a Ficha de problemas
Integral de Riemann
1. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫ π2
16
π2
36
cos(
√
x)√
x
dx , b)
∫ ee
e1
ln(lnx)
x lnx
dx , c)
∫ √π
4
√
π
6
x cotg(x2)dx ,
2. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫ 1
0
xe2xdx , b)
∫ 1
0
arctg(x)dx , c)
∫ e
1
ln2(x)dx ,
3. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫ 1
2
0
x4
x2 − 1
dx , b)
∫ 2
1
x+ 1
x3 + 2x2
dx , c)
∫ 1
2
0
2
x3 − 1
dx , d)
∫ 1
0
1
(x2 + 1)2
dx ,
4. Justifique a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções e calcule as
respectivas derivadas.
a)
∫ 0
x
e4t
2
dt , b)
∫ cosx
0
et
2+2xdt , c)
∫ x2
x
1
ln(1 + t2)
dt
5. Considere a função ϕ : ]0,+∞[ −→ R, definida por
ϕ(x) =
∫ x
1
t
(1 + t2)2
ln(t)dt.
a) Calcule ϕ(2).
b) Justifique que ϕ é diferenciável em R+ e calcule ϕ′(x), para x > 0.
c) Estude ϕ quanto à monotonia e verifique que existe um e um só ponto c > 0
tal que ϕ(c) = 0.
21
10a Ficha de problemas
Integral de Riemann e aplicações
1. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫ 3
0
√
x+ 1 + 2
8 +
√
(x+ 1)3
dx , b)
∫ 2
1
1
e2x − 1
dx , c)
∫ e
1
lnx
x(ln2 x+ 3 lnx+ 2)
dx ,
2. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫ 1
0
√
4− x2dx , b)
∫ 1
2
0
√
1 + 4x2dx , c)
∫ π
2
0
1
senx+ cosx+ 1
dx ,
3. Determine as áreas das regiões planas de R2 limitadas pelas curvas
i) y = lnx, y = 1− x, y = 1.
ii) y = x2 − π2/4, y = cosx.
4. Determine a área dos subconjuntos de R2
i) {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2 ∧ 0 ≤ y ≤ x cosx}.
ii) {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ [(x+ 3)
√
x+ 2]−1}.
22
Exerćıcios resolvidos
Determine o valor dos integrais
i) ∫ e
1
ln2 x
x
dx
ii) ∫ 1/√2
0
x√
1− x4
dx
iii) ∫ e
1
x ln
(
1 +
1
x
)
dx
iv) ∫ 1
0
2x arctg x dx
Resolução.
i) Dado que (lnx)′ = 1
x
, a função integranda é imediatamente primitivável e,
usando a fórmula de Barrow, tem-se∫ e
1
ln2 x
x
dx =
∫ e
1
1
x
(lnx)2 dx =
[
ln3 x
3
]e
1
=
ln3 e
3
− ln
3 1
3
=
1
3
.
ii) Através da fórmula de Barrow tem-se∫1/√2
0
x√
1− x4
dx =
1
2
∫ 1/√2
0
2x√
1− (x2)2
dx =
[
arcsen(x2)
2
]1/√2
0
=
π
12
iii) Usando o método da integração por partes e fazendo u′ = x e v = ln
(
1 + 1
x
)
vem u = x
2
2
, v′ =
− 1
x2
1+ 1
x
= −1
x(x+1)
e∫ e
1
x ln
(
1 +
1
x
)
dx =
[
x2
2
ln
(
1 +
1
x
)]e
1
−
∫ e
1
x2
2
−1
x(x+ 1)
dx =
=
e2
2
ln
e+ 1
e
− 1
2
ln 2 +
1
2
∫ e
1
x
x+ 1
dx
23
Efectuando a divisão inteira entre os polinómios da última fracção vem x
x+1
=
1− 1
x+1
logo∫ e
1
x ln
(
1 +
1
x
)
dx =
e2
2
ln(e+ 1)− e
2
2
− ln 2
2
+
1
2
∫ e
1
1− 1
x+ 1
dx
=
e2
2
ln(e+ 1)− e
2
2
− ln 2
2
+
[
x
2
− 1
2
ln |x+ 1|
]e
1
=
e2
2
ln(e+ 1)− e
2
2
− ln 2
2
+
[
e
2
− ln(e+ 1)
2
]
−
[
1
2
− ln 2
2
]
=
1
2
(
(e2 − 1) ln(e+ 1)− e2 + e− 1
)
.
iv) Usando o método de integração por partes e fazendo u′ = 2x e v = arctg x vem
u = x2, v′ = 1
1+x2
e∫ 1
0
2x arctg x dx =
[
x2 arctg x
]1
0
−
∫ 1
0
x2
1 + x2
dx
=
π
4
−
∫ 1
0
x2 + 1
1 + x2
dx+
∫ 1
0
1
1 + x2
dx =
π
4
+ [−x+ arctg x]10
=
π
4
+ (−1 + arctg 1)− (arctg 0) = π
2
− 1 .
