ESTATÍSTICA Livro-Texto Unidade III - UNIP EAD 2021

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ESTATÍSTICA
Unidade III
7 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Vimos as maneiras que se apresentam dados estatísticos, conceituamos frequência simples 
e posteriormente frequência relativa. Vimos, ainda, que probabilidades podem ser definidas 
como as frequências simples de eventos ocorridos quando houver uma quantidade de repetições 
considerável do experimento.
Como decorrência disso nós podemos estabelecer o conceito de distribuição de probabilidades em 
analogia com as distribuições de frequências com algumas diferenças:
• Na distribuição de frequências normalmente utilizávamos como informação principal a frequência 
simples. Na distribuição de probabilidades priorizaremos as frequências relativas, agora chamadas 
de probabilidades.
• Distribuições de frequências são informações reais, exatas, decorrência de observações efetuadas. 
Já distribuições de probabilidade são previsões feitas a partir daquelas observações, portanto não 
são reais, são evidentemente prováveis.
• Enquanto em estatística descritiva utilizamos nos cálculos os dados apresentados na forma de 
tabelas, nesta etapa será mais frequente o uso das informações na forma de gráficos.
7.1 Conceitos de distribuição de probabilidades
Definimos anteriormente tabela ou distribuições de frequências como sendo uma relação entre os 
valores possíveis dentro de uma amostra com o número de vezes que esse valor ou classe de valores 
ocorreu. Por exemplo, em uma prova 20 alunos tiraram nota 10 ou então 27 funcionários da minha 
empresa são casados. Perceba o tempo verbal, no passado ou no presente.
De modo semelhante podemos definir distribuição ou tabela de probabilidades. É a relação entre 
os valores possíveis de ocorrer e a probabilidade que esse valor venha a ocorrer. Por exemplo, 15% dos 
alunos de estatística serão aprovados sem exame ou, então, ter terminado o curso superior aumentará 
em 25% o seu salário. O tempo verbal agora está no futuro.
A distribuição de probabilidades, à semelhança com distribuição de frequências, é uma listagem dos 
valores possíveis com suas respectivas probabilidades. Essa listagem pode ser na forma de tabela ou de 
gráfico, ou ambas.
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Unidade III
Como trabalhamos muitas vezes com variáveis discretas e outras tantas com variáveis contínuas, 
dividimos as distribuições de probabilidades em dois grandes grupos, cada um deles com modelos 
matemáticos específicos:
• Distribuições de probabilidades discretas:
—― Distribuição binomial.
— Distribuição de Poisson.
— Distribuição hipergeométrica.
• Distribuições de probabilidades contínuas:
— Distribuição normal.
— Distribuição exponencial.
O modelo de distribuição a ser utilizado depende dos aspectos específicos da situação – problema 
que está sendo estudado. De modo geral, para os cálculos que envolvam as distribuições discretas, 
utilizamos equações estatísticas para calcular as probabilidades. Já para as contínuas nos valemos de 
gráficos e de tabelas deles decorrentes.
Como as distribuições binomiais, de Poisson e em especial as distribuições normais são as mais 
utilizadas na prática, concentraremos nossos estudos nessas três. As demais distribuições apresentam 
modelos matemáticos diferenciados (fórmulas e gráficos se alteram de uma para outra), mas 
seguem padrões de cálculos semelhantes, o que facilitará o estudo futuro para aqueles que assim 
necessitarem e desejaram.
 Saiba mais
Todos nós temos uma tendência de raciocinar segundo uma função 
de 1º grau. A regra de três parece solucionar todas as nossas dúvidas. 
Mas a realidade não é assim e pode ser surpreendente descobrir que não 
estamos preparados para o raciocínio exponencial. Em um curto vídeo de 
pouco mais de sete minutos, Mauricio Féo mostra as consequências desse 
desconhecimento. Veja o vídeo apresentado na matéria a seguir:
OLIVEIRA, E. Enigma da vitória-régia vira exemplo em vídeo que explica o 
que é o crescimento exponencial da pandemia. G1., 10 abr. 2020. Disponível em: 
https://g1.globo.com/bemestar/coronavirus/noticia/2020/04/10/enigma-da-
vitoria-regia-vira-exemplo-em-video-que-explica-o-que-e-o-crescimento-
exponencial-da-pandemia.ghtml. Acesso em: 3 nov. 2020.
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ESTATÍSTICA
7.2 Distribuições para variáveis discretas
Variáveis discretas são aquelas que podem apresentar apenas determinados valores 
preestabelecidos dentro da lógica do experimento. São variáveis contáveis e não mensuráveis, 
e, portanto, normalmente números inteiros, como número de filhos numa família; número de 
funcionários em determinado setor da empresa; número de chutes na direção do gol de um time em 
certa partida.
7.2.1 Cálculo de distribuições binomiais a partir de probabilidades com poucos eventos
A distribuição de binomial é uma distribuição para variáveis discretas e, como o nome indica, 
é utilizada quando temos a presença de dois eventos complementares. É uma generalização do 
binômio de Newton e adapta-se às situações estatísticas que seguem o princípio de Bernoulli, que 
são os seguintes:
• Em cada repetição do experimento, nomeado como tentativa, existem dois e apenas dois resultados 
possíveis, complementares chamados por conveniência de sucesso e insucesso.
• A série de tentativas é composta de eventos independentes.
• As probabilidades de sucesso e insucesso permanecem constantes ao longo das tentativas. É um 
processo estacionário.
Para entender o funcionamento e a utilidade da distribuição binomial vamos recuperar um tipo de 
problema que já equacionamos anteriormente:
Exemplo 1 
Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 20% de probabilidade 
de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender a três clientes, qual é a probabilidade de fazer 
exatamente duas vendas?
O problema pode ser resolvido usando os conceitos aprendidos antes. Mas, veja bem, isso só é 
possível porque ele pretende fazer poucas visitas. Caso ele saísse para fazer dez visitas, a resolução seria 
demasiadamente trabalhosa. 
Vamos começar pelo caso mais fácil. A árvore de decisões apresentada a seguir mostra três caminhos 
nos quais o vendedor consegue efetivar exatamente duas vendas. 
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Unidade III
Caminho 1
0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,23 x 0,80 = 0,0080
Caminho 5
0,8 x 0,2 x 0,2 = 0,22 x 0,81 = 0,0320
Caminho 3
0,2 x 0,8 x 0,2 = 0,22 x 0,81 = 0,0320
Caminho 7
0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,21 x 0,82 = 0,1280
Caminho 2
0,2 x 0,2 x 0,8 = 0,22 x 0,81 = 0,0320
Caminho 6
0,8 x 0,2 x 0,8 = 0,21 x 0,82 = 0,1280
Caminho 4
0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,21 x 0,82 = 0,1280
Caminho 8
0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,20 x 0,83 = 0,5120
Somatório das probabilidades de todos os caminhos = 1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
Efetua a 
compra
3º Cliente
Efetua a 
compra
Efetua a 
compra
Efetua a 
compra
Efetua a 
compra
Efetua a 
compra
3º Cliente
2º Cliente
Não efetua a 
compra
3º Cliente
Não efetua a 
compra
Não efetua a 
compra
Não efetua a 
compra
Não efetua a 
compra
Não efetua a 
compra
3º Cliente
2º Cliente
Efetua a 
compra
Não efetua a 
compra
1º Cliente
Figura 43 
O vendedor efetiva exatamente duas vendas se ocorrer um desses caminhos (possibilidades): 2; 3 e 5. 
Como vimos anteriormente a probabilidade de o vendedor realizar exatamente duas vendas será a 
soma das probabilidades dos três caminhos.
( ) ( ) ( ) ( )P exatamente duas vendas P caminho 2 P caminho 3 P caminho5= + +
( )P exatamente duas vendas 0,0320 0,320 0,0320 0,0960 ou 9,60%= + + =
Desse modo, a probabilidade de o vendedor conseguir efetivar exatamente duas vendas é de 9,60%.
Observe alguns dados interessantes sobre esse cálculo que acabamos de fazer:
• Todos os caminhos têm o mesmo cálculo: 0,22 x 0,81 = 0,0320. Note que 0,2 é a probabilidade de 
se concretizar a venda e o expoente dele, 2, é o número de vendas que queremos concretizar; 0,8 
é a probabilidade de não se concretizar a venda e o expoente dele, 1, é o número de vendas que 
não iremos concretizar.
• Observe também que existem três caminhos possíveis. Você deve lembrar que esse valorse refere 
às combinações possíveis de três elementos (os clientes visitados) tomados dois a dois (o número 
de vendas que queremos efetivar):
( ) ( )n,x 3,2
n! 3! 31 1 2 3
C C 3
x! n x ! 2! 3 2 ! 2! 1! 1 2 1
× ×= → = = = =
− − × × ×
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ESTATÍSTICA
Dessa forma conseguimos encontrar uma fórmula para calcular qualquer quantidade de eventos, 
com muito menos trabalho, como no seguinte exemplo.
