Fisica Geral II

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FÍSICA GERAL II
Maringá
2009
FÍSICA GERAL II
EdItoRA dA UnIvERSIdAdE EStAdUAL dE MARInGá
 Reitor Prof. Dr. Décio Sperandio
 Vice-Reitor Prof. Dr. Mário Luiz Neves de Azevedo
 Diretor da Eduem Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
 Editor-Chefe da Eduem Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini
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 Presidente Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
 Editor Associado Prof. Dr. Ulysses Cecato
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	 Editores	Científicos	 Prof. Adson C. Bozzi Ramatis Lima
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 EqUIpE téCnICA
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 Mônica Tanamati Hundzinski
 Vania Cristina Scomparin
 Edilson Damasio
 Artes	Gráficas Luciano Wilian da Silva
 Marcos Roberto Andreussi
 Marketing Marcos Cipriano da Silva
 Comercialização Norberto Pereira da Silva
 Paulo Bento da Silva 
 Solange Marly Oshima
Maringá
2009
FoRmAção dE PRoFESSoRES Em FÍSICA - EAd
FÍSICA GERAL II
Cesar Canesin Colucci
João Mura
Maurício Antonio Custódio de Melo
5
Copyright © 2009 para o autor
1ª reimpressão 2010 revisada
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo 
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
reservados desta edição 2009 para Eduem.
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Coleção Formação de professores em Física - EAd
 Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese
 Normalização e catalogação: Ivani Baptista - CRB 9/331
 Revisão Gramatical: Josie Agatha Parrilha da Silva
 Edição e Produção Editorial: Carlos Alexandre Venancio
 Diagramação: Renato William Tavares
 Capas: Arlindo Antonio Savi
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Melo, Maurício Antonio Custódio de
 Física geral II. / Mauricio Antonio de Melo; João Mura; Cesar C. Colucci. -- 
Maringá : Eduem, 2009. 153. il. (Formação de professores em Física – EAD; v.5) 
 
 ISBN: 978-85-7628-200-6
 
 1. Física. 2. Gravitação. 3. Termodinâmica. I. Colucci, Cesar C. II. Melo, Maurício 
Antonio Custódio de, III. Mura João
 
CDD 21. ed. 530
M528f
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Gravitação .............................................................................................11
2 Equilíbrio Estático ................................................................................ 35
3 Fluidos ................................................................................................. 47
4 oscilações ............................................................................................61
5 ondas Mecânicas ............................................................................... 79
6 temperatura e Calor ........................................................................... 95
7 primeira Lei da termodinâmica ......................................................... 113
8 Segunda Lei da termodinâmica ........................................................133
9 Referências ........................................................................................153
umárioS
FÍSICA GERAL II
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5
CESAR CANESIN COLUCCI
Bacharel em Física pela Universidade Estadual de Campinas. Obteve seu mestrado (1978) sobre 
supercondutividade e seu doutorado (1993) trabalhando com materiais magnéticos pela mesma 
Universidade. Em 1993 foi pesquisador visitante no Max Plank Institut (Stuttgart-Alemanha). 
Desde 1983 é professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá e 
atualmente ocupa o cargo de Professor Associado. 
JOÃO MURA
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de 
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O 
professor Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado 
(2000) e doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é 
professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa 
o cargo de Professor Associado. 
MAURÍCIO ANTONIO CUSTÓDIO DE MELO
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-Química 
pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais – Física 
pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-doutorado 
no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade Estadual de 
Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. 
obre os autoresS
7
A coleção Formação de Professores – EAD – Física inicia-se com a aprovação do 
Curso de Educação à Distância em Física (Licenciatura) pela Secretaria de Educação 
a	Distância	 (SEED)	do	Ministério	da	Educação	 (MEC).	O	curso	 terá	 a	mesma	carga	
horária, disciplinas e ementas do curso presencial da Licenciatura em Física da Univer-
sidade	Estadual	de	Maringá.
O	grande	desafi	o	do	EAD-Física,	além	do	curso	em	si,	é	a	oportunidade	que	ele	
oferece	não	somente	aos	alunos,	mas,	sobretudo,	ao	corpo	docente	que	lhe	dá	sus-
tentação.	Esse	corpo	docente	terá	a	hercúlea	tarefa	de,	ao	fi	nal	dos	quatro	anos	de	
integralização	do	curso,	escrever	mais	de	trinta	livros	a	serem	ofertados	gratuitamente	
para o corpo discente.
Essa	primeira	edição,	já	o	reconhecemos,	conterá	falhas,	mas	serão	aquelas	típicas	
de	uma	atividade	pioneira,	baseada	numa	vontade	inequívoca	de	acertar,	de	propor-
cionar um material didático inédito nascido da prática docente de cada um dos autores 
e	organizadores	das	obras	editadas.
A	tiragem	da	primeira	edição	será	bastante	modesta,	contemplando	tão	somente	
o	número	de	discentes	e	docentes	inscritos	no	programa.	Em	2008,	oito	obras	serão	
editadas, uma para cada disciplina do curso. E assim em todos os anos sucessivos até 
a	integralização	do	curso	em	fi	nal	de	2011.	
A	princípio	serão	impressos	cerca	de	200	exemplares	de	cada	título,	uma	vez	que	
os livros serão utilizados como material didático para os alunos matriculados no Curso 
de Física, Modalidade de Educação à Distância, ofertado pela Universidade Estadual de 
Maringá,	no	âmbito	do	Sistema	UAB.
Cada	livro	traz	uma	vivência	dos	docentes	que	ajudaram	na	sua	organização,	sinte-
tizando	e	buscando	potencializar	os	conteúdos	que	permeiam	cada	disciplina.	Buscam	
um	processo	de	refl	exão,	 instigação	histórica	da	ciência	e	um	manuseio	dos	 instru-
mentos	que	defi	niram	a	física	e	a	matemática	que	subjazem	aos	fenômenos	físicos	que	
lhe	deram	origem.
presentação da ColeçãoA
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Com esse intuito, a presentecoleção construiu-se a partir do esforço de uma ab-
negada	parcela	de	docentes	do	Departamento	de	Física	(e,	também,	de	Matemática,	
Química,	Educação	e	Informática)	da	Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM),	e	de	
professores	convidados,	que	buscam	a	superação	da	inércia	educacional	que	produ-
ziu,	em	muitas	décadas,	uma	quantidade	irrisória	de	licenciados	em	Física	no	país.
Agradecemos	a	todos	os	colegas	da	UEM	e	demais	IES,	além	da	administração	cen-
tral	da	UEM,	que,	por	meio	da	atuação	direta	da	Reitoria	e	de	diversas	Pró-Reitorias,	
não	mediu	 esforços	 para	 que	 os	 trabalhos	 pudessem	 ser	 desenvolvidos	 da	melhor	
maneira	possível.	De	modo	bastante	específi	co,	destacamos	aqui	o	esforço	da	Reitoria	
para	que	os	recursos	para	o	fi	nanciamento	desta	coleção	pudessem	ser	liberados	de	
acordo	com	os	 trâmites	burocráticos	e	os	prazos	exíguos	estabelecidos	pelo	Fundo	
Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE).
No	que	se	refere	ao	Ministério	da	Educação,	ressaltamos	o	esforço	empreendido	
pela Diretoria da Educação a Distância (DED) da Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal do Ensino Superior (CAPES) e pela Secretaria de Educação de Educação a 
Distância	(SEED/MEC),	que	em	parceria	com	as	Instituições	de	Ensino	Superior	(IES)	
conseguiram	romper	barreiras	temporais	e	espaciais	para	que	os	convênios	para	libe-
ração	dos	 recursos	 fossem	assinados	e	encaminhados	aos	órgãos	competentes	para	
aprovação,	tendo	em	vista	a	ação	direta	e	efi	ciente	de	um	número	muito	pequeno	de	
pessoas	que	integram	a	Coordenação	Geral	de	Supervisão	e	Fomento	e	a	Coordenação	
Geral de Articulação. 
Esperamos	que	essa	primeira	edição	da	Coleção Formação de Professores – EAD 
- Física possa contribuir para a formação dos alunos matriculados no curso de Física 
(mesmo	aquele	presencial),	bem	como	de	outros	cursos	superiores	à	distância	de	to-
das	as	instituições	públicas	de	ensino	superior	que	integram	e	possam	integrar	em	um	
futuro	próximo	o	Sistema	UAB.
Marcos Cesar Danhoni Neves
Organizador da Coleção
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A	Física	abrange	o	pequeno	e	o	grande,	o	velho	e	o	novo.	Do	movimento	de	elé-
trons	até	a	orbita	dos	planetas.	Do	estudo	da	termodinâmica	até	oscilações	de	um	ins-
trumento musical. Este livro didático de Física Geral II tem como objetivo ampliar um 
pouco	mais		o	elenco	de	aplicações	dos	conceitos	básicos	da	mecânica	e	abrir	novas	
fronteiras	de	conhecimento.	O	capítulo	1	apresenta	discussão	básica	sobre	gravitação,	
onde	os	conceitos	de	força,	energia	potencial	e	conservação	do	momento	angular	são	
essenciais.	Aqui	é	apresentado	a	vocês,	pela	primeira	vez,	o	conceito	de	campo.	No	ca-
pítulo	2	juntamos	aos	conceitos	de	força	e	torque	para	entender	o	estado	de	equilíbrio	
de	sistemas	mecânicos,	chamado	simplesmente	de	estática.	Para	o	estudo	dos	fl	uidos	
no	capitulo	3,		alguns	novos	conhecimentos	serão	estudados	utilizando	os	conceitos	
de	 força	e	energia.	Nos	capítulos	4	e	5	estudaremos	oscilações	e	ondas	mecânicas.	
Além	de	revermos	alguns	conhecimentos	básicos	de	mecânica,	este	estudo	será	a	base	
para	entendermos	futuramente,	por	exemplo,	as	ondas	eletromagnéticas	e	circuitos	de	
corrente alternada. Uma introdução ao estudo da termodinâmica é apresentada nos 
capítulos	6,	7	e	8,	onde	veremos	limitações	do	uso	dos	conceitos	básicos	da	mecânica	
para	descrever	fenômenos	que	envolvam	calor.	Ao	fi	nal	do	livro	espera-se	que	a	sua	
visão	seja	ampliada	e	que	você	aprenda	uma	série	de	novos	conhecimentos	importan-
tes na física, e, também, possa correlacioná-los com os já anteriormente aprendidos.
Cada	capítulo	tem	uma	série	de	exemplos,	que	têm		o	intuito	de	desvendar	a	você	
a	aplicação	dos	conhecimentos	estudados.	Eles	fazem	parte	integrante	do	texto,	por-
tanto devem ser refeitos e entendidos.
Ao		fi	nal		de		cada		capítulo	agrupa-se	um	conjunto	de	problemas.	Não	optamos	
por	uma	quantidade	excessiva,	mas	foram	escolhidos	de	tal	forma	a	conduzi-lo	a	expe-
riência	dirigida	de	compreensão	e	fi	xação	dos	conhecimentos.	Você,	aluno,	tem	como	
tarefa	fazer	os	problemas.	A	compreensão	e	fi	xação		têm	maior	sucesso	quando	cada	
um enfrenta a tarefa proposta.
Os	autores	dedicam	esta	obra	à	memória	da	Professora	Doutora	Marlete	Aparecida	
Zamprônio.	A	ela,	nosso	tributo	de	reconhecimento	pelo	esforço,	dedicação	e,	prin-
cipalmente, amizade demonstrada por ela em nossos anos de trabalho e convivência 
mútua.
presentação do livroA
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Gravitação1
1.1 Um pouco de história - Mundo ocidental
1.2 Leis de Kepler
 1.2.1 primeira Lei de Kepler
 1.2.2 Segunda Lei de Kepler
 1.2.3 terceira Lei de Kepler
1.3 Lei da Gravitação Universal de newton
1.4 o Campo Gravitacional
1.5 Corpos em Órbita Circular - Satélites
1.6 Energia potencial Gravitacional
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1 GRAVITAÇÃO
 
