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Unidade 2 - Integrais, limite e derivadas trigonométricas 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
 Compreender a relação do limite e da derivada; 
 Manipular algebricamente essas funções, objetivando o cálculo de suas 
derivadas, limites e integrais; 
 Compreender os principais elementos do cálculo: derivada, integral e limites. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Limite fundamental trigonométrico, derivadas e L’Hôpital 
// O limite fundamental trigonométrico 
// Derivada das funções circulares diretas e inversas 
// Regra de L’Hôpital 
Integral: considerações, definições e exemplos 
// Integral indefinida 
Limite fundamental trigonométrico, derivadas e 
L’Hôpital 
Para o estudo do Cálculo Integral, é fundamental o conhecimento sobre as 
funções e suas categorias, tal como uma classe específica de funções 
transcendentes: as funções trigonométricas. Essas funções são chamadas 
também de funções circulares diretas. 
Tendo isso em mente, construiremos algumas funções trigonométricas a partir 
do círculo trigonométrico de raio 1. As funções trigonométricas apresentadas 
serão as funções diretas e inversas. A partir dessas construções, serão 
apresentadas algumas propriedades e possíveis relações estabelecidas entre 
essas funções. 
A partir desse ponto, será analisada uma situação algébrica que envolve 
algumas funções circulares e, a partir dessa situação, utilizar-se-á o conceito de 
limite, a ponto de delimitar o limite fundamental trigonométrico. Tal limite 
permite resolver algumas indeterminações advindas de funções 
trigonométricas. 
Somado a isso, serão delimitadas as derivadas dessas funções com base no 
limite fundamental trigonométrico e se apresentarão algumas propriedades 
dessas derivadas, além de serem trabalhadas de modo operacionalizado ao 
longo da unidade. 
Por fim, será apresentado um método que elimina certos tipos de 
indeterminações advindas de limites, de modo a auxiliar a o cálculo, e 
operacionalização de alguns limites. 
O LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO 
Estudar o conceito de limite implica em um entendimento mais amplo do que 
algumas funções podem assumir, principalmente em situações indeterminadas. 
O limite é um conceito imprescindível para o Cálculo, com ele as bases de todo 
o Cálculo Integral e Diferencial são estruturadas. Eles são utilizados nas 
definições de derivadas e integrais, além de tratar da continuidade de funções, 
tal como determinar valores para funções em certos pontos que estão, a 
princípio, indefinidos. 
Essa determinação de valores é extremamente importante em inúmeras 
situações. O conceito de limite auxilia, por exemplo, na determinação da 
constante e , conhecida como número de Euler. Essa definição da constante é 
dada por um limite, chamado de limite fundamental exponencial. 
Quando se estuda funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente), o conceito 
de limite também desempenha um papel extremamente importante. Inúmeras 
relações e representações trigonométricas apresentam alguns obstáculos 
intransponíveis para o cálculo que não utiliza o conceito de limite. 
A fim de se entender a importância do conceito para as funções trigonométricas 
e efetuar o cálculo de seu limite fundamental, deve-se retomar a representação 
geométrica dessas funções no círculo trigonométrico e entender algumas 
relações que podem surgir a partir dessa representação e sua devida 
algebrização. 
 
Figura 1. Círculo trigonométrico unitário. 
 
ASSISTA 
Os ângulos podem ser medidos de diversas maneiras, dentre elas as mais 
comuns são graus e radianos. Cada representação de ângulo pode ser mais ou 
menos válida para seu determinado fim. É possível se fazer a transformação de 
uma medida para a outra, e tudo isso pode ser visto no vídeo Ângulos em graus 
e em radianos. 
Obtém-se, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ΔBCA, a seguinte 
relação fundamental da trigonometria: 
cos2 x + sen2x = 1 
 
 
Figura 2. Círculo trigonométrico com a tangente. 
No entanto, é importante não apenas compreender a tangente como um 
segmento de reta referente a um arco em radianos, mas também estabelecer uma 
relação entre ela e as outras funções já definidas. Para construir a tangente com 
base nas outras funções, basta estabelecer uma relação geométrica entre elas. 
A partir da Figura 2, pode-se observar a existência de inúmeros triângulos 
delimitados pelos pontos. Considere apenas o triângulo retângulo ΔBCA e o 
triângulo retângulo ΔBDE (Figura 3) e observe todos os segmentos pertencentes 
a cada uma dessas representações geométricas. 
 
