Apostila 2 - Ondulatória 2021-Formatada docx

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Prof. Herbert Aquino 
APOSTILA 2 – FÍSICA 
 
 ITA / IME 
ONDULATÓRIA ITA-IME 
MÓDULO: INTERFERÊNCIA-PARTE 1 
 
1.PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO: 
 
Suponha que existam duas fontes de ondas e . 
 
Agora, as duas ondas de e se encontram em algum ponto (digamos P). Então, de acordo com o princípio de o deslocamento resultante de 
superposição em P (de sua posição média) a qualquer momento é dado por: 
 
Aqui, e são os deslocamentos de P devido a duas ondas individualmente. Agora, com base no princípio da superposição, temos dois 
fenômenos em física, interferência e batimentos. Ondas estacionárias (ou ondas estacionárias) e o experimento de dupla fenda de Young (ou 
YDSE) são dois exemplos de interferência. Com base no princípio de superposição significa que duas ou mais de duas ondas se encontram em um 
ou vários pontos e em cada ponto o deslocamento líquido é etc. 
 
2. AMPLITUDE E INTENSIDADE RESULTANTES DEVIDO A FONTES COERENTES: 
Na seção 1, vimos que as duas ondas de duas fontes e se encontravam no ponto P. Suponha que eles se encontrem em P em uma 
diferença de fase (ou ). Se esta diferença de fase permanecer constante com tempo, então as fontes são chamadas de coerentes, se não 
incoerentes. 
 
Para que as fontes sejam coerentes, as frequências das duas fontes devem ser iguais. Isso pode ser explicado pelo seguinte 
exemplo: Suponha que a diferença de fase seja 0 °. Isso significa que eles estão na mesma fase. Ambos alcançam seus extremos 
, simultaneamente. Eles cruzam suas posições médias (na mesma direção) simultaneamente. Agora se queremos que sua 
diferença de fase permaneça constante ou queremos que a situação acima seja mantida o tempo todo, então, obviamente, seus períodos de tempo 
(ou frequências) devem ser os mesmos. 
 
a) Amplitude Resultante: 
Considere a superposição de duas ondas senoidais de mesma frequência (fontes médias são coerente) em um ponto. Vamos supor que as duas 
ondas estão viajando na mesma direção com mesma velocidade. A equação das duas ondas alcançando um ponto podem ser escritas como: 
 
 
 
 
Fazendo-se o uso de um método geométrico (método dos fasores): 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
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Observe: 
 
 
 
 
 
Esta equação permite encontrar a amplitude da onda resultante da superposição de tais ondas. 
 
 
O ângulo representa a diferença de fase entre a função resultante e a primeira onda. 
DICA ITA: 
Ondas se propagando no mesmo sentido e com mesma frequência: 
 
 
 
 
 
Utilizaremos o método de soma de fasores: 
 
 
 
 
B) Intensidade Resultante: 
No capítulo anterior, lemos que a intensidade de uma onda é dada por: 
 
Em outras palavras, mostramos que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude da onda harmônica: 
 
Portanto, se , e são iguais para as duas ondas interferentes, então a equação da amplitude resultante também pode ser escrito como: 
 
 
 
Nas equações acima, é a diferença de fase constante naquele ponto. Como as fontes são coerentes esta diferença de fase será 
diferente em pontos diferentes. 
 
NOTA ITA: O caso especial das duas equações acima é, quando as amplitudes (ou intensidades) individuais são iguais. 
 
Assim: 
 
 
 
 
5.INTERFERÊNCIA: 
Para que ocorram fenômenos de interferência, as fontes devem ser coerentes. Então, a diferença de fase em alguns 
ponto deve permanecer constante. O valor desta diferença de fase constante será diferente em diferentes pontos. E uma vez que as fontes são 
coerentes, portanto, as quatro equações a seguir podem ser aplicadas para encontrar amplitude e intensidade resultantes (no caso de duas fontes) 
 
 
 
 
 
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Se: 
 
 
 
 
Para determinados valores de , e , a amplitude e a intensidade resultantes são as funções 
de apenas . 
 
