Física III - Resumo

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AULA 1 – FÍSICA III 
O documentário passado em aula se encontra no Youtube: 
A História da Eletricidade – BBC. 
Eletricidade 
O relâmpago nada mais é que uma descarga elétrica oriunda de uma diferença de 
potencial (positivo e negativo), o relâmpago só acontece por conta dessa diferença. A 
terra é um grande armazenador de Elétrons, há uma polaridade na superfície terrestre. 
Quando uma nuvem carregada vem ao encontro da superfície, ocorre a rigidez dielétrica, 
torna-se um material que não é condutor em condutor, também pode ser aplicado ao ar. 
Somos feitos de moléculas de Átomos, e esses átomos são dotados de cargas elétricas, o 
caminho de pulsos elétricos ele é notório ao falar de impulsos de sinais elétricos. 
Força e Campo Elétrico 
O acúmulo de cargas elétricas se concentra nas pontas (densidade de cargas 
elétricas), como nos para raios. Se essa concentração de cargas elétricas tiver o mesmo 
sinal, ocorrerá uma repulsão eletrostática. 
Visão histórica sobre eletricidade 
No centro da bussola há uma espécie de colher, e essa colher sempre se orientava 
no sentido do trono do imperador, o seu trono era direcionado a um dos polos magnéticos 
da terra, ele acreditava que a bussola sempre apontava para ele por ser o imperador. 
 
 
• 700 aC 
O povo grego foram os primeiros a pensar sobre os efeitos da eletricidade, nesta época 
era considerado bruxaria/obra divina. O filósofo Tales de Mileto, ao esfregar um âmbar 
a um pedaço de pele de carneiro observou que pedaços de palhas e fragmentos de madeira 
começaram a ser atraídas pelo próprio âmbar. Do âmbar surgiu o nome Eletricidade. 
• 1600 
William Gilbert foi o primeiro a quebrar a limitação de efeitos eletrostáticos, 
mostrando que não era apenas no âmbar que ocorria estes efeitos. 
• 1820 
As coisas começam a se revolucionar no século 19, Hans teve a percepção que a 
bússola defletia à medida que o condutor se aproximava, ele percebeu a relação entre 
eletricidade e magnetismo. 
• 1831 
Faraday vazia contas e escrevia todos os experimentos, colocou todas as ideias em 
prática. 
• Maxwell 
Pegou as ideias de Faraday e equacionou as suas ideias a qual chama de equações de 
Maxwell. 
 
A primeira equação é a Lei de Gauss: Diz que um campo elétrico pode surgir a 
partir de uma densidade de carga, uma carga emana um campo elétrico. 
A segunda equação diz que não existe monopólios magnéticos, pensando num imã 
norte e sul quando se quebra pode-se pensar em forma intuitiva que está separando o norte 
magnético e o sul magnético, mas é impossível separar, não há o monopólio magnético. 
A terceira equação diz que, um campo elétrico pode gerar um campo magnético a 
variação do campo elétrico gera um campo elétrico. 
Já a quarta equação diz o contrário da terceira, a variação de um campo elétrico pode 
gerar um campo magnético mediante uma densidade de carga que passa no meio. 
• 1888 
Hertz previu algumas ideias que o Maxwell já tinha previsto das ondas 
eletromagnéticas, porem ele quantificou /mensurou. 
Eletricidade e Átomo 
Sabemos que a parte elétrica prove de origem elétrica assim como os átomos. Na 
parte da eletrosfera do átomo temos cargas negativas, no Núcleo cargas positivas os 
prótons e os neutros que não tem nenhum tipo de carga. 
 
Princípio da Eletrostática 
As cargas elétricas possuem 4 características fundamentais, a primeira é a 
bipolaridade, segunda interação, terceira conservação e quarta quantificação de carga 
elétrica. 
Bipolaridade – A carga elétrica é dotada de uma característica importante que é a 
bipolaridade, toda carga elétrica ela é positiva ou é negativa, característica dada por 
Benjamin Franklin. 
Interação – Como as forças se comportam em dualidade, interação entre cargas 
positivas é de força repulsivas, entre negativas também é uma força repulsiva e cargas de 
sinais contrários a força de interação é atrativa. 
Conservação – Conservação de quantidade de cargas elétricas, iremos supor nos 
exemplos/atividades um sistema isolado, toda carga elétrica vai interagir entre si em um 
sistema, e o outros sistemas não irão interferir nas nossas contas, não haverá forças 
externas que atrapalhem o fenômeno dentro do sistema. 
Quantificação da carga elétrica – A quantização tem a ver com a carga 
fundamental estudada na eletricidade, essa carga é o Elétron, ela é a menor carga elétrica 
que nós temos, trata-se de um valor fixo que é 1,6 ∗ 10−19 C. 
Quantização significa dizer que caso você tenha um material e você queira contar 
a quantidade de cargas que você tenha nesse material, ele vai ser múltiplo do valor do 
Elétron. 
 
Condutores e Isolantes 
Condutores – Se pegarmos o cobre ou grafite na sua constituição molecular 
atômica, sobretudo, nas ultimas camadas eles têm uma maior quantidade de Elétrons, tem 
maior facilidade de se deslocar, e consequentemente um maior fluido nesses materiais. 
Isolantes – Dificuldade no deslocamento. 
 
