Geometria de Massa

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Geometria de Massa 
Superfícies planas 
Disciplina de Mecânica das Construções 
Docentes: Francisco Ricardo, Américo Dimande, Jorge Pindula, Aurélio Sine 
1. INTRODUÇÃO: Secções transversais de estruturas reais 
• Tabuleiro de uma Ponte 
Secção Transversal 
1. INTRODUÇÃO: Secções transversais de estruturas reais 
• Lajes, Vigas e Pilares 
• Teoria das Peças Lineares 
2. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA OU CENTRO DE 
 PRESSÃO (G) 
• Secção geral 
• Momentos estáticos (1ª ordem) 
- momento estático da secção plana em relação ao eixo y 
- momento estático da secção plana em relação ao eixo x 
2. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA OU CENTRO DE 
 PRESSÃO (G) 
• Centro de Gravidade ou Baricentro ”G” 
- eixos baricêntricos 
• Casos particulares – secções com eixo de simetria 
eixo de simetria eixo baricentro porque: 
• Características geométricas de algumas secções correntes – Tabelas técnicas 
2.1. CENTRO DE GRAVIDADE – Secção Composta (regular) 
• Exemplo: 
eixos gerais 
eixos baricêntricos 
Divisão da figura em sub-figuras simples 
n – nº de figuras planas 
simples cujos centros de 
gravidade são conhecidos 
• Centro de gravidade de secções planas compostas: 
• Secções com aberturas 
2.2. CENTRO DE PRESSÃO 
2.2. MOMENTOS AXIAIS DE 2ª ORDEM 
eixos gerais 
Momentos de Inércia 
Produto de Inércia 
Nota 
Momentos de inércia e os produtos de inércia para secções correntes do tipo 
seguinte: 
Consultar TABELAS TÉCNICAS 
• Teorema de Steiner: relação entre momentos de inércia relativos a dois eixos paralelos 
• Produtos de inércia: relativos a dois sistemas de eixos paralelos 
Exemplo: Determinar os Momentos de Inercia e produto de inércia da figura 
 rectangular pelo teorema de Steiner 
Teorema de 
Steiner 
• Secção composta (regular) 
Eixos paralelos 
eixos gerais 
eixos baricêntricos de 
cada figura simples 
• Momentos de Inércia e Produtos de inercia 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
2.3. RAIO DE GIRAÇÃO 
Definição: refere-se à posição da superfície A onde se pode considerar que 
concentrando toda a superfície nesse ponto, pode-se obter o mesmo momento 
de inercia que essa superfície origina. 
Num sistema de eixos OXY, os raios de giração são obtidos por: 
2.4. ROTAÇÃO DE EIXOS 
• Eixos gerais 
eixos gerais iniciais 
eixos gerais rodados 
de “α” 
Momentos e produtos de inércia 
• Eixos principais de inércia 
Quando Ix'y' = 0 e O ≠ centro de gravidade (G) 
Momentos Principais de Inércia 
• Eixos principais centrais de inércia 
Quando Ix'y' = 0 e O = centro de gravidade (G) 
• Casos Particulares: eixos de simetria 
i) Um eixo só 
ii) Dois ou mais eixos 
Produto de inércia = 0 
Produtos de inércia = 0 
x, y – eixos baricêntricos 
CONCLUSÃO: 
• todo o eixo de simetria é principal de inércia 
• se tivermos 2 eixos de simetria então os eixos são principais centrais 
de inércia