Teste de Hipóteses - Estatística

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Teste Hipoteses - Apostilas -
Estatística_Parte2
Matemática
Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)
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I.2) Para o teste unilateral (vamos considerar apenas o teste à direita, sabendo que vale o 
raciocínio para o teste à esquerda, bastando inverter os lados). 
I.2.a) Se α = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. Mas até 
a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. Logo, 
queremos a abscissa correspondente a uma área de 0,49. Verificando, na Tabela Normal, o 
valor mais próximo é de 0,4901, correspondente à uma abscissa de 2,33. Assim, no teste 
unilateral à direita, quando α = 1%, teremos ZTAB = 2,33. e no teste unilateral à esquerda para 
o mesmo α, -ZTAB = -2,33. Vejamos o gráfico da curva normal: 
 
α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.2.b) Se α = 5% (0,05), teremos área de aceitação = 0,95 à esquerda. Procuraremos, na 
tabela normal a área de 0,45 (0,95 - 0,50), que corresponde à abscissa de 1,64. Portanto, no teste 
unilateral à direita, quando α = 5%, então ZTAB = 1,64 e no teste unilateral à esquerda para o 
mesmo α, -ZTAB = -1,64. Vejamos o gráfico da curva normal: 
 
α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I.2.c) Se α = 10% (0,10), área de aceitação = 0,90 à esquerda. Na Tabela Normal o valor 
mais próximo de 0,40 (0,90 – 0,50) é de 0,3997, que corresponde à abscissa de 1,28. Portanto, no 
teste unilateral à direita, para α = 10%, ZTAB = 1,28 e no teste unilateral à esquerda, -ZTAB = -1,28. 
Vendo o gráfico da curva normal: 
 
α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Na Tabela da Distribuição t-Student: 
Nesta tabela, temos que levar em consideração dois parâmetros: α (alfa), que é o nível 
de significância e ϕ (fi) que é o número de “graus de liberdade” (g.l.) ou “degrees of freedom” (d.f.), 
dado por: n (número de elementos da amostra) menos 1 unidade ou seja: ϕ = n – 1. 
Temos que ter atenção também para o tipo de tabela, que pode ser: bilateral ou unilateral. 
Aqui, a tabela que usaremos é bilateral, como pode ser notado no desenho da curva na própria 
tabela (no final deste resumo). Assim, no teste bilateral o α da tabela será o próprio α utilizado no 
teste. Mas para o teste unilateral teremos que procurar, nesta tabela, o dobro do α. 
II.1) Teste bilateral, supondo uma amostra de 25 elementos (n = 25). Então, ϕ = 25 – 1 ⇒ ϕ = 24. 
Para um α = 5%, vemos na tabela que a célula interseção de α = 0,05 e ϕ = 24 nos fornece 
2,0639. Portanto: tTAB = 2,0639 para α = 5% e n = 25. Vejamos o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II.2) Agora, se o teste for unilateral, com o mesmo tamanho de amostra, e o mesmo α, 
não poderemos pegar diretamente a interseção de α=0,05 com ϕ = 24, pois o valor fornecido é 
para um teste bilateral. Teremos que pegar a interseção de ϕ = 24 com α = 0,10, pois nesta tabela 
(bilateral), α = 0,05 corresponde a 0,025 de cada lado. Teremos que pegar α = 0,10, que 
corresponderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula interseção de α = 0,10 com ϕ = 24 fornecerá 
tTAB = 1,7109. Vejamos o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, neste resumo foi mostrado apenas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o 
assunto explicitamente descrito no Edital para Fiscal-RS e os princípios básicos do que seja um 
Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para 
a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variância, Teste de Hipóteses para a Diferença entre 
Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos princípios descritos no início deste 
resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as 
tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, no Teste de Hipóteses para a Variância, a Tabela a ser 
utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já no Teste de Hipóteses para a Proporção 
utilizamos apenas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui. 
Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de 
Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá 
dificuldade em entender os demais Testes. 
 
Vamos aos exemplos: 
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EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: 
X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. 
Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 
1º passo: 
H0: μ = 40; 
H1: μ > 40 (teste unilateral à direita); 
2º passo: a amostra é grande (n ≥ 30). Logo, usaremos a Tabela Normal; 
3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos 64,1ZTAB = ; 
4º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB; 
 
 
 
 
 
 
 
α 
 
 
 
 
5º passo: calcular a estatística teste. 
n
S
X
ZCALC
μ−
= = 
36
2,5
403,42 −
 = 
6
2,5
3,2
 = 
2,5
8,13
 = 2,65. 
6º passo: ZCALC > ZTAB. B
Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 40. Logo, μ > 40. 
 
