Gravitação

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Física 2 
 
A lei de Gravitação de Newton 
Em 1665, Isaac Newton concluiu que a terra atrai todos os 
corpos a sua volta, sejam pequenos ou grandes, mais perto 
ou um pouco mais longe. Ele concluiu também que cada corpo 
do universo atrai todos os demais. Essa tendência dos 
corpos.se atraírem mutuamente é chamada de gravitação. E 
para descrever essa tendência, Newton escreveu uma lei 
para ela chamada de lei de gravitação de Newton que diz que 
toda partícula do universo atrai todas as outras com uma 
força gravitacional cujo módulo é dado por: 
 
Onde o m1 e m2 são as massas das partículas e r é a distância 
entre elas. G é a constante gravitacional dada como sendo 
igual a 6,67x10^-11 N.m²/Kg². 
Como força é uma grandeza vetorial podemos analisar a lei 
de gravitação a partir do vetor força que uma partícula 
exerce sobre a outra, sendo a força que a partícula 1 exerce 
sobre a segunda partícula igual a que a segundo exerce sobre 
a primeira partícula. Assim, formam um par ação e reação 
que sempre existirá independente dos obstáculos existentes 
entre elas. A fórmula, analisando a partir de um vetor, fica 
assim: 
 
Direção do vetor força: 
 
 
 
 
 
Essa Lei, mesmo que se aplique a partículas, pode também 
ser aplicada em objetos reais desde que seus tamanhos 
sejam coerentes com a distância entre eles. Mas caso não 
sejam como por exemplo a distância entre uma maçã e a 
Terra, podemos usar o teorema das cascas esféricas que 
diz: Uma casca esférica de matéria atrai uma partícula que 
se encontra fora dela como se toda a massa da casca 
estivesse concentrada no seu centro: 
 
Newton pensou na terra como um conjunto de cascas 
esféricas e a substituiu por uma partícula localizada em seu 
centro e contendo toda a sua massa concentrada. Assim, 
podemos considerar a terra e maçã como se fossem duas 
massas pontuais como na figura 2. 
Gravitação e o Princípio da 
superposição 
O princípio da superposição surge para resolver o problema 
existente quando temos mais de duas partículas e queremos 
determinar a força gravitacional a que uma delas está 
submetido devido a presença das demais. Esse principio 
formula que em muitos casos um efeito total pode ser 
calculado somando os efeitos parciais. 
Com N partículas: 
 
 
Com Objetos reais, corpo extenso: Onde temos um corpo com 
uma simetria diferente que não é uniforme e, portanto, não 
conseguimos usar o teorema das cascas esféricas. Para 
resolver isso podemos integrar a área desse corpo: 
 
 
 
 
ⅆ𝑓 = 𝐺 ⋅
𝑚0 ⋅ ⅆ𝑚
𝑟2
�̂� 
 
A gravitação nas proximidades da 
superfície da terra 
Considerando a Terra como uma esfera perfeita, temos que 
uma partícula de massa m, localizada fora da terra e distante 
r do seu centro, podemos dizer que ela sofre uma força 
gravitacional cujo módulo é dado por: 
 
 
Caso essa partícula seja liberada, ela cairá com uma 
aceleração que chamaremos de aceleração da gravidade 
. Assim formulamos a força como sendo: 
 
E dessa formula podemos encontrar a aceleração da 
gravidade de um dos corpos do sistema analisado, onde 
temos uma dependência com a altitude da aceleração: 
 
Temos essa dependência com a altura pois como mostra 
a tabela a seguir quanto maior a altitude menor a 
aceleração gravitacional: 
 