Agora, suponha que e sejam duas fontes coerentes, então podemos ver que as duas ondas estão se encontrando em vários pontos ( , , 
 ... etc). Em pontos diferentes, a diferença de caminho será diferente e, portanto, a diferença de fase ou também será diferente. Porque 
a diferença de fase depende do caminho diferença ( ). 
 
E uma vez que a diferença de fase em pontos diferentes é diferente, portanto, das quatro equações acima, nós podemos ver que a amplitude e a 
intensidade resultantes também serão diferentes. Mas seja qual for a intensidade em em algum ponto, ele permanecerá constante naquele ponto 
porque as fontes são coerentes e a fase a diferença é constante nesse ponto. 
 
A)INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA: 
Estes são os pontos onde a amplitude ou intensidade resultante é máxima: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
Lembrando que: 
 
 
 
 
 
 
B)INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA: 
Estes são os pontos onde a amplitude ou intensidade resultante é mínima: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
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Lembrando que: 
 
 
 
 
2.CÁLCULO DA DEFASAGEM TOTAL DE DUAS ONDAS NUM PONTO P: 
Imagine duas fontes de ondas F1 e F2 que emitem ondas de frequências iguais f e comprimento de onda , que, depois de percorrerem as 
distâncias e , atingem o ponto P, onde sofrem interferência. 
 
F1 F2
P
 
Ao atingirem o ponto P, as ondas podem estar defasadas, sendo três os principais motivos de defasagem: 
 
• Defasagem inicial : uma fonte entra em operação primeiro que a outra. Se o intervalo de tempo entre as partidas das ondas for 
igual a um período (T), a defasagem angular entre elas será rad. Assim, temos a regra de três : 
 
 
 Logo: 
 
 
• Defasagem por uma diferença de percursos : as ondas de uma fonte percorrem até o ponto P uma distância maior que a 
percorrida pelas ondas da outra fonte. No trajeto das fontes até o ponto P, uma das ondas percorrer um comprimento de onda a mais 
do que a outra, a defasagem angular entre as duas será de rad. Assim, temos a regra de três: 
 
 
 
Logo: 
 
 
• Defasagem por reflexões com inversão de fase : cada reflexão com inversão de fase que uma das ondas sofrer, no seu trajeto 
até o ponto P, acrescentará uma defasagem de rad. Logo: 
 
 
Em que: n= número de reflexões com inversão de fase. 
 
• A defasagem total das ondas no ponto P ficará, então, dada por: 
 
 
 
 
 
Para que no ponto P ocorra interferência construtiva (IC), a defasagem das ondas que lá chegam deve ser múltipla par de rad. 
 
 
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Para que no ponto P ocorra interferência destrutiva (ID), a defasagem das ondas que lá chegam deve ser múltiplo ímpar de rad. 
 
 
 
Em resumo: 
Sendo a diferença de percursos entre duas ondas de mesma frequência que atingem um ponto P do meio de propagação e o comprimento 
de onda, supondo que não ocorram reflexões com inversão de fase, podemos trabalhar também com as seguintes condições particulares: 
 
Fontes em Concordância de Fase (defasagem inicial nula) 
→Interferência Construtiva em P: 
 
 
 
→Interferência Destrutiva em P: 
 
 
 
 
Fontes em Oposição de Fase (defasagem inicial igual a rad): 
→Interferência Construtiva em P: 
 
 
 
→Interferência Destrutiva em P: 
 
 
 
 
 
Dica ITA: 
Ondas se propagando no mesmo sentido e com mesma frequência: 
 
 
 
 
 
Utilizaremos o método de soma de fasores: 
 
 
 
 
 
Temos assim, que: 
→Se : 
, condição de máximos (OBS: para ) 
 
 
→Se 
, condição de mínimos (OBS: para ) 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1.(UFPI)Três alto falantes emitem ondas sonoras de mesma frequência. Num ponto P, distante dos alto-falantes, as ondas sonoras provenientes 
deles podem ser expressas por 
 
 
 
onde , e são constantes. A intensidade do som, no ponto P, é sempre igual a zero. Podemos afirmar que o valor da constante é: 
a) 
b) 
c) zero 
d) 
e) 
 
2. (HALLIDAY) A fonte A de ondas de rádio de longo de alcance está adiantada em relação à fonte B. A distância ao detector é 
maior do quea distância . Qual é a diferença de fase no detector? Ambas as fontes emitem um comprimento de onda de . 
 
