EST_APL_TEMA-0313-09-2021

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Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
	
TEMA 02: Probabilidade – Distribuição de Probabilidades 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADES 
 
Principais características: 
• variáveis discretas; 
• eventos complementares e apenas dois resultados possíveis (sucesso e insucesso); 
• as probabilidades permanecem constantes ao longo das tentativas; 
• conceitos importantes: fatorial e combinação. 
 
Exercício DB1- Um vendedor sabe que ao sair para fazer um determinado tipo de venda tem 
20% de probabilidade de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender a três clientes, 
qual é a probabilidade de fazer exatamente duas vendas? R.: 9,60% 
 
Note que: todos os caminhos para 2 vendas têm o mesmo cálculo 0,22 x 0,81 = 0,0320, onde 
0,2 é a probabilidade de se concretizar a venda (sucesso) e o expoente 2 é a quantidade de 
vendas que queremos concretizar; já 0,8 é a probabilidade de não se concretizar a venda 
(insucesso) e o expoente 1 é o número de vendas que não serão concretizadas. 
 
Note também: existem 3 caminhos possíveis e que essa quantidade é dada pela combinação 
!!,# = !!#!(!&#)! à !(,) =
(!
)!((&))! =
(.).+
).+.(+) =
,
) = 3 
onde: n é o total de tentativas e x é a quantidade de sucessos. O símbolo (!) é o fatorial do número. 
Sendo assim, a probabilidade de uma distribuição binomial é dada por: 
 
!(#) = &!,# ∙ (# ∙ () − ()!$# 
Para o problema acima, portanto: 
!(2) = &%,& ∙ 0,2& ∙ (1 − 0,2)%$& = 3 ∙ 0,04 ∙ 0,8 = 0,096 = 1, 2% 
 
O resultado anterior poderia ser obtido diretamente, somando-se todas as probabilidades dos 
caminho que levam ao ‘sucesso’ (0,0320+0,0320+0,0320 = 0,096=9,6%). Tal abordagem fica 
cada vez mais difícil para números maiores, sendo preferível utilizar a fórmula. 
 
 
Exercício DB2- Um vendedor sabe que ao sair para fazer um determinado tipo de venda tem 
42,7% de probabilidade de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender a trinta e 
quatro clientes, qual é a probabilidade de fazer exatamente quinze vendas? 
 
Exercício DB3- Num ano qualquer 55% 
das ações negociadas na Bolsa de 
Valores de São Paulo sofreram alta, 
enquanto 45% se mantiveram estáveis ou 
sofreram baixas. Uma corretora de ações 
separa dez ações de sua carteira ao 
acaso. Qual é a probabilidade de que 
dessas dez ações (a) exatamente sete 
ações tenham tido alta? (b) Todas as dez 
ações tenham tido baixas? (c) No máximo 
quatro ações tenham tido altas? R.: (a) 16,65%; 
(b) 0,03%; (c) 26,16% 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 1 - exercício DB3 
 
	
																						
											
	
Tabela 2 – exercício DB3. Valor esperado/média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
a n patcn.x.px.cipra
i
a
I
PB É 9553.9457
PB 7,46 1
o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando 20 ações (N = 20) e variando a probabilidade de alta, temos (3 exemplos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55
DISTRIBUIÇÃ
PROBIBILIDADES
s.si
Pico média
60
padrãoir
À
Em
 
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VALOR ESPERADO (MÉDIA) e VARIÂNCIA 
 
Média (ou valor esperado): utilizando os conceitos de probabilidade podemos escrever a 
média (µ) ou valor esperado +(,) como: 
 
Variância: por definição, da estatística descritiva, sabemos que a variância pode ser escrita 
como: 
 
 
Desvio padrão (s): também através da definição da estatística descritiva, temos que: 
 
 
Para o exercício DB3, podemos ainda tabelar 
 Tabela 3 – exercício DB3 
 
Portanto, temos que µ = 5,5 (tabela 2), Var(x) = 2,48 (tabela 3) e s = 1,58 [calcule estes dois 
últimos!]. 
 
