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Relatório de Sistemas de Controle: Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADÊMICA DE CABO DE STO. AGOSTINHO
SISTEMAS DE CONTROLE 1
Prof. ÂNIA LUSSON
PLE 2 – 2020.7
Relatório de Laboratório simulado:
Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab
HELTON S. BERNARDO
RECIFE,
2021
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADÊMICA DE CABO DE STO. AGOSTINHO
SISTEMAS DE CONTROLE 1
Prof. ÂNIA LUSSON
PLE 2 – 2020.7
Relatório de Laboratório simulado:
Lugar das Raízes e Diagramas de Bode com Matlab
Este documento relata de forma descri-
tiva e objetiva os processos e procedimen-
tos para apresentação das simulações e os
resultados para a disciplina de Sistema de
Controle 1 ministrada pela professora Ânia
Lusson no período letivo excepcional.
RECIFE,
2021
Conteúdo
1 Introdução 5
1.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Metodologia 6
2.1 Problema de Controle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Problema de Controle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Problema de Controle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Problema de Controle 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Problema de Controle 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Conclusão 27
3.1 Sistema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Sistema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Sistema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Sistema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Sistema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Referência Bibliográfica 29
3
Lista de Figuras
2.1 Polo complexo conjugado sobre o Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à
100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Resposta ao degrau unitário com ganho K = 1.08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Lugar da Raízes com o ganho K = 18 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Polo complexo conjugado para um fator ζ = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Mapeamento dos polos e zero em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Resposta ao degrau unitário do Sistema de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Resposta ao degrau unitário para o novo polo s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . 18
2.9 Lugar Geométrico das Raízes original contendo os polos −1 ± j3 e a marcação do
polos de projeto desejado s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Lugar Geométrico das Raízes compensado não contendo mais os polos −1 ± j3 e
sim, os polos de projeto desejado s = −2± j2
√
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11 Secção APO por segmento de reta e representação da decomposição da deficiência
angular φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Diagrama de Bode associado à G(jω) em MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Diagrama de Bode (original) associado à G1(jω) em MA. . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14 Diagrama de Bode compensado e original em MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Resposta ao degrau unitário em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Resposta à rampa unitária em MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
Capítulo 1
Introdução
1.1 Contexto
A necessidade do desenvolvimento das técnicas de controle em sistemas digitais,
industriais e automônos levam à comunidade científica a busca do melhoramento
das mesmas, bem como novas técnicas para o controle e a otimização digital destes
sistemas. Os programas e softwares como MATLAB utilizam novos algoritmos para
estruturação destas técnicas como Lugar Geométrico das Raízes (LGR) e diagramas
de Bode, os quais caracterizam a dinâmica do sistema e os empregam como novas
formas de controle atráves de novos parâmetros.
1.2 Objetivo geral
O documento versa mostrar, apresentar e explanar a metodologia e os resultados
das técnicas de controle como LGR e Diagrama de Bode de cincos sistemas.
1.3 Objetivos específicos
Os métodos utilizados para realizar os cálculos teóricos, a elaboração dos programas
computacionais e os resultados gráficos foram Lugar das Raízes e Diagrama de
Bode.
1. Realizar os cálculos e os procedimentos teóricos da técnica LGR para os
porblemas de controle apresentados.
2. Esboçar os diagramas de Bode para os problemas de controle.
3. Escrever e estutrurar o código através do software do MATLAB para os
problemas de controle abordados.
4. Adequar os sistemas insastifatórios para a compensação por atraso ou avanço
de fase.
5. Gerar as ilustrações gráficas dos resultados computacionais obtidos.
6. Discutir aspectos teóricos e práticos dos problemas.
5
Capítulo 2
Metodologia
2.1 Problema de Controle 1
Este problema consiste na resolução da busca pelo Lugar das raízes do sistema
de controle descrito pela função do sistema em malha aberta 2.1. A resolução é
seguida pela metodologia apresentada,
G(s)H(s)
K
s(s+ 1)(s+ 2)
(2.1)
Com o ganho variável 0 ≤ K ≤ 100. Pela condição de módulo e ângulo 2.3
referente a equação característica em malha fechada 2.2,
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
⇒ 1 +G(s)H(s) = 0 (2.2)
6 G(s)H(s) = ±180◦(2k + 1) e ||G(s)H(s)|| = 1 (2.3)
Obtêm da equação característica o ganho K(s) em função da frequência s,
1 +
K
s(s+ 1)(s+ 2)
= 0⇒ (2.4)
K = −s(s+ 1)(s+ 2)⇒ K(s) = −(s3 + 3s2 + 2s) (2.5)
Pela realimentação negativa, os valores de ganhos K > 0 são sempre positivos. O
método de busca pelo lugar das raízes é descrito em alguns passos apresentados.
Passo 1. Localização dos polos e zeros de G(s)H(s) no plano s.
1. A partir da forma fatorada da função de transferência de MAG(s)H(s),
determinar a localização dos polos e dos zeros de MA no plano s.
2. Os ramos do LR se iniciam nos polos de MA G(s)H(s) e terminam
nos zeros de G(s)H(s).
3. Os LRs são simétricos ao eixo real do plano s, pois os polos complexos
e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados.
4. O número de ramos do LR é igual ao número de raízes da equação
característica (número de polos a MF).
6
Polos e zeros em MA: s = 0, s = −1 e s = −2.
Passo 2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real.
1. Os trechos do LR no eixo real são determinados pelos polos e zeros de
MA que se encontram sobre ele.
2. Os polos e zeros complexos conjugados de MA da função de transferên-
cia não têm nenhum efeito na determinação dos trechos do LR no eixo
real: a contribuição angular de um par de polos ou zeros complexos
conjugados sobre o eixo real é de 360◦.