Em Física 1 consideramos a terra um referencial inercial 
desprezando sua rotação. Essa simplificação permitiu 
supor que a aceleração de queda livre g é igual a 
aceleração gravitacional 𝒂𝒈. Além disso supusemos 
também que g é igual a 9,8 m/s2 em qualquer lugar sobre 
a superfície da terra. Entretanto na prática, g medido em 
uma certa localidade da terra é diferente de 𝒂𝒈. 
Calculado usando a equação. Isso acontece por três 
razões: 
• A massa da terra não está uniformemente 
distribuída; 
• A terra não é uma esfera perfeita; 
• A terra está girando. 
Por exemplo, vamos ver como a rotação da terra faz com 
que 𝒂𝒈 e g sejam diferentes: 
 
O caixote descreve uma circunferência em torno do centro 
da terre e por isso sua aceleração centrípeta aponta para o 
centro da terra. A segunda imagem é o diagrama de corpo 
livre do caixote. Partindo das formulas da imagem 2 e da 
formula da aceleração centrípeta encontramos que: 
 
 
 
Onde notamos que a gravidade depende do raio. 
Gravitação no interior da terra 
O teorema das cascas esféricas também pode ser aplicado 
no caso de uma partícula no interior de uma casca esférica 
uniforme. Do teorema resulta que: Uma casca uniforme de 
matéria não exerce força gravitacional resultante sobre uma 
partícula localizada no seu interior. Note que é a força 
resultante que é zero. Isso significa que existem forças 
atuando sobre a partículas, mas com soma vetorial igual a zero. 
 
Na figura mostrada, a crosta de terra com raio maior 
que r não exerce força resultante sobre a partícula. 
Somente a massa da região de raio menor que r 
contribuirá para a força gravitacional resultante sobre a 
partícula 
Quando a partícula vai penetrando no interior da terra, 
dois efeitos contribuem para a força gravitacional 
competindo entre eles: 
1. A força aumenta à medida que a partícula a 
partícula se aproxima do centro da terra. 
2. a força diminui porque cada vez mais massa da terra 
deixa de contribuir para a força gravitacional 
resultante 
O segundo efeito é dominante de modo que a força será 
zero quando a partícula chegar ao centro da terra. 
E a força seria dada por: 
 
Energia Potencial Gravitacional 
Uma configuração de partículas separas no espaço 
possui energia potencial gravitacional armazenada, 
 
E quando mais a distância entre elas diminuir mais a 
energia potencial gravitacional também diminuirá. 
A energia potencial gravitacional do sistema de duas 
partículas pode ser dada como: 
 
A explicação para essa formula é a seguinte: 
Na superfície terrestre a energia potencial 
gravitacional é dada por 𝑈 = 𝑚 × 𝑔 × ℎ, mas 
caso a partícula não esteja na superfície terrestre, teremos 
que usar outra fórmula, considerando a situação a seguir: 
 
Assim queremos saber qual o trabalho necessário para mover 
a bola laranja do ponto p ao infinito. Trabalho pode ser 
determinado como sendo o produto entre a força aplicada e 
o deslocamento percorrido. A força envolvida nesse caso é a 
potencial gravitacional, cujo a formula é 𝐹 = 
𝐺∗𝑚∗𝑀
𝑟2
. 
Sabendo que r varia de uma distância infinitamente grande a 
uma distância já determinada, podemos integrar a equação do 
trabalho para então encontrar a equação da força potencial 
gravitacional entre a terra e essa bolinha que está fora de 
sua superfície: 
𝑊 = ∫ 𝑓(𝑟)
∞
𝑟
ⅆ𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 
Temos em definição de produto escalar que o trabalho pode 
ser dado por: 
𝐹|𝑟|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⅆ𝑟 cos 𝜙 
Como podemos ver na figura da terra lá em cima o ângulo 
entre a força e distância r é 180º e cossenos de 180 é = -1, 
assim a equação resulta em: 
𝑤 = ∫ −
𝐺 ⋅ 𝑀 ⋅ 𝑚
𝑟2
⋅ ⅆ𝑟
𝑟
∞
 → 
Realizando as devidas substituições temos: 
 
Também podemos escrever esse trabalho em termos 
de energias potenciais como: 
 