 
 
 
 
Podemos reunir todas as informações encontradas para o exercício DB3 no seguinte gráfico: 
 
 
 
 
µ = E(x) = p1x1 + p2x2 + p3x3 +.....+ pnxn = pixi
i=1
n
∑
Var(x) = E(x2 )− E(x)[ ]2
)(xVar=s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEMA 03 - DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Conceitos básicos 
 
O gráfico apresentado no final da discussão de Distribuição 
Binomial mostra o surgimento da curva a partir de um histograma 
de probabilidade, com suas características principais: 
• Centrada na média 
• Com sua forma definida pelo valor do desvio 
padrão. 
Na tabela abaixo temos relacionados dados referentes às ações 
em alta de três diferentes bolsas de valores. Foram 
acompanhadas 30 diferentes ações em cada uma das bolsas e 
o comportamento estatístico calculado. Cada uma delas com um 
comportamento diferente expresso pela média e pelo desvio 
padrão. 
 
 
 
Essas mesmas informações estão mostradas no gráfico abaixo. 
Perceba que retiramos as colunas do histograma e mantivemos 
apenas a curva. Essas curvas são as chamadas Distribuições 
Normais. Quando o número de observações (tentativas) numa 
distribuição binomial aumenta, ela se aproxima cada vez mais da 
distribuição normal, até que ficam indistinguíveis. Chama-se a 
isso de aproximação da binomial pela normal 
 
 
 
Observando atentamente o gráfico acima percebemos que na 
Bolsa C é praticamente impossível (ou seja, a probabilidade é 
muito próxima de zero) que existam menos de 15 ações em alta. 
Para a Bolsa A é o oposto, é praticamente impossível que tenha 
mais do que 16 ou 17 ações em alta. Já para a Bolsa B o mais 
provável é que tenha 15 ações em alta. 
 
Percebe-se também que a curva que apresenta o maior desvio 
padrão é a mais baixa e achatada (Bolsa A) e a que apresenta 
menor desvio padrão mais alta e afilada (Bolsa C). 
 
A Bolsa que tem maior probabilidade de ter ações em alta (Bolsa 
C) tem o gráfico deslocado para a direita, enquanto a com menor 
probabilidade (Bolsa A) está deslocada para a esquerda. A Bolsa 
A que tem 50% de suas ações em alta está localizada 
exatamente em torno do valor central e é mais regular (menos 
“deformada”) que as outras. 
 
Resumindo: a Curva Normal é determinada em todos os seus 
aspectos pela média e pelo desvio padrão. Conhecendo esses 
dois parâmetros conhecemos o comportamento probabilístico do 
experimento. 
 
Observe agora a curva referente à Bolsa B. Perceba que ela é 
absolutamente simétrica em relação ao eixo vertical. O lado 
esquerdo dela em relação à média é idêntico ao lado direito. Em 
outras palavras, metade da área sob essa curva está do lado 
esquerdo da média e metade está do lado direito da média, e a 
probabilidade de se ter 15 ações ou mais em alta nessa bolsa é 
de 50%, assim como a probabilidade de se ter 15 ações ou 
menos. 
 
Essa é uma importante decorrência das distribuições contínuas, 
entre elas a Normal: As probabilidades são proporcionais às 
áreas definidas pelos valores envolvidos. 
 
 A questão proposta a seguir demonstra a utilidade destes 
conceitos: 
 
Uma empresa de pneus acompanhou a vida útil de uma 
quantidade considerável de pneus de um determinado tipo 
e chegou à conclusão que essa vida útil é normalmente 
distribuída e tem uma média de 42.000 km com desvio 
padrão de 5.800 km. Um cliente adquire um desses pneus e 
o instala no seu automóvel. Qual é a probabilidade que ele 
dure mais do que 50.000 km? 
 