 
EXEMPLO 2: Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: 
X = 53,4 e S = 7,5. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50. 
Resolução: 
Hipóteses: 
H0: μ = 50; 
H1: μ ≠ 50 (teste bilateral); 
A amostra é pequena (n < 30) e σ (desvio padrão populacional) é desconhecido. Logo, a 
distribuição a ser utilizada é a t-Student, com n = 20 ⇒ ϕ = 19 e α = 0,05. Consultando a tabela, 
encontraremos 0930,2tTAB = . 
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Desenhando a curva, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
S
X
tCALC
μ−
= = 
20
5,7
504,53 −
 ≅ 2,027. 
2
α 
2
α 
Como: -tTAB < tB CALC < tTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 50. 
 
 
EXEMPLO 3: Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800;1.600). 
Testar a hipótese de que μ = 800 contra a alternativa de μ ≠ 800 se uma amostra aleatória de 30 
lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar α = 0,05. 
Resolução: As hipóteses já estão no enunciado: 
H0: μ = 800; 
H1: μ ≠ 800 (teste bilateral); 
Além da amostra ter 30 elementos, a variância populacional é conhecida, σ2 = 1.600 ⇒ σ = 40. 
α = 0,05 ⇒ 025,0
2
=
α
, pois o teste é bilateral. Para uma área de 0,475, 96,1ZTAB = . 
Desenhando a curva, temos: 
2
α 
2
α 
 
 
 
 
 
 
 
 
30
40
800788
n
X
ZCALC
−
=
σ
μ−
= ≅ −1,64. 
Como: -ZTAB < ZB CALC < ZTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 800. 
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EXEMPLO 4: Uma amostra de tamanho n = 18 de população normal tem média X = 31,5 e 
desvio padrão S = 4,2. Ao nível de significância de 5%, estes dados sugerem que a média 
populacional seja superior a 30? 
Resolução: 
Hipóteses: 
H0: μ = 30; 
H1: μ > 30 (teste unilateral à direita); 
Amostra pequena (n= 18) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 17 e α = 0,05. Mas como o 
teste é unilateral e a tabela é bilateral, usaremos α = 0,10. Para este α e ϕ = 17 a tabela fornece: 
7396,1tTAB = . 
Desenhando a curva, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
S
X
tCALC
μ−
= = 
18
2,4
305,31 −
 ≅ 1,515. 
α 
Resposta: Não, a média é igual a 30, pois como: tCALC < tTAB, B ACEITO H0: μ = 30. 
 
 
EXEMPLO 5: Em uma amostra de 10 elementos a média da amostra observada foi de 230. 
Sabe-se que a variância da população é igual a 160. Testar a hipótese de μ = 218 contra a 
alternativa μ > 218 ao nível de significância de 10%. 
Resolução: As hipóteses já estão no enunciado: 
H0: μ = 218; 
H1: μ > 218 (teste unilateral à direita); 
A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida. Por isso, usaremos a 
Distribuição Normal. O teste é unilateral, com α = 0,10. Logo, para uma área de 0,40 (0,90 − 0,50) 
encontraremos, na Tabela Normal 28,1ZTAB = . 
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Desenhando a curva, temos: 
α = 0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
X
ZCALC σ
μ−
= = 
10
160
218230 −
 = 
4
12
 = 3. Vemos que ZCALC > ZTAB. B
Conclusão: ao nível de significância de 10%, REJEITO H0: μ = 218. Logo, μ > 218. 
 
 
EXEMPLO 6: O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos forneceu o valor 
de 25mm. Sendo 4mm o desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao nível de 
significância de 5%, que o diâmetro médio de todos os parafusos seja inferior a 25,4mm? 
Resolução: Temos n = 400; X = 25; σ = 4; α = 5%. 
Hipóteses: 
H0: μ = 25,4; 
H1: μ < 25,4 (teste unilateral à esquerda); 
Distribuição: Normal, pois n = 400 (amostra grande). Teste unilateral à esquerda, com α = 0,05. 
Então, para uma área de 0,45 (0,95 − 0,50) encontraremos, na Tabela Normal 64,1ZTAB −=− . 
α = 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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