Exemplo 2 
Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade 
de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender 20 clientes, qual é a probabilidade de fazer 
exatamente oito vendas?
Nessa questão os números envolvidos são muito maiores que o exemplo anterior, causando um 
trabalho braçal muito grande quando resolvido “na raça” como no exemplo anterior. Mas agora, como 
já conhecemos o funcionamento da distribuição, é só usá-lo:
• Probabilidade de se efetivar uma venda: 30% ou 0,3.
• Número de vendas que quero efetivar: oito.
• Probabilidade de não se efetivar uma venda: 70% ou 0,7 (lembre-se: são eventos complementares).
• Número de vendas que não se efetivarão: 12 (lembre-se: se o vendedor vai fazer 20 visitas e 
concretiza a venda em oito delas, não concretizará vendas em 12 delas, obviamente).
Aplicando a fórmula:
• Número de caminhos: 
( ) ( )n,x 20,8
n! 20!
C C 125.970
x! n x ! 8! 8 2 !
= → = =
− −
• Probabilidade de ocorrência de cada caminho: 0,38 x 0,712 = 0,0000009081.
• Probabilidade de se efetivarem exatamente oito vendas: 125.970 x 0,0000009081 = 0,1144 
ou 11,44%.
Perceba que, apesar de os números envolvidos serem difíceis de trabalhar, ainda é muito mais simples 
que o raciocínio da árvore.
Formalmente, a fórmula para o cálculo da distribuição binomial é a seguinte:
( ) ( )n xxn,xP X x C p 1 p −= = × × −
Onde: 
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Unidade III
• ( )P X x= é a probabilidade que o número de sucessos obtidos seja exatamente igual a x.
• n é o número de tentativas realizadas, ou seja, o número de vezes que o experimento é realizado.
• x é o número de sucessos que desejamos obter.
• p é a probabilidade de sucesso numa única tentativa.
No exemplo a seguir vamos efetuar o cálculo usando diretamente a fórmula da distribuição binomial.
Exemplo 3 
Num ano qualquer, 55% das ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo sofreram alta, 
enquanto 45% se mantiveram estáveis ou sofreram baixas. Uma corretora de ações separa dez ações de 
sua carteira ao acaso. Qual é a probabilidade de que, dessas dez ações:
• Exatamente oito ações tenham tido alta?
• Todas as dez ações tenham tido altas?
• No máximo duas ações tenham tido altas?
Perceba que temos que, para usar a fórmula, determinar o valor de três grandezas: n; p; x.
Nos cálculos dos três itens solicitados, o valor de n e p não se alteram. O que vai alterar de um item 
para outro é apenas o valor de x:
• Número de tentativas: n = 10.
• Probabilidade de sucesso: p 0,55 = (probabilidades de uma ação ter alta).
Para responder às questões, basta determinar o valor de x específico e aplicar a fórmula:
• Na primeira pergunta, o valor de x é oito: x = 8, logo, o cálculo será:
( ) ( ) ( ) ( )n x 10 8x 8n,x 10,8P X x C p 1 p P X 8 C 0,55 1 0,55− −= = × × − → = = × × −
( ) ( ) ( )
10 88 8 28!P X 8 0,55 1 0,55 45 0,55 0,45 45 0,0084 0,2025
8! 10 8 !
−= = × × − = × × = × ×
−
( )P X 8 0,0765 ou 7,65%= =
165
ESTATÍSTICA
P(X 8) 0,0765 7,65%= = =
• Na segunda pergunta, o valor de x é dez: x = 10, e o cálculo será:
( ) ( ) ( ) ( )n x 10 10x 10n,x 10,10P X x C p 1 p P X 10 C 0,55 1 0,55− −= = × × − → = = × × −
( ) ( ) ( )
10 1010 10 010!P X 10 0,55 1 0,55 1 0,55 0,45
10! 10 10 !
−= = × × − = × ×
−
( )P X 10 0,0025 ou 0,25%= =
• Na terceira pergunta, o valor de x é 0; 1 e 2, porque queremos no máximo duas ações com altas, 
ou seja, nenhuma ação com alta ou uma ação com alta ou duas ações com alta. 
 Observação
A fórmula da distribuição binomial nos permite calcular a probabilidade 
de exatamente uma possibilidade. Quando queremos as probabilidades de 
várias possibilidades, devemos calculá-las separadamente e somar os 
valores encontrados.
Vamos então fazer os três cálculos e somar os valores:
( ) ( )10 0010,0P X 0 C 0,55 1 0,55 0,0003−= = × × − =
( ) ( )10 1110,1P X 1 C 0,55 1 0,55 0,0042−= = × × − =
( ) ( )10 2210,2P X 2 C 0,55 1 0,55 0,0229−= = × × − =
( )P X no máximo duas ações em alta 0,0003 0,0042 0,0229 0,0274 ou 2,74%= = + + =
Nos exemplos calculamos algumas possibilidades, mas a rigor a distribuição de probabilidades 
binomial seria uma tabela, com todos os possíveis resultados (possibilidades) associados às suas 
probabilidades correspondentes. A tabela a seguir faz isso para os dados da questão das ações 
negociadas em Bolsa.
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Unidade III
Tabela 69 
Número de ações em 
alta (x)
Cálculos das probabilidades para
n = 10 e p = 0,55
Probabilidade 
de ocorrência
0 P (X = 0) = C10,0 x 0,55
0 x (1 - 0,55) 10-0 0,03%
1 P (X = 1) = C10,1 x 0,55
1 x (1 - 0,55) 10-1 0,42%
2 P (X = 2) = C10,2 x 0,55
2 x (1 - 0,55) 10-2 2,29%
3 P (X = 3) = C10,3 x 0,55
3 x (1 - 0,55) 10-3 7,46%
4 P (X = 4) = C10,4 x 0,55
4 x (1 - 0,55) 10-4 15,96%
5 P (X = 5) = C10,5 x 0,55
5 x (1 - 0,55) 10-5 23,40%
6 P (X = 6) = C10,6 x 0,55
6 x (1 - 0,55) 10-6 23,84%
7 P (X = 7) = C10,7 x 0,55
7 x (1 - 0,55) 10-7 16,65%
8 P (X = 8) = C10,8 x 0,55
8 x (1 - 0,55) 10-8 7,63%
9 P (X = 9) = C10,9 x 0,55
9 x (1 - 0,55) 10-9 2,07%
10 P (X = 10) = C10,10 x 0,55
10 x (1 - 0,55) 10-10 0,25%
Somatório 100,00%
Observe a tabela anterior e verifique a semelhança com a apresentação feita na parte de estatística 
descritiva para as amostras. Lembre-se de que, a partir de informações desse tipo, definíamos as medidas 
de posição e as medidas de dispersão para as amostras. De maneira semelhante iremos agora definir 
as mesmas medidas para as populações, com a diferença que para amostras são valores reais e para 
população valores prováveis, ou esperados.
Como fizemos com as tabelas de frequências, poderíamos apresentar esses mesmos dados na forma 
gráfica, com um histograma, por exemplo:
104 82 60 93 71 5
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
25,00%
20,00%
30,00%
Figura 44 
167
ESTATÍSTICA
7.2.2 Definição e cálculo de valores esperados (esperança matemática) e desvio padrão 
esperado para a binomial
Vimos que as amostras apresentam medidas estatísticas importantes calculáveis a partir da 
distribuição ou tabela de frequências. Com as populações ocorre algo similar. Podemos calcular as 
mesmas medidas a partir das distribuições de probabilidades com a diferença que os valores obtidos são 
prováveis, e não reais e exatos. 
Por exemplo, a nota média final que você tirou em uma matéria do primeiro semestre é algo real, 
definido e exato. É uma média amostral. Já a média que você tirará numa matéria do oitavo semestre 
é um valor provável (apesar de poder ser estimada tomando os devidos cuidados). Chamamos esta de 
média populacional. O que se reproduz para as demais medidas estatísticas.
 Observação
Alguns autores diferenciam as medidas estatísticas amostrais das 
populacionais atribuindo a essas últimas o termo “parâmetros estatísticos”. 
Neste texto, sempre que necessário, utilizaremos os termos amostral e 
populacional para estabelecer a diferença. Aparecerá o termo “esperado” 
para significar algo provável. 
A média de uma população é um valor provável ou, se preferir, esperado, e é calculado de maneira 
semelhante ao que foi calculado na amostra, mas utilizando-se os valores de probabilidades ao invés 
das frequências.