Antes de qualquer coisa vamos entender os procedimentos 
operacionais envolvidos. O fabricante não acompanha todos os 
pneus que fabrica, mas acompanha uma pequena fração deles, 
anotando a quilometragem durante a qual eles foram utilizados. 
Com esses dados, que devem ser em quantidade considerável, 
ele calcula a média e o desvio padrão, como já fizemos na 
disciplina de Estatística, e assume que, se ele tivesse 
acompanhado, todos os pneus fabricados os valores seriam 
muito próximos. Ele consegue observar também se o 
experimento segue ou não a curva normal. 
 
Feita essa observaçãoveja o gráfico a seguir: 
 
 
 
Na área sob a curva estão representados todos os possíveis 
pneus desse tipo desde o que menos rodou ou rodará até o que 
mais rodou ou rodará, ou seja, a população dos pneus desse tipo. 
Perceba que o pneu que menos roda faz isso por 
aproximadamente 25.000 km e o que mais resistente roda cerca 
de 65.000 km. 
 
Se todos os pneus estão representados pela área total (AT) e os 
pneus que duram 50.000 ou mais quilômetros na área cinza (Ad 
= área desejada), então é lógico deduzir a partir do que já 
sabemos: 
!(#$%&	()*+(	50.000	/0	)&	0+12) = 5!5"
 
 
Nestas circunstâncias calcular a probabilidade significa calcular 
duas áreas. Não é uma tarefa fácil, matematicamente, mas foram 
desenvolvidos procedimentos que facilitam esses cálculos. 
 
Logo a seguir mostraremos como são esses procedimentos. Por 
enquanto assumiremos como verdade que a área 
buscada/pedida corresponde a 8,38% da área total, portanto: 
 
!(#$%&	()*+(	50.000	/0	)&	0+12) = 0,0838 = 8,38% 
 
Cálculo das áreas da curva Normal. 
 
Como notamos na resolução da questão anterior, o cálculo de 
uma probabilidade que segue a distribuição normal é 
relativamente fácil e pouco trabalhoso; o grande problema é 
calcular as áreas envolvidas. 
 
Esse tipo de cálculo é matematicamente muito trabalhoso e 
deveria ser refeito a cada problema a se resolver, visto que, como 
cada curva normal é caracterizada pela média e pelo desvio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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padrão, qualquer alteração nesses parâmetros provocaria uma 
mudança na curva e o consequentemente recálculo das áreas 
envolvidas. 
 
Para facilitar esses cálculos que são repetidos centenas de 
milhares de vezes, foi estabelecida uma curva padrão, chamada 
de Curva Normal Reduzida a partir da qual, por analogia 
determinam-se as áreas de situações práticas. 
 
Essa curva tem várias características interessantes que irão 
facilitar nossos cálculos: 
• Utiliza-se a variável reduzida (padrão) z, para 
diferenciar da variável real, aquela de envolve os 
problemas práticos que continuaremos a chamar de x 
(por exemplo, vida útil do pneu do nosso exemplo). 
• É construída para uma média igual a zero e um desvio 
padrão igual a 1, ou seja, µ = 0; σ = 1. 
• A área total sob a curva normal reduzida é igual a 1. 
• A curva varia, no eixo z desde -4 até mais 4, ou seja, de 
menos quatro desvios padrões da média até mais 
quatro desvios padrões da média. 
• Todas as áreas são tabeladas.. 
• A relação entre o a curva normal reduzida e a curva 
normal real é feita pela fórmula: 
 
onde: z é a variável reduzida 
 x é a variável real 
 µ é a média real 
 σ é o desvio padrão real. 
 
A curva reduzida pode ser vista abaixo. Perceba que entre um 
desvio padrão para menos, em relação à média, e um desvio 
padrão para mais a área é de 68,2% do total. Entre dois desvios 
padrões para menos e dois desvios padrões para mais a área é 
de 95,4% do total e assim por diante. Perceba que não existe 
área antes de quatro vezes o desvio padrão para menos e depois 
de quatro vezes o desvio padrão para mais, ou seja, é 
estatisticamente impossível ocorrer algo que diste mais do que 4 
vezes o desvio padrão da média. 
 
