TRABALHO ESTATISTICAS - EXERCICIO 06

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ESTATÍSTICA 
Aula 06 – Medidas de Posição 
Nome: Carlos Henrique de Castro Silva RA: 28279651 
 
 
Média Aritmética ( x ) 
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles. 
 
Exemplo – Média Aritmética 
 
I. Dados não agrupados 
 
n
xiå= x 
 
10 14 13 15 16 18 12 
 
 
 
Desvio em 
relação à média 
 
xxi �= di 
 
Para o exemplo 
 
41410 �=�= d1 
01414 =�= d2 
11413 �=�= d3 
11415 =�= d4 
21416 =�= d5 
41418 =�= d6 
21412 �=�= d7 
 
Propriedades da média 
 
1ª Propriedade 
 
0=å
=
 d
k
1i
i 
 
Para o exemplo anterior 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0772421104 =+�=�++++�++�=å
=
 d
7
1i
i 
 
2ª Propriedade 
 
10 14 13 15 16 18 12 98
x 14
7 7
+ + + + + +
= = =
 2 
cxycxy i ±=Þ±= i 
 
Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos: 
 
y1 = 12, y2 =16, y3 = 15, y4 = 17, y5 = 18, y6 =20 e y7 = 14 
 
Daí: 
 
12214201817151612 =++++++=å
=
 y
k
1i
i 
 
22141616
7
122
+=Þ+==Þ== xyyy 
 
II. Dados agrupados 
Sem intervalos de classe 
 
Nº DE 
MENINOS 
fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
∑ 34 
 
å
å=
i
ii
f
fx
 x 
 
xi fi xifi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
∑ 34 78 
 
3,229,2
34
78
=Þ== x x 
 
 3 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição: 
 
 
xi 1 2 3 4 5 6 
fi 2 4 6 8 3 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Dados agrupados 
Com intervalos de classe 
 
å
å=
i
ii
f
fx
 x 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi 
1 150 |--- 154 4 
2 154 |--- 158 9 
3 158 |--- 162 11 
4 162 |--- 166 8 
5 166 |--- 170 5 
6 170 |--- 174 3 
 ∑ 40 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi xi xifi 
1 150 |--- 154 4 152 608 
2 154 |--- 158 9 156 1.404 
3 158 |--- 162 11 160 1.760 
4 162 |--- 166 8 164 1.312 
5 166 |--- 170 5 168 840 
6 170 |--- 174 3 172 516 
 ∑ 40 6.440 
 
cmx 161161
40
440.6
=Þ== x 
xi fi xifi 
1 2 2 
2 4 8 
3 6 18 
4 8 32 
5 3 15 
6 1 6 
∑ 24 81 
 4 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição de 
frequência: 
 
i 
CUSTOS 
(R$) 
xi fi xifi 
1 450 |--- 550 500 8 4.000 
2 550 |--- 650 600 10 6.000 
3 650 |--- 750 700 11 7.700 
4 750 |--- 850 800 16 12.800 
5 850 |--- 950 900 13 11.700 
6 950 |--- 1.050 1.000 5 5.000 
7 1.050 |--- 1.150 1.100 1 1.100 
 ∑ 48.300 
 
Dados agrupados 
Com intervalos de classe 
Processo breve 
 
h
xxi 0�= yi 
 
Observação: escolher um dos pontos médios (preferência o de maior frequência) para 
o valor x0. 
 
( )
å
å ´
+=
i
ii
f
hfy
x0x 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi xi yi yifi 
1 150 |--- 154 4 152 -2 -8 
2 154 |--- 158 9 156 -1 -9 
3 158 |--- 162 11 160 0 0 
4 162 |--- 166 8 164 1 8 
5 166 |--- 170 5 168 2 10 
6 170 |--- 174 3 172 3 9 
 ∑ 40 10 
 
h = 4 
 
x0 = 160 
 
161x1160
40
410
160x =Þ+=
´
+= 
 
 5 
Exercício 
 
1. Calcule a média aritmética, pelo processo breve, da distribuição: 
 
CUSTOS 
(R$) 
fi 
 450 |--- 550 8 
 550 |--- 650 10 
 650 |--- 750 11 
 750 |--- 850 16 
 850 |--- 950 13 
 950 |--- 1.050 5 
1.050 |--- 1.150 1 
 
