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Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 25 �������� � ����� ������ Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido. Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força em relação a um ponto e a um eixo. Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário. Forças exteriores – representam a acção de outros corpos sobre o corpo rígido em análise. Forças interiores – mantêm unidas as diferentes partículas que constituem o corpo rígido. Vector deslizante – é a representação de uma força aplicada num corpo rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é relevante, mas sim a sua linha de acção. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 26 ��� ������� ������� �� ������� O produto externo de dois vectores � � e � � é definido como sendo o vector � � que satisfaz o seguinte: A linha de acção do vector � � é perpendicular ao plano que contém os vectores � � e � � . A intensidade de � � é dada pelo produto das intensidade dos vectores � � e � � e pelo seno do angulo formado pelos mesmos. ��� ��� ×= ( )θ����� �� �= O sentido de � � é obtido pela regra da mão direita Propriedades: Não comutativa, distributiva e não associativa �� �������� �������� ×−=××≠× ������� ������� ×+×=+× �� ���� ������ ������ ××≠×× Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 27 ��� ������� ������� �� ��� ������� ����� � �� ���������� ����� ���� O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a mesma direcção. Para todas as combinações, temos: Definindo o vector � � produto externo de dois vectores � � e � � , em função das coordenadas cartesianas fica: usando a propriedade distributiva: Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a 2ª colunas. � � ��� ��� �� � ��� � = Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 28 � � ������� �� ��� ����� �� ������� � �� ����� Considere a força � � , definida pela intensidade, direcção e sentido, que actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido pelo vector �� , o momento da força � � em relação ao ponto O será obtido pelo produto externo de �� e � � . ��� � ��� ×= ��� ���� � ���� ����� =Θ= � � !������ �� "������� #�����$���� %����& �'( ��)��* “o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O”. � �� �� �� � � � �� �� �� � � ( ) �� ���������� ×++×+×=× ��� ���� ���� Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 29 �(� ���������� ����� ���� �� ������� �� ��� ����� � � � �� � �� + �� , � � � , � + � � � � � ���� � O momento �� � , em relação ao ponto O, produzido pela força � � , de componentes Fx, Fy e Fz aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser apresentado da seguinte forma: ���� �� � � ���� ++= em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento �� � . Mx = y Fz - z Fy My = zFx - x Fz Mz = x Fy - y Fx Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 30 Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 31 Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 32 �'� ������� ������� �� ��� ������� O produto interno ou escalar de dois vectores � � e � � é definido como sendo o produto das intensidade de � � e � � pelo coseno do ângulo formado pelos mesmos. E = � � . � � ( escalar ) �� Θ= ������ �� Propriedades: Comutativo e Distributivo. Aplicações: Determinação do ângulo formado entre vectores, determinação da projecção de um vector sobre um eixo. �)� ������� �� �� �� ��& ������� O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do produto interno do vector � � pelo vector produto externo de � � e � � . E = � � . (�� X �� ) ( escalar ) Cálculo prático de E : � � � � � � � � � � � � Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 33 �-� ������� �� ��� ����� �� ������� � �� ���� O momento de uma força � � em relação a um eixo OL é definido como sendo a projecção do momento ��� sobre Ol, isto é, será o produto misto do versor λ pelo vector posição �� e pela força � � . =��� � λ . ��� � = λ . ( )�� �� × Sendo λx, λy e λz os co-senos directores do ponto de aplicação da força � � , x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força � � ., podemos exprimir ��� � na forma de determinante: Significado físico: o momento ��� � de � � em relação ao eixo OL mede a tendência da força � � produzir no corpo rígido um movimento de rotação em torno do eixo fixo OL. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 34 Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 35 Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 36 �.� ������� �� �� /��$��� Duas forças � � e -� � , com a mesma intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento produzido pelo binário será: Com uma intensidade igual a: ��0� 1��$��� �2��������� Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação, sempre no mesmo sentido. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 37 ���� 3� ���� %����41��$��� Qualquer força � � aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 38 Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 39 ���� ������� �� �� � ���� �� ����� � �� � ���� %����41��$��� Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido a um sistema Força/Binário. �= �� �� �� ×== �� ���� � � � ���� �� � 3� ���� �2��������� �� ����� Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo sistema força/binário:� �= ���� �� e �� = � �� �� �� Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de rotação igual segundo os três eixos. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 40 �� � ������� �� �� � ���� �� ����� � �� ��� �� No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de intensidade não nulas (caso geral). O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois vectores �� � e �� � segundo a direcção de � � , e M2 contido num plano ortogonal a � � . O vector �� � e � � podem ser substituídos por uma única força � � , mas noutra linha de acção. O sistema original reduz-se a: Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um TORSOR. A razão � � � �= é designado por passo do torsor. Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 41 A projecção de ��� � segundo a linha de acção de � � é: M1= � �� �� �� � � � � � �� � � � � � �� == O eixo torsor fica definido por � �� � = ���� ��� ×+ Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 42 Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 43 Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm. A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em z=152mm. Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: a)- a força resultante b) a passo do torsor c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos Luis Mesquita Pág. 44
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