Determine a área da região limitada pelas linhas, definidas por:
y = −x2 − 4x− 3 , y + 1 = |x+ 2|
Resolução.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Para x > −2, |x + 2| = x + 2 e −x2 − 4x − 3 = (x + 2) − 1 ⇔ x = −1, logo
as linhas intersetam-se em (−1, 0). Sendo a região acima representada simétrica
relativamente a x = −2, a sua área é obtida por:
24
2
∫ −1
−2
(
−x2 − 4x− 3
)
− [(x+ 2)− 1] dx = 2
∫ −1
−2
−x2 − 5x+ 2 dx =
= 2
[
−x
3
3
− 5x
2
2
+ 2x
]−1
−2
=
43
3
Determine o valor dos integrais:
(i)
∫ 1
0
x3
√
1 + x2 dx (ii)
∫ 2
1
x2 − x
x3 + 3x2 + 2x
dx
Resolução. (i) Determine-se uma primitiva, usando o método de primitivação
por partes e a primitivação por decomposição∫
x3
√
1 + x2 dx =
x2
3
(
√
1 + x2)
3
2−
∫
2x
3
(
√
1 + x2)
3
2dx =
x2
3
(
√
1 + x2)
3
2− 2
15
(
√
1 + x2)
5
2
pela fórmula de Barrow tem-se∫ 1
0
x3
√
1 + x2 dx =
[
x2
√
1 + x2 − 2
3
√
1 + x2
]1
0
=
2−
√
2
3
(ii) A função integranda é uma função racional que se decompõe em fracções
simples∫ 2
1
x2 − x
x3 + 3x2 + 2x
dx =
∫ 2
1
x− 1
(x+ 1)(x+ 2)
dx = A
∫ 2
1
1
x+ 1
dx+B
∫ 2
1
1
(x+ 2)
dx =
= A[ln(x+ 1)]10 +B[ln(x+ 2)]
2
1.
A determinação das constantes A,B é feita pelo método dos coeficientes indetermi-
nados já que
x− 1 = (A+B)x+ (2A+B)
Tem-se A = −2, B = 3 concluindo-se que:∫ 2
1
x− 1
(x+ 1)(x+ 2)
dx = ln(
25
24
).
25
Determine a área da região plana D ⊂ R2 limitada pelas curvas
y = shx, y = 0 e x =
e− e−1
2
.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Resolução. As linhas y = 0, y = shx intersetam-se em (0, 0). Sendo a área da
região obtida por: ∫ e−e−1
2
0
shx dx = [chx]sh 10 = ch(sh 1)− 1 .
Seja φ : [1,+∞[→ R a função definida por
φ(x) =
∫ lnx
1
xet
2
dt .
i) Defina, se existirem, as funções φ′ e φ′′.
ii) Determine
lim
x→0+
(1− cosx)1/ lnx + lim
x→e
φ(x)
x− e
Resolução.
i) A função F (x) :=
∫ x
1
et
2
dt é um integral indefinido de uma função cont́ınua
em R e portanto diferenciável em R, pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Como φ(x) = x
∫ lnx
1
et
2
dt = xF (lnx) é resulta da composição e produto de
funções diferenciáveis em [1,+∞[ será também diferenciável em [1,+∞[. A
sua derivada é dada por:
φ′(x) = x(lnx)′e(ln
2 x) +
∫ lnx
1
et
2
dt = e(ln
2 x) +
∫ lnx
1
et
2
dt,
26
pela regra da derivada do produto e pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Por sua vez, φ′ é a soma de duas funções diferenciáveis em [1,+∞[ e portanto
diferenciável em [1,+∞[ tendo-se:
φ′′(x) =
2 lnx e(ln
2 x)
x
+
e(ln
2 x)
x
=
e(ln
2 x)
x
(2 lnx+ 1).
ii)
lim
x→0+
(1− cosx)1/ lnx = 00 (indeterminação)
lim
x→0+
(1− cosx)1/ lnx = elimx→0+
ln (1−cos x)
ln x e lim
x→0+
ln (1− cosx)
lnx
=
∞
∞
(ind.)
lim
x→0+
(ln (1− cosx))′
(lnx)′
= lim
x→0+
senx
1−cosx
1
x
= lim
x→+∞
x senx
1− cosx
= lim
x→+∞
(1+cosx)
x
senx
= 2.1
= lim
x→+∞
(1 + cos x)
x senx
1− cos2 x
= lim
x→+∞
(1 + cos x)
x
senx
= 2.1
Tem-se, finalmente, que limx→0+ (1− cosx)1/ lnx = e2.
lim
x→e
φ(x)
x− e
=
∫ 1
1
e cos(t2) dt
0
=
0
0
(ind.)