i 
CUSTOS 
(R$) 
xi fi yi fiyi 
1 450 |--- 550 500 8 -3 -24 
2 550 |--- 650 600 10 -2 -20 
3 650 |--- 750 700 11 -1 -11 
4 750 |--- 850 800 16 0 0 
5 850 |--- 950 900 13 1 13 
6 950 |--- 1.050 .000 5 2 10 
7 1.050 |--- 1.150 1.100 1 3 3 
 ∑ 64 -29 
 
h = 100 
 
x0 = 800 
 
( )
å
å ´
+=
i
ii
f
hfy
x0x 
 
( )
755 754,69x45,31800
64
2.900
800
64
10029-
800x ==Þ�=�=
´
+= 
 
 6 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição: 
 
i CLASSES xi fi yi yifi 
1 30 |--- 50 40 2 -2 -4 
2 50 |--- 70 60 8 -1 -8 
3 70 |--- 90 80 12 0 0 
4 90 |--- 110 100 10 1 10 
5 110 |--- 130 120 5 2 10 
 ∑ 37 8 
 
h = 50 -30 = 20 
 
x0 = 80 
 
8 20 160
x 80 80 80 4,32 x 84,32
37 37
´
= + = � = � Þ = 
 
Emprego da média 
A média é utilizada quando: 
a. Desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade; 
b. Houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior. 
 
 7 
Moda (Mo) 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de 
valores. 
 
I. Dados não agrupados 
 
7 8 9 10 10 10 11 12 13 15 
Mo = 10 
 
3 5 8 10 12 13 
Não apresenta moda (Amodal) 
 
2 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 
Mo = 4 e 7 (Bimodal) 
 
II. Dados agrupados 
Sem intervalos de classe 
 
Nº de 
Meninos 
fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
∑ 34 
 
Mo = 3 
 
Com intervalos de classe 
 
2
Ll
Mo
** +
= 
 
l* é o limite inferior da classe modal; 
L* é o limite inferior da classe moda. 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi 
1 150 |--- 154 4 
2 154 |--- 158 9 
3 158 |--- 162 11 
4 162 |--- 166 8 
5 166 |--- 170 5 
6 170 |--- 174 3 
 ∑ 40 
 
 8 
160
2
320
2
162158
Mo ==
+
= 
 
Fórmula de Czuber 
 
*
21
1* h
DD
D
lMo +
+
+= 
 
l* é o limite inferior da classe modal; 
h* é a amplitude da classe modal; 
D1 = f*- f(ant.); 
D2 = f*- f(post.). 
 
4158-162h* == 
 
 
2911D1 =�= 
 
3811D2 =�= 
 
159,6cm4
32
2
158Mo =´
+
+= 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de frequência: 
 
i 
CUSTOS 
(R$) 
fi 
1 450 |--- 550 8 
2 550 |--- 650 10 
3 650 |--- 750 11 
4 750 |--- 850 16 
5 850 |--- 950 13 
6 950 |--- 1.050 5 
7 1.050 |--- 1.050 1 
 ∑ 64 
 
 9 
Fórmula de Czuber 
 
*
21
1* h
DD
D
lMo +
+
+= 
 
l* é o limite inferior da classe modal; 
h* é a amplitude da classe modal; 
D1 = f*- f(ant.); 
D2 = f*- f(post.). 
 
*h 850 750 100= � = 
 
 
1D 16 11 5= � = 
 
2D 16 13 3= � = 
 
5
Mo 750 100 812,50
5+3
= + ´ = 
 
 
 10 
Mediana (Md) 
Mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no 
centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo 
uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa 
em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
I. Dados não agrupados 
Exemplo 1 
5 13 10 2 18 15 6 16 9 
 
Após ordenação 
 
2 5 6 9 10 13 15 16 18 
Md = 10 
 
Exemplo 2 
2 6 7 10 12 13 18 21 
 
11
2
1210
Md =
+
= 
 
Se n for ímpar o termo de ordem será: 
 
2
1n +
 
 
Se n for par o termo de ordem será a média aritmética de: 
 