 
Figura 3. Triângulos do círculo trigonométrico. 
Ao se estabelecer uma comparação entre os dois triângulos ΔBCA e ΔBDE pela lei 
de semelhança de triângulos, estabelece-se uma relação entre os lados de cada 
um deles. A partir disso, obtém-se: 
 
Portanto, define-se a tangente em relação às funções circulares seno e cosseno. 
Compreender que a tangente pode ser escrita dessa forma auxilia a enunciar o 
problema a ser resolvido por limite. Todavia, antes de seguir adiante, 
realizaremos alguns exercícios para o entender o algoritmo da tangente, 
atribuindo seus valores através de valores conhecidos de senos e cossenos. 
Para isso, deve-se recordar de antemão os valores que assumem sen x e cos x, 
conforme mostra o Quadro 1. 
 
Quadro 1. Valores de seno e cosseno. 
 
 
 
 
Por fim, encontre: tg (x), dado que x = π 
Resolução: 
 
Uma vez elucidado o funcionamento do algoritmo da tangente e tendo em vista 
que seus valores são determinados pela relação entre a tangente, o seno e 
cosseno, pode-se analisar uma determinada relação de ordem entre os objetos 
matemáticos representados na Figura 2. 
Observa-se a seguinte relação de ordem: 
tg x > x > sen x 
 
 
 
 
 
 
Para um valor arbitrariamente pequeno de x, tem-se algo parecido com: 
 
 
 
 
 
Escrito de outra forma diferente: 
 
DICA 
Para resolver essa desigualdade, utiliza-se algumas outras regras diferentes das 
que estão aqui. O Teorema do Confronto e a utilização de limites laterais são 
umas dessas regras. 
Portanto, o que acontece intuitivamente é que conforme o valor de x tende a 
zero, os valores de x e sen x são os mesmos. A partir desse conhecimento, ou 
seja, do limite fundamental trigonométrico, é possível calcular outras 
relações trigonométricas que não poderiam ser calculadas sem a noção de 
limite. 
Vimos qual seria a relação de x com sen x conforme o valor de tendesse a zero. 
Em outras palavras, se o arco da Figura 2 fosse muito pequeno, seu valor seria 
exatamente igual ao sen x. No entanto, se o tamanho desse arco x diminuísse 
dessa maneira, o que aconteceria com a tangente? Qual seria a relação de x com 
ela? 
Traduzindo essa pergunta para a linguagem de limite, teríamos que: 
 
Portanto, a resposta para a pergunta é: tanto a tg x quanto x são iguais. Por fim, 
outros limites podem ser calculados a partir desse limite fundamental, tais 
como: 
 
 
 
Além de conseguir auxiliar o cálculo do limite de algumas expressões 
algébricas, o limite fundamental trigonométrico auxilia, também, na 
delimitação das variáveis das funções trigonométricas. 
DERIVADA DAS FUNÇÕES CIRCULARES DIRETAS E 
INVERSAS 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário. Tal 
como foi mostrado nas Figuras 1 e 2, o seno, a tangente e o cosseno são funções 
circulares. O nome de funções circulares é utilizado para designar o mesmo 
grupo de funções, conhecidas como funções trigonométricas e suas inversas. 
Uma característica desse tipo de função é sua periodicidade, ou seja, em dado 
momento, a função passa a repetir seu padrão, sendo que o período é o nome 
que se dá para o valor que delimita esse limiar. Por exemplo, 2𝝿 é o período da 
função sen x, ou seja, quando a função atingir, ela passará a repetir seu 
comportamento (Figura 4). 
 
Figura 4. Periodicidade de seno e cosseno. 
Além das funções circulares diretas, existemas funções circulares inversas. 
Essas funções também recebem o nome de funções inversas trigonométricas, 
tal como a função inversa do seno, a arco seno. Existem outros tipos de funções 
inversas trigonométricas: 
a) Inversa da tangente: f(x)=tg-1 (x) ou f(x)=arctg (x) 
b) Inversa do cosseno: f(x)=cos-1 (x) ou f(x) = arccos(x) 
c) Inversa da secante: f(x) = sec-1 (x) ou f(x)=arcsec(x) 
d) Inversa da cossecante: f(x)=cossec-1 (x) ou f(x)=arccossec(x) 
e) Inversa da cotangente: f(x) = cotg-1 (x) ou f(x) = arccotg(x) 
Salienta-se que as funções trigonométricas inversas podem ser escritas de 
diferentes formas: utilizando o nome da função original e colocando o -1 no 
expoente ou escrevendo ‘arc’ e adicionando o nome da função trigonométrica 
abreviada. É importante ressaltar alguns pontos sobre essas distintas notações 
do mesmo objeto matemático. 
 