 
 
Os cálculos das probabilidades envolvendo distribuições normais 
são basicamente a determinação das áreas envolvidas, através 
do uso da tabela da curva normal reduzida, acessada através de 
analogia com a situação real que estamos trabalhando. 
 
Precisamos então entender o funcionamento das tabelas da 
curva normal reduzida que você encontra ao lado. 
 
O critério básico das tabelas é que as áreas começam sempre 
da extrema esquerda da curva e terminam no valor de z que se 
está trabalhando, como mostrado na página a seguir: 
s
µ-
=
xz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A área marcada começa na extrema esquerda e termina em 
 :# = −1,65, portanto é uma área tabelada, e o valor dela é obtido 
na tabela da seguinte forma: 
 
 
Perceba que a tabela tem duas partes. Uma para valores de z 
positivos e outra para valores de z negativos. No exemplo acima 
usamos a tabela para valores de z negativos, obviamente. Na 
coluna da esquerda localizamos os dois primeiros algarismos do 
z dado, ou seja, 1,6. Na primeira linha localizamos o valor do 
último algarismo de z, o algarismo 5. A área tabelada é obtida 
pelo cruzamento das duas informações. A área tabelada, 
mostrada no gráfico é, portanto, 0,0495. 
 
Como já vimos, os valores de z serão obtidos por analogia com 
o problema que efetivamente estivermos trabalhando. A questão 
abaixo irá mostrar todos os cálculos possíveis e imagináveis que 
podem ser feitos nessa situação. 
 
Exemplo 1: a produção mensal de um produto químico é 
normalmente distribuída com uma média de 12.500 ton e 
desvio padrão de 1200 ton. Calcular a probabilidade de que 
num mês qualquer a produção seja: 
(a) Inferior a 11.000 ton 
(b) Superior a 13.800 ton. 
(c) Entre 12.000 e 13.500 ton 
(d) Entre 13.000 e 15.000 ton 
(e) Inferior a 14.200 ton 
(f) Superior a 10.000 ton 
 
Nessa questão usaremos inicialmente, a imagem das duas 
curvas. Uma supõe a situação real (a produção do produto 
químico) a outra é a normal reduzida. Com isso conseguiremos 
mostrar a analogia a ser feita: 
 
RESOLUÇÃO/exemplo 1 
 
Item (a) 
 
A área que desejamos calcular está localizada à esquerda do 
valor 12.500 toneladas, ou seja, meses em que produção está 
abaixo de 11.000 toneladas. O valor 11.000 ton. na situação real 
corresponde ao valor -1,25 na situação reduzida, conforme a 
seguir: 
 
Portanto se a média 12.500 corresponde à média zero na curva 
reduzida; o desvio padrão 1200 ao desvio padrão reduzido 1; o 
valor 11.000 ao valor reduzido −1,25, então podemos dizer que 
as duas áreas hachuradas nos gráficos ao lado (no alto) também 
são correspondentes. Sabendo o valor de uma podemos calcular 
o valor da outra. 
 
Observe que as áreas tabeladas são sempre as que estão entre 
a extrema esquerda e o valor de z, exatamente o que ocorre 
nesse caso. Basta, portanto, obter o valor da área na tabela da 
curva normal reduzida. 
: = −1,25	 → 5$ = 0,1056 
 
Ad = At à Ad = 0,1056 ou 10,56% 
 
Portanto, a probabilidade de que num mês qualquer se produza 
menos de 11.000 toneladas é de 10,56%. 
 