1.1 Um Pouco de História – Mundo Ocidental
Este capítulo está relacionado ao movimento de rotação de partículas ou corpos, 
em torno de um ponto fi xo, de um sistema de referência inercial. Está vinculado à mecânica 
de rotação dos corpos quando submetidos à ação de uma força central, principalmente, a 
força gravitacional, que é uma das propriedades da matéria. O movimento das estrelas, 
da Lua e do Sol pode ter uma explicação relativamente simples, considerando a 
rotação da Terra em torno de seu eixo, mas apresenta difi culdades quando analisamos o 
problema em sua plenitude, de forma quantitativa, levando em consideração as forças que 
os interligam.
Nossos ancestrais, muito provavelmente, ao presenciarem certos fenômenos que 
aconteciam à sua volta, devem ter sentido medo e curiosidade, misturando perplexidade 
com admiração. Os dias e as noites, o Sol, a Lua e as estrelas, a chuva, os relâmpagos, 
os trovões e o arco-íris, o calor e o frio, a água, o fogo e o gelo. Todos os eventos eram 
novidades que se repetiam com certa regularidade, infl uindo diretamente em suas 
vidas e pareciam estar ligados entre si. Procurar entender esses eventos era vital para a 
sobrevivência humana. É sob esse clima que o homem evoluiu até nossos dias e muitas de 
suas indagações ainda continuam sem respostas.
Com o passar do tempo, as observações sistemáticas dos fenômenos deram aos 
homens a possibilidade de fazer uso das mesmas para sua orientação e, a regularidade das 
ocorrências, permitiu o estabelecimento de calendários e a previsão de eventos. Com tais 
conhecimentos, ainda que rudimentares, foi possível criar metodologias que possibilitaram 
o surgimento de uma ciência vinculada às necessidades básicas de sobrevivência. A 
Astronomia, cujo objetivo, dentre outros, consiste na observação dos astros, estudando 
seus movimentos, posições e evolução ao longo de períodos pré-estabelecidos, respondia 
à necessidade de uma ciência causalista e previsora.
A Astronomia pré-histórica, atualmente estudada em conjunto por astrônomos 
e arqueólogos, já acumulava conhecimentos a respeito dos movimentos do Sol, da Lua, 
das estrelas e de grupamentos estelares. Além disso, observada a regularidade com que 
o Sol nascia e desaparecia, foi possível estabelecer uma unidade temporal, chamada de 
dia. Observando as variações que ocorriam na Lua e que, após certo tempo, retornava à 
mesma situação e posição em relação às estrelas, o homem primitivo pôde estabelecer 
outra unidade temporal repetitiva, denominada de mês lunar (mês das fases). 
Também, foi possível estabelecer a duração do ano ( ainda que impreciso quando 
comparado ao atual) e as estações do ano com suas variações climáticas. O caminhar 
errante de certas “estrelas” e a existência de estrelas que pareciam estar fi xas no céu, mas 
que, ao longo de certo período, desapareciam no horizonte de um lado da Terra surgindo 
no outro lado, instigavam a contagem do intervalo temporal. Muitas outras observações 
encontram-se registradas em pinturas rupestres nas cavernas, em esculturas e em gravações 
em blocos de pedras devidamente orientados em relação aoSol nascente.
Com a invenção da linguagem escrita (escrita cuneiforme) pelos povos que 
habitavam a região da Mesopotâmia (atualmente onde encontra-se o Iraque), os registros 
dos fatos e fenômenos permitiram que o conhecimento acumulado fosse compartilhado 
com outros povos. Além da observação prática, ao utilizar os conhecimentos matemáticos 
existentes, os mesopotâmicos estabeleceram um sistema sexagesimal de numeração, 
dividindo o círculo em 360 graus, cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 
segundos. Observando o movimento aparentemente circular do Sol e das estrelas “fi xas”, 
estabeleceram a duração do período iluminado (dia) e do período escuro (noite) em doze 
partes iguais (horas). Cada hora foi dividida em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos, 
tal como utilizamos hoje. Determinaram o ano trópico, o período de lunação (mês das 
13
Gravitação
fases), a inclinação da trajetória anual do Sol por entre as estrelas (eclíptica). Perceberam, 
ainda, que a velocidade da Lua não era constante ao rotacionar a Terra; previram eclipses 
lunares (período de Saros); estabeleceram o Zodíaco (faixa em torno da eclíptica onde 
podem ser encontrados os planetas e as constelações) e a duração da semana, onde cada 
dia representava um deus-planeta, cujos ciclos de adoração de sete dias, coincidiam com 
o período de tempo das quatro fases lunares. Desenvolveram e utilizaram equipamentos 
primitivos, tais como o gnomon, a clepsidra e o pólo, para a compreensão dos fenômenos 
do céu.
Os egípcios desenvolveram, também, uma linguagem escrita (hieróglifos) 
gravadas em papiro (“primogênito” do nosso papel), onde parte de textos e documentos 
se perdeu no tempo pela inexorável deteriorização do material utilizado. Estabeleceram 
um calendário anual baseado nas enchentes e secas do rio Nilo, em cujas margens o 
império egípcio nasceu e morreu, além de um elaborado calendário lunar. Construíram 
grandes pirâmides com as faces voltadas para os quatro pontos cardeais. Desenvolveram 
instrumentos específi cos como o merkhet, uma espécie de gnomon, aperfeiçoaram a 
clepsidra e construíram um relógio de sol, onde a sombra de um eixo (representando o 
eixo polar) indicava as horas do dia.
A Grécia Antiga deixou um legado importantíssimo para a Ciência Moderna. 
Utilizando-se dos conhecimentos mesopotâmicos e egípcios anteriores, os gregos 
desenvolveram a matemática, a astronomia, a poesia e a literatura de forma ímpar. 
Historicamente, a astronomia grega originou-se com Thales de Mileto (século VI a.C.), 
cujos discípulos previram a curvatura da Terra e o brilho da Lua como refl exo da luz 
solar. Pitágoras de Samos admitiu a esfericidade da Terra e contribuiu enormemente com 
a matemática da época. É lembrado em nossos dias através de sua imortal contribuição, 
batizada de “Teorema de Pitágoras”. A partir de Pitágoras e seus discípulos, a Astronomia 
teórica grega teve forte desenvolvimento, principalmente através da construção de 
modelos para explicar os movimentos dos planetas (estrelas errantes), da Terra, do Sol e 
da Lua. 
Aristóteles de Estagira, que viveu no século IV a.C., é considerado um dos 
maiores sábios da Antiguidade. Discípulo de Platão, outro gigante da cultura grega, 
afi rmava que nosso universo era fi nito e limitado pela esfera das estrelas fi xas, além da 
qual nada existiria. Propunha uma estrutura hierarquizada do universo, possuindo cinco 
elementos primordiais, sendo quatro pertencentes a Terra (terra, água, ar e fogo) e um 
elemento divino, o éter, que preencheria os céus e seria o símbolo da perfeição. Acreditava 
nas formas perfeitas dos círculos e esferas e que a Terra estava no centro do Universo, 
não possuindo movimento de rotação ou de translação (geocentrismo). O pensamento 
aristotélico, principalmente aquele que dizia ser a Terra o centro do universo, perdurou 
por quase 2 mil anos, até ser enterrado pela proposição do modelo heliocêntrico.
Coube a Aristarco de Samos, que viveu entre os séculos III e II a.C. em Alexandria, 
no norte do Egito, a proposição de que o Sol seria o centro do universo (heliocentrismo) 
e não a Terra, propondo, inclusive, que esta deveria ter movimento de rotação em torno 
de seu eixo polar e translação em torno do Sol. Em decorrência de tais idéias, quase 
foi declarado ímpio (herege, infi el), uma punição severíssima para a época. Propôs uma 
metodologia para medir a distância Terra-Sol, utilizando a distância Terra-Lua como 
unidade. Elaborou, ainda, uma classifi cação das estrelas quanto ao brilho, admitindo que 
as mesmas encontravam-se a distâncias diferentes em relação à Terra. Propôs, também, 
o método do eclipse para determinar o tamanho e a distância da Lua. Além de Aristarco, 
a Escola de Alexandria teve importantes matemáticos e astrônomos, destacando-se 
Eratóstenes, Hiparco e Ptolomeu.
Eratóstenes, além da construção da tábua de números primos (conhecida como 
“crivo de Eratóstenes”), construiu, também, um sistema de coordenadas geográfi cas. 
Escreveu vários tratados sobre as posições de estrelas, porém, o trabalho mais 
importante foi a determinação das dimensões da Terra, pelo método conhecido como 
FÍSICA GERAL II
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“poço de Siene”, quando determinou o comprimento da circunferência terrestre, seu 
raio, superfície e volume. Hiparco de Nicéia, considerado um dos maiores astrônomos 
da Antiguidade, escreveu vários tratados sobre Astronomia, Geografi a, Matemática e 
Mecânica, infelizmente, perdidos no tempo, mas lembrado em citações de seus colegas. 
Inventou o astrolábio, instrumento para a determinação de distâncias angulares, utilizado, 
inclusive, pelos navegantes do século XV e XVI, descobridores do continente americano. 
Utilizou a hipótese do movimento circular uniforme para explicar o movimento do 
Sol, da Lua e dos planetas conhecidos à época. Era defensor das idéias geocêntricas de 
Aristóteles. Confeccionou um catálogo estelar dando nome às estrelas e estabelecendo 
suas coordenadas eclípticas. Sistematizou a trigonometria plana e esférica e determinou o 
ano trópico com grande precisão. Descobriu o movimento de precessão dos equinócios, 
calculando seu período temporal (cerca de 26 mil anos).
Após Hiparco, o último grande astrônomo grego foi Cláudio Ptolomeu, que 
viveu já na era cristã (século II d.C.). Em seu livro, Almagesto (em árabe, Hi Magisti 
Sintaxe), difundiu ao mundo as idéias geocêntricas de Aristóteles, criando um modelo 
complicado de deferentes, epiciclos, excêntricos e equantes, que proporcionou a descrição 
dos intricados movimentos dos planetas, do Sol e da Lua. Este modelo fi cou conhecido 
como “modelo geocêntrico de Ptolomeu”, sendo o universo limitado à esfera das estrelas. 
No modelo ptolomaico, a Terra era o centro do Sistema Solar, de tal forma que todos 
os planetas conhecidos, inclusive o Sol e a Lua, gravitavam ao seu redor (fi gura 1.1)1. 
O modelo geocêntrico foi aceito por mais de quinze séculos, infl uindo enormemente na 
Filosofi a, na Literatura, nas Artes e nas ciências da época. Ptolomeu também descobriu 
a refração da luz na atmosfera terrestre e o movimento de evecção da Lua (variação da 
excentricidade da órbita lunar). 
Após Ptolomeu, a Astronomia não encontra mais sustentação e, praticamente, 
desaparece dos interesses da época. O pensamento religioso cristão e a falta de interesse 
sobre o assunto pelo Império Romano, atuaram no sentido de minimizar as idéias científi cas, 
induzindo ao esquecimento todo trabalho desenvolvido até então. O pensamento grego 
praticamente desaparece e, somente no século VII d.C., como resultado da invasão da 
Europa pelos árabes, é que o pensamento grego começa a ser redescoberto. Os árabes 
iniciam a tradução do conhecimento grego para o árabe e, dessa forma, contribuem para 
sua conservação e divulgação. A partir do século IX, membros da Igreja Católica começam 
a traduzir os textos árabes para o latim, principalmente as idéias aristotélicas, que são 
abraçadas, adotadas e tidas como verdadeiras. O pensamento escolástico,decorrente da 
fusão do pensamento grego com o cristão, a partir do século XII, propicia o aparecimento 
de centros de estudos que reuniam os grandes pensadores da época, surgindo, assim, as 
Universidades. 
O pensamento aristotélico, ensinado nas Universidades até meados do século 
XVI, tornou-se o pensamento ofi cial. Porém, o renascimento das idéias, das artes, das 
ciências foi aos poucos demolindo a conservadora e inquisitorial Idade Média. Em 1543, 
ano de sua morte, o monge polonês Nicolau Copérnico apresentou uma nova teoria sobre 
o Universo, resgatando velhas idéias gregas do heliocentrismo de Heráclides e Aristarco. 
Segundo o modelo de Copérnico, o Universo é constituído por sete esferas concêntricas, 
sendo a mais externa, a esfera das estrelas, e a mais interna a esfera de Mercúrio. Todas 
as esferas, exceto aquela das estrelas, giravam em torno de um ponto central, onde se 
localizava o Sol, daí o modelo ter sido batizado de “modelo Heliocêntrico de Copérnico”.
 Nota-se, ainda, que o Universo continuava limitado à esfera das estrelas fi xas, 
porém, afi rmava Copérnico, que a Terra era um planeta e que todos os planetas giravam 
ao redor do Sol. Coube a Giordano Bruno, defensor ardoroso das idéias humanistas de 
Platão, divulgar o modelo heliocêntrico, propondo, inclusive, a infi nitude do Universo. A 
1 Na verdade, o universo geocêntrico ptolomaico incluía a idéia de uma Terra ligeiramente descentrada (excên-
trico).
Figura 1.1 - Modelo Ge-
ocêntrico de Ptolomeu 
(simplifi cado).
Figura 1.2 - Modelo He-
liocêntrico de Copérnico 
(simplifi cado).
Deferente
de Marte
Lua
Terra Mercurio
Vênus
Sol
Marte
Epiciclóide
de Marte
15
Gravitação
defesa destas posições custou-lhe a vida em 1600, quando foi queimado vivo em praça 
pública por ordem da Santa Inquisição da Igreja Católica.
Outro grande astrônomo do Renascimento foi Tycho Brahe (segunda metade do 
século XVI). Apesar de ter ligações com as idéias aristotélicas, teve o grande mérito de 
realizar inúmeras observações planetárias e estelares de grande precisão. Utilizando os 
preciosos dados coletados pelo seu mestre Tycho Brahe, o astrônomo Johannes Kepler 
(1571-1630), principalmente, ao estudar os movimentos de planeta Marte, descobriu 
regularidades importantes, levando-o a propor três relações básicas sobre o movimento 
planetário, posteriormente batizadas por Newton de “leis de Kepler”. Seu contemporâneo 
de pesquisas, Galileu Galilei (1564-1642), introduziu o uso do telescópio nos estudos 
astronômicos realizando importantes descobertas com sua luneta refratora. As montanhas 
e crateras da Lua, os satélites de Júpiter, as manchas solares, as estrelas difusas da Via 
Láctea, além das visíveis a olho nu, as fases de Vênus, dentre outras, foram as descobertas 
mais espetaculares da nova astronomia ótica de Galileu. O sábio italiano, ademais, realizou 
estudos sobre o plano inclinado, o período pendular, o movimento relativo dos corpos e 
a razão matemática de um corpo em queda livre. Por sua contribuição experimental às 