3. (ARUN KUMAR) Uma onda progressiva de frequência de está viajando com uma velocidade de . Qual é a distância entre 
dois pontos cuja diferença de fase entre ele é de ? 
 
4.(D.C. GUPTA) Duas ondas da mesma frequência têm amplitudes e . Elas interferem em um ponto onde sua diferença de fase é entre elas é 
. Encontre sua amplitude resultante. 
 
5. (KUMAR SHARMA) Duas fontes sonoras de mesma frequência produzem sons de intensidades e em um ponto quando usadas 
separadamente. Agora as ondas sonoras alcançam com uma diferença de fase . Determine a intensidade resultante em se 
a) ; 
b) 
c) ; 
 
6. (KUMAR SHARMA)Três ondas progressivas senoidais se movem na mesma direçao com mesmo período, mas com amplitudes iguais a 
 . As fases variam conforme a posição, mas em valem respectivemente . Determine a 
amplitude da onda resultante. 
 
7. (TIWARI) Três ondas progressivas são superpostas. As equações de onda são dadas por: 
 
 
 
 
Encontre o valor de (dado ) se a diferença de fase entre a onda resultante e a primeira onda é . 
 
 
8. (TIWARI) Duas fontes de som oscilam em fase com uma frequência de . Em um ponto de uma fonte e da outra, as 
amplitudes de som das duas fontes são e ,respectivamente. Calcule a amplitude da onda resultante no ponto. Dado: . 
 
 
 
9. (KUMAR SHARMA) Encontre a amplitude e fase resultante de um ponto em que ondas senoidas interferem. Todas as ondas têm a mesma 
amplitude e suas fases aumentam na aritmética progressão da diferença comum . 
Dica:Use o Método dos Fasores 
 
 
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10. (KUMAR SHARMA)Dois alto-falantes e de potências e , separados por uma distância com diferença de fase inicial igual a 
zero Você está no ponto médio P da linha que une os alto-falantes e ouvindo um som de intensidade . Determine . 
 
 
 
11. (HALLIDAY) As duas fontes pontuais da figura abaixo emitem ondas coerentes. Mostre que são hipérboles todas as curvas (como as que 
aparecem na figura) para as quais a diferença de fase entre os raios e é constante. (Sugestão: Uma diferença de fase constante significa uma 
diferença constante entre as distâncias e .) 
 
 
12.(IME-2013) Considere duas fontes pontuais localizadas em e , sendo o comprimento de onda e . Em 
coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pontos onde ocorrem interferências construtivas de primeira ordem é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
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e) 
 
 
 
13. (KUMAR SHARMA)A figura mostra um tubo em que a porção possui um comprimento e o tubo lateral mede 
.Determine as frequências audíveis para a qual o dispositivo atua como um silenciador. 
Dado: . 
 
 
 
Resposta ,.. 
 
14. (KUMAR SHARMA)Dois alto-falantes estéreos são separados por uma distância de . Uma pessoa está a uma distância de 
diretamente na frente de um dos alto-falantes, conforme mostrado na figura abaixo. Encontre as frequências na faixa audível 
( ) para a qual o ouvinte ouvirá um de 
intensidade mínima de som. Dado: . 
 
 
 
15. (KUMAR SHARMA)Duas fontes de som e vibram na mesma frequência e estão em fase. A intensidade do som detectado em um ponto P 
(como mostrado na figura abaixo) é . 
a) Se qual será a intensidade do som detectado neste ponto se uma das fontes é desligada? 
b) Qual será a intensidade do som detectado em P se e ambas as fontes são agora ligadas? 
 
 
 
16. (KUMAR SHARMA)Dois alto-falantes e , impulsionados pelo mesmo amplificador, são colocados em e 
(figura abaixo). Os alto-falantes vibram em fase a . Um homem está em um ponto no eixo a uma distância muito grande da origem e 
começa a se mover paralelo ao eixo . A velocidade do som no ar é de . 
 
 
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a) Em em que ângulo a intensidade do som cairá ao mínimo pela primeira vez? 
b) Em que ângulo ele ouvirá o máximo de intensidade do som pela primeira vez? 
c) Se ele continuar a caminhar a linha, quantos máximos mais ele pode ouvir? 
 
