Lista_I 2008.2.Gabarito.

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Gabarito da Lista 1 Teórica
4 de outubro de 2008
Econometria 2008.2
Professor: Cláudio Ferraz
Monitor: João Felipe Santoro
1 Questão
Item a
E(mˆa) =
(µ+ 2µ+ 3µ+ 4µ+ 5µ)
10
=
15µ
10
= 1, 5µ
t(mˆa) = E(mˆa)− µ = 0, 5µ
E(mˆb) =
(µ+ 4µ+ 4µ+ µ+ µ)
10
=
11µ
10
= 1, 1µ
t(mˆb) = E(mˆb)− µ = 0, 1µ
E(mˆc) =
(µ+ µ+ µ+ µ+ µ)
10
=
5µ
5
= µ
t(mˆc) = E(mˆc)− µ = 0
Logo, os dois primeiros estimadores são viesados e o último é não-viesado.
Item b
V ar(mˆa) =
1
102
(12 · σ2 + 22 · σ2 + 32 · σ2 + 42 · σ2 + 52 · σ2) = 55σ
2
100
= 0, 55σ2
V ar(mˆb) =
1
102
(12 · σ2 + 42 · σ2 + 42 · σ2 + 12 · σ2 + 12 · σ2) = 35σ
2
100
= 0, 35σ2
V ar(mˆc) =
1
42
(12 · σ2 + 12 · σ2 + 12 · σ2 + 12 · σ2) = 5σ
2
25
= 0, 2σ2
Item c
O estimador mc é o único não-viesado, além de ser o mais eficiente.
1
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2 Questão
Item a
E[(Xµx)Y ] = E(XY − µxY ) = E(XY )− µxE(Y ) = E(XY )− µxµy = Cov(X,Y )
Item b
Cov(X,Y ) = E(XY ) = E(X)E(Y )
Mas se,
E(X) = µx = 0
ou
E(Y ) = µy = 0
temos que
Cov(X,Y ) = 0
Item c
Se
E(Y |X) = µy = E(Y )
então não há nenhuma relação entre Y e X, eles são eventos independentes, isto é, não se pode usar X
para explicar Y, logo a covariância entre eles é zero.
3 Questão
Item a
E(Y ) = (0)(0, 632) + (1)(0, 368) = 0, 368
Interpretação: Espera-se que, em média, o incumbente receba mais da metade dos votos 36,8% das
vezes.
E(X) = (0)(0, 264) + (1)(0, 736) = 0, 736
Interpretação: Espera-se que num ano eleitoral a taxa de desemprego tenha variação negativa, em média,
73,6% das vezes.
Item b
E(Y |X = 1) = (0)
(
P (X=1;Y=0)
P (X=1)
)
+ (1)
(
P (X=1;Y=1)
P (X=1)
)
E(Y |X = 1) = 0,1570,736 = 0, 213
E(Y |X = 0) = (0)
(
P (X=0;Y=0)
P (X=0)
)
+ (1)
(
P (X=0;Y=1)
P (X=0)
)
E(Y |X = 0) = 0,2110,264 = 0, 799
Não. Porque as variáveis são dependentes. A taxa de desemprego afeta a probabilidade de receber mais
votos.