 
Corpos Neutros e Eletrizados 
 
A esfera da esquerda possui a mesma quantidade de cargas elétricas negativas e 
positivas, podemos pegar as cargas elétricas negativas e tirar por meio de um processo de 
eletrização e transformar um conceito de um corpo neutro para um corpo 
eletrizado/carregado, neste caso positivamente. 
Já do lado direito de forma análoga, porem contrário, se acrescentarmos duas 
cargas negativas, ocorrerá um excesso de cargas negativas e de um corpo neutro se tornará 
um corpo carregado ou eletrizado negativamente. 
Se liga... 
Processo de eletrização 
 Eletrização por contato 
 
Determinada quantidade de cargas elétricas negativas e 3 cargas positivas. A 
esfera A ela está carregada / eletrizada negativamente, e o corpo B esta neutro, pois sua 
carga elétrica positiva e negativa são iguais, por isso sua carga total é 0. 
Caso seja encostado os corpos A e B, ocorre a eletrização negativamente da 
segunda esfera que era neutra. O somatório final de cargas elétricas depois da eletrização 
por contato, é a mesma da contagem inicial antes do contato, ocorre a conservação de 
quantidade de cargas elétricas. 
 Eletrização por atrito 
 
 
 
 
 
Esfregando uma flanela em uma jarra de vidro, observa-se que existe o mesmo 
quantitativo de cargas positivas e negativas. O vidro detém as cargas positivas porque 
existe uma tabela chamada tabela Triboeletrônica, de substancias e materiais que mostra 
aqueles que podem após processo de eletrização ficar mais positivos ou negativos. Essa 
tabela mostra as tendencias para positivos e negativos, com base em testes e 
experimentos. 
 
 
Eletrização por indução 
 
Temos um bastão indutor eletrizado negativamente e temos uma esfera neutra, no 
entanto, com seus sinais já separados, observe que pelo fato de o bastão estar carregado 
negativamente vai induzir a passagem de uma polarização nessa esfera de um encontro 
de cargas positivas e negativas. Há uma aproximação, estamos induzindo a uma nova 
redistribuição de cargas, e quando conseguimos arrancar aquela carga separada 
colocamos um fio terra e ele serve para pegar esses quantitativo de cargas elétricas que 
não está “fazendo nada” e puxar para a terra fazendo com que o objeto fique eletrizado. 
 
Forças fundamentais 
 
 
Força gravitacional é uma força atrativa que varia com o inverso do quadrado da 
distância dos planetas/corpos celestes. No entanto, é um comparativo de forças com 
relação a força nuclear, a força gravitacional é insignificante quando comparado a uma 
força atômica. 
Eletromagnetismo, a sua lei é o inverso do quadrado da distância, assim como na 
força gravitacional, a única diferença é o seu alcance. A força gravitacional é de longo 
alcance. A força eletromagnética é atrativa e repulsiva. 
A força nuclear fraca é responsável pelo decaimento beta. 
A força nuclear forte mantém a colisão nuclear do próton no núcleo do átomo e 
detém a maior intensidade dentre as forças apresentadas.Lei de Coulomb 
 
Uma vez que já temos em mente a lei da gravitação universal, a física clássica, 
consequente das 3 leis de newton, foi possível pré estabelecer que há uma outra lei, que 
estabelece a lei do universo quadrado, que é a Lei de Coulumb. Essa lei diz que duas 
cargas elétricas pontuais ou puntiformes (o diâmetro da partícula é muito menor do que a 
distância que separa o centro da outra partícula), é um ponto significante, é tanto que não 
calculamos o diâmetro da partícula, consideramos as partículas elétricas como um ponto, 
a gente entende que o diâmetro raio das cargas elétricas são insignificantes quando 
computacionamos a distância da outra carga em questão (chamamos de distância r). 
Sobre a equação de Coulumb: 
A formula está em módulo, não está escrito no sentido vetorial. Se calcularmos o 
módulo, as cargas q1 e q2 matematicamente falando elas serão positivas, os sinais das 
cargas representarão a interação entre as cargas mostrando se na dualidade das cargas 
haverá uma interação atrativa ou repulsiva, aí sim desenhará os vetores, mas o módulo 
desses vetores quando colocar na formula o negativo “vai embora”. 
A proporcionalidade da força elétrica (𝐹𝑒) para com o produto das cargas absolutas 
(𝑞1𝑒 𝑞2) e para com o inverso do quadrado da distância (𝑟
2) se transforma em igualdade 
por meio de uma constante elétrica (𝑘𝑒). 
A constante elétrica depende intrinsecamente do meio que as cargas estão, se estão 
no vácuo, se está no fluido... Existe uma tabela para isso, e essa constante possui um valor 
no vácuo, caso seja em outro meio a questão fornecerá o valor. 
Balança de torção 
Balança experimental que Coulumb utilizou para conceituar e matematizar a sua 
lei. 
Há um fio, fibra tem duas esferas maior e menor ligadas por uma haste (esferas A 
e B) podendo estar eletrizadas ou não. Por meio dessa experimentação pode-se perceber 
que a lei de coulomb é uma lei do inverso do quadrado da distância. 
A força é uma grandeza vetorial! 
 