Como a energia potencial no infinito é nula, U é a energia 
potencial em P e W é dado pela encontrada, podendo se 
tornar: 
 
INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA: O trabalho W poderia 
ter sido calculado seguindo outros caminhos para ir de i 
até f. Entretanto, o resultado seria o mesmo, uma vez 
que somente os trechos onde , é diferente 
de zero contribuem para o trabalho da força 
gravitacional. Dizemos que W e U independem da 
trajetória e que a força gravitacional é conservativa. 
ENERGIA POTENCIAL E FORÇA: Em Física 1 aprendemos 
que 𝐹(𝑥) = −
ⅆ𝑈(𝑥)
ⅆ𝑥
. É possível, usando essa 
equação, também obter a força gravitacional a partir da 
energia potencial gravitacional: 
 
 
 
O sinal negativo indica que a força é atrativa. 
VELOCIDADE DE ESCAPE: Quando lançamos um objeto 
para cima, ele normalmente sobe diminuindo sua 
velocidade, para 
momentaneamente e depois retorna em direção a terra. 
Entretanto, é possível lançar o objetocom uma certa 
velocidade de modo que ele só vai parar (v = 0) quando atingir 
uma distância infinita. Essa velocidade limite é chamada de 
velocidade de escape. 
 
Algumas características desse tipo de velocidade é que a 
energia mecânica se conserva: 
 
Algumas velocidades de escape: 
 
Planetas e Satélites: As Leis de Kepler 
O movimento dos planetas sempre intrigou os cientistas. Tycho 
Brahe conseguiu organizar uma quantidade enorme de dados 
a partir de suas observações do céu, mesmo sem usar um 
telescópio. Esses dados permitiram que Kepler deduzisse as 
três leis do movimento planetário que levas seu nome. 
Posteriormente, Newton mostrou que essas leis são 
consequência da sua lei de gravitação. 
As Leis de Kepler: Lei das Órbitas; Lei das Áreas; Lei dos 
Períodos. 
1. Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em 
órbitas elípticas, com o sol em um dos focos 
 
 
2. Lei das Áreas: A reta que liga um planeta ao sol 
varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em 
intervalos de tempo iguais, ou seja, a taxa de 
variação dA/dt da área com o tempo é constante. 
 
 
 
3. Lei dos Períodos: O quadrado do período de qualquer 
planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior 
de sua órbita. Para demonstrar a lei dos períodos 
considere que a órbita Gravitação do planeta é 
circular. Nesse caso, o raio da órbita se confunde 
com o semieixo maior ou menor da elipse (r = a): 
 
 
 
 
Satélites: Órbitas e Energias 
 
Quando um satélite gira em torno da terra tanto a 
velocidade, que determina a energia cinética, quanto a 
distância ao centro da terra, que determina a 
energia potencial, variam com o tempo. Entretanto a energia 
mecânica E, do satélite, permanece constante. 
 
 
 
 
A energia mecânica (órbita circular) do satélite é: 
 
Para órbita elíptica devemos substituir r pôr a (semieixo maior 
da elipse): 
 
Note que órbitas com mesmo semieixo maior terão mesma 
energia mecânica! A energia não depende da excentricidade. 
 
 
Einstein e a Gravitação 
Princípio da Equivalência: Segundo esse princípio, a gravitação e 
a aceleração são equivalentes. Ainda segundo ele, uma pessoa 
uma pessoa trancada em uma cabine não saberia dizer se 
estava na terra, apenas sujeita a força gravitacional terrestre, 
ou acelerada no espaço a 9,8 m/s2 sujeita apenas a força 
Gravitação terrestre, ou acelerada no espaço a 9,8 m/s2 
sujeita apenas a força aceleradora. Em ambos os casos a 
pessoa sentiria as mesmas sensações. 
A curvatura do Espaço: Segundo Newton, a gravitação é 
devida a massa dos corpos. Segundo Einstein a gravitação 
é devida a curvatura do espaço-tempo causada pelas 
massas