ciências, é considerado o pai do método experimental nas ciências físicas. Também sofreu 
a ira da Inquisição e quase teve o fi m trágico de Giordano Bruno.
“Se eu vi mais longe [do que outros] é porque me encontrava em ombros de 
gigantes”, disse o próprio Isaac Newton (1642-1727), que nasceu no ano em que Galileu 
morreu. Newton propôs a Lei de força sobre a Gravitação Universal, estabelecendo as 
bases da Mecânica Celeste. A Lei da Gravitação Universal foi um marco fundamental 
nos estudos astronômicos, pois conseguia explicar os motivos da atração entre os corpos 
celestes, estando eles nas vizinhanças da Terra ou nos confi ns do espaço. Newton inventou, 
também, o cálculo diferencial e integral; propôs a teoria corpuscular da luz; realizou 
estudos sobre suas cores e seus espectros. Inventou, também, o telescópio refl etor e, para 
culminar, descobriu as leis da mecânica clássica, batizadas, mais tarde, como as “três leis 
de Newton”. A Lei da Gravitação Universal de Newton, as três leis de Kepler e outros 
estudos decorrentes, serão tratados neste capítulo.
1.2 Leis de Kepler
A constante controvérsia sobre as teorias geocêntrica e heliocêntrica estimulou os 
astrônomos a realizarem medidas cada vez mais precisas dos movimentos planetários. Um 
conjunto de medidas obtidas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, com um grande 
sextante e uma bússola ao longo de mais de vinte anos de observação planetária e estelar a 
olho nu, permitiu que seu discípulo, o astrônomo alemão Johannes Kepler, estabelecesse 
três leis empíricas para o movimento planetário, válidas para todos os planetas do Sistema 
Solar conhecidos à época (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno).
Analisando cuidadosamente os dados sobre o movimento dos planetas, 
principalmente, do planeta Marte, Kepler percebeu importantes regularidades em seu 
movimento em torno do Sol se deixasse de trabalhar com órbitas circulares concêntricas. 
Acabou adotando órbitas elípticas com o Sol ocupando um de seus focos. Percebeu, então, 
que poderia generalizar seu pensamento para os outros planetas, construindo, assim, as 
bases da mecânica celeste. Seu modelo continuaria a ser heliocêntrico, mas as órbitas 
não seriam mais círculos perfeitos como propunham os astrônomos gregos e Nicolau 
Copérnico. É importante salientar que Kepler não concebia as forças gravitacionais como 
causa das regularidades observadas por ele, pois o conceito de força, posteriormente 
formulado por Newton, ainda não estava claro para os astrônomos da época. Kepler 
acreditava que o que ligava os planetas às suas órbitas ao redor do Sol era uma força de 
origem magnética.
Antes de apresentarmos as Leis de Kepler, é importante ressaltar que o modelo 
heliocêntrico de Copérnico proporcionou uma troca de referencial importante. No 
FÍSICA GERAL II
16
modelo geocêntrico de Ptolomeu, a Terra desempenhava o papel de referencial inercial ao 
descrever o movimento das estrelas e dos planetas conhecidos. No modelo geocêntrico, 
além da Terra ser classifi cada como um planeta, o referencial inercial passou a ser o Sol, 
muito mais adequado quando se estuda o movimento planetário. O referencial inercial 
fi xo no Sol, não girante, tem inúmeras vantagens em relação ao referencial fi xo na Terra e 
girante. Somente quando tratamos de corpos ou partículas próximos à superfície terrestre 
é que podemos considerar a Terra como referencial inercial. 
1.2.1 Primeira Lei de Kepler
Normalmente, ao tratarmos de corpos (ou partículas) que executam órbitas em 
torno de um ponto central, consideramos as órbitas como circulares. A primeira Lei 
de Kepler apresenta outra visão das órbitas, não as considerando mais como círculos 
perfeitos, mas sim, como elipses. A órbita circular é um caso especial da órbita elíptica. A 
lei das órbitas, como é conhecida a primeira lei de Kepler, diz que
“ To d o s o s p l a n e t a s s e m o v e m e m ó r b i t a s e l í p t i c a s , 
e s t a n d o o S o l e m u m d o s s e u s f o c o s ” .
A lei enunciada não explicita a causa do movimento e nem porque a órbita é elíptica. 
É uma lei empírica que descreve somente o movimento dos planetas em torno do Sol, sem 
qualquer explicação ou dedução teórica. Coube a Newton, mais de um século depois, 
deduzir as leis de Kepler a partir das leis gerais do movimento para sistemas mecânicos e 
da Lei da Gravitação Universal, que é uma lei de força aplicável ao movimento planetário, 
interagindo à distância. A primeira lei de Kepler é, inclusive, uma consequência direta 
da lei de força central (força que varia com o inverso do quadrado da distância entre os 
centros dos corpos envolvidos, para o caso gravitacional). Sua dedução, a partir das leis de 
movimento e da Lei de Gravitação, não 
é tão simples, pois depende de equações 
diferenciais não estudadas até aqui.
Figura 1.3 - Órbita elíptica de um planeta, com 
o Sol ocupando um dos focos. Periélio e Afélio 
representam, respectivamente,o ponto mais 
próximo do Sol e o ponto mais distante deste 
ocupado por um planeta.
O ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado de periélio e o mais afastado de 
afélio. Para um corpo circulando a Terra, o ponto mais distante que este ocupa na órbita é 
chamado de apogeu e o mais próximo, de perigeu. O raio médio da órbita do planeta rmédio 
é a média aritmética entre as duas distâncias ao centro do Sol (periélio e afélio), ou, o que 
é equivale dizer que: o raio médio é o valor do semi-eixo maior da elipse, a.
a
dd
rmédio =
+
=
2
maxmin .
De acordo com a fi gura 1.4, a dimensão 
maior corresponde ao eixo maior da elipse e a 
dimensão menor corresponde ao eixo menor da 
elipse.
 Figura 1.4 - Semi-eixos de uma elipse.
Periélio
Planeta
dmáxdmín
Sol
F1 F2
Afélio
Semi-eixo
menor Semi-eixo
maior
Centro
Planeta
Sol
A B
F1
F2
17
Gravitação
Calculando a distância que une o foco S até o planeta (foco do Sol até o planeta) 
e do foco S’ até o planeta (foco vazio até o planeta), veremos que a soma das distâncias 
será a mesma para todos os pontos sobre a curva (órbita), independentemente de onde 
o planeta se encontra. O Sol ocupa um dos focos e, no outro, não há nada (foco vazio). 
Podemos considerar, também, o Sol e os planetas como partículas, pois suas dimensões 
são muito menores do que a distância entre eles.
As órbitas dos planetas não são elipses muito alongadas, como sugerem as fi guras 
1.3 e 1.4. Na realidade, as órbitas planetárias são quase circunferências e o elemento 
geométrico que diferencia uma circunferência de uma elipse é um parâmetro denominado 
excentricidade, simbolizado pela letra e (fi gura 1.5). A distância de cada foco da elipse 
até seu centro (cruzamento dos eixos) é igual a ea, sendo e um número adimensional 
(excentricidade da elipse) com valor positivo entre zero e um (0 ≤ e ≤ 1), e a, o raio médio 
da órbita (semi-eixo maior rmédio=a ). Quando e = 
0, a elipse transforma-se em uma circunferência 
e, para excentricidades maiores que um, obtém-
se parábolas e hipérboles. 
As órbitas planetárias são aproximadamente 
circulares, com a excentricidade variando de 
0,007 (Vênus) até 0,206 (Mercúrio). A da Terra 
corresponde a e= 0,017. A maior excentricidade 
corresponde àquela de Plutão, com e=0,25. 
Newton demonstrou que, quando uma força 
proporcional a 1/r2 (força central) atua sobre 
um corpo (corpo ligado ao centro de força 
gravitacional), as únicas órbitas fechadas possíveis são as elipses e as circunferências 
(planetas, asteróides, cometas, luas ligadas aos planetas ou ao sol). Para corpos não 
ligados, como os meteoróides do espaço longínquo e que passam somente uma vez perto 
do Sol, ainda continua válida a lei do inverso do quadrado à distância, mas as órbitas 
possíveis são as parábolas e as hipérboles.
1.2.2 Segunda Lei de Kepler
A velocidade que um planeta circula o Sol não é igual em todos os pontos da 
órbita, sendo maior quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e menor quando 
está mais distante (afélio), portanto, a velocidade de translação dos planetas é variável. Do 
afélio para o periélio, o movimento é acelerado e do periélio para o afélio, o movimento 
é retardado. A explicação física para tais variações na velocidade do planeta está baseada 
na força de atração gravitacional que o 
Sol exerce sobre o planeta. Essa força 
está sempre dirigida para o centro de 
massa do Sol (força central). Podemos 
ver pela fi gura 1.6 que, do afélio 
para o periélio, a força gravitacional 
possui uma componente tangencial no 
sentido da velocidade de translação, 
“ajudando” o movimento, enquanto 
que, do periélio para o afélio, a 
componente da força é contrária à 
velocidade de translação, retardando 
o movimento.
Figura 1.6 - Componentes da força gravitacional no
movimento de translação planetária.
Mov
imen
to
acel
erad
o
Movimentoretardado
Periélio Afélio
F1
F2
Ft2
V2
V1
Ft1
 Figura 1.5 - Excentricidade das órbitas.
FÍSICA GERAL II
18
Na fi gura 1.7 estão representadas 
as áreas A1 e A2 varridas pelos vetores-
posição do planeta. Os intervalos de tempo 
são Δt1 e Δt2. Se os intervalos de tempo são 
iguais, então, as áreas varridas também 
serão iguais, ou seja, A1 = A2. Tendo 
descoberto esta relação, Kepler enunciou 
sua segunda regra (a primeira e segunda 
lei foram publicadas em 1609, no livro 
Astronomia Nova), também conhecida 
como lei das áreas, como sendo:
“A reta (raio vetor) que une o Sol a qualquer planeta descreve (varre) áreas iguais 
em intervalos de tempos iguais.”
Devido à excentricidade da órbita, 
o espaço percorrido (deslocamento escalar) 
pelo planeta na região do periélio (ΔS1) é 
maior que o espaço percorrido na região 
do afélio (ΔS2), ou seja, ΔS1 > ΔS2 (fi gura 
1.8). Em termos de velocidade média de 
translação, podemos dizer que ela é maior 
na região do periélio do que na do afélio. 
É possível demonstrar a segunda lei de Kepler através do princípio de conservação 
do momento angular, considerando o planeta como sistema e supondo que a massa do Sol 
seja muito maior que a do planeta, de tal forma que o Sol permanece em repouso no centro 
de força (força central). É importante salientar que a segunda lei de Kepler é válida para 
qualquer força central, de atração ou de repulsão.
Quando é inverno no Hemisfério Norte (janeiro), a Terra está mais próxima do Sol 
(periélio) do que quando é verão (julho). Para o Hemisfério Sul é o inverso. Em função 
da órbita da Terra em torno do Sol ser uma elipse ligeiramente achatada, as durações das 
estações não possuem a mesma quantidade de dias. E se a órbita fosse uma circunferência, 
como seria a duração das estações?
1.2.3 Terceira Lei de Kepler
Aproximadamente 10 anos de dedicação ao estudo pormenorizado das tabelas de 
Tycho Brahe, Kepler visualizou uma relação entre o período de revolução e o raio médio 
da órbita dos planetas, que fi cou conhecida como 3ª lei de Kepler. A terceira lei de Kepler, 
também conhecida como lei dos períodos (ou lei harmônica – derivada da harmonia 
musical), geralmente é deduzida nos livros textos considerando-se órbitas circulares. A 
dedução baseia-se nas leis de força de Newton (Lei da gravitação e 2ª lei da Mecânica). 
O raio da órbita é o raio médio r (semi-eixo maior) e o período de revolução (translação) 
é o ano sideral do planeta T (TTerra = 1 ano). Com exceção de Mercúrio, Marte e Plutão 
(que não é mais considerado planeta, atualmente), todos os outros possuem órbitas quase 
circulares (pouco “achatadas”). Mesmo para órbitas elípticas, a terceira lei de Kepler 
continua válida. Nestes termos, a terceira lei pode ser enunciada da seguinte forma:
“O quadrado do período de translação (T2) de qualquer planeta é proporcional ao cubo 
do semi-eixo maior da órbita elíptica (r3).”
tA
rA
rD
tD
∆t1 A1
rB
rC
∆t2
tC
tB
A2
∆s1 A1
∆s2A2
Periélio Afélio
Figura 1.7 - Lei das áreas. 
Figura 1.8 - Deslocamentos escalares e velocidades.
QUESTÃO 1.1
 Em seu periélio, o 
planeta Mercúrio está a 
4,60 x 107 km do Sol. 
No seu afélio, encon-
tra-se a 6,99 x 107 km, 
e sua velocidade orbital 
é de 14,00 x 104 km/h. 
Qual será sua velocida-
de orbital no periélio? 
Sugestão: Fazer uso do 
princípio de conserva-
ção do momento angu-
lar como constante do 
movimento.
19
Gravitação
Matematicamente temos:
K
r
T
=3
2
.
O valor de K é constante (em torno de 1) para todos os planetas, conforme pode 
ser visto na tabela 1. Outras tabelas, que colocam o período de revolução em dias ou em 
segundos e a distância média Terra-Sol (semi-eixo maior da elipse) em metros (m) ou 
quilômetros (km), dão valores de K diferentes de 1, mas os novos valores obtidos para 
todos os planetas são sempre os mesmos (constantes).
Tabela 1.1 A 3ª lei de Kepler – Dados dos planetas.
Note que o período de revolução em torno do Sol e os raios médios de suas órbitas 
são diferentes para cada planeta, mas o quocientedo quadrado do período pelo cubo 
do raio médio resulta numa constante aproximadamente igual à unidade. As pequenas 
diferenças são justifi cadas pelas incertezas nas medidas para os períodos e semi-eixos 
maiores das órbitas dos planetas. 
É importante observar que o período de revolução não depende da excentricidade 
da órbita. Por exemplo, um asteróide movendo-se em uma órbita elíptica achatada 
(semi-eixo maior r), terá o mesmo período de revolução que um planeta que descreve 
uma órbita circular com o mesmo raio r. A diferença está nas suas velocidades, pois o 
asteróide possuirá velocidades variáveis ao longo da órbita elíptica, enquanto o planeta 
terá velocidade constante (MCU – movimento circular uniforme).
As três leis de Kepler são leis universais, ou seja, valem para o nosso sistema 
solar e também para outros sistemas do Universo onde exista uma grande massa central 
atraindo massas menores, inclusive para planetas e seus satélites, naturais ou artifi ciais 
(como a Terra). Vale, inclusive, para grandes estruturas do Cosmos como, por exemplo, a 
massa de bilhões de estrelas ao redor do centro galático.
EXEMPLO 1.1
A distância média do sistema Terra-Sol é de 1,50 x 108 km, e o período de revolução da Terra 
em torno do Sol é de 1 ano. A distância média do sistema Marte-Sol é de 2,28 x108 km. Qual o 
período de revolução de Marte ao redor do Sol?
Solução:
Aplicando a Lei dos períodos, temos:
 