A fim de exemplificar o que é uma função circular direta e sua inversa, tomemos 
como exemplo a função y = sen x e sua função trigonométrica inversa, dada 
por arc sen y = x. Elas buscam responder a diferentes questões, são diferentes 
entradas e saídas em ambas as funções. 
O que se espera quando se utiliza uma função trigonométrica, é que para cada 
valor de um arco x seja associado a um valor de seno. Entretanto, na função 
trigonométrica inversa arc sen y = x, o que se espera é o contrário. Para cada 
valor de um seno de y, associa-se um arco. Então, uma possível leitura para arc 
sen y = x seria: qual o valor de um arco x dado um seno y? 
Uma vez apresentadas as funções, iremos discutir importância do limite para o 
cálculo de suas derivadas. O limite fundamental trigonométrico auxilia nas 
definições das derivadas trigonométricas. Não serão exploradas as 
demonstrações das derivadas das funções circulares diretas e suas inversas, pois 
essa abordagem matemática foge do escopo do curso. Serão abordados os 
aspectos técnicos de se aplicar e manipular as derivadas. 
As derivadas das funções trigonométricas podem ser vistas no Quadro 2. 
 
Quadro 2. Derivadas trigonométricas; 
Uma vez indicada as derivadas trigonométricas, alguns exemplos para 
aplicação e manipulação técnica são apresentados. Nesses exemplos, são 
utilizadas as propriedades de derivação da soma, multiplicação e subtração: 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = cos x + 2sen x. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = 2tg x + x2. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = cossec x . x2. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = sen2 x. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = cossec x - sec x. 
Calculando a derivada: 
 
Os exemplos supracitados utilizaram as derivadas trigonométricas com algumas 
regras de derivação, porém não se utilizou a regra da cadeia para derivação de 
funções compostas. Os próximos exemplos trabalham a derivação por regra da 
cadeia de funções trigonométricas: 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = sen2 x. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = cos2 x . sen 2x. 
Calculando a derivada: 
 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = sen2 x (cos x). 
Calculando a derivada: 
 
Por fim, é possível ver as derivadas das funções trigonométricas inversas no 
Quadro 3. 
 
Quadro 3. Derivadas trigonométricas inversas. 
As derivadas são definidas em termos de u, uma função de x. Para que seja 
aplicada a derivada, é necessário identificar o u na função que deseja derivar. 
Apresentadas as derivadas das funções trigonométricas inversas, explora-se 
suas aplicações em alguns exercícios: 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = arc sen 2x. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = arc cotg 3x. 
Calculando a derivada: 
 
Calcular a derivada da seguinte função: f (x) = arcsec 2x. 
Calculando a derivada: 
 
 
REGRA DE L’HÔPITAL 
 
Apesar disso, outras funções, mesmo com a noção de limite, ainda apresentam 
inúmeros tipos de indeterminações, o que torna extremamente difícil sua 
manipulação e entendimento. A Regra de L’Hôpital contribui para solucionar 
algumas categorias de indeterminações. 
Suponha-se que f e g são diferenciáveis e g' (x) ≠ 0 em um intervalo aberto I e 
contenha a. Suponha-se que: 
 
 
Então, tem-se: 
 