Item c
P (X = 1) = 0, 736
2
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Item d
P (Y = 1|X = 1) = P (Y = 1;X = 1)
P (X = 1)
=
0, 157
0, 736
= 0, 213
Item e
Y=0 Y=1 total
X=0 0.167 0.097 0.264
X=1 0.465 0.271 0.736
total 0.632 0.368 1.00
4 Questão
Item a
yi = βˆ0 + βˆ1xi + ui
cyi = β˜0 + β˜1(dx) + ui
yi = β˜0c + β˜1
dx
c +
ui
c
β˜0 = cβˆ0
β˜1 = cd βˆ1
Item b
yi = βˆ0 + βˆ1xi + ui
c+ yi = β˜0 + β˜1(d+ x) + ui
yi = β˜0 − c+ β˜1d+ β˜1x+ ui
β˜0 = βˆ0 + c− β˜1d
β˜1 = βˆ1
β˜0 = βˆ0 + c− βˆ1d
5 Questão
min
β0β1
n∑
i=1
u2i
min
β0β1
n∑
i=1
(yi − β0 − β1xi)2
∂
∂β0
= −2∑(yi − β0 − β1xi) = 0
∂
∂β1
= −2∑xi(yi − β0 − β1xi) = 0
Multiplicando a CPO por -1/2n:
3
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1
n
∑
(yi − β0 − β1xi) = 0
1
n
∑
yi − β0 − 1n
∑
β1xi = 0
y − β0 − β1x = 0
βˆ0 = y − β1x
Multiplicando a outra CPO por -1/2:∑
xi(yi − β0 − β1xi) = 0∑
xi(yi − (y − β1x)− β1xi) = 0∑
xi(yi − y + β1x− β1xi) = 0∑
xi(yi − y)−
∑
xi(xi − x) = 0∑
yi(xi − x)−
∑
(xi − x)2 = 0
βˆ1 =
∑
(xi−x)yi∑
(xi−x)2
Item b
βˆ1 =
∑
(xi−x)yi∑
(xi−x)2 =
Cov(X,Y )
V ar(X) =
80
100 = 0, 8
βˆ0 = y − β1x
βˆ0 = 100− (0, 8)(0) = 100
Item c
βˆ1 =
∑
(xi−x)yi∑
(xi−x)2 =
∑
(xi−x)(β0+β1xi+ui)∑
(xi−x)2
βˆ1 = β0
∑
(xi−x)∑
(xi−x)2 + β1
∑
(xi−x)2∑
(xi−x)2 +
∑
(xi−x)ui∑
(xi−x)2
βˆ1 = β1 +
∑
(xi−x)ui∑
(xi−x)2
Mas chamamos:
di = (xi − x)
SQTx =
∑
(xi − x)2
Seguindo a dica fornecida no exercício, calculamos a expectativa condicional:
E(βˆ1|x1...xn) = E(β1|x1...xn) + E
(∑
diui
SQTx
∣∣∣∣x1...xn)
Como di e SQTx são funções de x, passam a ser constantes quando condicionadas, o que nos permite fazer:
E(βˆ1|x1...xn) = β1 + 1SQTx
∑
di · E(ui)
Mas sabemos que por hipótese, E(ui) = 0, logo:
E(βˆ1|x1...xn) = β1
Agora aplicamos a lei das expectativas iteradas:
4
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E[E(βˆ1|x1...xn)] = E(βˆ1) = β1
Item d
Como E(β1) = β1, o estimador é não-viesado.
6 Questão
Item a
βˆ1 =
n∑
i=1
(xi − x)yi
n∑
i=1
(xi − x)2
=
∑
xiyi −
∑
yix
n∑
i=1
(xi − x)2
=
200
200
= 1
βˆ0 = y − β1x = 2− (1)(2) = 0
Item b
V ar(βˆ1) =
σˆ2
n∑
i=1
(xi − x)2
=
n∑
i=1
uˆ2i
(n−2)
n∑
i=1
(xi − x)2
=
200
98
200
= 0, 0102
7 Questão
Item a
min
β1
n∑
i=1
u2i
min
β1
n∑
i=1
(yi − β1xi)2
∂
∂β1
= −2∑xi(yi − β1xi) = 0∑
xi(yi − β1xi) = 0∑
xiyi = β1
∑
x2i
βˆ1 =
∑
xiyi∑
x2
i
Item b
β˜1 =
∑
xi(β1xi−ui)∑
x2
i
=
∑
β1x
2
i+xiui∑
x2
i
=
β1
∑
x2i∑
x2
i
+
∑
xiui∑
x2
i
β˜1 = β1 +
∑
xiui∑
x2
i
O segundo termo é a expressão para o viés.