Utiliza-se como símbolo da média populacional a letra grega µ (mi), ou então o símbolo E(x), 
significando a esperança de x ou o valor esperado para x, e é obtida pela fórmula:
( )
n
1 1 2 2 3 3 n n i i
1 1
E x p x p x p x p x p x
=
= + + +…+ = ∑
Usando os dados do exemplo 3, vamos efetuar o cálculo do valor esperado ou média populacional. 
Perceba a semelhança com o cálculo da média amostral feita em estatística descritiva.
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Unidade III
Tabela 70A B C D = A x C
Número de ações em alta Probabilidade de ocorrência em percentual
Probabilidade de 
ocorrência em decimal pi × xi
xi pi
0 0,03% 0,0003 0,0000
1 0,42% 0,0042 0,0042
2 2,29% 0,0229 0,0458
3 7,46% 0,0746 0,2238
4 15,96% 0,1596 0,6383
5 23,40% 0,2340 1,1702
6 23,84% 0,2384 1,4302
7 16,65% 0,1665 1,1653
8 7,63% 0,0763 0,6104
9 2,07% 0,0207 0,1865
10 0,25% 0,0025 0,0253
Somatório E (x)= 5,5000
Isso significa que o valor esperado de ações em alta nessa Bolsa é de 5,5 ações, das dez consideradas. 
Podemos afirmar que, em cada dez ações acompanhadas, 5,5 devem estar em alta. Perceba que não é 
uma certeza, é um valor sujeito à variabilidade. 
 Observação
É costumeiro nos referir ao valor esperado com termos variados como 
esperança matemática, média provável, média populacional etc. São termos 
equivalentes. A simbologia usada para as medidas populacionais são letras 
do alfabeto grego. A média populacional, como já dito, é µ, o desvio padrão 
é σ e a variância é σ2.
A variabilidade a que nos referimos é medida pela variância (ou pela sua raiz quadrada o 
desvio padrão), que tem as mesmas definição e características daquela definida para a amostra e é 
calculada pela fórmula:
( ) ( ) ( ) 22Var x E x E x = −  
A tabela a seguir mostra o cálculo da variância, semelhante ao feito para as amostras.
169
ESTATÍSTICA
Tabela 71 
A B C D = A x C E = A x A F = E x C
Número de 
ações em alta
Probabilidade 
de ocorrência 
percentual
Probabilidade de 
ocorrência decimal pi × xi
Valor (n. de 
ações) ao 
quadrado pi × xi
2
xi pi xi
2
0 0,03% 0,0003 0,0000 0 0
1 0,42% 0,0042 0,0042 1 0,0042
2 2,29% 0,0229 0,0458 4 0,0916
3 7,46% 0,0746 0,2238 9 0,6714
4 15,96% 0,1596 0,6383 16 2,5531
5 23,40% 0,2340 1,1702 25 5,8508
6 23,84% 0,2384 1,4302 36 8,5812
7 16,65% 0,1665 1,1653 49 8,1574
8 7,63% 0,0763 0,6104 64 4,8834
9 2,07% 0,0207 0,1865 81 1,6787
10 0,25% 0,0025 0,0253 100 0,2533
Somatório E (x) 5,5000 E (x2) 32,7250
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 22Var x E x E x Var x 32,7 5,5 32,7 30,3 2,4 = − → = − = − = 
 Lembrete
A fórmula Var(x) = E(x2) - [E(x)]2 é lida da seguinte forma: “variância de 
x é igual ao valor esperado do quadrado de x menos o valor esperado 
de x ao quadrado”.
Você se lembra de que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância? O símbolo do desvio padrão 
populacional é a letra grega σ (sigma), portanto:
( )Var xσ =
Nesse exemplo, o desvio padrão é dado por:
( )Var x 2,4 1,5σ = → σ = =
Todas essas informações estatísticas, que acabamos de ver e calcular para o caso do lote de ações 
da Bolsa de Valores, podem ser apresentadas na forma gráfica, de modo semelhante ao que fizemos 
para as amostras. 
170
Unidade III
Observe que, enquanto no eixo horizontal continuamos a colocar os valores envolvidos, no eixo 
vertical colocamos agora as probabilidades, e não mais as frequências. De resto são gráficos bastante 
semelhantes, com a já sabida e repisada diferença de que um apresenta valores reais (quando trabalhamos 
com amostras) e o outro, valores prováveis (para a população).
104
Número de ações em alta
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
82 60 93 71 5
µ-σ µ+σµ
0%
5%
10%
15%
25%
20%
Figura 45 
No gráfico podemos definir:
• As probabilidades de cada ocorrência (determinado número de ações em alta), representadas 
pelas colunas verticais.
• A média (µ) ou valor esperado para essa distribuição, representada pela linha tracejada central.
• A variação de um desvio padrão (σ) para mais, representada pela linha traço ponto da direita.
• A variação de um desvio padrão (σ) para menos, representada pela linha traço ponto da esquerda.
• Uma curva que passa pelo topo de todas as colunas, centrada na média e com inflexões nos 
desvios padrões para mais e para menos.
Essa curva extremamente importante para a estatística é a normal. Verifique, por ora, que 
é evidente o fato de que, quanto maior for o número de colunas, mais definida será a referida 
curva, em outras palavras a distribuição binomial tende à distribuição normal quando o número 
de elementos envolvidos aumenta. Veremos mais à frente que, quando n ≥ 30, as distribuições 
praticamente se confundem.
171
ESTATÍSTICA
7.2.3 Definição e cálculo de distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidades usada para determinar a 
probabilidade do número de ocorrências num determinado espaço de tempo ou espaço. Por exemplo, 
quando desejamos saber a probabilidade de que em determinada hora de atendimento no caixa de um 
banco comparecem exatamente cinco clientes.
Essa distribuição trata de eventos relativamente raros e tem como característica o fato de contar 
os sucessos, mas não os fracassos. Perceba que o número de clientes que comparecem à uma agência 
bancária é relativamente pequeno em comparação ao total de clientes dessa agência. 
Outra característica importante é que nessa distribuição é possível contar os sucessos, mas não 
os insucessos ou falhas. Por exemplo, podemos contar o número de clientes que vão à uma agência 
bancária, mas não os que não vão. 
A distribuição binomial é utilizada quando desejamos saber a probabilidade de ocorrência de um 
determinado número de sucessos dentro de uma série de repetições. Já a distribuição de Poisson pesquisa 
a probabilidade de ocorrência de um número específico de resultados dentro de um determinado 
intervalo de tempo ou espaço.
O uso da distribuição de Poisson deve satisfazer às seguintes condições:
• Devemos contar o número de vezes que determinado evento ocorre num intervalo de 
tempo ou espaço.
• A probabilidade de que o evento venha a ocorrer é a mesma em cada intervalo considerado.
• O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outros intervalos.
Nessas condições, a probabilidade que ocorra exatamente x ocorrências em um intervalo é dada por:
( ) ( )
x tt e
P x
x!
−λλ
=
Onde: 
P (x) = probailidade de ocorrerm exatamente x sucessos
λ = número médio de sucesso em um determinado intervalo (de tempo ou espaço)
t = intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações
e = constante neperiana cujo valor aproximado é de 2,7183
x = número de sucessos no intervalo desejado
172
Unidade III
 Observação
A constante neperiana muitas vezes é chamada de constante de Euler; 
constante de Napier, número de Neper; número neperiano; constante 
matemática, número exponencial entre outros termos. É a base dos logaritmos 
naturais e seu valor aproximado é de 2,718281828459045235360287, sendo 
um valor irracional, usaremos o valor com quatro casas decimais 2,7183.
Através de exemplos, entenderemos melhor o uso dessa ferramenta.
Exemplo 1
Uma grande agência bancária recebe em seus caixas em média dez clientes por hora. Qual a 
probabilidade de que em um intervalo de meia hora receba exatamente quatro clientes?
Temos que:
λ =10 (clientes por hora)
t = 0,5 (hora)
x = 4
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 4 10 0,5t 4 5t e 10 0,5 e 5 e
P x P 4
x! 4! 1 2 3 4
625x0,00674 4,21250
0,1755 ou 17,55%
24 24
− ×−λ −λ × ×= → = = =
× × ×
= = =
A probabilidade de exatamente quatro clientes comparecerem no intervalo de meia hora nos caixas 
dessa agência é de 17,55%.
Exemplo 2 
Uma pesquisa do Ibama revelou que em determinada região amazônica existem uma média de 
2,6 onças por 100 km2. Qual a probabilidade de serem encontradas exatamente duas onças numa área 
florestal com 25 km2?
Temos que:
( )22,6 onças por 100 kmλ =
173
ESTATÍSTICA
( )2t 25 km=
x 2=
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 2 2,6 0,25t 2 0,65t e 2,6 0,25 e 0,65 e
P x P 2,6
x! 2! 1 2
0,4225x0,5220 0,2205
0,1103 ou 11,03%
2 2
− ×−λ −λ × ×= → = = =
×
= = =
Existe 11,03% de probabilidade de na área considerada existirem exatamente duas onças.