Essa regra aponta que, em determinadas categorias de indeterminação, o limite 
da razão de duas funções é igual ao limite da razão da derivada dessas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como no caso anterior, ao se verificar que a indeterminação persistiu mesmo 
após a aplicação da regra, ela foi aplicada novamente. Todavia, um fato 
interessante aconteceu: a expressão acabou se tornando mais complexa do que 
a anterior e verificou-se que essa complexidade se perpetuaria conforme fosse 
aplicada a Regra de L’Hôpital inúmeras vezes. 
Existem casos em que, por mais que haja uma indeterminação nos moldes 
aceitos pela Regra de L’Hôpital, não há como solucioná-la. Em alguns casos, 
tal como o anterior, aplicar a regra apenas deixa o limite cada vez mais 
complexo. Portanto, a regra mais atrapalha do que ajuda. Fique atento a esses 
casos para não perder tempo de resolução em uma questão sem solução por 
L’Hôpital. 
Integral: considerações, definições e exemplos 
Até o momento, o foco dos estudos fora sobre derivadas, bem como seu 
entendimento geométrico e algébrico, como taxa de variação ou coeficiente 
angular da reta tangente. Tudo isso pressupõe que se tem uma função e, a partir 
dela, calcula-se a derivada. 
No entanto, é de interesse da matemática que se defina um modo de delimitar 
uma função a partir de sua derivada, ou seja, traçar o caminho inverso. 
Definir esse objeto matemático não é dos trabalhos mais triviais e exige a 
retomada de alguns conceitos fundamentais para seu entendimento, como os 
conceitos de derivada e diferencial. Esses conceitos auxiliaram tanto do ponto 
de vista teórico quanto do ponto de vista prático, visando a manipulação das 
funções e os significados que elas adquirem. 
Para o estudo das integrais, é necessário revisitar o conhecimento geométrico 
sobre derivada. Sabe-se que a derivada pode representar uma taxa de variação 
instantânea em um certo ponto x0, podendo ser definida a partir do limite da 
seguinte forma: 
 
Sua representação geométrica é apresentada pela Figura 5. 
 
Figura 5. Representação geométrica da derivada. 
Desse modo, quando se condiciona h a tender a 0, na verdade, aproxima-se o 
ponto A do ponto B, de modo que o resultado disso seja uma mensuração 
pontual, quando A estiver quase em B. Obtém-se, então, a inclinação da reta 
tangente naquele ponto. 
É importante destacar que os cálculos de derivadas realizadas se basearam em 
funções conhecidas. Portanto, derivou-se senos, cossenos, logaritmos, 
polinômios, dentre outras funções, sempre conhecendo as funções e avaliando 
os resultados dos cálculos derivativos. 
No entanto, em situações reais também ocorrem casos em que não se tem 
conhecimento da função inicial, apenas de sua taxa de variação (derivada), 
sendo imprescindível a realização do caminho operacional inverso. Em certo 
sentido, seria a aplicação de uma operação que fosse inversa à derivada, a fim 
de determinar tais funções, ditas primitivas, que deram origem àquela derivada 
em questão. 
Outro conceito importante a se destacar para o entendimento das integrais é o 
conceito de diferencial. Se por um lado a derivada mensura taxa de variação, 
por exemplo, quanto variou uma certa grandeza em um determinado tempo, o 
diferencial mensura a variação por si só. Pode-se definir o diferencial a partir 
do entendimento de uma derivada. 
 
 
A fim de elucidar um pouco mais o entendimento acerca desse conceito, 
suponha-se que se deseja calcular a área embaixo de uma determinada curvacom duas abordagens (Figura 6). Em uma situação, estima-se a área com a 
construção de retângulos postos embaixo da curva, com sua base sendo Δx e 
sua altura f(xk). A área de cada retângulo é dada por R = f(xk) · Δx. 
 
Figura 6. Duas abordagens para cálculo da área. 
Em uma segunda situação, estima-se a área com a construção de um outro 
‘retângulo’, só que de base infinitesimal, dx. A área de cada retângulo, nesse 
caso, é dada por R = f(x) · dx. Em ambos os casos, serão somados os retângulos 
e serão mensuradas as áreas totais embaixo da curva. 
No primeiro cenário, tem-se a ideia de soma discreta, pois serão somados n 
retângulos para a estimativa da área. Já no segundo caso, a estimativa é feita 
com a ideia de uma soma contínua, pois a base é infinitesimal. Essa ideia de 
soma contínua auxiliará no estudo da integral e suas representações. 
INTEGRAL INDEFINIDA 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de 
uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de 
variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é 
preferível que ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a 
operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função 
primitiva ou antiderivada. 
Define-se F(x) como antiderivada de uma função f no intervalo I, caso F’(x) = 
f(x) para todo x. 
 
 
Portanto, pela definição de antiderivada, se F'(x) = f(x) então F(x) é 
antiderivada de f(x). Logo, F(x) é antiderivada de f(x) pois F'(x) = x4 = f(x). 
Outro exemplo de antiderivada pode ser estudado em F(x) = senx e f(x) cosx, 
onde calcula-se: 
F(x) = sen x 
F'(x) = (sen x)' 
F'(x) = cos x 
De modo similar ao que foi feito no exercício anterior, verifica-se pela definição 
de antiderivada, se F'(x) = f(x) então F(x) é antiderivada de f(x). Logo, F(x) é 
antiderivada de f(x) pois F'(x) = cosx = f(x), em ambos os exemplos há um 
ganho maior de informações acerca das antiderivadas de f(x). 
 