3. Cada região do LR no eixo real se estende sobre uma área de um polo
ou zero a outro polo ou zero.
4. Se polos de MA e zeros de MA forem polos simples e zeros simples,
então o LR e seus complementos formarão segmentos alternados ao
longo do eixo real.
As regiões onde se localizam os lugares das raízes visto que o número de polos em
malha aberta é ímpar, e estende-se sobre o eixo real, testa-se de 0 à -1 e -2 à −∞
que é os lugares das raízes, onde obedece a condição de ângulo.
Passo 3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes (partes do lugar de raízes
nas regiões muito distantes da origem).
1. Os LRs, se os valores de s forem muito elevados, deverão ser assintó-
ticos para as retas cujos ângulos (inclinações) são,
ângulo das assíntotas =
±180◦(2k + 1)
m− n
(2.6)
±180◦
3− 0
= ±60◦
Nesse caso, para o sistema de controle em questão os ângulosencon-
trados foram ±60◦.
2. k = 0, 1, 2...(k = 0 corresponde às assíntotas de menor ângulo em
relação ao eixo real).
3. Á medida que k aumenta, o ângulo se repete e o número de assíntotas
distintas é n−m.
4. Todas as assíntotas se cruzam em um ponto no eixo real e podem ser
calculada pela interseção σa da equação 2.7
σa =
∑
(parte real dos polos−
∑
(parte real dos zeros)
n−m
(2.7)
σa =
0 + (−1) + (−2)− 0
3− 0
= −1
5. Se o número de assíntotas for impar, então uma delas será o eixo real
negativo. O valor de σa é sempre um número real.
6. As assíntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para
||s|| >> 1.
7. As assíntotas são a parte do LR nas regiões muito distantes da origem.
7
As equações das assíntotas são calculadas por 2.8,
6 (s+ 1) = ±60◦ ⇒ 6 (σ + jω + 1) = ±60◦ (2.8)
tan−1
( ω
σ + 1
)
= +60◦, −60◦, 0◦
σ = − ω√
3
± 1, e ω = 0.
Passo 4. Determinar os pontos de partida e de chegada ao eixo real.
1. Como o LR é simétrico, os pontos de partida e os de chegada ao eixo
real estão localizados sobre o eixo real ou ocorrem em pares complexos
conjugados.
2. Se o LR estiver localizado entre dois polos de MA adjacentes no eixo
real: existirá pelo menos um ponto de partida do eixo real entre os dois
polos.
3. Se o LR estiver entre dois zeros adjacentes (um dos zeros pode estar
localizado em −∞) no eixo real: sempre existirá pelo menos um ponto
de chegada entre os dois zeros.
4. Se o LR se situar entre um polo e um zero de MA (finito ou infi-
nito) sobre o eixo real, poderão existir pontos de partida e de chegada
simultaneamente, mas não de modo isolado.
Assim, para os cálculo dos pontos de partida e chegada foi derivada a equação
2.9 e suas raízes representam possíveis candidatos à pontos de partida e
chegada,
f(s) = B(s) +KA(s)⇒ dK
ds
= −(3s2 + 6s+ 2) = 0
(2.9)
Raízes deK ′(s)
{
s1 =
−3+
√
3
3
, K = 2
√
3
9
> 0, Ponto de partida ou chegada.
s2 =
−3−
√
3
3
K < 0, Não é ponto de partida ou chegada.
1. Os pontos de partida e de chegada são determinados a partir das raízes
de eq. 2.9, mas nem todas as raízes da Eq. são pontos de partida ou
pontos de chegada:
2. Se uma raiz real da eq. 2.9 estiver sobre a região do LR no eixo real:
este é realmente um ponto de partida ou de chegada.
Passo 5. Determinar o ângulo de partida de um polo complexo (ou de chegada a
um zero complexo) do LR.
Não há polos complexos neste problema.
8
Passo 6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário
(jω).
1. Critério de establidade de Routh-Hurwitz
s3 1 2
s2 3 K
s1 6−K
3
s0 K
(2.10)
6−K
3
> 0⇒ K ≥ 6
2. Substituindo s = jω na eq. característica 2.2,
(jω)3 + 3(jω)2 + 2(jω) + 6 = 0 (2.11)
−jω3 − 3ω2 + 2jω + 6 = 0
j(2ω − ω3) = j0⇒ ω1 =
√
2
−3ω2 + 6 = 0⇒ ω2 =
√
2.
As frequências ω1, ω2, eω3 fornecem as frequências que o LR cruza o eixo
jω. K corresponde a cada frequência de cruzamento representa o ganho
nesse ponto de cruzamento.
Passo 7. Obter uma série de pontos de teste nos entornos do eixo jω e da origem
do plano s e esboçar o LR.
1. Determinar o lugar das raízes em ampla região nas proximidades do
eixo jω e da origem.
2. A parte mais importante do LR não se situa nem no eixo real nem junto
às assíntotas, mas em uma região próxima ao eixo jω e à origem.
3. O formato do LR nessa importante região do plano s deve ser obtido
com uma precisão razoável (software).
Passo 8. Determinar os polos de malha fechada.
1. Um ponto em particular sobre cada um dos ramos do LR será um polo
de MF: se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo.
2. Reciprocamente, a condição de módulo possibilita que se determine
o valor do ganho K em qualquer ponto especificado sobre o LR. (Se
necessário, o LR pode ser graduado em função de K. Os valores de K
variam continuamente ao longo do LR.)