3
2
3
2
T
T
M
M
r
T
r
T
=
Substituindo os valores dados no problema, e sabendo que 1 ano = 365 dias, fi camos com 
TM ≈ 682 dias
FÍSICA GERAL II
20
1.3 Lei da Gravitação Universal de Newton
No ano de 1665, a Inglaterra sofria uma grande epidemia de peste e para escapar da 
morte certa, Newton refugiou-se na casa de seus pais, na pequena aldeia de Woolsthorpe, 
pois a Universidade de Cambridge fôra fechada. Naquela época, aos 23 anos de idade, 
Newton estava preocupado em saber qual a causa que mantinha a Lua girando em torno da 
Terra. Usando a fórmula da aceleração centrípeta proposta por Huygens, Newton calculou 
sua aceleração centrípeta, supondo ser a órbita da Lua circular. Realizado o cálculo, fez a 
si próprio uma pergunta intrigante: qual seria a fonte da força que produz tal aceleração? 
A indagação a respeito da causa que mantinha a Lua acelerada foi a linha mestra para 
o pensamento de Newton. Consta na história que Newton, ao observar a queda de uma 
maçã no pomar, indagou: “será que a força que fez a maçã cair não seria do mesmo tipo 
daquela que mantém a Lua girando ao redor da Terra?”. Com base nessa indagação, 
o cientista inglês considerou a hipótese de que cada corpo no universo exerce uma força 
sobre todos os outros corpos ao seu redor.
A aceleração centrípeta da Lua calculada por ele induziu ao pensamento de que 
a causa da rotação da Lua e da queda da maçã seria a mesma. Deveria haver uma força 
comum que fosse responsável por tais movimentos. Tal força, denominada de força 
gravitacional, é o fundamento da lei de atração entre massas, conhecida por Lei da 
Gravitação Universal de Newton. Em conjunto com as três leis de movimento, Newton 
publicou, em 1687, a lei da gravitação. Estas leis são os pilares da Mecânica Clássica. A 
lei da gravitação de Newton pode ser enunciada como:
“A força entre duas partículas quaisquer, de massas m1 e m2, separadas por uma distân-
cia r entre seus centros, é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inver-
samente proporcional ao quadrado da distância que as separam”.
Matematicamente, o módulo da força gravitacional é dado por
2
21
r
mmGFg = .
onde G é uma constante universal, calculada experimentalmente pela primeira vez por 
Lorde Cavendish, em 1798. Atualmente, seu valor é igual a,
G = 6,673 x 10-11 Nm2/kg2.
EXEMPLO 1.2
Calcule o módulo da força gravitacional entre o Sol e a Terra, sabendo-se que a distância Ter-
ra-Sol é de 150 milhões de quilômetros e suas massas são: MS =2 x 10
30 kg e MT = 6 x 10
24 Kg.
Solução:
Aplicando a Lei da Gravitação Universal de Newton, fi camos com
 