 
 
 
17. (KUMAR SHARMA)Uma fonte e um detector estão separados por uma distância . A onda direta de está em fase com a onda de 
refletida de uma camada horizontal na altitude . Quando a camada sobe por nenhum sinal é detectado. Encontre o comprimento de onda do 
sinal da fonte. 
 
 
 
18. (KUMAR SHARMA)Em uma grande sala, um homem recebe ondas sonoras diretas de uma fonte a de distância dele. Ele também 
recebe onda da mesma fonte que o alcançou sendo refletida no teto de de altura em um ponto a meio caminho entre eles. Para qual 
comprimento de onda essas duas ondas sonoras interferirão construtivamente? 
 
 
 
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Resposta: 
 
 
 
 
19.(ITA - 2004) Na figura, e são fontes sonoras idênticas que emitem, em fase, ondas de freqüência e comprimento de onda . A distância 
 entre as fontes é igual a . Pode-se então afirmar que a menor distância não nula, tomada a partir de , ao longo do eixo , para a qual 
ocorre interferência construtiva, é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
20.(D.C.GUPTA) Duas fontes coerentes pontuais e estão vibrando em fase emitindo uma luz de comprimento de onda . Sabendo que a 
distância entre as duas fontes é igual a . Considere uma reta que passa por e é perpendicular a reta que passa por . Qual é a menor 
distância de onde ocorre um mínimo de intensidade? 
 
 
21. (ITA – 2007) A figura mostra dois alto-falantes alinhados e alimentados em fase por um amplificador de áudio na freqüência de . 
Considere seja desprezível a variação da intensidade do som de cada um dos alto-falantes com a distância e que a velocidade do som é de 
. A maior distância entre dois máximos de intensidade da onda sonora formada entre os alto-falantes é igual a: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) 
Resposta: E 
 
22.(IME-2016) Uma fonte sonora está situada no ponto de coordenadas e e outra no ponto de coordenadas e 
. As ondas produzidas pelas duas fontes têm a mesma frequência e estão em fase. Um observador situado no ponto de coordenadas 
e nota que a intensidade do som diminui quando ele se move paralelamente ao eixo no sentido positivo ou no sentido 
negativo. Se a velocidade do som no local é , a menor frequência das fontes, em , que pode explicar essa observação é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
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23. (IME-2015) Duas fontes puntiformes idênticas estão localizadas nos pontos e . As fontes emitem ondas coerentes e em fase entre si. Se a 
distância entre as fontes é igual a um múltiplo inteiro positivo do comprimento de onda, o número de máximos de interferência que podem ser 
observados no eixo à direita do ponto é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
24. (ITA-2017) Um emissor de ondas sonoras situa-se na origem de um sistema de coordenadas e um emissor , num ponto do seu eixo , 
emitindo ambos o mesmo sinal de áudio senoidal de comprimento de onda , na frequência de . Mediante um receptor situado num 
ponto do eixo a de , observa-se a interferência construtiva resultante da superposição das ondas produzidas por e . É igual a a 
diferença entre as respectivas distâncias de e até . Variando a posição de ao longo de , essa diferença chega a . As distâncias 
(em centímetros) entre e nos dois casos são 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) 
 
 
25.(ITA-2020) O som produzido pelo alto-falante F(fonte) ilustrado na figura tem frequência de e chega a um microfone M através de dois 
caminhos diferentes. As ondas sonoras viajam simultaneamente pelo tubo esquerdo , de comprimento fixo, e pelo tubo direito , cujo 
comprimento pode ser alterado movendo-se a seção deslizante (tal qual um trombone). As ondas sonoras que viajam pelos dois caminhos 
interferem-se em M. Quando a seçãodeslizante do caminho é puxada para fora por , a intensidade sonora detectada pelo 
microfone passa de um máximo para um mínimo. Assinale o módulo da velocidade do som no interior do tubo. 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
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GABARITO: 
1. E 
2. . 
3. 
4. 
5. a) ; b) ; c) 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. E 
13. ,.. 
14. 
15. a) ; b) ; 
16. a) ; b) ; c)2 máximos; 
17. 
18. 
19. B 
20. 
21. E 
22. B 
23. A 
24.A 
25. C