3. O valor de K correspondente a um ponto s no LRs pode ser obtido com
a utilização da condição de módulo, ou seja,
||K|| = ||s(s+ 1)(s+ 2)||p1,2=−0.334+j0.575 = 1.0383 (2.12)
Sobre um coeficiente de amortecimento ζ = 0.5, determinando um par
polos complexos conjugados dominantes, assim, cos−1(ζ) = 60◦.
9
O programa no MATLAB é mostrado abaixo e possui explicações definidas pelos
comandos utilizados.
K = 0:.1:100; % K está variando de 0 à 100 de .1 à .1 unidades.
num = [1]; % Definir o numerador de G(s).
den = conv([1 0],conv([1 1],[1 2])); % Definir o denominar de
G(s), o comando conv representa o produto de polinônimos.
rlocus(num,den,K); % comando que produz o LR das do G(s) sobre
um ganho K
O código no MATLAB gera as figuras 2.2 e 2.1.
Figura 2.1: Polo complexo conjugado sobre o Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à 100.
O código para gerar a resposta ao degrau 2.3 é feito pelo seguinte programa,
K2 = 1.08; % K2 é atribuído à 1,08.
g = tf(K*num,den); % g é definido como função transferênica.
t = 0:100; % tempo t da resposta ao degrau variando de 0 à 100.
G = g/(1+g); % comando que produz o LR das do G(s) sobre um
ganho K
G = g/(1+g);
% Atribuí a realimentação do subsistema g à G através da
expressão.
step(G,t) % estabele o comando do degrau uintário de G em
relação t.
10
Figura 2.2: Lugar da Raízes com o ganho K variando de 0 à 100.
2.2 Problema de Controle 2
O problema de controle 2 envolve uma função do sistema apresentada pela equação
2.13,
G(s) =
K
s(s2 + 4s+ 8)
(2.13)
Pela condição de módulo e ângulo referente a equação característica em malha
fechada 2.14,
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
⇒ 1 +G(s)H(s) = 0 (2.14)
Obtêm da equação característica o ganho K(s) em função da frequência s,
1 +
K
s(s2 + 4s+ 8)
= 0⇒ (2.15)
K = −s(s2 + 4s+ 8)⇒ K(s) = −(s3 + 4s2 + 8s) (2.16)
11
Figura 2.3: Resposta ao degrau unitário com ganho K = 1.08.
Pela realimentação negativa, os valores de ganhos K > 0 são sempre positivos. O
método de busca pelo lugar das raízes trata o passo 1 da seguinte maneira:
Passo 1. Localização dos polos e zeros de G(s)H(s) no plano s.
Os polos e zeros em MA são s = 0, s = −2+ j2 e s = −2− j2. O número
de ramos dos LR que são três é igual numero de polos e zeros em MA que
são três.
Passo 2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real.
Os LR são determinados atráves de pontos de teste, como o número de raízes
do polinômio denominador é ímpar significa que o LR pelo menos um LR
está sobre o eixo real, conclui-se pela simulação que este LR é de 0 à −∞.
E outros dois que são simétricos só serão determinados após os cálculos das
assíntotas.
Passo 3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes (partes do lugar de raízes
nas regiões muito distantes da origem).
As assíntotas representam o comportamento do LR em condições nas quais
o ganho é infinitamente grande ou as frequências são altas de mais, muito
longe da origem. O cálculo do ângulo e as equações das assíntotas são
formulados, de acordo com o método,
ângulo das assíntotas =
±180◦(2k + 1)
m− n
(2.17)
±180◦
3− 0
= ±60◦
Como todas as assíntotas que cruzam em um ponto no eixo real e podem
ser calculada pela interseção σa da equação 2.18
σa =
∑
(parte real dos polos−
∑
(parte real dos zeros)
n−m
(2.18)
σa =
0 + (−2) + (−2)− 0
3− 0
= −4
3
As equações das assíntotas são calculadas por 2.19, fazendo aproximação
desejada,
G(s) =
K
s3 + 4s2 + 8s
≈ K
(s+ 4/3)3
, ||s|| � 1 (2.19)
6 (s+ 4/3) = ±60◦ ⇒ 6 (σ + jω + 4/3) = ±60◦
tan−1
( ω
σ + 4/3
)
= +60◦, −60◦, 0◦
σ = − ω√
3
± 4/3, e ω = 0.
Passo 4. Determinar os pontos de partida e de chegada ao eixo real.
Para isto é necessário calcular a relação do ganho e a frequência, cuja as
raízes podem ser candidatos à pontos de partida ou chegada.
f(s) = B(s) +KA(s)
12
dK
ds
= 3s2 + 8s+ 8 = 0,
Raízes deK ′(s)
{
s1 =
−4+j2
√
2
3
, |K| = 6.1584 > 0, Ponto de partida ou chegada.
s2 =
−4−j2
√
2
3
K > 0,
(2.20)
Passo 5. Determinar o ângulo de partida de um polo complexo (ou de chegada
a um zero complexo) do LR. Não há polos complexos neste problema. O
ângulo de partida de um polo complexo pode ser calculado,
θd = 180
◦ −
∑
θpolos +
∑
θzero ⇒ (2.21)
θd = 180
◦ − 144.735◦ = 35.265◦
θa = 180◦ +
∑
θpolos −
∑
θzero ⇒ (2.22)
θa = 180
◦ + 144.735◦ + 360◦ = −35.265◦
Passo 6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário
(jω).
1. Critério de establidade de Routh-Hurwitz
s3 1 8
s2 4 K
s1 32−K
4
s0 K
(2.23)
32−K
4
> 0⇒ K ≥ 32.