Essa lei de coulomb está sendo expressada de forma vetorial. 
O versor é um vetor que aponta/direciona pra onde está a força que uma partícula 
está aplicando na outra. 
Importante lembrar: 
 
 
Como as partículas são positivas elas são repulsivas. 
As partículas positivas e negativas são atrativas. 
 
 
Princípio da superposição 
 
Imagine uma partícula 1, 2, 3...n, será utilizado a Lei de Coulumb só que será 
utilizada com referência onde é para calcular a força se é de todas as partículas na carga 
1, na carga 2 ou na carga 3. 
Sempre terá que construir a Lei de Coulumb pra depois somar. Primeiro calcula-
se a primeira força, se for com relação a carga 1 será necessário pegar a carga 2 e calcular 
a força sentindo a carga 1, depois pega a carga 3 e vê o que a carga 1 sente, carga 4 e vê 
o que a carga 1 sente, e assim sucessivamente. 
Ou seja, será necessário fazer múltiplas continhas com a Lei de Coulumb e depois 
somar todas elas de forma vetorial (terá que decompor no eixo x, e dependendo no y [se 
for bidimensional] e no z [se for tridimensional]) e armazenando suas componentes 
depois somar tudo em x, y e z. 
Se for partes de uma matéria (continuidades) será uma integral, nessa integral vai 
caracterizar elementos infinitesimais de forças e integrar om toda a contribuição desse 
constituinte. 
 
Importante observar as partículas positivas e negativas para realizar as interações 
e esboçar o sentido que as forças se comportam sentidas pela carga 1. Lembrando que 
positivo com positivo as forças são repulsivas e positivo com negativo as forças são 
atrativas, podemos observar claramente na imagem acima estas interações. Após isso 
basta fazer o somatório de todas as forças de forma vetorial. 
Exemplo Unidimensional 
 
µ (Micro) = 10−6 
A ideia para solucionar o problema é aplicar a lei de coulumb, no entanto, quer 
saber a posição de 𝑞3 sendo que ela está parada, ela está recebendo uma interação forças 
de origem elétrica tanto de 𝑞1 quanto de 𝑞2, observe que 𝑞3 pelo fato de ser negativa com 
relação a 𝑞1 a tendência é se aproximar de 𝑞1, da mesma forma com 𝑞2. Como mostra na 
imagem acima 𝑞3 está num “cabo de guerra”, tanto 𝑞1 como 𝑞2 estão puxando, ou seja, 
as suas intensidades se equiparam, logo temos um caso do equilíbrio das forças, nós 
chamamos de um sistema de equilíbrio onde o somatório das forças é igual a 0. 
 
Lei de Coulumb 
 
• Como trata-se de um caso unidimensional só pode haver movimentação do 
eixo x, pois as 3 partículas estão nesse eixo e o versor só pode ser o “i” que 
representa a orientação do eixo x. 
 
Análise: A distância que separa a carga 2 da carga 3 é x (pela figura), e como é 
o inverso do quadrado “𝑥2”. A distância da carga 2 para a carga 1 é 2 metros e 
da carga 1 para a 3 é 2 − x. 
Como são grandezas vetoriais o sentido é muito importante, logo a força 23 ela 
está no sentido contrário a orientação x, por isso o negativo, diferentemente da 
força 13 que está indo conforme a orientação x. 
 
Só aplicar o meio pelos extremos e encontra-se um produto notável. 
 
Aplicando Bhaskara encontra-se dois resultados. 
A solução correta é 0,775 m, pois 𝑞3 está no eixo x, mas em seus valores positivos, está 
entre o 0 e 2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 – FÍSICA III 
 
Além de encontrar os módulos, iremos comparar a força elétrica com a força 
gravitacional. 
Usando a Lei de Coulumb: 
Elétron: −e (−1,60X{10}^{−19}C) 
Próton: e (1,60X{10}^{−19}C) 
𝑟2 = 5,3X10−11 
𝑘𝑒 = 8,99X10
9N.𝑚2/𝐶2 (valor tabelado) 
• Basta substituir na equação de Coulomb. 
 
Representando a força elétrica entre o próton e o elétron. 
Calculando a força gravitacional utilizando a lei da gravitação universal de Newton: 
Me: elétron (massa: 9,11x10−31) 
Mp: próton (massa: 1,67x10−27) 
G: 6,67x10−11N.𝑚2/k𝑔24 
 
A força gravitacional entre o próton e o elétron é dado pelo resultado acima. 
Comparando os dois resultados da força elétrica e a força gravitacional, realizando 
a razão entre as duas percebemos que a força gravitacional não faz sentido no mundo 
atômico, trata-se de um número exorbitante. 
 
µ (Micro) = 10−6 
O gráfico da questão nos fornece algumas orientações. 
Inicialmente iremos calcular os módulos das forças descritas na figura. 
Utilizando a Lei de Coulumb: 
𝑘𝑒 = 8,99X10
9N.𝑚2/𝐶2 (valor tabelado) 
Basta substituir os valores: 
 
Próximo passo devemos calcular as componentes (as suas contribuições) no eixo X e no 
eixo Y: 
A projeção em 𝐹31x, representa o seno do ângulo teta (sin 32º). 
 
Agora no eixo Y, utilizando o Princípio da Superposição: 
𝐹21y : Essa força como ela coincide com o eixo X, a contribuição em Y ela é zero. 
𝐹31y: Essa força quando ela é projeta no eixo Y ela está na parte negativa, portanto, será 
uma colaboração negativa. Iremos observar o triângulo retângulo e o cateto adjacente é o 
cos. 
 