Exemplo 3 
Uma grande siderúrgica tem uma média de 14 acidentes por ano. Qual a probabilidade que ela passe 
um mês sem nenhum acidente?
Temos que:
λ = 14 (acidentes por ano)
t = 1 (mês)
x = 0
( ) ( ) ( )
10 14
12
x t 1,667
1
14 e
t e 1 e12P x P 0
x! 0! 1
1x0,31140,3114
0,3114 ou 31,14%
2 1
 − ×  
−λ −
 × λ   ×= → = = =
= = =
A probabilidade de a siderúrgica não ter acidentes durante um mês inteiro é de 21,14%.
Como na distribuição binomial a média, a variância e o desvio padrão podem ser calculados por 
fórmulas previamente demonstradas, são elas:
Média: tµ = λ ⋅
2Variância: tσ = λ ⋅
Desvio padrão : tσ = λ ⋅
174
Unidade III
Exemplo 4
Uma máquina automática de venda de refrigerantes apresenta em média três falhas por semana. 
Calcular para um intervalo de 210 dias de funcionamento.
• Qual o número esperado de falhas nesse período?
Temos 
3
3 falhas por semana ou por dia
7
λ =
t 210 dias=
3
 t 210 90 falhas
7
µ = λ ⋅ = × =
• Qual o desvio padrão do número de falhas esperadas?
3
 t 210 90 9,5 falhas
7
σ = λ ⋅ = × = =
Exemplo de aplicação
Uma refinaria de petróleo tem capacidade de receber e abastecer de gasolina no máximo quatro 
caminhões por dia. Caso receba mais do que quatro caminhões, o excesso deverá pernoitar num 
estacionamento próximo. Sabe-se que em média chegam três caminhões por dia. Qual a probabilidade 
de, em dado dia, alguns caminhões terem de pernoitar para abastecer no dia seguinte?
Resolução
A necessidade de pernoite ocorre quando há mais do que quatro caminhões para serem abastecidos, 
logo, quando há menos do que isso, a refinaria atende no mesmo dia. Devemos então calcular a 
probabilidade da presença de quatro ou de três ou de dois ou de um ou de zero caminhões. Nesses casos, 
todos serão atendidos, portanto a probabilidade complementar corresponde aos não atendimentos.
Assim temos que:
λ = 3 (caminhões por dia)
t = 1 (dia)
x = 0; 1; 2; 3; 4
175
ESTATÍSTICA
( ) ( ) ( )
10 14
12
x t
1,667
1
14 e
t e 12P x P 4
x! 0!
1 e 1x0,3114 0,3114
0,3114 ou 31,14%
1 2 1
 − ×  
−λ
−
 × λ  
= → = =
×= = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 0 3 1t 3t e 3 1 e 1 e
P x P 0 0,0498
x! 0! 1
− ×−λ −λ × ×= → = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 1 3 1t 3t e 3 1 e 3 e
P x P 1 0,1494
x! 1! 1
− ×−λ −λ × ×= → = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 2 3 1t 3t e 3 1 e 9 e
P x P 2 0,2240
x! 2! 2
− ×−λ −λ × ×= → = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 3 3 1t 3t e 3 1 e 27 e
P x P 3 0,2240
x! 3! 6
− ×−λ −λ × ×= → = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )x 4 3 1t 3t e 3 1 e 81 e
P x P 4 0,1680
x! 4! 24
− ×−λ −λ × ×= → = = =
Assim a probabilidade de haver uma quantidade de caminhão compatível com a capacidade 
da refinaria é de:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P dentro da capacidade P 0 P 1 P 2 P 3 P 4= + + + + =
( )P dentro da capacidade 0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,8152= + + + + =
A probabilidade de não atendimento é o complementar da de atendimento:
( ) ( )P fora da capacidade 1 P dentro da capacidade 1 0,8152 0,1848 ou 18,48%= − = − =
A probabilidade de um caminhão ter que pernoitar para ser abastecido é de 18,48%.
176
Unidade III
8 DISTRIBUIÇÕES PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Vimos a mais importante distribuição de probabilidades discretas, a distribuição binomial. Para 
variáveis contínuas, a mais importante distribuição é a distribuição normal ou de Gauss. Aliás, essa é a 
mais importante entre todas as distribuições de probabilidades e a mais usada. Uma enorme quantidade 
de situações estatísticas recai na distribuição normal.
O gráfico já apresentado e repetido a seguir mostra o surgimento da curva a partir de um histograma 
de probabilidades, com suas características principais:
• centrado na média;
• com sua forma definida pelo valor do desvio padrão.
104
Número de ações em alta
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
82 60 93 71 5
µ-σ µ+σµ
0%
5%
10%
15%
25%
20%
Figura 46 
Vamos entender a distribuição normal a partir da próxima tabela. Nela estão relacionados dados 
referentes às ações em alta de três diferentes bolsas de valores. Foram acompanhadas 30 diferentes 
ações em cada uma das bolsas e calculados os comportamentos estatísticos, através dos conceitos de 
valores esperados para a binomial. Cada uma delas com um comportamento diferente expresso pela 
média e pelo desvio padrão.
Tabela 72 
Bolsa de valores Número de observações
Probabilidade de 
ações em alta
Média de ações 
em alta
Desvio padrão de 
ações em alta
A 30 30% 9 2,51
B 30 50% 15 2,74
C 30 80% 24 2,19
177
ESTATÍSTICA
 Observação
A média e o desvio padrão de cada uma das bolsas foram 
calculados através das fórmulas de esperança matemática. 
Para a Bolsa A, por exemplo, temos: np 30 0,3 9µ = = × = e 
( ) ( )n p 1 p 30 0,3 1 0,3 2,51σ = × × − = × × − = .
Essas mesmas informações estão mostradas no gráfico a seguir. Perceba que retiramos as colunas 
do histograma e mantivemos apenas a curva. Essas curvas são as chamadas distribuições normais. 
Quando o número de observações (tentativas) numa distribuição binomial aumenta, ela se aproxima 
cada vez mais da distribuição normal, até que ficam indistinguíveis. Chama-se a isso de aproximação da 
binomial pela normal.
20%
12%
16%
8%
2%
18%
10%
4%
14%
6%
0%
0 5 2010 2515
Número de ações em alta (x)
30
f (x)
Bolsa A (9; 2; 51)
Bolsa B (15; 2; 74)
Bolsa C (24; 2; 19)
Figura 47 
Observando atentamente o gráfico anterior percebemos que na Bolsa C é praticamente impossível 
(ou seja, a probabilidade é muito próxima de zero) que existam menos de 15 ações em alta. Para a 
Bolsa A é o oposto, é praticamente impossível que tenha mais do que 16 ou 17 ações em alta. Já para 
a Bolsa B o mais provável é que haja 15 ações em alta.
 Lembrete
As probabilidades estão relacionadas às áreas entre a curva e o eixo 
horizontal. Quando não existe área, não existe probabilidade. É o caso da 
curva C após o valor 17 (aproximadamente). Ela praticamente toca o eixo 
dos x, reduzindo a área correspondente a praticamente zero.
178
Unidade III
Percebe-se também que a curva que apresenta o maior desvio padrão é a mais baixa e achatada 
(Bolsa B) e a que apresenta menor desvio padrão mais alta e afilada (Bolsa C).
A Bolsa com maior probabilidade de ter ações em alta (Bolsa C) possui o gráfico deslocado para a 
direita, enquanto a com menor probabilidade (Bolsa A) está deslocada para a esquerda. A Bolsa B, que 
tem 50% de suas ações em alta, está localizada exatamente em torno do valor central e, percebe-se, é 
mais regular, menos “deformada” que as outras.
Resumindo, a curva normal é determinada em todos os seus aspectos pela média e pelo 
desvio padrão. Conhecendo esses dois parâmetros, conheceremos o comportamento probabilístico 
do experimento.
8.1 Distribuição normal – definição
Observe agora a curva referente à Bolsa B. Perceba que ela é absolutamente simétrica em 
relação ao eixo vertical. O lado esquerdo dela em relação à média é idêntico ao lado direito. 
Em outras palavras, metade da área sob essa curva está do lado esquerdo da média e metade 
está do lado direito; a probabilidade de se ter 15 ações ou mais em alta nessa bolsa é de 50%, 
assim como a probabilidade de se ter 15 ações ou menos. Essa é uma importante decorrência das 
distribuições contínuas, entre elas a normal: as probabilidades são proporcionais às áreas definidas 
pelos valores envolvidos.