2. Substituindo s = jω na eq. característica 2.15,
(jω)3 + 4(jω)2 + 8(jω) + 32 = 0 (2.24)
−jω3 − 4ω2 + j8ω + 32 = 0
j(8ω − ω3) = j0⇒ ω1 =
√
8
−4ω2 + 32 = 0⇒ ω2 =
√
8.
Passo 7. Obter uma série de pontos de teste nos entornos do eixo jω e da origem
do plano s e esboçar o LR.
Os pontos de testes foram simulados no LR esboçados no MATLAB.
Passo 8. Determinar os polos de malha fechada.
Para um coeficiente de amortecimento ζ = 0.5,
p1,2 = ζωn ± jωn
√
1− ζ2 (2.25)
O valor de ganho neste ponto K = 7.99, o par de polos complexos conju-
gados é p1,2 = −1± j1.73 cuja frequência de não-amortecida ωn = 2 rad/s
(ponto destacado na Fig. 2.5).
13
O programa 2 no MATLAB é mostrado abaixo e possui explicações definidas pelos
comandos utilizados.
num = [1]; % Definindo o numerador de G(s).
den = conv([1 0],[1 4 8]);% Definindo o denominador de G(s).
K = 32; % declaração do ganho fixo K=32.
g = tf(num,den); % Comando para função de transferência
rlocus(g,K) % Comando que esboça o LR de ’g’.
O código do programa 2 no MATLAB gera a figura Fig. 2.4. O código para
gerar o mapeamento dos polos e zeros Fig. 2.6 é feito pelo seguinte programa,
K1 = 2; % Definindo o valor fixo para o ganho K.
G = K1*g/(1+K1*g); % Função de transferência em malha fechada.
pzmap(G) % Comando que mapeia os polos e zeros da função ’G’.
O comando para o programa que gere a resposta ao degrau unitário do sistema
de controle em malha fechada é apresentado e gera a Fig. 2.7.
t = 0:100; % Definindo uma variável t (tempo) de 0 à 100s.
step(t,G) % Comando que gera a resposta ao degrau da função ’G’.
Figura 2.4: Lugar da Raízes com o ganho K = 18 fixo.
Figura 2.5: Polo complexo conjugado para um fator ζ = 0.5.
14
Figura 2.6: Mapeamento dos polos e zero em MF.
Figura 2.7: Resposta ao degrau unitário do Sistema de Controle.
Os polos e zeros em malha fechada do sistema apresentados pela Fig. 2.6 são
z1,2 = −2±j2 (zero), p1,2 = −1.86±j1.87 e p3,4 = −2±j2 (par polos complexos
conjugados), p5 = −0.289 (polo real), p6 = 0 (polo na origem).
2.3 Problema de Controle 3
O problema de controle 3 envolve uma função do sistema apresentada pela equação
2.26 em MA,
G(s) =
5
s(0.5s+ 1)
(2.26)
E consiste no projeto de um compensador de avanço de fase cujo os polos desejados
sejam s = −2± j2
√
3, para isto deve seguir os passos do método do LR. A função
de transferência do sistema de controle em MF é dado pela equação 2.27,
C(s)
R(s)
=
10
s2 + 2s+ 10
(2.27)
15
Passo 1. Com base nas especificações de desempenho, determine a localização
desejada dos polos de malha fechada dominantes.
O polo canônico para o sistema de segunda ordem p1,2 = −ζωn ±
jωn
√
1− ζ2. O cálculo dos parâmetros originais obtidos a partir dos polos
dominantes em MF do sistema é descrito pelas seguintes equações,
p1 = −1 + j3
p2 = −1− j3︸ ︷︷ ︸
p.p.c.c em MF (original)
ζoriginal =
1
ωn(original)
⇒ 3 = ωn
√
1− 1
ω2n
⇒ 9 = ω2n
(
1− 1
ω2n
)
⇒ ω2n = 10
ωn(original) =
√
10 rad/s ⇒ ζoriginal =
√
10/10 = 0.3162⇒
cos θoriginal = ζoriginal ⇒ θoriginal = cos−1
(
1√
10
)
≈ 71.565◦
O cálculo dos parâmetros a ser compensados obtidos a partir dos polos
dominantes em MF do sistema desejado é descrito pelas novas equações,
p1 = −2 + j2
√
3
p2 = −2− j2
√
3︸ ︷︷ ︸
p.p.c.c em MF (compensado)
ζcompensado =
2
ωn(compensado)
⇒ 2
√
3 = ωn
√
1− 1
ω2n
⇒ (2
√
3)2 = ω2n
(
1− 2
ω2n
)
⇒ ω2n = 16
ωn(compensado) = 4 rad/s ⇒ ζcompensado = 2/4 = 0.5⇒
cos θcompensado = ζcompensado ⇒ θcompensado = cos−1
(
1
2
)
= 60◦
O novo sistema a ser compensado de segunda ordem é s2 + 2ζωns+ ω2n =
s2 + 4s+ 16.
Passo 2. Desenhe o gráfico do LR do sistema não compensado (sistema original)
e verifique se é possível, apenas com o ajuste do ganho, obter os polos de
malha fechada desejados.
1. Caso não seja possível, calcule a deficiência de ângulo φ.
2. Esse ângulo deve ser completado pelo compensador por avanço de fase,
desde que o novo LR passe pela localização desejada dos polos de malha
fechada dominantes.
16
O desenho do Lugar das Raízes do sistema não compensado é destacado pela Fig.
2.9, onde mostra os polos originais e os polos desejados para o novo projeto. Para
se calcular a deficência angular optou-se pelo auxílio do método geral I.