Para encontrar a resultante total utilizaremos Pitágoras: 
Baste substituir os valores. 
 
A força resultante 𝑭𝒓𝟏 é representada da seguinte forma na figura: 
 
Para finalizar basta encontrar o ângulo que a força 𝑭𝒓𝟏 tem para com o eixo x. 
 Para encontrar a direção do vetor utilizamos a tangente inversa, basta substituir: 
 
A representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3 – FÍSICA III 
 
Conceito de Campo Elétrico 
Partículas 
Carga fonte: Gera o campo, é sentida pela carga teste (detém uma carga maior). 
Carga teste: Detém uma menor carga, 𝑞0. 
O campo elétrico é uma zona em que a carga fonte consegue interagir via força elétrica 
com a carga teste. 
 
Substituindo a força elétrica pela lei de coulomb: 
 
Vetor campo elétrico 
Observação de como se comporta o campo elétrico dada uma determinada 
configuração. (simulação) 
Como a carga teste se comporta radialmente em torno de uma carga que está emanando 
o campo elétrico, numa região bidimensional.Linhas de força (Essenciais para as aulas experimentais) 
Essas linhas de força servem para visualizar o comportamento do campo elétrico. 
Existem 3 características básicas: 
 
Representações das linhas de forças: 
 
As linhas de força sempre vão de encontro às cargas negativas, já com as cargas positivas 
ele sai da carga. (importante) 
 
Vetor campo elétrico (Bidimensional) 
 
 
 
Orientações: 
Dipolo em um eixo z (unidimensional) 
Calcular o campo em um ponto p 
Encontrando o campo elétrico positiva e negativa, a resultante é fácil, já é dada na 
questão. 
Depois de encontrar a solução dada na questão, basta substituir o momento do dipolo 
elétrico. 
Vetor Campo Elétrico (Tridimensional) 
 
 
 
 
Campo Elétrico 
Contribuições das cargas elétricas, representação a partir do ponto p. 
As cargas positivas divergem, como podemos observar e a carga negativa converge. 
 
 
𝒓𝒊 é a distância a partir da i-ésima carga 𝒒𝒊 para o ponto P (a posição na qual o 
campo será avaliado) e �̂�𝒊é um vetor unitário direcionado de 𝒒𝒊 para P. 
 
Orientações: 
Trata-se de um caso bidimensional. 
Calcular resultante no campo elétrico sentida no ponto P. 
Partícula positiva se for calculada no ponto P, ela irá divergir, já o campo elétrico vai de 
encontro a partícula negativa, como podemos observar na figura abaixo. 
 
Observe que há uma determinada inclinação, temos um triângulo isósceles. 
O campo depende da distância e da carga, elas se anulam porque a figura mostra um 
triângulo em q (positivo) e q (negativo), logo a contribuição em y não coincide (são 
opostas). 
Utilizando o Princípio da Superposição 
 
Calculando o módulo de cada campo: 
O r² é a distância do ponto q até o ponto p, é um valor r, e como trata-se de um triângulo 
retângulo ele possui catetos a, catetos y e uma hipotenusa r. (teorema de Pitágoras) 
 
A projeção de 𝐸1 em x, entra um cos, assim como, 𝐸2 em x. Caso fosse em y seria um 
seno. 
Logo, 
Como são termos iguais foi multiplicado por 2. 
 
O cos de teta na figura representa o cateto adjacente sobre a hipotenusa, é a sobre r. 
O r representa a hipotenusa (r² é a soma dos quadrados dos catetos). 
Passou o quadrado do r para o segundo membro para que as contas fossem facilitadas. 
 
Substituindo cos 𝛉, temos: 
 
Calculando o campo elétrico para y muito maior que a (basta desprezar o a): 
 
 
 
 
Vetor Campo Elétrico (De um objeto ligado como um todo/objeto continuo) 
Iremos sair de um processo discreto para um processo continuo, vamos sair de um 
caso de somatório para um caso de integração. 
 
O somatório é utilizado para distribuições discretas 𝒒𝟏, 𝒒𝟐, … , já quando se tem 
uma distribuição dentro de um objeto solido continuo utiliza-se integração. 
Utilizaremos muito (Importante): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 – FÍSICA III 
Vetor Campo Elétrico 
Densidade de carga! (Importante) 
Substituições em casos específicos: 
 
 
Orientações: 
Trata-se de um exemplo bidimensional, entretanto, a haste coincide com um dos eixos, 
logo “mais ou menos” um caso unidimensional. 
A carga E está se afastando a partir do ponto P, pois em cargas positivas o campo elétrico 
diverge. 
Uma parte infinitesimal tem o comprimento 𝑑𝑥, é nesse comprimento que tem um 
comprimento 𝑑𝑞. 
Iremos utilizar a definição do cálculo do campo elétrico: 
Inicia-se a resolução substituindo dq = λ d𝑥 
 
 
Após a substituição, já pode integrar em relação a variável x. 
Integrasse ambos os membros o primeiro membro é 𝑑𝐸, cuja integral é E. O segundo é o 
que está do outro lado da igualdade. 
Os limitantes da integração será 𝑎 e 𝑙 + 𝑎, pois o 𝑙 não chega até o ponto P, conforme a 
figura. 
𝜆(lambda)também é uma constante, logo ela vai pra fora da integração. 
Sendo 𝜆 =
𝑄
𝑙
 dada pela densidade de carga, basta substituir: 
 
 
SOLUÇÃO: 
E se? Suponha que o ponto 𝑃 esteja muito longe da haste. Qual é a natureza do campo 
elétrico em tal ponto? 
Analisando o resultado anterior, se considerarmos que o valor de 𝑎 é muito maior que o 
𝑙 comprimento da haste, 𝑙 é desprezível e então praticamente não existe na soma. 
 