A questão proposta a seguir demonstra a utilidade destes conceitos:
Exemplo 1 
Uma empresa de pneumáticos acompanhou a vida útil de uma quantidade considerável de pneus 
de um determinado tipo e chegou à conclusão que essa vida útil é normalmente distribuída e tem uma 
média de 42.000 km com desvio padrão de 5.800 km. Um cliente adquire um desses pneus e o instala 
no seu automóvel. Qual é a probabilidade que ele dure mais do que 50.000 km?
Antes de mais nada, vamos entender os procedimentos operacionais envolvidos. O fabricante 
não acompanha todos os pneus que fabrica, evidentemente, acompanha uma pequena fração 
deles, anotando a quilometragem durante a qual eles foram utilizados. Com esses dados, que 
devem ser em quantidade considerável, ele calcula a média e o desvio padrão, como nós o fizemos 
em estatística descritiva, e assume que, se ele tivesse acompanhado todos os pneus fabricados, 
os valores seriam muito próximos. Ele consegueobservar também se o experimento segue ou 
não a curva normal.
Feita essa observação, veja o gráfico a seguir (dados fictícios).
179
ESTATÍSTICA
Vida útil
em milhares de km
0 5 35 6520 50
42
Área na qual estão 
localizados os pneus que 
têm vida útil maior ou igual 
a 50.000 km
De
ns
id
ad
e
Figura 48 
Na área sob a curva estão representados todos os possíveis pneus desse tipo, desde o que menos 
rodou ou rodará até o que mais rodou ou rodará, ou seja, está representada a população dos pneus desse 
tipo. Perceba que o pneu que menos roda faz isso por aproximadamente 25.000 km e o mais resistente 
roda cerca de 65.000 km.
Se todos os pneus estão representados pela área total (At) e os pneus que duram 50.000 
ou mais quilômetros, na área vermelha (Ap = área pedida), então é lógico deduzir a partir 
do que já sabemos:
P(pneu rodar 50.000 km ou mais)( ) p
t
A
P pneu rodar 50.000 km ou mais
A
=
Nessas circunstâncias, calcular a probabilidade significa calcular duas áreas. Não é uma tarefa fácil, 
matematicamente, mas foram desenvolvidos procedimentos que facilitam esses cálculos. 
Logo a seguir mostraremos como são esses procedimentos. Por ora, você acreditará quando digo que 
a área dada desse exercício corresponde a 8,38% da área total, portanto:
P(pneu rodar 50.000 km ou mais) = 0,0838 = 8,31%
180
Unidade III
 Saiba mais
As ferramentas estatísticas, em especial a distribuição normal, são 
ferramentas vitais do método científico. Às vezes se confundem com ele. 
Mas um risco grande é utilizá-las para distorcer a verdade, aproveitando do 
amplo desconhecimento de como elas funcionam. Estudos pseudocientíficos 
giram as redes sociais semeando a falsidade. Isso não é de hoje. Em 1994 
o lançamento do livro A curva do sino provocou reações violentas por 
pretensamente “provar” teorias racistas. Leia o artigo pelo qual Marco Chiaretti 
mostra como o livro não seguia os ditames científicos e falseava a verdade: 
CHIARETTI, M. Uma questão de inteligência: livro A curva normal não 
é científico. SuperInteressante, 31 jan. 1995. Disponível em: https://super.
abril.com.br/ciencia/uma-questao-de-inteligencia-livro-a-curva-normal-
nao-e-cientifico/. Acesso em: 28 out. 2020.
8.2 Cálculo de probabilidades através da curva normal
Como notamos na resolução da questão anterior, o cálculo de uma probabilidade que segue 
a distribuição normal é relativamente fácil e pouco trabalhoso; o grande problema é calcular as 
áreas envolvidas.
Esse tipo de cálculo é matematicamente muito trabalhoso e teria que ser refeito a cada problema a 
se resolver, visto que, como cada curva normal é caracterizada pela média e pelo desvio padrão, qualquer 
alteração nesses parâmetros provocaria uma mudança na curva e consequentemente o recálculo das 
áreas envolvidas.
Para facilitar esses cálculos que são repetidos centenas de milhares de vezes, foi estabelecida uma 
curva padrão, chamada de curva normal reduzida, a partir da qual, por analogia, determinam-se as 
áreas de situações práticas.
181
ESTATÍSTICA
100,0%*
68,2%*
4
Z
P (z)
3210-1-2-3-4
95,4%*
99,7%*
Figura 49 
Essa curva tem várias características interessantes que facilitarão nossos cálculos:
• Utiliza-se a variável reduzida (padrão) z para diferenciar da variável real, aquela que envolve os problemas 
práticos que continuaremos a chamar de x (por exemplo, vida útil do pneu do nosso exemplo).
• É construída para uma média igual a zero e um desvio padrão igual a 1 (µ=0; σ=1).
• A área total sob a curva normal reduzida é igual a 1.
• A curva varia, no eixo z, desde -4 até mais 4, ou seja, de menos quatro desvios padrões da média 
até mais quatro desvios padrões da média. 
• Todas as áreas são tabeladas (vide tabela do Anexo).
• A relação entre a curva normal reduzida e a curva normal real é feita pela fórmula:
x
z
− µ=
σ
Onde: 
z é a variável reduzida
x é a variável real
182
Unidade III
µ é a média real
σ é o desvio padrão real
Como veremos logo a seguir, os cálculos de probabilidades através da distribuição normal são feitos 
por analogia entre uma situação real, caracterizada por valores específicos de µ e σ, e uma situação 
padrão caracterizada por uma média igual a zero e um desvio padrão igual a 1.
Perceba que, entre um desvio padrão para menos, em relação à média, e um desvio padrão para mais, 
a área é de 68,2% do total. Entre dois desvios padrões para menos e dois desvios padrões para mais, a 
área é de 95,4% do total e assim por diante. Perceba que não existe área antes de quatro vezes o desvio 
padrão para menos e depois de quatro vezes o desvio padrão para mais, ou seja, é estatisticamente 
impossível ocorrer algo que se distancie mais do que quatro vezes o desvio padrão da média.
Os cálculos das probabilidades envolvendo distribuições normais são basicamente a determinação 
das áreas envolvidas, através do uso da tabela da curva normal reduzida, acessada através de analogia 
com a situação real que estamos trabalhando. Precisamos então entender o funcionamento da tabela 
da curva normal reduzida que você encontra no Anexo.
O critério básico da tabela é que as áreas tabeladas começam sempre da extrema esquerda da curva 
e terminam no valor de z que se está trabalhando. Como exemplo, vamos calcular a área tabelada para 
z = -1,65, ou seja, o valor da área que começa na extremidade esquerda da curva e termina no valor -1,65.
4
Z
P (z)
3210
z = -1,65
At
-1-2-3-4
Figura 50 
A área marcada começa na extrema esquerda e termina em z1 = -1,65, portanto é uma área tabelada 
e o valor dela é obtido na tabela da seguinte forma:
183
ESTATÍSTICA
Tabela 73 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
Perceba que a tabela tem duas páginas. Uma para valores de z positivos e outra para valores de z 
negativos. No exemplo anterior usamos a tabela para valores de z negativos, obviamente. Na coluna 
da esquerda localizamos os dois primeiros algarismos do z dado, ou seja, 1,6. Na linha de cabeçalho 
localizamos o valor do último algarismo de z, o algarismo 5. A área tabelada é obtida pelo cruzamento 
das duas informações. A área tabelada, mostrada no gráfico é, portanto, 0,0495.
Como já vimos, os valores de z serão obtidos por analogia com o problema que efetivamente 
estivermos trabalhando. A questão a seguir mostrará todos os cálculos possíveis e imagináveis que 
podem ser feitos nessa situação.
Exemplo 2 
A produção mensal de um produto químico é normalmente distribuída com uma média de 12.500 toneladas 
e desvio padrão de 1.200 toneladas. Calcular as probabilidades para se ter:
A) Uma produção mensal inferior a 11.000 toneladas.
Nessa questão usaremos, inicialmente, a imagem das duas curvas. Uma supõe a situação real 
(a produção do produto químico), a outra é a normal reduzida. Com isso conseguiremos mostrar a 
analogia a ser feita.
A área que desejamos calcular está localizada à esquerda do valor 11.000 toneladas, ou seja, nos 
meses em que produção está abaixo de 11.000 toneladas. Veja o gráfico:
184
Unidade III
4
Z
P (z)
11.000
12.500
Produção mensal
3210
z = -1,25
Ap = At
Ap
-1-2-3-4
Figura 51 
O valor 11.000 toneladas, na situação real, corresponde ao valor -1,25 na situação reduzida, como 
mostra a fórmula de conversão:
x 11.000 12.500
z 1,25
1.200
− µ −= = = −
σ
Note que a média 12.500 corresponde à média zero na curva reduzida; o desvio padrão 1.200 ao 
desvio padrão reduzido 1; o valor 11.000 ao valor reduzido -1,25, então podemos dizer que as duas áreas 
sombreadas nos gráficos também são correspondentes. Sabendo o valor percentual de uma, sabemos o 
valor percentual da outra.