5
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8 Questão
Basta provarmos que:
∑
(xi − x)(yi − y) =
∑
(xi − x)yi
Expandindo ambos os lados obtemos:∑
(xi − x)(yi − y) =
∑
(xi − x)yi∑
(xiyi − xiy − yix+ xy) =
∑
xiyi − x
∑
yi∑
xiyi − x
∑
yi − y
∑
xi + nxy =
∑
xiyi − x
∑
yi
Multiplicando tudo por
1
n :
1
n
∑
xiyi − xy − xy + xy = 1n
∑
xiyi − xy
1
n
∑
xiyi − xy = 1n
∑
xiyi − xy∑
xiyi − xy =
∑
xiyi − xy
9 Questão
1
n−1
∑(
Xi −X
) (
Yi − Y
)
=
= 1n−1
[∑(
XiYi −XiY − YiX +XY
)]
= 1n−1
[∑
XiYi − Y
∑
Xi −X
∑
Yi + nXY
]
= 1n−1
∑
XiYi − 1n−1
[
Y
∑
Xi +X
∑
Yi − nXY
]
= 1n−1
∑
XiYi− 1n−1
[
Y nn
∑
Xi +X nn
∑
Yi − nXY
]
= 1n−1
∑
XiYi− 1n−1
[
nXY + nXY − nXY ]
= 1n−1
∑
XiYi− nn−1XY
10 Questão
R =
∑
(Xi−X)Yi√∑
(Xi−X)2
∑
(Yi−Y )2
R =
∑
XiYi−X
∑
Yi√
[
∑
(Xi−X)Xi][
∑
(Yi−Y )Yi]
R =
∑
XiYi−X
∑
Yi√
(
∑
X2
i
−X
∑
Xi)(
∑
Y 2
i
−Y
∑
Yi)
R =
6.4697−( 449.686 )(1.594)√
(3022.76−( 449.686 )(449.6))(0.03982−( 1.59486 )(1.594))
= −1.8635837212.628322013 = −0.709039346
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11 Questão
Sabemos que R2 = SQESQT . Logo:
R2 =
∑(
Yˆi − Y
)2
∑(
Yi − Y
)2 = βˆ21∑
(
Xi −X
)2∑(
Yi − Y
)2
Mas sabemos da questão 5 que:
βˆ1 =
∑(
Xi −X
)
Yi∑(
Xi −X
)2
Substituindo na expressão do R2 temos:
R2 =
[∑(
Xi −X
)
Yi
]2[∑(
Xi −X
)2]2
∑(
Xi −X
)2∑(
Yi − Y
)2 =
[∑(
Xi −X
)
Yi
]2∑(
Xi −X
)2∑(
Yi − Y
)2
Tirando a raiz quadrada temos justamente o coeficiente de correlação (R) da amostra:
R =
∑(
Xi −X
)
Yi√∑(
Xi −X
)2∑(
Yi − Y
)2
Agora, devemos provar que a inclinação de uma regressão de Y em X (lado esquerdo da equação abaixo)
é igual ao inverso da inclinação de uma regressão de X em Y (lado direito da equação abaixo):∑
(xi−x)yi∑
(xi−x)2 =
1∑
(yi−y)xi∑
(yi−y)2∑
(xi−x)yi∑
(xi−x)2 =
∑
(yi−y)2∑
(yi−y)xi
Mas,
R2 = [
∑
(xi−x)yi]2∑
(xi−x)2
∑
(yi−y)2
1 = [
∑
(xi−x)yi]2∑
(xi−x)2
∑
(yi−y)2
∑
(xi − x)2 = [
∑
(xi−x)yi]2∑
(yi−y)2
Substituindo
∑
(xi − x)2 na primeira equação obtemos:∑
(yi − y)2∑
(xi − x)yi =
∑
(yi − y)2∑
(yi − y)xi
Agora só resta mostrar que os denominadores também são iguais:
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∑
(xi − x)yi =
∑
(yi − y)xi∑
(xiyi − xyi) =
∑
(xiyi − yxi)∑
xiyi−x
∑
yi =
∑
xiyi − y
∑
xi
x
∑
yi = y
∑
xi
1
n
∑
xi
∑
yi = 1n
∑
yi
∑
xi
12 Questão
De maneira direta:
∑
uˆiYˆi =
∑
uˆiβˆ1Xi = βˆ1
∑
uˆiXi = 0
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