O significado físico, com esse resultando sendo o ponto P maior que o 
comprimento da haste, temos que nos posicionar desse referencial do ponto P muito 
distante, logo o que irá enxergar não será mais uma haste, mas sim um ponto no espaço, 
sendo assim, uma partícula pontual puntiforme, essa partícula é uma esfera 
“pequenininha”, este resultado é a Carga Fonte. 
 
Calcular um campo elétrico em um ponto distante do centro de uma área que coincide 
com esse anel. 
Trata-se de um anel (um sólido) uma distribuição continua e esse anel está carregado. 
Orientações: 
𝑑𝑞 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑐𝑜𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝐸, 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑎. 
Devemos decompor no eixo x, e no eixo y, e no eixo z caso seja necessário. 
Ao observar a figura, a única contribuição favorável seria no eixo x, e a nossa resultante 
está nesse mesmo eixo. 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 – FÍSICA III 
 
Revisão de cálculo do Campo Elétrico 
Calcular o campo elétrico de uma carga 
A carga fonte gera o campo elétrico e uma carga teste sente a interação da carga fonte, 
é uma interação de redução. 
Há duas formas de calcular a carga puntiforme no campo: 
Geralmente será calculado o campo elétrico de uma carga fonte em um ponto P, Q... É 
necessário compreender e entender qual o sentido desse campo elétrico se ele converge 
ou diverge (positivo: diverge/negativo: converge). 
Será calculado o módulo do campo elétrico. 
 
Já a carga teste definimos o campo elétrico onde insere essa carga teste próximo a carga 
fonte conforme mostra na imagem abaixo. 
 
A outra forma de calcular o campo elétrico é por meio de distribuições discretas, 
o pensamento é: “Se eu sei calcular uma carga pontual... N cargas pontuais, também sei 
calcular as distribuições discretas.” Após calcular os N campos elétricos terá que somar, 
e esse passo chama-se princípio da superposição. 
 
 
 
 
Distribuição Contínua 
O cálculo do campo elétrico é realizado por: 
Antes de iniciar o processo de integração, é interessante iniciar primeiro aplicando 
esta definição. 
 
 
Densidade de cargas (Muito importante) 
 
 
Continuação resolução da questão da Aula 4... 
 
Calcular um campo elétrico em um ponto distante do centro de uma área que coincide 
com esse anel. 
Trata-se de um anel (um sólido) uma distribuição continua e esse anel está carregado. 
Orientações: 
𝑑𝑞 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑐𝑜𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝐸, 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑎. 
Devemos decompor no eixo x, e no eixo y, e no eixo z caso seja necessário. 
Ao observar a figura, a única contribuição favorável seria no eixo x, e a nossa resultante 
está nesse mesmo eixo. 
Observa-se na figura um triângulo retângulo. 
 
Calcula-se dq no ponto P, observa-se as contribuições no eixo x e uma outra contribuição 
em um campo elétrico no eixo perpendicular ao eixo x. 
Inicia-se a resolução pela definição: 
 
Para decompor no eixo x, utilizamos cos 𝜽. 
r² é distância que separa o dq até o ponto P, o r (na figura) faz parte do triângulo retângulo, 
é a hipotenusa, logo, a soma dos quadrados é a² + x². 
Conforme a análise da geometria do problema percebe-se que 𝒄𝒐𝒔 𝛉  =  
𝒙
𝒓
. 
 
Apenas uma contribuição de um dq (um elemento no eixo x), configura essa resolução. 
 
Integra-se o primeiro membro e o segundo membro. 
 
O 𝐾𝑒 é uma constante, o 𝑥, o 𝑎 e o 𝐸𝑥, sobra o 𝑑𝑞. 
Basta integrar e substituir os limites de integração. 
Logo, obtemos a contribuição no Eixo x, e a outra contribuição se anula, pois são 
vetores que tem sentidos opostos e mesma intensidade. 
 
Dica: 
Observe que o anel é carregadouniformemente de forma positiva, caso coloque uma 
carga negativa no centro todos “vão querer essa carga negativa”. E essa carga vai ficar 
parada no centro, estará equilibrada. 
Essa carga negativa é ligeiramente deslocada, ocorrerá uma oscilação, logo um 
movimento harmônico simples. 
 
 
Campo Elétrico Uniforme 
 
Partirá sempre das cargas positivas para as cargas negativas. 
Quando inserimos dentro de uma placa carregada positiva e negativa, uma partícula teste 
ela vai tendenciar o início do movimento. 
Se essa carga teste for positiva ela se movimentará para a direita, caso seja negativa se 
movimentará para a esquerda. 
 