2
.S T
g
ST
M MF G
r
=
Substituído os valores, temos que Fg = 3,6 x 10
22 N. É uma força atrativa muito grande!
Com relação à Lei da Gravitação Universal devemos destacar alguns aspectos 
fundamentais:
1- A força gravitacional entre duas partículas é atrativa e constitui um par ação-
reação (3ª Lei de Newton), agindo ao longo da linha que une seus centros. 
Assim, as forças possuem o mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos 
opostos. Matematicamente, em termos vetoriais, temos
12 21F F= −
 
Figura 1.9 - Força gravi-
tacional entre duas partí-
culas.
21
Gravitação
2- A constante universal G não deve ser confundida com a aceleração 
gravitacional g, provocada pela atração gravitacional da Terra sobre um corpo 
de massa m. Suas dimensões são diferentes, uma vez que a constante G possui 
um valor único para todo par de partículas que se atrai em qualquer ponto do 
Universo e, além disso, é uma grandeza escalar. A aceleração gravitacional 
g é um vetor, não sendo universal e nem constante, uma vez que depende 
do ponto onde a partícula (corpo) se encontra em relação à Terra (ou de um 
planeta qualquer), tomada como referencial inercial.
3- A Lei da Gravitação Universal de Newton é uma lei de força simples, 
considerada uma força fraca quando comparada às forças elétricas, 
magnéticas e nucleares, não sendo entendida como uma equação de defi nição 
de nenhuma das grandezas envolvidas nela (força, massa e comprimento). A 
lei da gravitação entre partículas relaciona-se somente com as propriedades 
mensuráveis das partículas envolvidas, implicando na idéia de que a força 
gravitacional entre elas independe da presença de outras partículas e das 
propriedades do espaço intermediário.
4- Quando nos referimos aos corpos extensos como, por exemplo, a Terra e o 
Sol, a lei continua válida, mas devemos considerar cada corpo como composto 
de inúmeras partículas, calculando as interações (forças) entre elas, par a 
par, corpo a corpo, através do cálculo integral (também desenvolvido por 
Newton). Quando se trata de esferas uniformes é possível considerar a idéia 
do centro de massa para o cálculo da força gravitacional. O que se verifi ca 
é que o cálculo da interação entre dois corpos que possuem distribuições de 
massa com simetria esférica (esferas maciças ou ocas) é o mesmo da interação 
gravitacional entre duas partículas localizadas em seus centros e possuindo 
suas massas.
5- Quando tratamos a Terra como um corpo esférico de massa MT, a força 
gravitacional (módulo) que ela exerce sobre uma partícula ou sobre um corpo 
esférico de massa m, com separação entre seus centros igual a RT, é dada por,
2
T
T
g R
mMGF = .
para o corpo ou partícula situado na parte externa da crosta terrestre. Uma 
força de mesmo módulo, atuando na mesma direção, mas de sentido contrário 
é feita pelo corpo ou partícula sobre a Terra (lei da ação-reação). Pergunta: 
Quando você pula de uma escada, porque é você que cai em direção a Terra 
e não é a Terra que sobe até você?
Para pontos situados no interior da Terra (abaixo da superfície externa) o 
cálculo é diferente. À medida que caminharmos para o interior da Terra 
ou de qualquer corpo esférico, somente a massa que está abaixo é que 
exerce força gravitacional sobre nós. As partes que se situam acima do 
local onde nos encontramos não têm efeito atrativo. Se chegássemos ao 
centro da Terra, por exemplo, a força gravitacional seria nula. Por quê? 
Se abríssemos um túnel reto que passasse pelo centro da Terra e saísse do 
outro lado e soltássemos um corpo de massa m em uma das aberturas do 
túnel, ele executaria um movimento retilíneo uniformemente acelerado até 
o centro da Terra (velocidade máxima) e depois seria desacelerado até atin-
gir a superfície oposta da Terra (velocidade nula). O corpo executaria um 
movimento harmônico simples, como se fosse um pêndulo simples, com 
período constante, desde que desprezadas as forças dissipativas.
Figura 1.10 - Forçagravitacional entre 
corpos com simetria 
esférica (partículas).
R2
Fg
Fg
R1
m1
m2
r
Fg
Fg
m1
m2
r
FÍSICA GERAL II
22
6- A força gravitacional varia com o inverso do quadrado da distância entre 
o centro dos dois corpos esféricos que se atraem, ou seja, varia com 1/r2. A 
variação da força F em função da distância d (d=r) pode ser visualizada na 
fi gura 1.11.
Obs.: Dois corpos quaisquer sempre se atraem gravitacionalmente, 
independentemente do valor de suas massas ou de suas dimensões. Pelo fato da constante 
G ser muito pequena, a intensidade (módulo) da força atrativa só se torna apreciável se 
uma das massas for muito grande, como, por exemplo, a Terra. É por esse motivo que 
duas pessoas próximas não sentem as atrações gravitacionais de uma sobre a outra, mas 
as forças atrativas existem! Também, deve ser levada em consideração a distância entre 
os corpos.
1.4 O Campo Gravitacional
Na época de Newton, pensava-se a força gravitacional como se fosse uma interação 
direta entre as massas, conhecida como teoria da ação à distância, posteriormente 
descartada porque pressupunha que a interação seria instantânea, com velocidade infi nita. 
O conceito de campo (teoria dos campos) só foi desenvolvido bem depois, por Faraday, 
para o estudo do eletromagnetismo e, posteriormente, aplicado à gravitação. O conceito 
de campo leva em consideração que uma partícula de massa M provoca uma alteração 
no espaço em sua volta, criando um campo gravitacional, que atua sobre qualquer outra 
partícula que penetra na região, exercendo sobre a segunda uma força gravitacional 
atrativa. Desse ponto de vista, o campo desempenha o papel de intermediário com respeito 
às forças entre partículas materiais, ou seja, ele é o “transmissor” das forças gravitacionais 
entre corpos.
O campo gravitacional é um campo vetorial onde, a cada ponto do espaço, 
podemos associar um vetor, denominado de vetor campo gravitacional. Também é um 
campo estacionário, pois seu valor, em cada ponto, não varia com o passar do tempo. 
Assim, todo corpo material, por menor que seja, sempre origina um campo gravitacional. 
A força gravitacional é uma força decorrente do campo gravitacional, o qual, apesar de 
não poder ser visualizado ou tocado, existe, pois podemos sentir sua presença. Nosso peso, 
que é a força com que somos atraídos para o centro da Terra, talvez seja o principal efeito 
que sentimos. O campo gravitacional é uma das propriedades da matéria, dependendo 
diretamente da massa que o produz. O fato importante a respeito do fenômeno da 
gravitação é que massas criam campos e, se tivermos duas massas, cada uma exercerá 
sobre a outra uma força de atração gravitacional. 
Imaginemos agora um corpo de massa M. Em sua volta, ele cria um campo de 
forças em decorrência de sua massa. Qualquer outro corpo de massa m (corpo de prova) 
que for colocado em sua vizinhança “sentirá” o campo gravitacional, fi cando sujeito a 
uma força de atração gravitacional. É o que ocorre, por exemplo, com qualquer corpo 
que estiver nas proximidades da Terra. Ele será atraído para o centro do planeta devido 
ao campo gravitacional terrestre. A força gravitacional é uma força de campo (o campo é 
o transmissor da força), existindo por si só, sem a necessidade de que haja contato entre 
os corpos. 
A fi gura 1.12 mostra o campo gravitacional produzido por um corpo de massa M 
e sua ação sobre o corpo de prova (massa m) na sua vizinhança. 
A cada ponto do espaço ao redor do corpo de massa M associamos um vetor, 
denominado de vetor campo gravitacional, simbolizado pela letra g, que é a aceleração 
que um corpo de massa m fi ca submetido quando colocado naquele ponto do campo. O 
vetor g é defi nido como sendo a força gravitacional por unidade de massa no ponto 
considerado, ou seja,
m
Fg = .
A força pode ser calculada a partir da intensidade do campo gravitacional, 
simplesmente multiplicando o vetor aceleração gravitacional pela massa do corpo de 
Figura 1.11 - Variação 
da força em função da 
distância d entre os 
centros dos corpos
d 2d 3d 4d d0
F/16
F/8
F4
F/2
F
F
Figura 1.12 - Campo 
de força gravitacional 
produzido por um cor-
po de massa M. Atua-
ção sobre outro corpo 
de prova (m).
d
F = mg
m
23
Gravitação
prova colocado no ponto. Como a força é uma entidade vetorial, a força gravitacional 
tem direção radial (mesma direção do vetor g) com sentido dirigido do corpo de prova 
para o centro da Massa m e módulo igual a mg, comumente denominado de peso. Assim, 
quando um corpo de prova de massa m for colocado no ponto, ele fi cará sujeito a uma 
força gravitacional, a qual, de acordo com a 2ª Lei de Newton, é dada por
gmF = .
Sabe-se que o módulo da força de atração gravitacional entre duas massas é dado 
por
2g
MmF G
r
= .
Igualando os módulos das duas forças e para pontos externos ao corpo criador do 
campo, resulta que
2
Mmmg G
r
=
 