2
n
 1
2
n
+ 
 
Exemplo 1 (vide acima) 
 
5
2
19
=
+
 10Md= 
 
 
Exemplo 2 (vide acima) 
 
4
2
8
= 51
2
8
=+ 11
2
1210
Md =
+
= 
 
 
 
 
 
 
 11 
II. Dados agrupados 
 
2
fiå 
 
Sem intervalos de classe 
 
Nº DE 
MENINOS 
fi Fi 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
∑ 34 
 
17
2
34
2
fi ==
å 
 
Md = 2 
 
No caso de existir uma frequência acumulada (Fi) tal que: 
2
f
F
i
i
å
= 
A mediana será dada por: 
2
xx
Md 1ii +
+
= 
Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a 
essa frequência acumulada e a seguinte. 
 
Exemplo 
 
xi fi Fi 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
∑ 8 
 
Temos: 
3
i
F4
2
8
2
f
===
å
 
Logo: 
15,5
2
31
2
1615
Md ==
+
= 
 13 
Com intervalos de classe 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi Fi 
1 150 |--- 154 4 4 
2 154 |--- 158 9 13 
3 158 |--- 162 11 24 
4 162 |--- 166 8 32 
5 166 |--- 170 5 37 
6 170 |--- 174 3 40 
 ∑ 40 
 
Calcular: 
2
fiå
 
 
e 
 
*
*
(ant)
i
*
f
hF
2
f
lMd
´÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�
+=
å
 
 
Sendo: 
l* é o limite inferior da classe mediana; 
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
f* é a frequência simples da classe mediana; 
h* é amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
l* =158; 
F(ant) =13; 
f* = 11; 
h* = 4 (162 - 158). 
 
 
20
2
40
2
fi
==
å
 
 
( )
160,542,54158
11
28
158
11
41320
158
f
hF
2
f
lMd
*
*
(ant)
i
* =+=+=
´�
+=
´÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�
+=
å
 
 13 
Com intervalos de classe 
 
i 
ESTATURAS 
(cm) 
fi Fi 
1 150 |--- 154 4 4 
2 154 |--- 158 9 13 
3 158 |--- 162 11 24 
4 162 |--- 166 8 32 
5 166 |--- 170 5 37 
6 170 |---174 3 40 
 ∑ 40 
 
Calcular: 
2
fiå
 
 
e 
 
*
*
(ant)
i
*
f
hF
2
f
lMd
´÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�
+=
å
 
 
Sendo: 
l* é o limite inferior da classe mediana; 
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
f* é a frequência simples da classe mediana; 
h* é amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
l* =158; 
F(ant) =13; 
f* = 11; 
h* = 4 (162 - 158). 
 
 
20
2
40
2
fi
==
å
 
 
( )
160,542,54158
11
28
158
11
41320
158
f
hF
2
f
lMd
*
*
(ant)
i
* =+=+=
´�
+=
´÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�
+=
å
 
 14 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de frequência: 
 
i 
CUSTOS 
(R$) 
fi Fi 
1 450 |--- 550 8 8 
2 550 |--- 650 10 18 
3 650 |--- 750 11 29 
4 750 |--- 850 16 45 
5 850 |--- 950 13 58 
6 950 |--- 1.050 5 63 
7 1.050 |--- 1.050 1 64 
 ∑ 64 
 
if 64 32
2 2
= =
å
 
l* =750; 
F(ant) =29; 
f* = 16; 
h* = 100 (850 - 750). 
 
( )
i *
(ant)
*
*
f
F h
2 32 29 100 300
Md l 750 750 750 18,75 768,75
f 16 16
æ ö
� ´ç ÷
� ´è ø= + = + = + = + =
å
 
 
Nota: 
No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a 
2
fiå
, mediana será 
o limite superior da classe correspondente: 
 
Exemplo 
 
i CLASSES fi Fi 
1 0 |--- 10 1 1 
2 10 |--- 20 3 4 
3 20 |--- 30 9 13 
4 30 |--- 40 7 20 
5 40 |--- 50 4 24 
6 50 |--- 60 2 26 
 ∑ 26 
 
Temos: 13
2
26
2
fi
==
å
 
 
Logo: 30MdLMd * =Þ= 
 15 
Exercícios 
 
1. Considerando os conjuntos de dados: 
 
a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 
b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 
c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5;48,9 
d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 
 
Calcule: 
I. A média; 
II. A mediana; 
III. A moda. 
 