 
Utilizando a Equação de Torricelli para calcular: 
O primeiro passo é substituir, Velocidade inicial = 0, 2a (continua), xf é o d completo e o 
xi é 0, logo a distância é 𝑑 − 0. 
Sabemos que aceleração é força sobre massa, porém a força é uma força elétrica. 
A partícula no campo elétrico, é uma partícula teste, com isso, basta substituir qE pela 
força elétrica. 
 
Logo, essa é a velocidade final. 
Sempre suspeitem quando a questão evidencia as letras algebricamente. 
Utilizando o Teorema da energia cinética na questão B: 
W = Representa o trabalho 
∆𝐾 = Representa a variação da energia cinética 
(energia cinética inicial e final) 
A velocidade inicial é 0, porque o objeto foi abandonado. 
Após o cálculo, basta realizar a devida substituição. 
 
Obtêm-se o mesmo resultado da letra a, só utilizando o princípio de conservação de 
energia. 
Produto Escalar 
Como tem dois vetores A e B e eles são dirigidos em determinado ângulo, o produto 
escalar de A com B é representado pelo produto dos seus módulos vezes o cos de teta 
(teta é o ângulo que separa os dois vetores). 
 
Caso haja vetores ortogonais, perpendiculares não terá nenhuma contribuição, logo será 
0. 
 
 
 
Fluxo Elétrico 
É a representação da quantidade de linhas de força que passa em determinada área. 
A quantidade de linhas que passa na área da figura abaixo, é chamada de fluxo. 
Definimos o fluxo elétrico de forma matemática, como é explicitada na imagem. 
 
Observe as linhas de força a direção deste plano não está totalmente perpendicular 
as linhas de força, há uma determinada angulação das linhas de força, para com um vetor 
que podemos chamar de normal que perpendicular a superfície, esse vetor normal com o 
vetor campo elétrico forma um teta. 
Por isso, que vai aparecer além da multiplicação do campo com a área, um cos 𝜽, 
em virtude de ter uma inclinação. 
 
 
AULA 6 – FÍSICA III 
Fluxo Elétrico (Continuação) 
Observe o sólido abaixo, pega-se um “elementozinho”, uma contribuição do 
campo elétrico passa exatamente nesse elemento de área de superfície. O vetor campo 
elétrico está indo em uma direção, no entanto, a normal da área está indo em outra direção, 
logo a angulação é entre os dois vetores. 
Para esse elemento de área o fluxo seria a multiplicação direta do 𝐸𝑖 vezes ∆𝐴𝑖 e 
a angulação cos 𝜃𝑖, essa é a definição do produto escalar entre dois vetores, produto do 
módulo de dois vetores vezes o cos. 
Nota-se que este produto escalar Φ𝐸 = 𝐸𝑖∆𝐴𝑖cos 𝜃𝑖 = �⃗� i . ∆𝐴 𝑖, é a mesma coisa 
que a definição vista na aula 5. 
 
Entretanto, o exemplo a baixo foi feito de trás para frente. 
 
Na medida que há todo o somatório de uma grandeza, neste caso, o fluxo e quando 
se impõe uma condição para pegar uma totalidade, isso será definido como uma soma 
geral, logo é uma integral, há quem chame de integral de linha ou integral fechada. 
 
Observe a superfície 3, as linhas são linhas de força, no canto esquerdo o vetor E, 
é o vetor campo elétrico, o vetor de área sempre é perpendicular à superfície, e o ângulo 
nesta superfície 3 é obtuso, é maior que 90 graus, se analisarmos o cos será uma 
contribuição negativa. 
 
 Já na superfície 2, que está no centro da superfície fechada o campo elétrico está 
paralelo a superfície, neste caso especifico, o vetor área e campo elétrico são 
perpendiculares a superfície, e o ângulo é de 90 graus, cos 90 é zero, com isso, não terá 
nenhuma contribuição de fluxo neste elemento de área. 
 Na superfície 1 a angulação é do tipo agudo, trata-se de uma contribuição positiva 
quando se observa o cos de teta. 
 
 
 
Orientações: 
As únicas contribuições que o campo elétrico irá atravessar é a face 1 e 2, o resto será 0 
pois fará o ângulo de 90º. 
Na face 2 o vetor de área é paralelo ao campo elétrico (cos 0 = 1). 
Na face 1 o plano contido na superfície o elemento de área está em um sentido e o campo 
elétrico em um sentido diferente (vetores dA e E são opostos), logo um ângulo de 180º 
(cos 180º = -1). 
Para responder a primeira integral face 1, basta integrar. 
O processo para a resolução deste passo é aplicar o produto dos módulos vezes o 𝒄𝒐𝒔 𝛉 . 
Sabe-se que a face 1 seu ângulo é de 180º. 
O E é uma constante, logo ele sai para fora da integral. 
Sabemos também que cos 180 é -1, coloca o sinal negativo para fora da integral, restando 
apenas dA, e sua integral é A. 
A área conhecemos, a área do quadrado é igual a l², basta substituir no resultado da 
integração. 
Para responder a segunda integral face 2, basta integrar, igualmente a face 1. 
O processo para a resolução deste passo é aplicar o produto dos módulos vezes o 𝒄𝒐𝒔 𝛉 . 
Observamos que o 𝒄𝒐𝒔 𝛉, é 0 na face 2, pois os ângulos estão orientados no mesmo 
sentido e mesma direção, logo é cos 0 = 1. 
O resultado é o mesmo da face 1, porém positivo, por fim, basta substituir a área por l². 
 