Cálculo da deficiência angular φ
Através do método geral I, os ângulos relacionados a fase dos termos individuais
da função de transferência G(s), θ1 e θ2 associado a distância do polo desejado,
pode ser calculado os ângulos de fase φ1 e φ2 que compõem a deficiência angular
φ.  θ1 =
6
(
1
s
)∣∣∣
polo desejado
= −120◦ + 180◦ = 60◦
θ2 = 6
(
1
0.5s+1
)∣∣∣
polo desejado
= −90◦ + 180◦ = 90◦
(2.28)
Logo, os ângulos de fase associados φ1 e φ2 serão,{
φ1 = 180
◦ − θ1 = 180◦ − 60◦ = 120◦
φ2 = 180
◦ − θ2 = 180◦ − 90◦ = 90◦
(2.29)
A deficiência angular φ é portanto, φ = 180◦ − (120◦ + 90◦) = −30◦. Em outras
palavras, o ângulo de G(s) no polo de malha fechada, 6
(
5
s(0.5s+1)
)∣∣∣
polo desejado
=
150◦−180◦ = −30◦. Seccionando o ângulo encontrado em dois por um segmento
de reta APO como sugere o método geral I resulta na Fig. 2.11. A partir disto,
obtemos os valores de zero e polo compensador, − 1
T
= −3.4, − 1
αT
= −5.4, assim
o fator α = 0.59259.
Passo 3. Compensador por Avanço de Fase Gc(s).
O compensador terá forma pela equação 2.30,
Gc(s) = Kc
(
s+ 1
T
s+ 1
αT
)
⇔ Kc
(s+ 3.2
s+ 5.4
)
. (2.30)
O ganho em mlha aberta Kc é obtido a partir do ganho de erro estático de
velocidade Kv.
Passo 4. Determinação de Kv.
1. Se não forem especificadas as constantes de erro estático, determine
a posição do polo e do zero do compensador por avanço de fase, de
modo que esse compensador complete o ângulo φ necessário.
2. Se não for imposto nenhum outro requisito ao sistema, tente fazer que
o valor de α seja o maior possível. Um valor elevado de α geralmente
resulta em um valor elevado de Kv, o que é desejável.
Kv = lim
s→0
sGc(s)G(s) = Kcα lim
s→0
sGc(s) (2.31)
Passo 5. Determine o valor de Kc do compensador de avanço de fase, a partir da
condição de módulo.
Sobre a condição módulo (eq. 2.3), o ganho em malha aberta é calculado,
17
∣∣∣∣∣Kc s+ 3.2s+ 5.4 5s(0.5s+ 1)
∣∣∣∣∣
s1,2=−2+j2
√
3
= 1 (2.32)
Kc = 1.6814 s
−1.
E, portanto, Kv = 4.9819 s−1.
Passo 6. Uma vez projetado o compensador, verifique se todas as especificações
de desempenho foram alcançadas.
1. Se o sistema compensado não satisfizer às especificações de desempe-
nho, então repita os procedimentos de projeto, ajustando o polo e o
zero do compensador, até que essas especificações sejam atendidas.
2. Se for requerida uma constante de erro estático de valor elevado, acres-
cente uma rede de atraso de fase em cascata ou substitua o compen-
sador por avanço de fase por um compensador por atraso e avanço de
fase.
O resultado da resposta ao degrau unitário do sistema é apresentado pela
Fig. 2.8 expresso atráves dos programas transcritos elaborados.
Figura 2.8: Resposta ao degrau unitário para o novo polo s = −2± j2
√
3.
O programa para gerar a resposta ao degrau 2.8 é feito pelo seguinte programa, e
os lugares das raízes do sistema original 2.9 e o compensado 2.10 são expressos
pelo código,
18
Figura 2.9: Lugar Geométrico das Raízes original contendo os polos −1± j3 e a marcação do polos
de projeto desejado s = −2± j2
√
3.
Figura 2.10: Lugar Geométrico das Raízes compensado não contendo mais os polos −1± j3 e sim,
os polos de projeto desejado s = −2± j2
√
3.
num=[5]; % Definindo o numerador
den = conv([1 0],[.5 1]); % Definindo o produto do denominador
g = tf(num,den); % g é definido como função transferênica.
t = 0:100; % tempo t da resposta ao degrau variando de 0 à 100.
G = g/(1+g); % comando que produz o LR das do G(s) sobre um
ganho K 19
Figura 2.11: Secção APO por segmento de retae representação da decomposição da deficiência
angular φ.
Kc = 1.6814; % Definindo o valor de ganho em malha aberta
gc = tf([1 3.2],[1 5.4]); % Função de transferência direta do
compensador
G = g/(1+g);
% Atribuí a realimentação do subsistema g à G através da
expressão.
Gc = Kc*g*gc/(1+Kc*gc*g); % Atribuí a realimentação do
subsistema gc à Gc através da expressão.
step(G,Gc,t) % estabele o comando do degrau uintário de ’G’,
’Gc’ em relação t.
rlocus(g); Esboça o lugar das raízes do sistema g em MA.
rlocus(g*gc,Kc); Esboça o lugar das raízes do sistema g*gc
compensado em MA sobre o ganho ’Kc’.
2.4 Problema de Controle 4
A obtenção do diagrama de Bode do sistema 2.33,
G(s) =
20(s+ 1)
s(s2 + 2s+ 10)(s+ 5)
(2.33)
Passo 1. Substituindo s por jω e reescrevendo em termos dos fatores básicos
resulta:
G(jω) =
20(jω + 1)
jω((jω)2 + 2jω + 10)(jω + 5)
(2.34)
G(jω) =
20(jω + 1)
50jω((jω/
√
10)2 + jω/5 + 1)(jω/5 + 1)
Passo 2. As frequências de canto associadas são ω1 =
√
10, ω2 = 0, ω3 = 5 e
ω4 = 1. O coeficiente de amortecimento é calculado pela relação 2ζωn = 15
como ωn =
√
10, o coeficiente é ζ = 1
5
√
10
.