R. a) 
i xi 
1 2 
2 2 
3 3 
4 5 
5 5 
6 5 
7 6 
8 6 
9 8 
10 9 
Total 51 
 
Média = 5,1 
Mediana = 5 
Moda = 5 
 
b) 
i xi 
1 2 
2 7 
3 7 
4 7 
5 9 
6 12 
7 15 
8 20 
9 20 
Total 99 
 
Média = 11 
Mediana = 9 
Moda = 7 
 
 16 
c) 
i xi 
1 48,7 
2 48,9 
3 49,5 
4 50,3 
5 51,6 
Total 249 
 
Média = 49,8 
Mediana = 50 
Moda = Não Possui 
 
d) 
i xi 
1 10 
2 13 
3 14 
4 15 
5 16 
6 18 
7 20 
Total 106 
 
Média = 15,1 
Mediana = 15 
Moda = Não Possui 
 
2. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: 
 
R$ 75, R$ 90, R$ 83, R$ 142e R$ 88. 
 
Determine: 
a. A média dos salários-hora; 
b. O salário-hora mediano. 
 
R. 
i xi 
1 75 
2 83 
3 88 
4 90 
5 142 
Total 478 
 
Média = 95,6 
Mediana = 88 
 
 17 
3. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 
6,8; 8,7 e 7,2. 
Determine: 
a. A nota média; 
b. A nota mediana; 
c. A nota modal. 
 
R. 
i xi 
1 6,8 
2 7,2 
3 7,2 
4 8,4 
5 8,7 
6 9,1 
Total 47,4 
 
Média = 7,9 
Mediana = 7,8 
Moda = 7,2 
 
 
4. Considerando a distribuição abaixo: 
 
xi 3 4 5 6 7 8 
fi 4 8 11 10 8 3 
 
Calcule: 
a. A média; 
b. A mediana; 
c. A modal. 
 
R. 
i xi fi Fi xifi 
1 3 4 4 12 
2 4 8 12 32 
3 5 11 23 55 
4 6 10 33 60 
5 7 8 41 56 
6 8 3 44 24 
Total 44 239 
 
Média = 5,4 
Mediana = 5,0 
Moda = 5,0 
 
 
 
 
 18 
5. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: 
 
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Nº DE 
ALUNOS 
1 3 6 10 13 8 5 3 1 
 
Calcule: 
a. A nota média; 
b. A nota mediana; 
c. A nota modal 
 
R. 
 Notas Nº alunos 
i xi fi Fi xifi 
1 2 1 1 2 
2 3 3 4 9 
3 4 6 10 24 
4 5 10 20 50 
5 6 13 33 78 
6 7 8 41 56 
7 7 5 46 35 
8 7 3 49 21 
9 8 1 50 8 
Total 50 283 
 
Média = 5,7 
Mediana = 6,0 
Moda = 6,0 
 19 
6. Determine a média aritmética de: 
 
a. 
VALORES 50 60 80 90 
QUANTIDADES 8 5 4 3 
 
b. 
xi 50 58 66 
fi 20 50 30 
 
 
R. a) 
 Valores Quantidades 
i xi fi Fi xifi 
1 50 8 8 400 
2 60 5 13 300 
3 80 4 17 320 
4 90 3 20 270 
Total 20 1290 
 
Média = 64,5 
Mediana = 60,0 
Moda = 50,0 
 
b) 
i xi fi Fi xifi 
1 50 20 20 1000 
2 58 50 70 2900 
3 66 30 100 1980 
Total 100 5880 
 
Média = 58,8 
Mediana = 58,0 
Moda = 58,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
7. Determine os desvios em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 
4, 15. 
Qual a soma dos desvios? 
R. 
i xi Desvio 
1 4 -4,5 
2 5 -3,5 
3 6 -2,5 
4 7 -1,5 
5 8 -0,5 
6 11 2,5 
7 12 3,5 
8 15 6,5 
Total 68 0,0 
 