Da regra de Cauchy
lim
x→e
φ(x)
x− e
= lim
x→e
φ′(x)
(x− e)′
= lim
e(ln
2 x)+
∫ ln x
1 e
t2 dt
1 = e
Assim limx→e
φ(x)
x− e
+ limx→+∞ x
2/
√
x = cos 1 + 1.
i) Determine, utilizando a mudança de variável
√
x = t, o integral∫ π2/4
0
sen(
√
x) dx .
ii) Indique uma solução da equação
(h(x))2 = 2
∫ x
0
h(t) dt +
∫ π2/4
0
sen(
√
x) dx .
em que h : [0, 1]→ R é uma função diferenciável que não se anula em ]0, 1[.
Resolução.
27
i) Aplicando o método de integração por substituição,√
x = t⇒ x = ϕ(t) = t2∫ π2/4
0
sen(
√
x) dx =
∫ π/2
0
sen t.2t dt =
integrando por partes,
= 2
(
[−t. cos t]π/20 −
∫ π/2
0
cos t dt
)
= 2 [sen t]π/20 = 2
ii) Tem-se
2h(x)h′(x) = 2h(x) ⇔ 2h(x) (h′(x)− 1) = 0
Como de h′(x)− 1 = 0, deduz-se que h(x) = x+ C,
(x+ C)2 = 2
∫ x
0
(t+ C)dt+ 2 ⇔ x2 + 2Cx+ C2 =
[
t2/2 + Ct
]x
0
+ 2
donde C =
√
2.
28
11a Ficha de problemas
Séries numéricas
1. Estude a natureza das seguintes séries numéricas:
a)
+∞∑
n=1
1
(n+ 1)(n+ 2)
, b)
+∞∑
n=1
1
2 + cos(nπ)
, c)
+∞∑
n=1
√
n+ 1√
n3 + 1
,
2. Estude a natureza das seguintes séries numéricas e determine o valor da soma de
uma das séries:
a)
+∞∑
n=1
1− e
en
, b)
+∞∑
n=1
nn
3nn!
, c)
+∞∑
n=1
arctg(
1
n2
) ,
3. Estude a natureza das seguintes séries numéricas e determine o valor da soma de
uma das séries:
a)
+∞∑
n=2
2(n−1)
5n
, b)
+∞∑
n=1
√
n+ 1
n2 + n
, c)
+∞∑
n=1
n sen(
1
n
) ,
4. Sendo an > 0 e an → +∞, estude a natureza das seguintes séries numéricas:
a)
+∞∑
n=1
an
1 + an
, b)
+∞∑
n=1
1
3n + an
5. Sendo an > 0 e
∑+∞
n=1 a
2
n convergente, mostre que a série
+∞∑
n=1
an
n
é também convergente.
29
12a Ficha de problemas
Séries numéricas e séries de potências
1. Considere a série
+∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
. Determine a sua soma.
2. Estude a natureza de cada uma das séries seguintes. Verifique se a convergência
é absoluta.
+∞∑
n=1
(
1 +
1
n3
)n3 +∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
+∞∑
n=1
2n + n4
en + n3
3. Determine o maior intervalo aberto onde são convergentes as séries
i)
+∞∑
n=1
(−1)n√
n2 + 1
xn , ii)
+∞∑
n=1
(1− 3x)2n
5n(n+ 1)
4. Considere a série
+∞∑
n=1
2(1−n)(x+ 1)n+2, x ∈ R
a) Determine o intervalo de R, onde a convergência da série é absoluta
b) Determine a soma da série quando x = 0.
30
Exerćıcios resolvidos
Analise a natureza das séries numéricas e em caso de convergência determine a soma
de uma delas.
i)
+∞∑
n=1
3
√
n+ 1√
n+ n2
ii)
+∞∑
n=1
22n
6n+1
iii)
+∞∑
n=1
(2n)!
(n!)2
.
Resolução.
i) As sucessões an =
3√n+1√
n+n2
e bn =
3√n√
n2
= 1
n
2
3
têm o mesmo comportamento
quando n→ +∞. Uma vez que
lim
3√n+1√
n+n2
3√n√
n2
= lim
3
√
1 + 1
n√
1
n
+ 1
= 1 ∈ R+,
a série
+∞∑
n=1
3
√
n+ 1√
n+ n2
é uma série divergente pelo critério de comparação, já que a série
∑+∞
n=1 bn é
uma série divergente, pois é uma série de Dirichlet,
∑∞
n=1
1
np
, com p ≤ 1.
ii) A série
+∞∑
n=1
22n
6n+1
= 1/6
+∞∑
n=1
(
2
3
)
n
é uma série geométrica de termos positivos convergente uma vez que tem razão,
2/3, de módulo inferior a um. O valor da sua soma é :
1/6
+∞∑
n=1
(
2
3
)
n
= 1/6
2/3
1− 2/3
=
1
3
iii) Do critério de D’Alembert, uma vez que
lim
an+1
an
= lim
(2n+ 2)!