20
Assim, o programa do MATLAB que gera o código para o diagrama de Bode
correspondente é descrito a seguir.
num = 20*[1 1]; % Definindo o numerador
den = conv([1 0],conv([1 2 10],[1 5]));% Definindo o denominador
com auxilio do comando ’conv’.
sys = tf(num,den); % Função de transferência direta do sistema
em malha aberta
w = logspace(-1,2,100);
% Define as limitações de frequência de banda ω entre 10−1 à
102.
bode(sys,w) % Comando que gera a figura para o diagrama de Bode
do elemento ’sys’ em relção à ’w’ definido.
Gm,pm,wcp,wcg= margin(sys); % estabele o através do comando
’margin()’ uma lista dos valores solicitado da margem de ganho,
fase e as frequências de cruzamento para a margem de fase e
ganho do sistema ’sys’.
GmdB = 20*log10(Gm); Transforma o valor ’Gm’ computado em dB e o
atribuí à GmdB.
GmdB pm wcp wcg% Associa os valores calculados anteriormente em
único vetor.
O programa ainda apresenta a maragem de fase e a de ganho que é obtida a partir
das equações 2.35 e 2.36.
MF = 180◦ + θ (2.35)
MG =
1
|G(jω)|
⇒ MG(dB) = −20 log |G(jω)| (2.36)
Onde θ representa o ângulo de fase da função de transferência na frequência de
malha aberta de cruzamento de ganho. Os valores obtidos através do MATLAB
foram, bem como o diagrama de Bode de G(s) representado na Fig. 2.12,
ans =
9.9301 103.6573 4.0132 0.4426
Como MF > 0 e MG(dB) > 0 o sistema de fase mínima é estável.
-150
-100
-50
0
50
M
a
g
n
it
u
d
e
 
2
0
lo
g
|G
(j
)|
 (
d
B
)
10-1 100 101 102 103
-270
-225
-180
-135
-90
-45
F
a
s
e
 
(°
) 
(d
e
g
)
Diagrama de Bode G(j )
Frequência (rad/s)
Figura 2.12: Diagrama de Bode associado à G(jω) em MA.
21
2.5 Problema de Controle 5
O sistema a ser compensado é descrito pela equação 2.38 em malha aberta e
possui as especificações de controle MF= 45◦, MG(dB) ≥ 8 dB e constante de
erro estático de velocidade Kv = 4 s−1. O compensador usado é um avanço de
fase (CAvF).
G(s) =
K
s(0.1s+ 1)(s+ 1)
(2.37)
Os procedimentos consistem na metodologia dos passos:
Passo 1. Compensador de Avanço de Fase.
Gc(s) = Kcα
Ts+ 1
αTs+ 1
= Kc
s+ 1
T
s+ 1
αT
(2.38)
Definir o formato do compensador Gc(s), incluindo a expressão do ganho em
malha aberta Kc = Kα. Assim, em malha aberta a função de transferência
é dada pela 2.40,
Gc(s) = Kcα
Ts+ 1
αTs+ 1
1
s(0.1s+ 1)(s+ 1)
⇒ K Ts+ 1
αTs+ 1
G1(s), (2.39)
Onde, G1(s) = KG(s). Assim, determina-se o ganho K que satisfaça o
requisito sobre a constante de erro estática dada.
Kv = lim
s→0
sGc(s)G(s) = lim
s→0
sK
Ts+ 1
αTs+ 1
1
s(0.1s+ 1)(s+ 1)
⇒ Kv = K = 4 s−1.
(2.40)
Passo 2. Com K, traçar o diagrama de Bode de G1(jω), sistema com o ganho
ajustado mas não compensado. Avalia-se a margem de fase. Ver Fig. 2.13.
G1(jω) =
4
jω(0.1jω + 1)(jω + 1)
(2.41)
As margens de fase e ganho do sistema original G1(jω) são MF= 17.7051◦,
MG(dB) = 20.232 dB com frequências de cruzamento de fase e ganho
respectivamente ωcp = 3.1623 rad/s e ωcg = 1.8612 rad/s. A margem de
fase atual revela que o sistema é estável porém muito oscilatório e não atende
a especificação do projeto. Não obstante, a margem de ganho cumpre a
especificação do projeto mas sua frequência de cruzamento é baixa.
Passo 3. Determinar o ângulo de avanço de fase φm necessário a ser acrescentado
ao sistema.
1. A diferença angular da margem de fase atual até os 45◦ desejados para
projeto deve de aproximadamente 27.295◦.
2. O acréscimo angular que descola a frequência de cruzamento para a
direita e diminui a margem deve ser 24.63◦.
3. Assim, o ângulo de avanço de fase é φm = 55.93◦.
22
Passo 4. Determinação de α mediante a relação 2.42.
sinφm =
1− α
1 + α
⇒ α = 1− sinφm
1 + sinφm
= 0.11095 (2.42)
1. Determinação da frequência onde o módulo do sistema não- compen-
sado |G1(jω)|dB = −20 log | 1√α |.∣∣∣∣∣ jωT + 1jωαT + 1
∣∣∣∣∣
ω= 1√
αT
⇒
∣∣∣∣∣ 1 + j
1√
α
1 + jα 1√
α
∣∣∣∣∣ = 1√α = 2.8982 (2.43)
Assim, o ganho calculado é |G1(jω)|dB = −20 log | 1√α | = −9.2427 dB
cuja frequência de cruzamento é ωcg = 3.9 rad/s.
