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Relatório de Sistemas de Controle: Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADÊMICA DE CABO DE STO. AGOSTINHO
SISTEMAS DE CONTROLE 1
Prof. ÂNIA LUSSON
PLE 2 – 2020.7
Relatório de Laboratório simulado:
Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab
HELTON S. BERNARDO
RECIFE,
2021
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADÊMICA DE CABO DE STO. AGOSTINHO
SISTEMAS DE CONTROLE 1
Prof. ÂNIA LUSSON
PLE 2 – 2020.7
Relatório de Laboratório simulado:
Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab
Este documento relata de forma descri-
tiva e objetiva os processos e procedimen-
tos para apresentação das simulações e os
resultados para a disciplina de Sistema de
Controle 1 ministrada pela professora Ânia
Lusson no período letivo excepcional.
RECIFE,
2021
Conteúdo
1 Introdução 5
1.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Metodologia 6
2.1 Problema de Controle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Problema de Controle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Problema de Controle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Problema de Controle 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Problema de Controle 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Conclusão 27
3.1 Sistema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Sistema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Sistema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Sistema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Sistema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Referência Bibliográfica 29
3
Lista de Figuras
2.1 Polo complexo conjugado sobre o Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à
100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Resposta ao degrau unitário com ganho K = 1.08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Lugar da Raízes com o ganho K = 18 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Polo complexo conjugado para um fator ζ = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Mapeamento dos polos e zero em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Resposta ao degrau unitário do Sistema de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Resposta ao degrau unitário para o novo polo s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . 18
2.9 Lugar Geométrico das Raízes original contendo os polos −1 ± j3 e a marcação do
polos de projeto desejado s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Lugar Geométrico das Raízes compensado não contendo mais os polos −1 ± j3 e
sim, os polos de projeto desejado s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11 Secção APO por segmento de reta e representação da decomposição da deficiência
angular φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Diagrama de Bode associado à G(jω) em MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Diagrama de Bode (original) associado à G1(jω) em MA. . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14 Diagrama de Bode compensado e original em MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Resposta ao degrau unitário em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Resposta à rampa unitária em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
Capítulo 1
Introdução
1.1 Contexto
A necessidade do desenvolvimento das técnicas de controle em sistemas digitais,
industriais e automônos levam à comunidade científica a busca do melhoramento
das mesmas, bem como novas técnicas para o controle e a otimização digital destes
sistemas. Os programas e softwares como MATLAB utilizam novos algoritmos para
estruturação destas técnicas como Lugar Geométrico das Raízes (LGR) e diagramas
de Bode, os quais caracterizam a dinâmica do sistema e os empregam como novas
formas de controle atráves de novos parâmetros.
1.2 Objetivo geral
O documento versa mostrar, apresentar e explanar a metodologia e os resultados
das técnicas de controle como LGR e Diagrama de Bode de cincos sistemas.
1.3 Objetivos específicos
Os métodos utilizados para realizar os cálculos teóricos, a elaboração dos programas
computacionais e os resultados gráficos foram Lugar das Raízes e Diagrama de
Bode.
1. Realizar os cálculos e os procedimentos teóricos da técnica LGR para os
porblemas de controle apresentados.
2. Esboçar os diagramas de Bode para os problemas de controle.
3. Escrever e estutrurar o código através do software do MATLAB para os
problemas de controle abordados.
4. Adequar os sistemas insastifatórios para a compensação por atraso ou avanço
de fase.
5. Gerar as ilustrações gráficas dos resultados computacionais obtidos.
6. Discutir aspectos teóricos e práticos dos problemas.
5
Capítulo 2
Metodologia
2.1 Problema de Controle 1
Este problema consiste na resolução da busca pelo Lugar das raízes do sistema
de controle descrito pela função do sistema em malha aberta 2.1. A resolução é
seguida pela metodologia apresentada,
G(s)H(s)
K
s(s+ 1)(s+ 2)
(2.1)
Com o ganho variável 0 ≤ K ≤ 100. Pela condição de módulo e ângulo 2.3
referente a equação característica em malha fechada 2.2,
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
⇒ 1 +G(s)H(s) = 0 (2.2)
6 G(s)H(s) = ±180◦(2k + 1) e ||G(s)H(s)|| = 1 (2.3)
Obtêm da equação característica o ganho K(s) em função da frequência s,
1 +
K
s(s+ 1)(s+ 2)
= 0⇒ (2.4)
K = −s(s+ 1)(s+ 2)⇒ K(s) = −(s3 + 3s2 + 2s) (2.5)
Pela realimentação negativa, os valores de ganhos K > 0 são sempre positivos. O
método de busca pelo lugar das raízes é descrito em alguns passos apresentados.
Passo 1. Localização dos polos e zeros de G(s)H(s) no plano s.
1. A partir da forma fatorada da função de transferência de MAG(s)H(s),
determinar a localização dos polos e dos zeros de MA no plano s.
2. Os ramos do LR se iniciam nos polos de MA G(s)H(s) e terminam
nos zeros de G(s)H(s).
3. Os LRs são simétricos ao eixo real do plano s, pois os polos complexos
e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados.
4. O número de ramos do LR é igual ao número de raízes da equação
característica (número de polos a MF).
6
Polos e zeros em MA: s = 0, s = −1 e s = −2.
Passo 2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real.
1. Os trechos do LR no eixo real são determinados pelos polos e zeros de
MA que se encontram sobre ele.
2. Os polos e zeros complexos conjugados de MA da função de transferên-
cia não têm nenhum efeito na determinação dos trechos do LR no eixo
real: a contribuição angular de um par de polos ou zeros complexos
conjugados sobre o eixo real é de 360◦.
3. Cada região do LR no eixo real se estende sobre uma área de um polo
ou zero a outro polo ou zero.
4. Se polos de MA e zeros de MA forem polos simples e zeros simples,
então o LR e seus complementos formarão segmentos alternados ao
longo do eixo real.
As regiões onde se localizam os lugares das raízes visto que o número de polos em
malha aberta é ímpar, e estende-se sobre o eixo real, testa-se de 0 à -1 e -2 à −∞
que é os lugares das raízes, onde obedece a condição de ângulo.
Passo 3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes (partes do lugar de raízes
nas regiões muito distantes da origem).
1. Os LRs, se os valores de s forem muito elevados, deverão ser assintó-
ticos para as retas cujos ângulos (inclinações) são,
ângulo das assíntotas =
±180◦(2k + 1)
m− n
(2.6)
±180◦
3− 0
= ±60◦
Nesse caso, para o sistema de controle em questão os ângulos

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