((n+ 1)!)2
.
(n!)2
(2n)!
= lim
(2n+ 2)(2n+ 1)
(n+ 1)2
= lim
(2 + 2
n
)(2 + 1
n
)
(1 + 1
n
)2
= 4 > 1 ,
a série
∑∞
n=1
(2n)!
(n!)2
é divergente.
31
Determine a ∈ N, tal que
+∞∑
n=a
3n−1
22n−2
= 3.
Resolução. A série é uma série geométrica convergente de razão 3
4
,
+∞∑
n=a
3n−1
22n−2
=
4
3
+∞∑
n=a
(
3
4
)n
=
4
3
(
3
4
)a
1− 3
4
.
donde
16
3
(
3
4
)a
= 3 ⇔
(
3
4
)a
=
(
3
4
)2
resultando a = 2.
(i) Analise a natureza das séries
+∞∑
n=1
2n− 1
n3/2 + 1
+∞∑
n=0sen(nπ + π/2)3n+1
πn
(ii) Determine um número real que seja majorante do módulo da soma de uma
das séries anteriores.
Resolução.
i) Considerem-se as sucessões an =
3+
√
n
n+1
e bn =
√
n
n
= 1
n
1
2
. Tem-se
lim
an
bn
= lim
3√
n
+ 1
1 + 1
n
= 1 ∈ R+,
Do critério de comparação as séries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn têm a mesma natu-
reza. Como a série
∑∞
n=1 bn é uma série de Dirichlet divergente,
∑∞
n=1
1
np
com
p = 1/2 < 1, a série
∞∑
n=1
3 +
√
n
n+ 1
é também divergente.
A série
+∞∑
n=0
∣∣∣∣cos(nπ)2n+1en
∣∣∣∣ = 2 +∞∑
n=0
(
2
e
)n
é uma série geométrica convergente de razão
2
e
< 1, sendo a série
∑+∞
n=0
cos(nπ)2n+1
en
consequentemente absolutamente convergente.
32
ii) ∣∣∣∣∣
+∞∑
n=0
cos(nπ)2n+1
en
∣∣∣∣∣ ≤ 2
+∞∑
n=0
(
2
e
)n
=
2e
e− 2
(i) Determine o intervalo de R onde a série de potências:
+∞∑
n=1
(−1)n(x− 2)n
(n+ 1)(n+ 2)
é absolutamente convergente.
(ii) Indique a soma da série em x = 1.
Resolução.
i) Tem-se para o raio de convergência
r = lim | an
an+1
| = lim
n+1
n+2
n+2
n+3
= lim
n+ 3
n+ 1
= 1
Assim série converge absolutamente se |x− 2| < 1 i.e 1 < x < 3.
Para x = −3,
+∞∑
n=1
1
(n+ 1)(n+ 2)
=
+∞∑
n=1
(
1
n+ 1
− 1
n+ 2
)
é uma série de Mengoli convergente, pois a sucessão un =
1
n+ 1
é convergente.
Para x = −1
+∞∑
n=1
∣∣∣∣ (−1)n(n+ 1)(n+ 2)
∣∣∣∣
é uma série absolutamente convergente.
ii) Sendo uma série de Mengoli convergente a sua soma é 1/2, uma vez que,
considerando a sucessão das somas parciais Sm, tem-se
Sm =
m∑
n=1
(
1
n+ 1
− 1
n+ 2
)
=
(
1/2− 1
m+ 2
)
−→
m→+∞
1/2
33
Seja
∑+∞
n=1 bn uma série de termos positivos divergente e sn = b1 + . . . + bn a sua
sucessão das somas parciais. Conclua, justificando, qual a natureza da série
+∞∑
n=1
bn
s2n
Sugestão: Mostre que
bn
s2n
≤ 1
sn−1
− 1
sn
Resolução. Tem-se
1
sn−1
− 1
sn
=
bn
snsn−1
Como snsn−1 ≤ s2n já que bn > 0. Assim
bn
s2n
≤ 1
sn−1
− 1
sn
e
∑+∞
n=1
bn
s2n
é uma série
de Mengoli convergente, pois tem-se vn =
1
sn
→ 0. Consequentemente pelo critério
geral de comparação, conclui-se que a série dada é convergente.
34