 
Item (b) 
 
A área que desejamos calcular está localizada à direita do valor 
12.500 toneladas, ou seja, meses em que a produção é superior 
a 13.800 toneladas. O valor 13.800 ton na situação real 
corresponde ao valor 1,08 na situação reduzida, conforme a 
seguir: 
 
Portanto se a média 12.500 corresponde à média zero na curva 
reduzida; o desvio padrão 1200 ao desvio padrão reduzido 1; o 
valor 13.800 ao valor reduzido 1,08, então podemos dizer que as 
duas áreas hachuradas nos gráficos a seguir também são 
correspondentes. Sabendo o valor de uma podemos calcular o 
valor da outra. 
 
 
Observe, no entanto, que as áreas tabeladas são sempre as que 
estão entre a extrema esquerda e o valor de z, coisa que não 
ocorre com essa. Temos então que estabelecer uma relação 
entre as áreas envolvidas. 
 
Note que a área total sob a curva normal reduzida é igual a 1. A 
área que está em branco no gráfico (à esquerda) é tabelada. 
Portanto, a área que desejamos é igual a 1 menos a área 
tabelada: 
: = 1,08	 → 	5 = 0,8599 
 
5! = 1 − 0,8599	 → 	5! = 0,1401	)&	14,01% 
 
Portanto, a probabilidade de que num mês qualquer se produza 
acima de 13.800 toneladas é de 14,01%. 
25,1
1200
1250011000
-=
-
=
-
=
s
µxz
08,1
1200
1250013800=
-
=
-
=
s
µxz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Item (c) 
 
A área que desejamos calcular está localizada entre os valores 
12.000 e 13.500, ou seja, corresponde aos meses em que se 
produz mais de 12.000 ton e menos de 13.500 ton. O valor 
12.000 ton na situação real corresponde ao valor −0,42 na 
situação reduzida e o valor 13.500 a 0,83. Veja os cálculos 
abaixo: 
 
 
 
 
Como anteriormente, podemos fazer a analogia: se a média 
12.500 corresponde à média zero na curva reduzida; o desvio 
padrão 1.200 ao desvio padrão reduzido 1; o valor 12.000 ao 
valor reduzido – 0,42 e o valor 13.500 ao valor 0,83, então 
podemos dizer que as duas áreas hachuradas nos gráficos a 
seguir também são correspondentes. Sabendo o valor de uma 
podemos calcular o valor da outra. 
 
Observe que as áreas tabeladas são sempre as que estão entre 
a extrema esquerda e o valor de z, o que não ocorre nesse caso. 
Assim sendo temos que efetuar um raciocínio que permita o 
cálculo. 
 
Note que se entrarmos na tabela com o valor de z igual a – 0,42 
iremos obter a área 0,3372. Essa área é a localizada à esquerda 
de z1 = - 0,42. 
 
Para o valor z2 igual a 0,83 a área obtida é 0,7967. Essa área 
está à esquerda de z2 = 0,83. 
 
Perceba que a área de 0,7967 nada mais é do que a área 0,3372 
mais a área que estamos procurando saber o valor, logo, o valor 
da área procurada é a diferença das áreas que lemos na tabela, 
ou seja: 
 
Ad = 0,7967 – 0,3372 = 0,4595 ou 45,95% 
 
Portanto, a probabilidade de que num mês qualquer se produza 
entre 12.000 e 13.500 é de 45,95%. 
 
Esses são os três cálculos possíveis sobre a distribuição normal. 
Os três itens restantes da questão (d, e, f) são semelhantes e 
iremos resolver sem a ajuda dos gráficos. 
 
Item (d) 
 
De modo semelhante ao item anterior, como desejamos calcular 
uma probabilidade e, consequentemente, uma área entre dois 
valores devemos calcular a área a esquerda de cada um deles e 
depois subtrair a menor da maior: 
 
 
 
 
5! = 0,9812 − 0,6628 = 0,3184 = 31,84% 
 
 
Portanto, a probabilidade de num determinado mês serem 
produzidos entre 13.000 e 15.000 toneladas de produto químico 
é de 31,84%. 
 