 
Conclui-se que, a única face que será distinta é a face 1 e 2, numa superfície 
fechada em um campo externo com fluxo que entra no campo e sai totalmente, o fluxo 
total sempre será 0, porque não existe uma carga elétrica no seu interior, a carga elétrica 
que promove esse campo elétrico é externa. 
O fluxo total é a soma de todas as contribuições, e neste caso elas se anulam. (Num sólido 
fechado com um fluxo externo passando por ele e saindo totalmente, não haverá fluxo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 7 – FÍSICA III 
 
Lei de Gauus (Haverá duas questões dessa lei na prova) 
Essa lei surge da ideia de fluxo, calculamos o fluxo de um campo elétrico externo 
do cubo na ultima aula, só que todo o fluxo passou em uma face do cubo e saiu na outra, 
calculamos o fluxo em todas as faces do cubo, outras nem foi preciso calcular pois 
trabalhamos com produto escalar. 
 A lei de Gauss constitui uma das equações de Maxwell, e essa equação é uma de 
suas equações de forma integrativa. Essa lei é uma forma de se calcular campos elétricos, 
só dependerá da geometria do problema. 
 Para calcular o campo elétrico em uma região no espaço utilizamos a carga fonte, 
basta saber a distância desse ponto ao centro da carga fonte, é dessa forma que se calcula 
diretamente e podemos reobter essa formulação por meio da Lei de Gauss. 
Carga Fonte (Relembrando) 
�⃗� 𝒆 =  𝑲𝒆
|𝑸|
𝒓𝟐
�̂� 
 Essa superfície é uma superfície gaussiana, a formatação de lei de Gauss diz que 
a integral de linha de um produto escalar do campo elétrico e dA são paralelos, neste caso 
especifico. Elementos de área é um vetor que é normal a superfície e sempre será radial, 
e sempre serão paralelos por simetria. 
 
Definição da Lei de Gauss: 
1º passo 
 
 
2º passo 
 
 
Orientações: 
Esfera sólida; 
A esfera é dotada de uma quantidade de cargas que é Q. 
Utilizando a definição da Lei de Gauss: 
 
O produto de o vetor E e d, é o modulo de E e dA. (Está sem a setinhas) 
E como trata-se de um sistema esférico o vetor campo elétrico e o vetor dA são sempre 
paralelos, então será sempre cos 0 = 1. (está subentendido) 
O campo elétrico é uniforme, logo é tratado como uma constante. 
Joga pra fora da integração o E, e fica na integração apenas o dA, e sua integral é A, com 
isso, temos que a resolução da integração é igual a EA. Como trata-sede um problema 
que envolve uma esfera, a área dela é dada por: 4𝝅𝒓² (só substituir na área). 
Tudo isso igual ao Q sobre 𝜀0, com isso basta fazer as manipulações. Como a questão 
pede o campo elétrico é só isolar o E, passa o 4𝝅𝒓² para o primeiro membro passando 
para o denominador, e para finalizar coloca-se a resolução em função da constante elétrica 
pois 4𝝅 𝜀0, é a constante de coulomb Ke. 
Em B será o mesmo processo, mas em uma situação diferente. 
 
 
Orientações: 
Utilizando a Lei de Gauss: 
dA = EA = 
O E (campo elétrico) cai para fora da integração por ser uma constante. 
Fica apenas o da que sua integração é A. 
Relembrando: 
 
Pela densidade linear, sabemos que: 
 
Cos 0 = 1 
Sabemos que a área da superfície cilíndrica é 2𝝅𝒓𝒍, basta substituir na área, e simplificar 
L com L, como podemos observar na solução abaixo. 
 
 
 
Orientação: 
Trata-se de um problema em que pode utilizar a simetria. 
Utilizando a Lei de Gauss: 
Aplicando para uma extremidade: 
O vetor campo elétrico e o vetor dA são paralelos, então módulo de 𝐸. 𝑑𝐴. 𝑐𝑜𝑠0, 
novamente o E sai para fora da integração e a integral de dA = A, com isso, resultada em 
EA = 
𝑞𝑖𝑛
𝜀0
. 
Aplicando para as duas extremidades: 
Basta multiplicar por 2. 
Importante lembrar: 
 
 
 
Potencial Elétrico e Capacitância 
Trata-se de uma grandeza escalar, potencial tem a ver com energia potencial (lá de Física 
1). 
Analogia para compreensão: 
O fluxo de um rio, há um desnível geralmente de um maior potencial para um 
menor potencial. A partícula teste sairá do polo positivo para o polo negativo em virtude 
que ele está em um maior potencial e irá descer a rampa para um menor potencial 
(chamamos de diferença de potencial), ou seja, criará uma rampa para que a partícula se 
movimente. A corrente elétrica é necessária que haja o fluxo, e esse fluxo só existirá se 
tiver o potencial elétrico. 
Na imagem abaixo observa-se um capacitor, o potencial elétrico está associado a 
uma definição que é chamada de capacitância, é uma ideia de como um dispositivo pode 
armazenar cargas elétricas. O capacitor é muito importante para sintonizar estações de 
rádio. 
 