⇒ 2r
MGg =
Quando, por exemplo, um corpo de massa m é solto nas proximidades da Terra, ele 
“cairá” na direção do centro da Terra realizando um movimento retilíneo uniformemente 
variado. No MRUV, a aceleração é sempre constante em módulo, direção e sentido. A 
direção do vetor campo gravitacional (aceleração gravitacional) é sempre perpendicular 
à superfície acima do ponto onde está o corpo (direção do fi o de prumo) e o sentido é 
sempre dirigido para o centro do planeta. O módulo da aceleração gravitacional varia de 
ponto a ponto, sendo adotado o valor de g = 9,80665 m/s2 ao nível do mar e para a latitude 
de 45° N (Meridiano de Greenwich).
Generalizando, podemos dizer que o valor do vetor campo gravitacional, em um 
ponto qualquer nas proximidades da massa M, depende somente do ponto considerado e 
da massa do corpo que cria o campo, ou seja, é uma característica do local e não da massa 
do corpo experimental (corpo de prova).
Para um corpo esférico (raio r) e homogêneo, o módulo do campo gravitacional 
tem as seguintes características:
a) para pontos na superfície,
20 r
MGgg ==
b) para pontos exteriores ao corpo de massa M (d > r),
2d
MGg =
c) para pontos no interior do corpo (d < r), o campo gravitacional varia 
linearmente com a distância, medida a partir do centro do corpo de massa 
M, ou seja, g é diretamente proporcional à distância do ponto considerado ao 
centro do corpo (g = Kd), onde K é uma constante.
EXEMPLO 1.3
Considerando o raio médio da Terra igual a 6.400 km, a que distância da superfície ter-
restre uma pessoa tem seu peso reduzido a 1/5? Dados: MT = 6 x 10
24 kg. 
Solução:
A massa da pessoa não varia, mas seu peso é reduzido a 1/5 em relação ao da superfície 
terrestre. Nesta situação, a aceleração gravitacional no ponto é igual a g= 9,8/5 m/s2, que 
corresponde a uma distância d do centro da Terra, dada por
 
24
11
2
9,8 6.106,67.10 .
5 d
−=
Assim, d = 7,15 x 106 m, ou d = 7.150 km
FÍSICA GERAL II
24
A fi gura 1.13 mostra a variação do campo gravitacional em função da distância ao 
centro do corpo criador do campo.
 