2. ω′cg é a nova frequência de cruzamento de ganho, ω
′
cg =
1√
αT
, na qual
acontece o valor máximo de defasagem φm.
Passo 5. Determinação das frequências de corte (canto) do compensador.
A nova frequência de cruzamento de ganho reflete na relação 2.6 menor
que a frequência de corte do zero compensador 2.44 pois o zero deve está
próximo da origem. O polo compensador é dado pela relação 2.45.
Zero compensador: ωc =
ωcg
2.6
=
1
T
= 1.3 rad/s (2.44)
Polo compensador: ωc =
ωcg
T
= 12.6 rad/s (2.45)
Passo 6. Cálculo de Kc, Kc = K/α.
Com os valores calculados encontrados anteriormente o valor do ganho em
malha aberta é Kc = 13.2 s−1.
Passo 7. Verificar a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se
no for, modificar a localização de pólos-zeros do compensador até que seja
obtido o resultado satisfatório.
Os resultados nas imagens Fig. 2.14, Fig. 2.15 e Fig. 2.16 apresen-
tam respectivamente o diagrama de Bode do sistema compensado e original
representando a modificação que o subssistema Gc(s) proporcionou, a res-
posta ao degrau unitário do sistema original e compensado demonstrando o
avanço na fase e a diminuição da oscilação no tempo de acomodação td e a
resposta à rampa unitária do sistema original e compensado demonstrando
que o erro estacionário ess = 1Kv → +∞ tende a valores muito alto pois o
sistema original possui constante de erro muito baixa comparada ao sistema
compensado.
O sistema compensado por avanço de fase (CAvF) possui função de transferência
em MA 2.46,
Gc(s)G(s) = 13.2
s+ 1.3
s+ 12.6
1
s(0.1s+ 1)(s+ 1)
. (2.46)
23
-150
-100
-50
0
50
M
a
g
n
it
u
d
e
2
0
lo
g
|G
1
(j
)|
 (
d
B
)
10-1 100 101 102 103
-270
-225
-180
-135
-90
F
a
s
e
(°
) 
(d
e
g
)
G
1
(s)
Sistema de Controle
em MA
Diagrama de Bode 
do Sistema de Controle G
1
(j )
Frequência (rad/s)
Figura 2.13: Diagrama de Bode (original) associado à G1(jω) em MA.
-150
-100
-50
0
50
M
a
g
n
it
u
d
e
 
2
0
lo
g
|G
(j
)|
 (
d
B
)
10-1 100 101 102 103
-270
-225
-180
-135
-90
F
a
s
e
 
 (
°
) 
(d
e
g
)
G
1
( )
G
c
(j )G(j )
Sistemas de Controle
em MA
Diagrama de Bode
com ganho K
c
= 13.2 s-
1
Frequência (rad/s)
Figura 2.14: Diagrama de Bode compensado e original em MA.
O sistema compensado em malha fechada possui função de transferência 2.47
C(s)
R(s)
=
G(s)Gc(s)
1 +G(s)Gc(s)
(2.47)
0.1s5 + 2.49s4 + 17.93s3 + 31.92s2 + 16.38s
0.01s8 + 0.472s7 + 8.542s6 + 72.76s5 + 282.8s4 + 392.4s3 + 190.7s2 + 16.38s
24
Figura 2.15: Resposta ao degrau unitário em MF.
num = [1]; % Definindo o numerador
den = conv([1 0],conv([.1 1],[1 1]));% Definindo o denominador
com auxilio do comando ’conv’.
g = tf(num,den); % Função de transferência direta do sistema em
malha aberta
w = logspace(-1,2,100);
% Define as limitações de frequência de banda w.
bode(g,w) % Comando que gera a figura para o diagrama de Bodedo
elemento ’g’ em relção à ’w’ definido.
Gm,pm,wcp,wcg= margin(g); % estabele o através do comando
’margin()’ uma lista dos valores solicitado da margem de ganho,
fase e as frequências de cruzamento para a margem de fase e
ganho do sistema ’g’.
GmdB = 20*log10(Gm); Transforma o valor ’Gm’ computado em dB e o
atribuí à GmdB.
GmdB pm wcp wcg % Associa os valores calculados anteriormente em
único vetor.
ans =
20.232 17.7051 3.1627 1.8612
O código que gera o programa do sistema compensado é apresentado a seguir,
Kc = 13.2 % Definindo o ganho em MA.
num = [1 1.3]; % Definindo o numerador
den = [1 12.6];% Definindo o denominador
gc = tf(num,den); % Função de transferência direta do sistema
compensado em malha aberta
bode(gc*g,w) % Comando que gera a figura para o diagrama de Bode
do elemento ’g’ em relção à ’w’ definido.
Gm,pm,wcp,wcg= margin(g*gc); % estabele o através do comando
’margin()’ uma lista dos valores solicitado da margem de ganho,
fase e as frequências de cruzamento para a margem de fase e
ganho do sistema ’g*gc’.
25
GmdB = 20*log10(Gm); Transforma o valor ’Gm’ computado em dB e o
atribuí à GmdB.
GmdB pm wcp wcg% Associa os valores calculados anteriormente em
único vetor.
ans =
48.5928 87.5922 10.9221 0.1029
t=0:18 % Definindo a váriavel tempo t entre 0 à 18s.
G1 = g/(1+g); % Definindo FT original em MF.