Observe que as áreas tabeladas são sempreas que estão entre a extrema esquerda e o valor de z. 
Exatamente o que ocorre nesse caso. Basta, portanto, obter o valor da área na tabela da curva normal reduzida.
Tabela 74 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
185
ESTATÍSTICA
tz 1,25 A 0,1056 ou1 0,56%= − → =
p tNesse caso : A A 10,56%= =
A probabilidade de que num mês qualquer se produza menos de 11.000 toneladas de produto químico 
é de 10,56%.
B) Uma produção mensal superior a 13.800 toneladas.
A área que desejamos calcular está localizada à direita do valor 13.800 toneladas, ou seja, nos meses 
em que a produção é superior a 13.800 toneladas. 
4
Z
P (z)
13.00012.500
Produção mensal
3210
z1 = -1,08
Ap = 1 - At
Ap
-1-2-3-4
Figura 52 
O valor 13.800 toneladas na situação real corresponde ao valor 1,08 na situação reduzida:
x 13.800 12.500
z 1,08
1.200
− µ −= = =
σ
Portanto, se a média 12.500 corresponde à média zero na curva reduzida; o desvio padrão 1.200 ao 
desvio padrão reduzido 1; o valor 13.800 ao valor reduzido 1,08, então podemos dizer que as duas áreas 
186
Unidade III
sombreadas nos gráficos anteriores também são correspondentes. Sabendo o valor percentual de uma, 
podemos calcular o valor percentual da outra.
Observe, no entanto, que as áreas tabeladas são sempre as que estão entre a extrema esquerda 
e o valor de z, o que não ocorre nesse caso. Temos então que estabelecer uma relação entre as 
áreas envolvidas.
Note que a área total sob a curva normal reduzida é igual a 1. A área que permanece em branco no 
gráfico é tabelada, portanto, a área que desejamos é igual a um menos a área tabelada:
Tabela 75 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
tz 1,08 A 0,8599 ou 85,99%= → =
p tNesse caso : A 1 A 1 0,8599 0,1401 ou1 4,01%= − = − =
Assim a probabilidade de que num mês qualquer se produza acima de 13.800 toneladas é de 14,01%.
C) Uma produção mensal que esteja entre 12.000 e 13.500 toneladas.
A área que desejamos calcular está localizada entre os valores 12.000 e 13.500 toneladas, 
ou seja, corresponde aos meses em que se produz mais de 12.000 toneladas e menos de 
13.500 toneladas.
187
ESTATÍSTICA
P (z)
4
Z
3210
z1 = -0,42 z1 = 0,83
At2
-1-2-3-4
4
Z
P (z)
3210
z1 = -0,42 z1 = 0,83
At1
-1-2-3-4
4
Z
P (z)
13.50012.000
12.500
Produção mensal
3210
z1 = -0,42 z1 = 0,83
Ap = At1 - At2
Ap
-1-2-3-4
Figura 53 
O valor 12.000 toneladas na situação real corresponde ao valor -0,42 na situação reduzida e o valor 
13.500 a 0,83. Veja os cálculos a seguir:
1
x 12.000 12.500
z 0,42
1.200
− µ −= = = −
σ
2
x 13.500 12.500
z 0,83
1.200
− µ −= = =
σ
Como vimos anteriormente, podemos fazer a analogia: se a média 12.500 corresponde à 
média zero na curva reduzida; o desvio padrão 1.200 ao desvio padrão reduzido 1; o valor 12.000 
ao valor reduzido – 0,42 e o valor 13.500 ao valor 0,83, então podemos dizer que as duas áreas 
também são correspondentes. 
Observe que as áreas tabeladas são sempre as que estão entre a extrema esquerda e o valor de z, o 
que não ocorre nesse caso. Assim sendo, temos que efetuar um raciocínio que permita o cálculo.
188
Unidade III
Note que, se entrarmos na tabela com o valor de z igual a – 0,42 iremos obter a área 0,3372. Essa 
área é a localizada à esquerda de z1 = - 0,42. No gráfico é a área tabelada 1 (At1).
Para o valor z2 igual a 0,83, a área obtida é 0,7967. Essa área está à esquerda de z2. No gráfico é a 
área tabelada 2 (At2).
Tabela 76 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7987 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
Perceba que a área de 0,7987 nada mais é do que a área 0,3372 mais a área cujo valor estamos 
procurando, logo, o valor da área procurada é a diferença das áreas que lemos na tabela, ou seja:
p t t2 1
A A A 0,7987 0,3372 0,4615 ou 46,15%= − = − =
Portanto a probabilidade de que num mês qualquer se produza entre 12.000 e 13.500 é de 46,15%.
As questões a seguir serão resolvidas sem mostrarmos os gráficos e tabela, já que são repetitivos em 
relação aos três anteriores.
D) Uma produção mensal que esteja entre 13.000 e 15.000 toneladas.
Como desejamos calcular uma probabilidade e, consequentemente, uma área entre dois valores, 
devemos calcular a área à esquerda de cada um deles e depois subtrair a menor da maior:
1 t1
x 13.000 12.500
z 0,42 tabela A 0,6628
1.200
− µ −= = = → → =
σ
t2
x 15.000 12.500
z 2,08 tabela A 0,9812
1.200
− µ −= = = → → =
σ
p t t2 1
A A A 0,9812 0,6628 0,3184 31,84%= − = − = =
A probabilidade de num determinado mês serem produzidas entre 13.000 e 15.000 toneladas de 
produto químico será de 31,84%.
E) Uma produção mensal que seja inferior a 14.200 toneladas.
Como desejamos calcular a probabilidade de a produção ser inferior a 14.200 toneladas, basta 
calcular a área à esquerda do valor de z correspondente:
189
ESTATÍSTICA
t
x 14.200 12.500
z 1,42 tabela A 0,9222
1.200
− µ −= = = → → =
σ
p tA A 0,9222 ou 92,22%= =
A probabilidade de num determinado mês serem produzidos menos de 14.200 toneladas de produto 
químico é de 92,22%.
F) Uma produção mensal que seja superior a 10.000 toneladas.
Como desejamos a probabilidade de a produção ser superior a 10.000 toneladas, devemos calcular a 
área à esquerda do valor de z correspondente e tirá-la de 1:
t
x 10.000 12.500
z 2,08 tabela A 0,0188
1.200
− µ −= = = − → → =
σ
p tA 1 A 1 0,0188 0,9812 ou 98,12%= − = − =
Portanto, a probabilidade de num determinado mês serem produzidas mais de 10.000 toneladas de 
produto químico é de 98,12%.
8.3 Cálculo das condições correspondentes a probabilidades da curva normal
No exercício do item anterior verificamos como se calcula a probabilidade de ocorrência de um evento 
que segue a distribuição normal (os mais comuns dos eventos). Ocorre que muitas vezes precisamos 
fazer o cálculo ao contrário, ou seja, saber qual é o valor de uma determinada probabilidade e quais os 
valores que a definem.
A questão a seguir demonstra esse raciocínio e os cálculos decorrentes.
Exemplo 1 
Uma oficina automotiva efetua seus consertos no tempo médio de 45 minutos com desvio padrão 
de oito minutos, normalmente distribuído. Nessas circunstâncias pergunta-se:
• Qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina deve passar ao cliente para que tenha 90% 
de probabilidades de efetuar o trabalho dentro do prazo?
• Qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina deve passar ao cliente para que tenha no 
máximo 30% risco de efetuar o trabalho dentro do prazo?
190
Unidade III
Resolução da primeira questão 
Observe a figura a seguir. A área sombreada corresponde a 90% da área total e é limitada pelo valor z, 
que desejamos achar. O problema se resolve obtendo na tabela o valor de z correspondente a uma área 
de 90% ou aproximada. Note, portanto, que utilizamosa tabela no sentido oposto que fizemos nos 
exercícios anteriores.
P (z)
4
Z
3210
z = ?
Ad = At = 90% ou 0,9000
-1-2-3-4
Figura 54 
Tabela 77 – Valor mais próximo na tabela de 0,9000 (90%)
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
Portanto, para que a área sombreada tenha o valor de 90%, é necessário que z seja igual a 1,28, 
correspondente à área de 0,8997 (valor da tabela mais próximo de 0,9000 ou 90%).
Tendo esse valor, é só aplicar a fórmula de conversão devidamente adaptada:
( )xz x z x 45 1,28 8 x 55,24− µ= ∴ = µ + σ → = + × → =
σ
Dessa maneira, se a oficina estimar em 55,24 minutos o tempo de conserto, ela terá uma probabilidade 
de 90% de não ultrapassar o tempo.
Resolução da segunda questão 
O cálculo é semelhante ao item anterior, com a diferença de que a área dada está à direita do gráfico, 
como mostra a figura. 