 
 
Após o cálculo de cada uma das derivadas, observa-se algo interessante: as duas 
funções F(x) e G(x) são primitivas de f(x), pois G'(x) = F'(x) = f(x) = x. Somado 
a isso, outro questionamento pode vir a partir daí: será que ao descobrir uma 
função primitiva de uma f(x) pode-se descobrir outras? 
A resposta a essa pergunta se dá pelo estudo do teorema, uma vez que ele 
apresenta que, para qualquer antiderivada encontrada, basta adicionar uma 
constante arbitrária e será alterado o resultado, ou seja, existem inúmeras 
famílias de soluções possíveis. Portanto, com esse teorema consegue-se 
calcular algumas famílias de antiderivadas. 
EXPLICANDO 
Caso uma função F(x) seja uma antiderivada de f(x) em um dado intervalo I, a 
representação geral da antiderivada de f é dada na forma F(x) + C, onde C é uma 
constante qualquer. 
Verifique se F(x) = cos x é função primitiva de f(x) = – sen x. Apresente a 
forma geral da antiderivada. 
Calculando: 
F(x) = cos x 
F'(x) = (cos x)' 
F'(x) = sen x 
F'(x) = – sen x + C 
Verifique se F(x) = ex é função primitiva de f(x) = ex. Apresente a forma 
geral da antiderivada. 
Calculando: 
F(x) = ex 
F'(x) = (ex)' 
F'(x) = ex 
F'(x) = ex + C 
 
 
Uma vez tendo estabelecido uma forma geral de se escrever as antiderivadas, 
define-se uma integral indefinida a partir delas. Se uma função F(x) é uma 
função primitiva da função F(x), então F(x) + C é delimitada como a integral 
indefinida da função F(x). Ela é representada na forma notacional como: 
∫ f(x) · dx = F(x) + C 
A integral indefinida leva esse nome por não tratar de funções específicas, mas 
apenas famílias delas. A constante C, nesse novo contexto, passa a ser chamada 
de constante de integração. 
Retomando ao exemplo da Figura 6, f(x)dx representa um cálculo de uma área 
embaixo da curva, onde a somatória de todos os ‘retângulos’ se dá de forma 
contínua (∫) em detrimento de uma forma discreta (Σ). 
É possível ver algumas propriedades e exercícios referentes a manipulação 
algébrica dos elementos da integral no Quadro 4. 
 
Quadro 4. Propriedades Integrais Indefinidas. 
Calcule a integral indefinida: ∫ x4 – x3dx. 
Calculando: 
 
Calcule a integral indefinida: ∫ 2x2 + x dx. 
Calculando: 
 
Calcule a integral indefinida: ∫ x3 – 3 dx. 
Calculando: 
 
 
 
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Essa unidade trabalhou com as definições de alguns limites, derivadas e 
integrais. Pode-se observar como esses conceitos estão imbricados e como o 
desenvolvimento de alguns elementos do cálculo vieram com a necessidade de 
evolução. 
Os objetivos traçados foram alcançados e, ao final, o aluno desenvolveu uma 
técnica manipulativa algébrica para lidar com indeterminações, limites 
fundamentais e afins, bem como aprimorou o conhecimento dos conceitos 
indissociáveis do Cálculo Integral. 
O objetivo de compreender a relação de limite e derivada foi trabalhado, 
cumprindo a função de compreender a relação de limite e derivada pelo limite 
fundamental trigonométrico e sua influência no cálculo das derivadas 
trigonométricas. 
O objetivo de manipular algebricamente essas funções para o cálculo de suas 
derivadas, limites e integrais também foi alcançado com sucesso. Desse modo, 
foram trabalhados - métodos de manipulação algébrica para efetuar os devidos 
cálculos de derivadas, limites e integrais. 
Por fim, o objetivo de compreender os principais elementos do cálculo foi 
trabalhado ao longo da unidade como um todo. Em cada segmento da unidade, 
foi abordado um elemento com maior ênfase; na primeira seção voltada para 
limites e derivadas e a segunda seção focada na definição e aplicação de 
integrais.