Item (e) 
 
Como desejamos calcular a probabilidade de a produção ser 
inferior a 14.200 toneladas basta calcular a área à esquerda do 
valor de z correspondente: 
 
 
 
 
5! = 5$ = 0,9222 = 92,22% 
 
Portanto, a probabilidade de num determinado mês serem 
produzidos menos de 14.200 toneladas de produto químico é de 
92,22%. 
 
Item (f) 
 
Como desejamos calcular a probabilidade de a produção ser 
superior a 10.000 toneladas devemos calcular a área à esquerda 
do valor de z correspondente e tirá-la de 1: 
 
 
5! = 1 − 5$ = 1 − 0,0188 = 98,12% 
 
Portanto, a probabilidade de num determinado mês serem 
produzidos mais de 10.000 toneladas de produto químico é de 
98,12%. 
 
Com esse exemplo verificamos como se calcula a probabilidade 
de ocorrência de um evento que segue a distribuição normal (os 
mais comuns dos eventos). Ocorre que muitas vezes precisamos 
fazer o cálculo ao contrário, ou seja, sabemos qual é o valor de 
uma determinada probabilidade e desejamos saber quais os 
valores que a definem. 
 
O exemplo a seguir demonstra esse raciocínio e os cálculos 
decorrentes. 
 
Exemplo 2: uma oficina automotiva efetua seus consertos 
no tempo médio de 45 minutos com desvio padrão de 8 
minutos, normalmente distribuído. Nessas circunstâncias 
pergunta-se: 
a) Qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina 
deve passar ao cliente para que tenha 90% de 
probabilidades de efetuar o trabalho dentro do 
prazo? 
b) Qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina 
deve passar ao cliente para que tenha no máximo 
30% probabilidades de efetuar o trabalho dentro do 
prazo? 
 
Resolução do item (a): observe a figura abaixo. A área 
sombreada corresponde a 90% da área total, e é limitada pelo 
valor z, que desejamos achar. O problema se resolve obtendo na 
tabela o valor de z correspondente à uma área de 90% ou 
aproximada. Note, portanto que utilizamos a tabela no sentido 
oposto que fizemos nos exercícios anteriores. Veja a figura 
representando a tabela. 
 
42,0
1200
1250012000
-=
-
=
-
=
s
µxz
83,0
1200
12500500.13
=
-
=
-
=
s
µxz
6628,042,0
1200
1250013000
11
=®®=
-
=
-
= tAtabela
xz
s
µ
9812,008,2
1200
1250015000
11
=®®=
-
=
-
= tAtabela
xz
s
µ
9222,042,1
1200
1250014200
1 =®®=
-
=
-
= pAtabela
xz
s
µ
0188,008,2
1200
1250010000
1 =®®-=
-
=
-
= Attabelaxz
s
µ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Portanto para que a área sombreada tenha o valor de 90% é 
necessário que o z seja igual a 1,28 correspondente à área de 
0,8997 (valor da tabela mais próximo de 0,9000 ou 90%). 
 
Tendo esse valor, basta aplicar a fórmula de conversão, 
devidamente adaptada: 
 
 
Desta maneira se a oficina estimar em 55,24 minutos o tempo de 
conserto ela terá uma probabilidade de 90% de não ultrapassar 
o tempo. 
 
Resolução do item a: O cálculo é semelhante ao item anterior. 
Para uma área de 30% o valor de z deverá ser -0,52, portanto: 
 
 
Desta maneira se a oficina estimar em 40,84 minutos (ou 
aproximadamente 40 min e 50 s) o tempo de conserto ela terá 
uma probabilidade de 30% de não ultrapassar o tempo, ou seja, 
um risco de 70% de não cumprir o prometido. 
 