191
ESTATÍSTICA
P (z)
4
Z
3210
z = ?
At = 1 - Ad = 1 - 0,3000 = 0,7000
Ad = 30% ou 0,3000
-1-2-3-4
Figura 55 
Por causa disso, devemos entrar na tabela com a área de 70%. Lembre-se de que todas as áreas 
tabeladas começam na extremidade esquerda da curva. Para uma área de 70%, o valor de z deverá 
ser 0,52, portanto:
( )xz x z x 45 052 8 x 49,16− µ= ∴ = µ + σ → = + × → =
σ
Dessa maneira, se a oficina estimar em 49,16 minutos o tempo de conserto, ela terá uma probabilidade 
de 70% de não ultrapassar o tempo, ou seja, um risco de 30% de não cumprir ao prometido.
Exemplo de aplicação
A empresa Doces Venenos S.A. produz e comercializa o produto químico environmental detonation, 
conhecido pela sigla ED. As vendas mensais do ED são normalmente distribuídas com média de 1.000 
caixas e desvio padrão de 200 caixas. As quantidades mensais produzidas também se distribuem 
normalmente com média de 1.200 caixas e desvio padrão de 300 caixas. Nessas condições apresentadas 
deseja-se saber:
• Qual é a probabilidade de vender mais do que 1.500 caixas em um determinado mês?
• Qual é a probabilidade de produzir menos do que 850 caixas em um determinado mês?
• Qual é o valor máximo de vendas ocorrido em 15% dos piores meses (naqueles em que 
menos se vende)?
• Qual a produção mínima ocorrida em 25% dos melhores meses (naqueles em que mais se produz)?
• Em determinado mês as vendas foram limitadas pela empresa a 700 caixas. Qual a probabilidade 
de faltar produto para ser entregue aos clientes?
192
Unidade III
• Em determinado mês, a produção foi orientada a produzir exatamente 1.200 caixas. Qual a 
probabilidade de faltar produto?
• Considerando que não sejam feitas limitações externas de qualquer tipo, qual a probabilidade de 
se gerar estoques em algum mês em particular?
Resolução
A probabilidade de se venderem mais do que 1.500 caixas é dada por uma área da curva normal à 
direita da desse valor. Portanto, devemos localizar na tabela a área à esquerda do valor de z e tirar de 1 
(ou 100%). Assim temos:
t
x 1.500 1.000
z 2,50 A 0,9938
200
− µ −= = = → =
σ
p tA 1 A 1 0,9938 0,0062 ou 0,62%= − = − =
A probabilidade de que se venda mais do que 1.500 caixas de ED é de apenas 0,62%.
A probabilidade de se produzirem menos que 850 caixas num mês é dada por uma área à esquerda 
do valor, portanto, basta calcular a área tabelada.
t
x 850 1.200
z 1,17 A 0,1210
300
− µ −= = = − → =
σ
p tA A 0,1210 ou 12,10%= =
Existe uma probabilidade de 12,10% que em um determinado mês sejam produzidas menos do que 
850 caixas de produto.
Os piores meses de vendas estão localizados do lado esquerdo da curva normal das vendas. Os 15% 
piores meses correspondem a uma área de 0,1500 à esquerda cujo valor da variável reduzida limitante 
é z = -1,04 (valor mais aproximado correspondente na verdade a uma área de 0,1492). Com esses dados 
podemos calcular o valor máximo de vendas que ocorre nesses piores meses.
( )x z 1.000 1,04 200 792 caixas= µ + σ = + − × =
Nos 15% piores meses de vendas a empresa vende 792 caixas ou menos.
193
ESTATÍSTICA
Os melhores meses de produção estão localizados do lado direito da curva normal de produção, 
e 25% dos melhores meses de produção correspondem a uma área de 0,2500 à direita. Essa área não é 
tabelada, mas, se tirarmos ela de 1 (ou 100%), encontraremos a área tabelada.
t dA 1 A 1 0,2500 0,7500 tabela z 0,67= − = − = → → =
( )x z 1.200 0,67 300 1.401 caixas= µ + σ = + × =
Em 25% dos melhores meses de produção a empresa produz no mínimo 1.401 caixas de produto.
A empresa limitou as vendas em determinado mês a 700 caixas. Isso significa que ela terá de produzir 
700 caixas ou mais para que nenhum cliente fique sem ser atendido. A probabilidade de que a empresa 
produza menos do que 700 caixas é de:
t
x 700 1.200
z 1,67 A 0,0475
300
− µ −= = = − → =
σ
p tA A 0,0475 ou 4,75%= =
Existe uma probabilidade de 4,75% de que a empresa, mesmo tendo vendido pouco, não consiga 
atender a todos os clientes porque sua produção foi excepcionalmente ruim.
A produção está limitada a exatamente 1.200 caixas, logo não pode ser vendida mais do que essa 
quantidade, sob o risco de não se atender a todos os pedidos. A probabilidade de que isso ocorra é:
t
x 1.200 1.000
z 1,00 A 0,8413
200
− µ −= = = → =
σ
p tA 1 A 1 0,8413 0,1587 ou 15,87%= − = − =
Nessas condições, existe uma probabilidade de 15,87% de que se venda mais do que a produção 
fixada e nem todos os clientes sejam atendidos.
Estoque, nesse contexto, é definido como a diferença entre produção e vendas. Numa situação 
que não houvesse variações, o estoque seria calculado simplesmente subtraindo o volume vendido do 
valor produzido, ou seja, o estoque gerado mensalmente seria de 200 caixas (1.200 produzidas menos 
1.000 vendidas).
Ocorre, no entanto, que existem variações, caracterizadas pelos desvios padrões e elas têm de ser 
consideradas. Em um mês pode-se vender muito mais e produzir muito menos e aí o estoque seria 
menor ou inexistente ou, ao contrário, produzir muito mais e vender menos, gerando estoques maiores.
194
Unidade III
Essa análise é feita através da distribuição normal, como mostra a figura a seguir:
Produção
σP = 300
µP = 1.200 µV = 1.000 µE = µV - µV = 1.200 - 1.000 = 200
σV = 200 σE = 300
2 + 2002 = 361
Vendas Estoque
0
P<V(falta produto) P>V(gera estoque)#
#
Figura 56 
O comportamento estatístico tanto das vendas como da produção são distribuições normais e 
consequentemente o comportamento dos estoques também o será. O cálculo da média esperada de 
estoques é intuitivo. É a diferença entre o que é produzido e o que é vendido:
E P V 1.200 1.000 200 µ = µ − µ = − =
Já o cálculo do desvio padrão dos estoques necessita de duas observações.
Os efeitos dos desvios padrões se somam, e não se subtraem. Um desvio padrão é a expressão das 
variações ocorridas num processo qualquer (no caso produção e vendas). Essas variações evidentemente 
se somam e não se subtraem. Uma subtração imaginaria a compensação dos problemas de um 
processo pelos do outro.
O desvio padrão toma os desvios ao quadrado, então a soma deles deve ser considerada com 
o mesmo critério.
Assim temos:
2 2 2 2
E P V 300 200 361σ = σ + σ = + =
A partir daí seguimos os cálculos já feitos anteriormente. Como desejamos calcular a probabilidade 
de gerar estoques devemos calcular a área acima de 0 (zero seria a situação em que não sobraria nem 
faltaria produto). A área sombreada, portanto, corresponde à probabilidade de gerar estoque e segue os 
cálculos conhecidos.
t
x 0 200
z 0,55 tabela A 0,2912
361
− µ −= = = − → → =
σ
( ) p tP gerar estoques : A 1 A 1 0,2912 0,7088 ou 70,88%= − = − =
Existem 70,88% de probabilidade de a operação dessa empresa gerar estoque.
195
ESTATÍSTICA
 Observação
Quando a empresa limita suas vendas, o atendimento depende da 
produção, visto que as vendas estão fixadas. Já quando a produção está 
fixada, o atendimento ao cliente édado pela variação de vendas. Ou seja, 
quem limita as vendas é a produção e quem limita a produção são as vendas.
 Resumo
Distribuições de probabilidades são modelos matemáticos que 
descrevem fenômenos que são em alguma medida dependentes do acaso, da 
aleatoriedade. Apesar de originalmente elas terem sido estudadas visando 
o entendimento dos jogos de azar, são ferramentas que podem nos ajudar 
a prover situações futuras nas diversas áreas do conhecimento humano.
Usamos as distribuições de probabilidades para pesquisar aspectos 
administrativos, econômicos e contábeis, para ficar na nossa área de 
concentração, mas praticamente em todos os aspectos profissionais e 
científicos elas são utilizadas.