Média = 8,5 
 
8. Calcule a média aritmética das distribuições de frequência abaixo: 
 
a. 
NOTAS fi 
 0 |--- 2 5 
 2 |--- 4 8 
 4 |--- 6 14 
 6 |--- 8 10 
 8 |--- 10 7 
∑ 44 
 
i Notas xi fi Fi xifi 
1 0 |--- 2 1 5 5 5 
2 2 |--- 4 3 8 13 24 
3 4 |--- 6 5 14 27 70 
4 6 |--- 8 7 10 37 70 
5 8 |--- 10 9 7 44 63 
Total 44 232 
 
Média = 5,3 
Mediana = 5,3 
Moda = 5,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
b. 
ESTATURAS 
(cm) 
fi 
150 |--- 158 5 
158 |--- 160 12 
166 |--- 174 18 
174 |--- 182 27 
182 |--- 190 8 
∑ 70 
 
i Notas xi fi Fi xifi 
1 150 |--- 158 154 5 5 770 
2 158 |--- 166 162 12 17 1.944 
3 166 |--- 174 170 18 35 3.060 
4 174 |--- 182 178 27 62 4.806 
5 182 |--- 190 186 8 70 1.488 
Total 70 12.068 
 
Média = 172,4 
Mediana = 174,0 
Moda = 178,0 
 
c. 
SALÁRIOS 
(R$) 
fi 
500 |--- 700 18 
700 |--- 900 31 
 900 |--- 1.100 15 
1.100 |--- 1.300 3 
1.300 |--- 1.500 1 
1.500 |--- 1.700 1 
1.700 |--- 1.900 1 
∑ 70 
 
i Notas xi fi Fi xifi 
1 500 |--- 700 600 18 18 10.800 
2 700 |--- 900 800 31 49 24.800 
3 900 |--- 1.100 1.000 15 64 15.000 
4 1.100 |--- 1.300 1.200 3 67 3.600 
5 1.300 |--- 1.500 1.400 1 68 1.400 
6 1.500 |--- 1.700 1.600 1 69 1.600 
7 1.700 |--- 1.900 1.800 1 70 1.800 
Total 70 59.000 
 
Média = 843 
Mediana = 810 
Moda = 800 
 
 22 
d. 
PESOS 
(kg) 
fi 
145 |--- 151 10 
151 |--- 157 9 
157 |--- 163 8 
163 |--- 169 6 
169 |--- 175 3 
175 |--- 181 3 
181 |--- 187 1 
∑ 40 
 
i Notas xi fi Fi xifi 
1 145 |--- 151 148 10 10 1.480 
2 151 |--- 157 154 9 19 1.386 
3 157 |--- 163 160 8 27 1.280 
4 163 |--- 169 166 6 33 996 
5 169 |--- 175 172 3 36 516 
6 175 |--- 181 178 3 39 534 
7 181 |--- 187 184 1 40 184 
Total 40 6.376 
 
Média = 159,4 
Mediana = 157,8 
Moda = 148,0 
 
 
9. Calcule a mediana de cada uma das distribuições do exercício 8. 
a) Mediana = 5,3 
b) Mediana = 174,0 
c) Mediana = 810 
d) Mediana = 157,8 
 
10. Calcule a moda de cada uma das distribuições do exercício 8. 
a) Moda = 5,0 
b) Moda = 178,0 
c) Moda = 800 
d) Moda = 148,0 
 
11. Calcule o primeiro e o terceiro quartis das distribuições do exercício 8. 
 
12. Calcule o 10º, o 1º, o 23º, o 15º e o 90º percentis da distribuição b do exercício 8. 
 
13. A curva de frequência acumulada serve para determinar: 
a) A lei do acaso. 
b) A média. 
c) A mediana. 
d) A moda. 
e) O desvio padrão. 
 23 
 
14. Uma curva simétrica se caracteriza pelo seguinte atributo: 
a) É simétrica à esquerda. 
b) A moda é maior que a mediana e a média. 
c) A moda, a mediana e a média são iguais. 
d) O desvio padrão é maior que a mediana e a moda. 
e) Os decis são equivalentes à média. 
 
Observação: Não é necessária a resolução dos exercícios 11 e 12.