Marcelo Salvador Coser Filho2 (2)

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TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA O ENSINO MÉDIO - PROF. MARCELO CÓSER 1
SEQÜÊNCIA DE DEPÓSITOS 
 
 Vimos que a variação de um capital ao longo do 
tempo pode ser ilustrada em uma planilha eletrônica. 
No entanto, casos em que somente uma injeção de 
capital é feita são minoria. Ao se planejar atingir um 
dado montante ao final de certo período, normalmente 
são feitos depósitos ao longo dos meses. 
 A principal diferença reside no fato de que o 
montante acumulado não é aumentado somente pelo 
acréscimo dos juros, mas também pelo depósito de 
novas quantias que, no período seguinte, também irão 
gerar juros ao saldo. 
 Assim, imagine a seguinte situação: uma pessoa 
decide depositar, a partir de janeiro, R$ 200 por mês 
em seu fundo de investimentos. Sabendo que esse 
fundo habitualmente paga 1% ao mês de juros, qual 
será o montante acumulado por essa pessoa ao final 
dos 12 depósitos feitos ao longo do ano? 
 
 
 
 
 
 No primeiro mês, o saldo obtido é oriundo 
unicamente do depósito feito, sendo que não há 
pagamento de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os depósitos serão sempre iguais ao depósito inicial 
de R$ 200. Dessa forma, definimos D3 = D2. A 
programação das colunas A, B e C segue o padrão 
utilizado nas planilhas anteriores. 
 
 
 
 
 
 O saldo ao final do período é composto pelo saldo 
anterior, pelos juros acrescidos e pelo novo depósito 
efetuado. Com todas as colunas programadas, a 
planilha pode ser estendida até o período desejado. No 
caso, 12 depósitos. 
 
 
 
 Dessa forma, o montante obtido é de R$ 2.536,50. 
Observe que esse valor é superior a R$ 2.400, que 
corresponde ao valor total depositado na conta. Ainda, 
observe como o ganho mensal via juros é cada vez 
maior, devido ao aumento do saldo ocorrer também 
pelo depósito externo durante cada período. 
 
 
 
 Uma aplicação interessante envolvendo uma 
seqüência de depósitos é a possibilidade de organizar 
um plano de previdência, ou simplesmente uma nova 
fonte de renda após determinado tempo. 
 Para isso, será acumulado um saldo via sucessivos 
depósitos durante certo período. Finalizados os 
depósitos, serão realizados sucessivos saques. É 
possível planejar o valor de cada saque e o número de 
saques desejados. Constataremos que o número de 
saques, dependendo da quantia acumulada via 
depósitos e do valor sacado, pode ser grande, e, com 
isso, se prolongar por muito tempo. 
 
 Imagine, então, a seguinte situação. Uma pessoa 
deposita mensalmente R$ 2.000, durante três anos, em 
um fundo que habitualmente capitaliza o saldo 
mensalmente sob uma taxa de 0,9%. A planilha a 
seguir, construída de mesma forma que a anterior, 
ilustra a variação do saldo ao longo dos 36 depósitos e 
a quantia acumulada ao final do 36º depósito. 
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 A 37ª linha informa que, ao final do 36º mês, o saldo 
acumulado é de R$ 84.587,75, e o ganho com juros foi 
de R$ 736,66. 
 
 A partir do 37º mês, não será feito mais nenhum 
depósito. Dessa forma, o único acréscimo ao saldo 
será proveniente dos juros pagos mensalmente pelo 
fundo. No entanto, a pessoa em questão decide sacar 
mensalmente um determinado valor durante 3 anos. 
Assim, qual o valor máximo que o saldo acumulado 
permite que seja sacado, sem que haja necessidade de 
mais nenhuma injeção de capital por parte da pessoa? 
 
 
 
 Para a linha seguinte, as colunas B, C e E não têm 
sua programação alterada, seguindo o padrão habitual. 
Na célula A38 foi inserido o valor “1” para melhor 
organização: na linha 38 foi realizado o primeiro saque. 
 A coluna D precisa ser alterada também, visto que 
não serão feitos mais depósitos. Para que o software 
entenda que a partir da 38ª linha serão feitos saques, 
basta inserir um valor negativo na célula D38, e, como 
os saques a seguir serão de mesmo valor, programar 
D39 = D38. No caso, analisaremos a variação do saldo 
ao longo de 36 saques de R$ 2.500. 
 
 
 
 
 
 A linha 73 nos informa que, após 36 depósitos de 
R$ 2.000, seguidos de 36 saques de R$ 2.500, 
capitalizados mensalmente com um taxa de 0,9%, 
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ainda restam R$ 11.050,96. Ou seja, seria possível 
sacar mais do que R$ 2.500. 
 Para chegar até o valor máximo, bastaria variar o 
valor da célula D38 até que o valor da célula E73 seja 
zero, ou muito próximo disso. É possível fazer tal 
variação manualmente, como vínhamos fazendo. No 
entanto, a partir de agora utilizaremos um recurso 
disponível em tais softwares que faz tal variação pelo 
usuário. 
 O breve tutorial a seguir se aplica a dois softwares 
distintos: Microsoft Office Excel (a partir da versão 
2003) e BrOffice.org Calç (a partir da versão 2.2.0). As 
diferenças entre os softwares, quando existirem, serão 
destacadas. Ambos os softwares podem ser utilizados 
sem perda de qualidade de um em relação ao outro. No 
entanto, o BrOffice.org Calc é um software gratuito, e 
pode ser obtido em 
http://www.broffice.org/download. 
 Em ambos os softwares, o recurso “Atingir Meta” 
está no menu “Ferramentas”. 
 