Figura 1.13 - Variação do campo gravitacional 
em função da distância ao centro de forças.
O campo gravitacional também varia em 
função da altitude e da latitude sofrendo, ainda, 
pequenas variações provocadas pelas distorções 
da simetria esférica da Terra e variações locais de 
densidade. As tabelas 1.2, 1.3 e 1.4 mostram as 
variações com a altitude e latitude e, também, as 
acelerações em cada planeta, inclusive na Lua.
Para a Terra, faremos mais algumas 
considerações. Nosso planeta não é uma esfera 
perfeita e, também, não pode ser considerada 
como um referencial inercial, pois além de 
estar girando em torno de seu eixo de rotação 
(aceleração centrípeta), possui movimento de 
translação em torno do Sol com aceleração 
variada, além de outras acelerações devidas 
aos movimentos do Sol, da Via Láctea, etc. 
Devido ao movimento de rotação, o peso 
aparente (pap) de um corpo de massa m sobre 
a superfície terrestre não é exatamente igual à 
força de atração gravitacional que a Terra exerce 
sobreo corpo, denominado de peso real (p0) do 
corpo. Se utilizássemos um dinamômetro para 
medir o peso de um corpo sobre a superfície 
terrestre, veríamos que no equador o corpo tem 
peso diferente do que nos pólos. No equador, 
um corpo se move em um círculo de raio RT 
(considerando a Terra como esfera perfeita) e 
com velocidade angular ω, havendo, portanto, uma força resultante que “puxa” o corpo 
para o centro da Terra (força centrípeta), tal que
2
0ap Tp p Rω= −
Como a massa do corpo não varia, podemos dividir a equação anterior por m, 
obtendo a relação entre o módulo da aceleração gravitacional aparente (gap) no equador e 
da aceleração gravitacional real (nos pólos), ou seja,
2
0ap Tg g Rω= − (no equador – Latitude 0°)
Tabela 1.2 - Variação da intensidade do campo 
gravitacional terrestre em função da altitude.
Tabela 1.3 - Variação da aceleração da gravidade 
terrestre em função da latitude. 
Tabela 1.4 - Intensidade do campo gravitacional 
na superfície do Sol e de seus planetas.
25
Gravitação
Substituindo os dados da Terra, teremos:
gap = g0 – 0,0339 m/s
2 (no equador - Latitude 0°).
Nos pólos, a aceleração centrípeta é nula (distância do corpo ao eixo de rotação é 
igual a zero), portanto, o peso aparente é igual ao peso real, ou, dito de outra forma,
gap = g0 (nos pólos – Latitude 90°)
Pelos dados, podemos ver que, considerando a Terra como uma distribuição 
esférica de massa, a aceleração da gravidade no equador é 0,0339 m/s2 menor do que a 
aceleração gravitacional nos pólos. Este é um dos motivos de serem as bases de lançamento 
de satélites próximas do equador.
É comum, nos dias de hoje, vermos astronautas fl utuando no espaço ou no interior 
de naves espaciais, como se não tivessem “peso” algum (levitação). Como isso é possível? 
Para isso, vamos imaginar uma pessoa de massa m, dentro de um elevador que desce com 
aceleração a. Nessa situação, existem duas forças atuando no corpo da pessoa, que são: 
seu peso P, que é a força de atração gravitacional da Terra, e a reação normal do assoalho 
do elevador (N) sobre a pessoa. A intensidade da força normal de compressão (-N) que a 
pessoa aplica sobre o piso do elevador é seu peso aparente (Pap), que é a força que seria 
lida por um dinamômetro que estivesse colocado entre a pessoa e o piso. A fi gura 1.14 
permite visualizar a situação proposta.
Aplicando a 2ª Lei de Newton para o caso, visto a pessoa e o elevador estarem em 
movimento acelerado para baixo (MRUV), em módulo, fi camos com
ap apP N ma mg P ma P mg ma− = ⇒ − = ⇒ = −
ou seja,
( ) apP m g a= − .
Se o elevador estiver em queda livre, sua aceleração será igual à aceleração da 
gravidade, resultando num peso aparente nulo, ou seja, a pessoa levitaria dentro do 
elevador, não exercendo qualquer pressão sobre o piso. Tudo se passa como se a aceleração 
da gravidade no interior do elevador fosse nula. Essa situação é a mesma que ocorre com 
um astronauta em órbita. O peso aparente do astronauta é nulo e ele fl utua no interior 
da nave numa situação de imponderabilidade. O astronauta, fl utuando no espaço ou no 
interior da nave, comporta-se como se fosse outro satélite artifi cial, não exercendo pressão 
nas paredes da nave. Provocando pequenos impulsos sobre os corpos, os astronautas 
aproveitam os movimentos inerciais dos corpos, locomovendo-os no interior da nave ou 
em seu exterior. 
1.5 Corpos em Órbita Circular – Satélites
Satélites artifi ciais em órbita ao redor da Terra são um fato corriqueiro na vida 
moderna. Todas as noites, aproximadamente até as 21 horas, e entre as 4 e 6 horas da 
manhã, é possível observar satélites executando as mais diversas órbitas, parecendo viajar 
por entre as estrelas. É importante estudar os fatores que determinam as propriedades das 
órbitas e como os satélites permanecem em órbita, inclusive a Lua, que é nosso satélite 
natural. Tais respostas são encontradas na aplicação das Leis de Newton da Mecânica 
Clássica e na Lei da Gravitação Universal.
No curso de Mecânica Clássica, quando estudamos o movimento de um corpo 
(lançamento na horizontal) vimos que, dependendo do módulo da velocidade de 
lançamento vo, o corpo cai cada vez mais longe à medida que a velocidade aumenta.
Galileu já havia percebido que, desprezando as forças de atrito, o corpo iria cada 
vez mais longe, inclusive podendo girar em torno da Terra (entrar em órbita). Se você 
lançar uma pedra na horizontal, do alto de um morro, e desprezar as forças de atrito que 
consomem energia do movimento, a pedra cairá a certa distância de onde você lançou. 
Aumentando a velocidade, aumentará a distância de queda. Aumentado cada vez mais a 
velocidade, chegará um ponto em que a curvatura da Terra passa a ser um fator importante. 
QUESTÃO 1.2
 O valor da massa de um 
corpo sofre variação com 
a latitude ou com a altitu-
de? Será que na Lua, onde 
a aceleração gravitacional 
é, aproximadamente, igual 
a 1/6 daquela da Terra, a 
massa do corpo variaria? E 
seu peso?
g a
g a
P
- N
N
Figura 1.14 - Pessoa den-
tro de elevador. Forças 
atuantes.
FÍSICA GERAL II
26
À medida que a pedra avança em sua trajetória, ela continuará “caindo” em torno da Terra, 
como se a Terra “encurvasse” embaixo da pedra. Prosseguindo neste raciocínio, a pedra 
continuaria a “cair” em torno da Terra, continuamente, retornando ao ponto de lançamento 
após certo tempo, ou seja, a pedra entraria em uma órbita circular em torno da Terra e 
como desprezamos as forças de atrito, o movimento se daria com velocidade constante.
Portanto, um movimento circular e uniforme (MCU), onde a aceleração gravitacional 
seria sua aceleração centrípeta (a força centrípeta na órbita seria igual ao seu peso). 
As trajetórias realizadas por satélites artifi ciais têm excentricidades distintas, 
desde trajetórias quase circulares até órbitas abertas, quando não mais retornam ao planeta. 
Nosso interesse são as órbitas fechadas (elipses e círculos) onde o corpo retorna ao ponto 
inicial de entrada em sua órbita.
A trajetória circular é a mais simples de ser estudada, pois muitos dos satélites 
possuem órbitas quase circulares, inclusive, as órbitas dos planetas do sistema solar e da 
Lua são quase circulares, possuindo pouca excentricidade, podendo ser tratadas como 
circulares, em primeira aproximação. A única força que atua em um satélite artifi cial 
em órbita circular é a atração gravitacional que está orientada para o centro da Terra e, 
consequentemente, para o centro da órbita. Nesta situação, o satélite realiza um MCU e 
sua velocidade tangencial é constante em módulo. O satélite não cai em direção à Terra, 
mas continua “caindo” ao redor dela e sua velocidade tangencial é aquela que ele necessita 
para manter constante sua distância ao centro da Terra (fi g.1.15)
De acordo com a lei da gravitação, a força resultante que atua sobre o satélite 
(módulo da força gravitacional) de massa m, é a atração gravitacional existente entre 
o satélite e a Terra (MT). A aceleração está sempre dirigida para o centro da Terra e sua 
direção é sempre perpendicular à velocidade tangencial do satélite. Pela 2ª Lei de Newton, 
temos que
2
2
T
g c
M m mvF G F
r r
= = = .
Da expressão anterior e para órbitas circulares (raio r), isolando a velocidade, 
fi camos com
TGMv
r
= .
A velocidade tangencial do satélite é uma função do raio da órbita, ou seja, para 
certa órbita, o satélite terá determinada velocidade em torno da Terra. Note, também, que 
a velocidade orbital não depende da massa do satélite.
A última afi rmação implica dizer que, se dividíssemos a estação orbital em várias 
partes, todas elas continuariam com a mesma velocidade em torno da Terra, constituindo 
cada parte em si, um satélite artifi cial, inclusive, os próprios astronautas também se 
comportariam como satélites artifi ciais. A velocidade e a aceleração dos astronautas são 
as mesmas da estação orbital, de tal maneira que não existe nenhuma força empurrando-
os contra as paredes da estação ou contra seu piso. Os astronautasestão em estado de 
imponderabilidade, no qual seus pesos aparentes são nulos, tal como no caso do elevador 
em queda livre. É devido a esse estado de peso aparente nulo que os astronautas fi cam 
fl utuando no interior da nave. Outro dado interessante é que as diversas partes do corpo do 
astronauta (braços, fígado, coração, cabeça...) também fi cam com peso aparente zero, daí, 
ele não sente nenhuma força empurrando seu estômago contra o intestino, nem o peso de 
seu braço, nem a pressão da cabeça sobre seus ombros!!!
Esta característica das órbitas circulares (peso aparente nulo) também ocorre para 
qualquer tipo de órbita, inclusive as órbitas abertas, desde que a única força atuante sobre 
o corpo for a atração gravitacional. Podemos achar o tempo de revolução de um satélite 
numa certa órbita de raio r. O satélite demora um certo tempo T (período) para percorrer 
o perímetro do circulo com velocidade v, assim,
Figura 1.15 - Força gravi-
tacional, aceleração e ve-
locidade tangencial em um 
satélite em torno da Terra.
Fg
Fg
Fg
a
a
a
v
v
v
RT
r
27
Gravitação
T
rv π2=
Substituindo a velocidade, anteriormente explicitada, fi camos com
3
2
T
rT
GM
π= .
Utilizando a fórmula do período e rearranjando os termos, obtemos
2 2
3
4
T
T K
r GM
π
= = .
Esta última expressão é a 3ª Lei de Kepler. Note que a constante planetária K não 
depende da massa do satélite que está orbitando, mas somente da massa do corpo central 
(centro de força).
Para satélites estacionários, normalmente de telecomunicações, o raio da órbita (a 
partir do centro da Terra), está na faixa dos 42 mil quilômetros. A velocidade de translação 
(velocidade tangencial) se situa na faixa dos 10,8 mil quilômetros por hora. Assim, o 
período de revolução é de 24 horas, o mesmo do período de rotação da Terra, portanto, para 
um observador da Terra, o satélite parece estar parado no espaço como uma estrela fi xa. 
Como os sinais de rádio e TV (ondas eletromagnéticas) se propagam com a velocidade 
da luz, o tempo de ida ao satélite e volta à Terra, somados ao tempo de distribuição do 
sinal pelo planeta é muito pequeno, imperceptível aos nossos sentidos. Tudo parece estar 
acontecendo em tempo real, mas não é assim. 
EXEMPLO 1.5
Um satélite, a 1000 km de altura em relação à superfície terrestre, orbita circularmente 
com velocidade escalar constante. Calcule sua velocidade escalar. 
Solução:
Lembre-se que a velocidade é uma velocidade tangencial e que a altura deve ser somada 
ao raio da Terra, ou seja, r = RT + h. Adotando RT = 6,37 x 10
6 m e MT = 5,98 x 10
24 kg, 
teremos
 
TGMv
r
=
Substituindo os valores, fi camos com v = 7,36 x 103 m/s2 ≈ 26.500 k/h. O tempo de 
revolução seria em torno de 1 hora e 45 minutos. Você, estudante, deve observar que a 
velocidade orbital não depende da massa do satélite.
1.6 Energia Potencial Gravitacional
Quando um planeta gira em torno do Sol, as propriedades orbitais permanecem 
constantes ao longo de milhões de anos. Tal fato sugere que a energia mecânica 
(cinética + potencial) se conserva no movimento de translação do sistema Sol-planeta. A 
conservação da energia mecânica é atribuída ao fato de que os dois corpos (Sol e planeta) 
se comportam como sistema isolado e que as únicas forças que atuam no sistema são suas 
forças gravitacionais atrativas e conservativas. Como as órbitas são elípticas, a velocidade 
tangencial do planeta varia a cada ponto da órbita, sendo maior nas proximidades do Sol 
(periélio) e menor no afélio. Assim, cada vez que o planeta circula ao redor do Sol, deve 
haver uma troca de energia mecânica nas suas formas cinética e potencial entre o sistema.
FÍSICA GERAL II
28
A energia cinética do sistema planeta-Sol é atribuída, praticamente, somente ao 
planeta, pois o Sol, como centro atrator e muito mais “pesado” que o planeta, não se 
move. Com relação a qualquer planeta, a força gravitacional solar é a maior das forças 
gravitacionais que atua no sistema, constituindo o Sol o centro de forças atrativas que 
mantêm os planetas presos a ele e gravitando ao seu redor. Nosso sistema de referência 
inercial está centrado no Sol (a massa M está em repouso) e o planeta é o sistema móvel.
O sistema planeta-Sol pode ser tratado como um sistema de dois corpos isolados, 
de massas m e M, para M>>m, de tal forma que podemos aplicar o princípio de 
conservação da energia mecânica. O mesmo raciocínio pode ser aplicado a um satélite 
orbitando a Terra, ao sistema Terra-Lua, ou mesmo a um cometa passando perto do Sol. A 
energia mecânica total E do sistema de dois corpos isolados é a soma da energia cinética 
do corpo girante (massa m) somada à energia potencial gravitacional do sistema, ou seja,
constantecin gE E U= + = .
Já foi visto que a força gravitacional é conservativa, isto é, o trabalho realizado 
pela força sobre a partícula só dependo dos pontos inicial e fi nal e não da trajetória 
efetivamente percorrida. O teorema do trabalho-energia diz que “o trabalho realizado 
pela resultante F das forças que age na partícula, quando esta se desloca de um ponto a 
outro da trajetória, é igual à variação de sua energia cinética”, ou seja,
cinW E= ∆ .
Ao atuar somente forças conservativas, introduzimos o conceito de energia de 
confi guração ou energia potencial U. Neste caso, podemos dizer que, se a energia cinética 
K da partícula variar de uma quantidade ΔK, quando variar sua confi guração (mudança de 
posição espacial da partícula em relação ao referencial), a energia potencial U do sistema 
deve variar de uma quantidade ΔU, de igual valor e oposto, de tal forma que a soma das 
variações das duas energias deve ser nula, isto é,
0cinE U∆ + ∆ = .
Assim, fi camos com
cinE U∆ = −∆ .
Para uma dimensão, o trabalho realizado por uma força variável dependente da 
posição(como é o caso da força gravitacional) é dado por
( )
f
i
r
r
W F r dr= ∫ ,
na qual, ri (ponto A) e rf (ponto B) são as posições inicial e fi nal da partícula (em relação ao 
referencial adotado) ao longo da trajetória, que pode ser retilínea ou curvilínea, conforme 
fi gura 1.16.
Em função da equação anterior, fi camos com
( )
f
i
r
r
U F r dr∆ = −∫ .
Em se tratando da Terra, a força gravitacional (Fg) está sempre dirigida para seu 
centro (para baixo) e o referencial inercial centrado na Terra está dirigido para cima. 
Assim, o módulo da força gravitacional adquire o sinal negativo, ou seja,
2)( r
mMGrF Tg −= .
Substituindo o valor do módulo da força gravitacional na equação da variação da 
energia potencial, obtemos
2
1 1f
i
r
T T
f ir
drU GM m GM m
r r r
 