Existem diversas distribuições de probabilidade, cada uma delas 
destinada a fenômenos específicos. Determinar qual delas usar é a primeira 
tarefa a ser executada. A primeira característica a ser observada é a natureza 
da variável estatística, se discreta ou contínua. Ainda que no limite as 
distribuições para variáveis discretas possam ser aproximadas pela normal 
nos casos de amostras de menor quantidade de elementos, devemos usar a 
distribuição específica.
A distribuição de probabilidades normal, destinada a variáveis contínuas, 
é a mais utilizada de todas as distribuições. Entre as destinadas às variáveis 
discretas se sobressaem as distribuições binomial e de Poisson.
Além da natureza da variável envolvida, outras características devem ser 
analisadas na escolha do modelo matemático a ser usado: independência 
dos eventos; complementariedade dos eventos; possibilidade ou não de 
contar sucessos e falhas etc.
Diante de uma situação problema, identificando-se a distribuição de 
probabilidades adequada e as medidas estatísticas pertinentes, podemos 
determinar as probabilidades de uma ocorrência ou então o valor 
correspondente a determinada probabilidade.
196
Unidade III
Assim poderemos determinar com boa margem de acerto o resultado 
de uma eleição, ou então a produtividade esperada de um processo, ou o 
índice de inflação no próximo período ou ainda as necessidades de capital 
de giro de uma empresa.
Grande parte das decisões que um profissional deve tomar, portanto, 
são facilitadas ou até possibilitadas a partir de pesquisa estatísticas que 
envolvem os modelos matemáticos estudados.
 Exercícios
Questão 1. Um dado honesto é lançado três vezes. A probabilidade de que, nesses três lançamentos, 
obtenhamos a face 1 duas vezes é aproximadamente igual a:
A) 0,50.
B) 0,25.
C) 0,18.
D) 0,07.
E) 0,03.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
O dado honesto tem seis faces, numeradas de 1 a 6.
Vamos considerar as situações a seguir.
Sucesso (S): ocorrência da face 1 no lançamento do dado.
Fracasso (F): não ocorrência da face 1 no lançamento do dado.
Em cada lançamento do dado honesto, temos o que segue.
Probabilidade de sucesso (p): p = 1/6.
Probabilidade de fracasso (q): q = 1 - p = 1 - 1/6 → q=5/6
O espaço amostral Ω da situação em estudo é o que segue.
Ω = {SSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFF}
197
ESTATÍSTICA
Queremos conhecer o número total de sucessos, que corresponde ao número de vezes em que temos 
a face 1 em três lançamentos de um dado honesto. Para isso, construímos a árvore de probabilidades 
mostrada na figura a seguir. 
S
S
S
S
p
p
p
p
p
p
p
S
S
F
F
S
F
F
F
F
F
q
q
q
q
q
q
q
Figura 57 – Árvore de probabilidades para a situação em estudo
Pela análise da árvore de probabilidades, podemos construir a tabela a seguir, em que X representa o 
número de sucessos. Nela, indicamos a probabilidade procurada em negrito, que equivale a p (X=2) = 0,0694. 
Ou seja, a probabilidade solicitada pelo enunciado é aproximadamente igual a 0,07.
Tabela 78 – Número de sucessos e probabilidade
Evento(s) X (n. de sucessos) Probabilidade
FFF 0 q3 =(5/6)3 = 0,5787
SFF, FSF, FFS 1 3pq2 = 3(1/6)(5/6)2 = 0,3472
SSF, SFS, FSS 2 3p2q = 3(1/6)2(5/6) = 0,0694
SSS 3 p3 = (1/6)3 = 0,0046
Alternativamente, poderíamos ter resolvido o problema usando o modelo de probabilidade binomial, 
em que procuramos a X=2 sucessos em n=3 ensaios de Bernoulli independentes e com a mesma 
probabilidade p=1/6 de sucesso. Nesse modelo, fazemos o cálculo a seguir. 
( )
k n kn!P(X k) p q
k! n k !
− = =  − 
198
Unidade III
( )
2 13! 1 5
P(X 2)
2! 3 2 ! 6 6
     = =         − 
3! 1 5 3.2! 1 5 5
P(X 2) 0,0692 0,07
2!1! 36 6 2! 36 6 72
       = = = = = ≅              
Questão 2. (Enade 2014) Suponha que a distância percorrida por um ciclista que pedala regularmente 
pode ser inferida pela variável aleatória x, com densidade de probabilidade normal, tal que:
( )2x
22 2
2
1
f(x : , ) e
2
−µ
−
σµ σ =
πσ
Na expressão, temos μ=25 km e σ2=25 km2. A duração média do seu treino é de 1h15min.
Com base nesses dados, avalie as afirmativas:
I – A velocidade média de cada treino é de 21,7 km/h.
II – A distância média percorrida em cada treino é de 25 km.
III – A área média percorrida em cada treino é de 25 km2.
IV – A distância percorrida de cada treino, em um desvio padrão, está entre 20 km e 30 km.
V – A velocidade média de cada treino, em um desvio padrão, está entre 16 km/h e 24 km/h.
É correto apenas o que se afirma em:
A) I.
B) I e IV.
C) II e III.
D) III e V.
E) II, IV e V.
Resposta correta: alternativa E.
199
ESTATÍSTICA
Análise das afirmativas
Antes de fazermos a análise das afirmativas, precisamos lembrar que a distribuição normal de 
probabilidades é uma curva em formato de sino dada por:
( )2x
22 2
2
1
f(x : , ) e
2
−µ
−
σµ σ =
πσ
Na expressão, μ é o valor médio da distribuição e σ é seu desvio padrão.
O valor médio está associado ao pico da distribuição normal e é o valor mais frequente. O desvio 
padrão está relacionado à largura da curva da distribuição de probabilidades e, consequentemente, ao 
“espalhamento” dos dados em torno da média.
No caso da distribuição normal, conforme indicado na figura a seguir, temos que:
• a probabilidade de se obter um dado no intervalo μ±σ é de 68%;
• a probabilidade de se obter um dado no intervalo μ±2σ é de 95%;
• a probabilidade de se obter um dado no intervalo μ±3σ é superior a 99%.
2,14%
-3
34,13%
0
13,60%
-2
13,60%
1
34,13%
-1
Desvios padrões
2,14%
2 3
0,13%0,13%
Figura 58 – Distribuição normal com indicação de probabilidades
200
Unidade III
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: a velocidade média é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto nesse trajeto. 
Logo, no caso em estudo, a velocidade média é a razão entre a distância média de 25 km e o tempo de 
1h15min (1,25 h) gasto no percurso, conforme segue.
25
v 20km / h
t 1,25
µ= = =
∆
II – Afirmativa correta.
Justificativa: a média da distribuição de probabilidades é μ=25 km. Logo, a distância média percorrida 
em cada treino é igual a esse valor.
III – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o problema não faz referência alguma à área, já que a quantidade σ2=25 km2 representa 
a variância, ou seja, o quadrado do desvio padrão dos dados.
IV – Afirmativa correta.
Justificativa: a distância percorrida em cada treino, considerando-se um desvio padrão, está no 
intervalo μ±σ, ou seja, 25±5 km. Logo, a distância percorrida em cada treino, nessa situação, está 
entre 20 km e 30 km.
V – Afirmativa correta.
Justificativa: considerando-se o intervalo de um desvio padrão, a velocidade média em cada treino 
pode ser calculada conforme segue.
25 5
v 20 4km / h
t 1,25
µ ± σ ±= = = ±
∆
Logo, a velocidade média, nessa situação, está entre 16 km/h e 24 km/h.
201
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 5
IBGE. Índice Nacional de Preço ao Consumidor – IPCA. [s.d.]. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/
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http://www.periodicos.capes.gov.br/ (Capes)
https://www.scielo.br/ (SciElo)
Exercícios
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2012: Administração. 
Questão 17. Disponível em: http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2012/01_
ADMINISTRACAO.pdf. Acesso em: 29 out. 2020.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2017: Matemática. 
Questão 10. Disponível em: http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2017/34_
MATEMATICA_BACHAREL_BAIXA.pdf. Acesso em: 29 out. 2020.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2017: Matemática. 
Questão 21. Disponível em: http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2017/34_
MATEMATICA_BACHAREL_BAIXA.pdf. Acesso em: 29 out. 2020.
205
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2014: Engenharia de 
Produção. Questão 9. Disponível em: http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/
provas/2014/16_engenharia_producao.pdf. Acesso em: 29 out. 2020.
206
ANEXO – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL REDUZIDA
PÁGINA 1 – VALORES NEGATIVOS DA VARIÁVEL REDUZIDA
ÁREAS ENTRE -3,99 E Z
y
z
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
207
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
208
ANEXO – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL REDUZIDA
PÁGINA 2 – VALORES POSITIVOS DA VARIÁVEL REDUZIDA
ÁREAS ENTRE -3,99 E Z
y
z
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
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212
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