Diferença Potencial entre dois pontos 
Na imagem à esquerda trata-se de um campo elétrico que está inserindo dois 
regiões especificas A e B, e será analisado a diferença de potencial. 
Se há uma força e se há um deslocamento, trata-se de trabalho, definimos o 
trabalho realizado no sistema carga campo como é observado abaixo. 
Demonstração (detalhamento do cálculo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diferença de potencial em um campo elétrico uniforme 
Demonstração (detalhamento do cálculo): 
 
 
Superfícies Equipotenciais 
Na imagem há 4 planos e cada plano tem seus volts, e qualquer ponto que pegue 
em um plano sempre terá os mesmos pontos. Ex: No plano D qualquer ponto sempre terá 
6 V. O campo elétrico é perpendicular a esses planos, no entanto, os pontos que pertencem 
aos planos terá o mesmo potencial elétrico. 
 
Caso pegue dois pontos A e B em um mesmo plano, o campo elétrico ele é 
perpendicular ao plano, logo trata-se de um cos 90º, o produto escalar é igual a 0, com 
isso, ∆𝑉 é igual a 0, e sendo igual a zero o potencial em A é igual o potencial em B. 
Na imagem abaixo observamos duas placas paralelas, uma placa positiva e 
negativa, e as setas azuis é o campo elétrico, e qualquer plano que é perpendicular ao 
campo detém o mesmo potencial, porém esse potencial vai diminuindo e isso origina a 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 8 – FÍSICA III 
 
Relembrando a aula passada 
 
 
Atividade de Fixação 
 
Orientações: 
Um próton é liberado do repouso 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 0 
Tentaremos encontrar a diferença de potencial, para isso vamos utilizar a formulação de 
diferença de potencial: 
 
Com isso, o vetor campo elétrico na figura ele está para baixo e o vetor dS está para baixo 
também, aplica-se a definição de produto escalar, e como os vetores E e dS, são paralelos 
seu ângulo é 0, logo o cos é 0 é igual a 1. 
Coloca o sinal negativo para fora da integração e o E (constante), e integra dS, a integral 
de dS é S. Aplica-se os limites de integração e se obtém ∆𝑉 = −𝐸 (𝑆𝐵 − 𝑆𝐴). 
 
Diferença de Potencial entre os pontos A e B 
O ∆𝑠 = 𝑑 , agora basta substituir os valores dados na questão. 
E = 8,0𝑥104𝑉/𝑚 
d = 0,50 m 
Encontrou-se um diferencial de potência negativa, pois “um rio sai de um 
potencial maior para um potencial gravitacional menor, quando se subtrai um menor para 
maior da negativo.” A mesma coisa na questão uma carga elétrica vai sair de um a região 
A para B sempre de um potencial maior. 
Utilizando o princípio da conservação de energia para descobrir a velocidade 
escalar do próton: 
 
 
 Por fim, só substituir os valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 9 – FÍSICA III 
 
Momento Cine (Documentário Nexo Jornal) 
110v ou 220v? Eis a questão! 
Existe muitas vantagens em ter a voltagem de 220, mas por conta de muitos 
fatores ela não é empregada em todos os lugares. 
Potencial Elétrico e Energia Potencial gerada por Cargas Pontuais 
𝒅𝑺𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒅𝒓 
 
O campo elétrico de uma carga fonte: 
Versor 𝑟 = 1 
 
Dica fórum 3: 
 
Exercitando: 
 
Orientações: 
Utilizando a relação de potencial e energia: 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES UTILIZADAS PARA A RESOLUÇÃO DE ALGUMAS 
QUESTÕES 
 
Lei de Coulumb 
�⃗⃗� 𝟏𝟐 = Ke
|𝒒𝟏||𝒒𝟐|
𝒓𝟐
�̂�𝟏𝟐 
 
Princípio da Superposição 
�⃗⃗� 𝟏 = �⃗⃗� 𝟐𝟏 + �⃗⃗� 𝟑𝟏 + �⃗⃗� 𝟒𝟏 + �⃗⃗� 𝟓𝟏 + ⋯
+ �⃗⃗� 𝑵𝟏 
 
Lei de Gravitação Universal 
(Utilizado para encontrar o 
módulo de força gravitacional) 
𝑭𝒈 = G.
𝒎𝟏.𝒎𝟐 
𝒓𝟐
 
 
Pitágoras (Utilizado para 
encontrar a resultante total) 
�⃗⃗� 𝑹𝟏 = √𝑭𝟐𝒙 + 𝑭𝟐𝒚 
 
Variação de Energia potencial do 
sistema 
 
 
 
Tangente Inversa (Utilizado para 
encontrar a direção do vetor) 
𝛉 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (
𝑭𝒚
𝑭𝒙
) 
 
Campo Elétrico Infinitesimal 
𝐝𝐄 =  𝒌𝒆
𝒅𝒒
𝒓𝟐
 
 
Carga Fonte 
�⃗� 𝒆 =  𝑲𝒆
|𝑸|
𝒓𝟐
�̂� 
 
Carga Teste 
 
Lei de Gauss 
 
 
Diferença de potencial entre dois pontos 
 
 
 
QUESTÕES REALIZADAS DURANTE AS AULAS 
(Haverá uma questão de Lei de Coulumb, uma de Lei de Gauss e uma de potencial 
elétrico de uma distribuição de cargas) 
 
 
 
 
 
Exemplo Bidimensional 
 
 
Campo Elétrico