∆ = = − −  
 
∫ .
Figura 1.16 - Desloca-
mento da partícula sob 
ação da força gravitacio-
nal terrestre.
A
BFg
Fg
rf
ri
m
29
Gravitação
Temos que
f i f iU U U U U U∆ = − ⇒ = ∆ + .
A função energia potencial, quando a partícula se deslocou da posição inicial até 
a fi nal, é dada por
1 1
f i T i
f i
U U U GM m U
r r
 
= ∆ + = − − +  
 
.
A escolha de um ponto de referência para a energia potencial é completamente 
arbitrária. Normalmente, escolhe-se o ponto onde a energia potencial é nula, o que implica 
dizer que a força gravitacional entre os dois corpos também é nula. Tal ponto ocorre 
para uma separação infi nita entre os corpos. Fazendo Ui→0 quando ri→∞ e retirando os 
subscritos, fi camos com
T
g
GM mU
r
= − .
Embora a equação anterior tenha sido deduzida para um sistema isolado Terra-
partícula, ela é válida para qualquer par de partículas de massas m1 e m2, com separação 
entre seus centros de uma distância igual a r, ou seja,
1 2
g
Gm mU
r
= − .
A equação da energia potencial gravitacional para qualquer par de partículas varia 
com 1/r, enquanto que a força gravitacional entre elas varia com 1/r2. Além do mais, a 
energia potencial é negativa a qualquer distância fi nita, isto é, a energia potencial é nula 
no infi nito e decresce com a diminuição da distância, o que implica dizer que a força é 
atrativa.
Se a força é atrativa, um agente externo (corpode sua vizinhança) ao aplicar uma 
força F deve realizar trabalho positivo para aumentar a separação entre elas. O trabalho 
realizado pelo agente externo produz um aumento na energia potencial quando as duas 
partículas são separadas, isto é, a energia potencial torna-se menos negativa quando a 
separação aumenta, visto U variar com 1/r. 
A energia potencial defi nida anteriormente é uma energia de ligação do sistema 
isolado de dois corpos. Isto implica dizer que um agente externo deve fornecer uma 
quantidade igual a +Gm1m2/r para separar as partículas por uma distância infi nita. 
A equação anterior mostra também que a energia potencial entre as duas partículas é 
uma característica do sistema m1+m2 e não de cada partícula isoladamente, ou seja, se 
houver variação da separação, a energia potencial variará, pois cada uma está no campo 
gravitacional da outra. 
A força gravitacional pode ser deduzida da expressão da energia potencial do 
sistema. Para sistemas que apresentam simetria esférica, a relação entre força e energia 
potencial é dada por
2
( )
( ) g Tg
dU r GM mF r
dr r
= − = − .
Esta equação permite interpretar de outra forma a energia potencial: “a energia 
potencial é uma função da posição, tal que sua derivada, com sinal negativo, é igual à 
força”. Se o agente externo fornece energia maior do que a energia de ligação, a energia 
restante fi ca na forma de energia cinética da confi guração. A energia mecânica total para 
um sistema isolado Terra-satélite é dada por
21
2
TGM mE mv
r
= − .
FÍSICA GERAL II
30
A equação mostra que a energia mecânica total pode ser positiva, negativa ou 
nula, dependendo do valor da velocidade a uma distância específi ca de separação r. Para 
órbitas circulares e sabendo que a velocidade a uma distância r do centro do planeta é 
dada por
TGMv
r
= ,
então, a energia mecânica total será dada por,
2
TGM mE
r
= − .
A equação da energia mecânica também é válida para órbitas elípticas, mas 
devemos substituir o valor de r pelo valor do comprimento do semi-eixo maior da 
elipse. A energia mecânica, o momento angular total e o momento linear total de um 
sistema planeta-Sol, planeta-estrela qualquer, Terra-Lua, Terra-satélite, são constantes do 
movimento ao considerar o modelo do sistema isolado.
Com relação à Terra, devemos fazer as seguintes observações:
a) Vamos considerá-la como uma partícula cuja massa esteja totalmente 
concentrada em seu ponto central. No ponto coloquemos nosso referencial inercial. Para 
um corpo de massa m, distante RT do centro da Terra (corpo na superfície terrestre), a 
energia potencial gravitacional será dada por
T
g
T
GM mU
R
= − .
Se o corpo estiver a uma altura y da superfície terrestre onde o campo praticamente 
se mantém constante e colocando o referencial inercial na superfície terrestre, apontando 
para cima (F(y) = -mg), a energia potencial gravitacional na posição y será dada por
mgyyU g =)( .
Nesse caso, para y=0, a energia potencial será nula, e aumentará linearmente 
com a altura. Supomos que a partícula se desloque do ponto a (cujas coordenadas são 
yo=0 e vo≠0) ao ponto b (com coordenadas x e v, ambas diferentes de zero). A energia 
mecânica total deve ser a mesma em qualquer confi guração, visto a força gravitacional 
ser conservativa. Assim,
2 2
0
1 1( ) ( )
2 2g g o
mv U y mv U y+ = + .
Observe que, nesta equação, não aparecem a força nem a aceleração. Como a 
energia potencial inicial é nula e a energia potencial a uma altura y é igual a mgy temos, 
então, que
2 2
0
1 1
2 2
mv mgy mv+ = .
Eliminando as massas, obtemos a equação de Torricelli, ou seja,
2 2
0 2v v gy= − .
QUESTÃO 1.6
 Utilizando considera-
ções sobre energia, de-
terminar a velocidade 
de escape de um corpo 
de massa m lançado da 
superfície terrestre.
31
GravitaçãoExercícios
1. Um planeta gira em torno do Sol com raio médio igual a 20 vezes o raio médio da órbita 
da Terra. Qual seu período orbital em anos e em dias, para que o planeta complete uma 
revolução em torno do Sol?
2. A distância média (semi-eixo maior) do sistema Saturno-Sol é de 1,43 x 1012 m e seu 
período de revolução é de 9,35 x 108s. Calcule o valor da constante K, utilizando a lei 
dos períodos.
3. Dois navios, com 50 mil toneladas cada um, navegam em rotas paralelas separadas por 
200 m. Qual o módulo da aceleração de um dos navios em direção ao outro devido à 
atração mútua entre eles? Trate os navios como partículas.
4. Três esferas uniformes com massas de 2 kg, 4 kg e 6 kg, estão colocadas nos vértices de 
um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 m. A massa de 4 kg está no vértice com ângulo 
reto. Calcule a força gravitacional sobre a esfera de 4 kg. Trate as esferas como sistema 
isolado. Calcule a energia potencial total do sistema.
5. Calcule o módulo e a direção do campo gravitacional em um ponto P sobre a linha 
divisória perpendicular de duas partículas com massas iguais separadas por uma 
distância de 2a, conforme fi gura 1.17. 
6. Io, um satélite natural de Júpiter, tem um período de revolução de 1,77 dias e um raio de 
órbita de 4,22 x 105 km. Determine a massa de Júpiter a partir desses dados.
7. Um satélite rasante desloca-se em uma órbita circular logo acima da superfície de um 
planeta sem ar. Mostre que sua velocidade orbital (vc ) e a velocidade de escape do 
planeta (ve ) estão relacionadas pela expressão ce vv 2= .
8. A fi gura1.18 representa uma estação orbital A que gravita em órbita circular de raio r, 
geoestacionária (período de revolução igual a um dia). Um objeto é lançado da estação 
para outra que se encontra em B, situada em outra órbita circular de raio 3 r. A posição 
de lançamento é no ponto C, favorável para que o pacote seja recolhido no ponto M, 
da órbita de B. O centro do planeta e os pontos M e C estão alinhados. Após quantos 
dias, depois do lançamento, o pacote será recolhido no ponto M?
9. O campo gravitacional na superfície de um planeta tem intensidade g. Comente o que 
aconteceria coma essa intensidade se:
a) duplicasse a massa do planeta;
b) dobrasse o raio do planeta.
10. A que altura, acima da superfície terrestre, deve ser colocado um satélite em órbita 
circular para que seu período de rotação seja de 12 horas? 
Figura 1.17 - Massas 
separadas pela distância 2a.
Figura 1.18 - Estação 
orbital em órbita 
elíptica.
r P
M
M
a
B
M
C
A
3r
Pacote
r
FÍSICA GERAL II
32
Anotações
33
Gravitação
Anotações
FÍSICA GERAL II
34
Anotações
35
Equilíbrio Estático2
2.1 Equilíbrio Estático
2.2 Centro de Gravidade
2.3 Estabilidade do Equilíbrio de Rotação
FÍSICA GERAL II
36
2 EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estática é o ramo da mecânica que trata do equilíbrio dos corpos. Quando um 
corpo está imóvel e permanece imóvel no tempo, diz-se que o corpo está em equilíbrio 
estático. A análise do equilíbrio estático é muito importante nas Engenharias. Os 
engenheiros devem identifi car todas as forças e torques que agem sobre as vigas e os 
cabos das estruturas, tendo a certeza de que toda a estrutura pode tolerar as cargas que 
lhe são e serão impostas. A análise das forças e torques em uma peça mecânica ajuda a 
determinar a sua durabilidade em uso.
 Observamos pela fi gura 2.1a que a somatória vetorial 
das forças externas e dos torques externos é igual a zero. 
Portanto, o corpo, nesta condição, está em equilíbrio estático. 
Na fi gura 2.1b, mesmo sendo a somatória vetorial das forças 
igual a zero, a somatória vetorial dos torques é diferente de 
zero. Assim sendo, o corpo girará em torno de seu centro de 
massa. Muitas vezes, considera-se que a condição para que 
uma partícula esteja em repouso é a de que a resultante das 
forças sobre o corpo seja nula. Porém, como podemos observar 
na fi gura 2.1b, se o centro de massa permanecer em repouso, 
é possível que o corpo gire em torno de um eixo ou de um 
centro. Não há equilíbrio, se houver rotação. Por essa razão, 
para que haja o equilíbrio estático, é necessário também que a resultante dos torques que 
atuam