Gc=g*gc/(1+g*gc); % Definindo FT compensada em MF
step(G1,Gc,t)% comando que gera a figura da resposta ao degrau
unitário de ’G1’ e ’Gc’ em relação à t.
% Resposta à rampa
g=tf([1],conv([1 0],con([1 0], conv([.1 1],[1 1])))); %
Redefinindo ’g’ como uma nova função de transferencia com mais
um tempo 1/s para à rampa.
step(G1,Gc,t); % E computa novamente G1, Gc a resposta ao degrau
uintário.
Figura 2.16: Resposta à rampa unitária em MF.
26
Capítulo 3
Conclusão
3.1 Sistema 1
O LR apresentado pela Fig. 2.2 representa uma sucessão metódica de passos para
realização dos cálculos téoricos e dos gráficos que gera o resultado o lugar geomé-
trico das raízes com ganho em malha aberto variável, um comentário válido sobre
este sistema é que ele apresenta estabilidade e os polos complexos conjugados do-
minantes em malha fechada expressam características importantes como oscilação
como destacado na resposta ao degrau unitário em malha fechada simbolizado na
Fig. 2.3. Neste exercício, além da aquisição trabalhosa do método do LR para o
conhecimento na Teoria de Controle sobre analise de lugar das raízes, há também
a sistemática do código em MATLAB.
3.2 Sistema 2
Os polos e zeros em malha fechada do sistema 2 compreende a característica não
oscilatória e seu tempo de acomodação rápido quando comparado com o sistema
1 como detalha as Fig. 2.6 e 2.7. O procedimento para obtenção dos LR do
sistema 2 é descritivelmente semelhante ao sistema 1, porém o lugar das raízes
neste sistema apresenta inclinação "aberta"que iniciam nos polos de malha aberta,
além disso contêm os polos dominante em ramo fechado. A esquematização do
código é basicamente idêntico.
3.3 Sistema 3
Neste sistema, as especificações são insatisfatórias para o projeto requistidos, para
isto é necessário movimentar o LR original contendo o polo dominante original para
o polo compensado de projeto atráves de um compensador de avanço de avanço
de fase (CAvF). Além da técnica dos LR como requisito deve ainda proceder um
cascateamento de uma função de tranferência com um zero e um polo compensa-
dor, neste sentido, o cálculo teórico e os gráficos elaboram a melhor escolha para
os parâmetros de projeto. A esquematização do programa compuatcional é mais
complexa referente aos sistemas 1 e 2, pois há necessidade dos esboços gráficos
dos LRs originais e compensados e a resposta ao degrau uintário expressos pelas
Fig. 2.8, 2.9 e 2.10.
27
3.4 Sistema 4
Neste problema, o diagrama de Bode exposto pela Fig. 2.12 podesse cons-
truir a magnitude e a fase do sistema 4, ainda fornece os parâmetros importantes
como a margem de ganho, a margem de fase bem como suas frequências de cru-
zamento, parâmetros estes relevantes quanto a estabilidade do sistema de fase
mínima. Quanto instrução do programa computacional no MATLAB foi apresen-
tada novos comandos para esboço gráfico do esquema, bem como analise dos
parâmetros de margem do sistema.
3.5 Sistema 5
Com especificações indesejadas de margem de fase, constante de erro estático
de velocidade e margem de ganho, o problema consiste em uma solução por um
compensador de avanço de fase que aumenta o módulo de margem de fase, a
margem de ganho e fixa a constante de erro estático de velocidade definida. O
sistema original apresenta em malha fechada uma oscilação no intervalo de tempo
de acomodação muito alto. Pelo cascateamento do compensador de avanço de
fase (CAvF), a fase deste sistema é aumentada, logo, o sobressinal é diminuído (ou
até contido) com relação ao sistema original como analise na Fig. 2.15, também
é afetado o tempo de pico pois é dimuindo. O sistema estabiliza em 1 muito
rapidamente demostrando em na prática que o tempo de acomodação foi reduzido
drasticamente. Outro ponto a ser discutido é que o erro estacionário tende a alto
valores relativamente comparado ao sistema original como verificado na Fig. 2.16.
No diagrama de Bode como percebe-se na Fig. 2.14, o sistema compensado tende
nas frequências mais altas ω > 1000 o decaimento da magnitude do ganho, porém
é ligeiramente menor que o sistema original. A fase é modificada completamente,
pois no sistema original seu decaimento é suavel retilineamente e constantemente,
o CAvF produzi no sistema geral até a década ω = 100 uma manutenção gradual,
decaindo mais rapidamente após, nas últimas décadas ω > 1000 a fase já atinguiu a
assíntota −270◦. O código computacional assim como o comportamento dinâmico
após a introdução do compensador não dispensa comentários, pois este utiliza
algumas estruturas de comandos para esquematização do diagrama, bem como
a obtenção dos parâmetros de margem do sistema combinadas aos comandos já
utilizados para as expressões gráficas da resposta ao degrau e à rampa.
28
Referência Bibliográfica
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Janeiro: Pearson Prentice Hall, 2011.
[2] NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a ed. Rio de
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[5] CASTRUCCI, Plínio de Lauro; BITTAR, Anselmo. Controle Automático:
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[8] PRUDENTE, Francesco. Automação Industrial: PLC Programação e Ins-
talação. São Paulo: LTC, 2013.
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	Introdução
	Contexto
	Objetivo geral
	Objetivos específicos
	Metodologia
	Problema de Controle 1
	Problema de Controle 2
	Problema de Controle 3
	Problema de Controle 4
	Problema de Controle 5
	Conclusão
	Sistema 1
	Sistema 2
	Sistema 3
	Sistema 4
	Sistema 5
	Referência Bibliográfica

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