 
 
Com base nos conceitos discutidos, retorne à primeira página e 
resolva o exercício da empresa fabricante de pneu. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma 
determinada universidade é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. 
Admitindo-se que os pesos estão normalmente distribuídos 
quantos estudantes têm peso entre 60 e 77,5 kg? (r.: 294 estudantes) 
 
 
 
2. Determinada empresa tem sua produção variável ao longo do 
tempo de acordo com uma distribuição normal. Historicamente 
sabe-se que a produção varia em torno da média mensal de 7250 
kg com desvio padrão de 127 kg. Considerando-se que não se 
queira correr mais do que 5% de risco de não se produzir o 
suficiente para todos os atendimentos, vendas deverão ser 
limitadas em quantos kg? (r.: 7042 kg) 
 
 
 
3. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 220 
arruelas produzidas por certa máquina é 0,502 polegadas e o 
desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas 
arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o 
diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verificar, 
as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a 
porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, 
admitindo-se que os diâmetros sejam distribuídos normalmente. 
(r.: 23,02%) 
 
 
4. Certa peça de reposição para veículos automotores tem 
duração média de 15.000 km com desvio padrão de 1.000 km, 
dependendo das condições de uso, e distribuem-se 
normalmente. Qual deveria ser a garantia dada pelo fabricante 
desta peça para que apenas 1% delas fossem substituídas? 
(r.: 12670 km).
24,558)28,1(45 =Þ´+=Þ+=\-= xxzxxz sµ
s
µ
84,408)52,0(45 =Þ´-+=Þ+=\-= xxzxxz sµ
s
µ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada – Prof. Dr. PedroIvo Brasil Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
 
 
 
 
 Mauricio Martins do Fanno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística Aplicada – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 21 ENTÍSTICA Aplicada
Distribuições Binomial e Normal
Revisão distribuição Binomial
variáveis discretas
dois resultados possíveis sucesso e insucesso e
complementares
probabilidades constantes
fatorial n e combinação Cna
PH Cn x p la p
onde
p probab de sucesso
no n total tentativas
G x
In x
n de sucessos
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Trabalha com variáveis contínuas ex tempo
comprimentodinheiroetc
É determinada pela média o desviopadrão
Seugráfico é conhecido por curva de sino
gaussiana ou curva normal pqPLAY
a
ü
Exemplo na produção de uma determinada peça
o comprimento médio u vale µ 18,35cm
e o desvio padrão P é P 4,60cm
Relembre os conceitosdemédia e desvio padrão
Apresente e discuta ográfico das distribuições
dos comprimentos dessapeça
solução amédia valor representativo da amostra ou
valor de equilíbrio
desvio padro nos dá uma noção da
dispersão da amostra junto com a
média determina um intervalo com aprox
70 dos dados da amostra
PI
P 4,60cm
Me 18,35cm
ÍA
iâmâimâm
As probabilidades são proporcionais às áreasdefinidaspelos valores envolvidos que por sua vez
são dependentes da µ e do P
A área total sob a curva normal é 100
Eva NIRMAL Reduzida é uma metodologia
genérica utilizada para resolver a maioria dos proble
g I P
mas de distribuição A partirdela por analogia
determinam se as áreas probabilidades de
situações práticas app
E B E 1 o 1
E
valorareali
Z FM média
Fã
µ 18,35cm e P 4,60cm
a menor que 15,26cm X 15,26
det a variável reduzida E
z X
p
15,26 18,35_ 0,67
4,60
menor que
Da TABELA PADRÃO Reduzida p 0,2514m
persitA
b mefque 15,26cm X 15,26
Z 15.26 18,35 0,67
4,60
menor que
Da TABELA E 0,67 p 0,2514
ou 25,14
Portanto p 1 0,2514 0,7486
plmaiorque ou
p 100 25,14 74,8617to
e nique 19,75cm x 19,75
calculamos a variável reduzida
E 19,75 18,35 0,30
4,60
Da TABELA z 0,30 piogião
ou
p
d maior que 19,75cm X 19,75
z X
A
19,75 18,35 0,30
4,60
menorque
Da TABELA plz 0,30 espiga
pff
1 0,6179 0,382A
ou
pet ÊRAT