 
 
 
 
 
 No Excel, após clicar em “Atingir Meta” aparecerá 
uma janela como a mostrada acima, com 3 campos: 
 
- No campo “Definir célula:” será informada a célula 
que será analisada para determinar se a meta foi 
atingida ou não. No exemplo, o valor máximo de saque 
será descoberto quando o saldo, ao final do 36º saque 
(na linha 73), seja zero. Por isso, aqui é preciso digitar 
E73, que corresponde à célula do saldo ao final do 
processo. 
 
- No campo “Para valor:” será informado o valor 
desejado para a célula definida acima. No caso, zero. 
 
- No campo “Alternando célula:” será informada a 
célula que, quando alterada, influencia no resultado da 
célula definida anteriormente. Aqui, o valor do primeiro 
saque altera as demais células: por isso, digitar D38. 
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 No Calc, o processo é semelhante. 
 
- O campo “Célula de fórmula” corresponde ao 
“Definir célula” do Excel. 
 
- O campo “Valor de destino” corresponde ao “Para 
valor” do Excel. 
 
- O campo “Célula variável” corresponde ao 
“Alternando célula” do Excel. 
 
 
 
 Ambos os softwares fornecem R$ 2.761,29 como o 
valor para o saque máximo. 
 
 È preciso destacar que o valor depositado e os 
prazos utilizados normalmente são menor e maiores, 
respectivamente. Utilizou-se R$ 2.000 e 6 anos 
(contando depósitos e saques) somente para ilustrar o 
raciocínio em questão. 
EXERCÍCIOS 
 
01) Uma pessoa deposita mensalmente R$ 700 num 
fundo que rende juros à taxa de 1,3% ao mês. São 
feitos 25 depósitos. 
 
a) Qual será seu montante no instante após o último 
depósito? 
 
b) Qual será seu montante 3 meses após ter feito o 
último depósito? 
 
02) Para ampliar as instalações de sua loja de 
eletrodomésticos, o sr. Martinez estima que precisará 
de R$ 80.000 daqui a 18 meses. Quanto deverá 
depositar mensalmente, num total de 18 parcelas, à 
taxa de juros de 1,5% ao mês, para que no instante do 
último depósito consiga o montante pretendido? 
 
03) Uma transportadora pretende comprar um 
caminhão dentro de 24 meses e estima que seu preço 
nessa data será R$ 90.000. Para atingir seu objetivo, 
ela resolve fazer 24 depósitos mensais de x reais cada 
um num fundo que rende 1,5% ao mês, de modo que 
no instante do último depósito o saldo dessas 
aplicações seja R$ 90.000. 
 
a) Qual o valor de x? 
 
b) No dia em que foi feito o 18º depósito, surgiu uma 
emergência e a empresa teve que sacar todo o saldo 
das aplicações. Qual era o valor desse saldo? 
 
04) (FGV) O salário líquido do sr. Ernesto é R$ 3.000 
por mês. Todo mês ele poupa 10% do seu salário 
líquido e aplica essa poupança num fundo que rende 
juros à taxa de 2% ao mês. 
 
a) Qual seu saldo no fundo, no dia em que fez o 
segundo depósito? 
 
b) Quantos depósitos deverá fazer para ter um saldo de 
R$ 7.289 no dia do seu último depósito?05) Num país sem inflação, uma pessoa efetua 180 
depósitos mensais de $ 800 cada um, num fundo que 
rende 0,5% ao mês. 
 
a) Qual seu montante no instante após o último 
depósito? 
 
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b) Se 1 mês após o último depósito ela resolve sacar 
desse fundo uma quantia x por mês, durante 200 
meses, qual o valor máximo de x? 
 
06) Uma pessoa pretende ter uma renda mensal de R$ 
2.500, durante 48 meses, começando daqui a um mês. 
Quanto deverá aplicar hoje, num fundo que rende 1,4% 
ao mês, para atingir seu objetivo? 
 
07) Uma pessoa pretende passar 24 meses na Europa 
fazendo um curso de pós-graduação. Ela estima que 
precisará ter uma renda mensal de R$ 4.500, 
começando com sua chegada à Europa. Para atingir 
seu objetivo, ela precisará aplicar um valor X, à taxa de 
1,6% ao mês, 60 meses antes do 1º saque de R$ 
4.500. Qual o valor de X? 
 
08) Num país sem inflação, o sr. Olavo recebeu $ 
100.000 de prêmio em uma loteria. 
 
a) Se ele aplicar esse valor num fundo que rende juros 
compostos à taxa de 0,5% ao mês e sacar $1.000 por 
mês (começando um mês após o depósito), durante 
quantos meses aproximadamente ele poderá efetuar os 
saques até esgotar seu saldo? 
 
b) E se ele sacasse $ 2.000 por mês? 
 
09) Um casal pretende custear os estudos 
universitários de seu filho, estimados em R$ 1.800,00 
por mês, durante 60 meses. Para isso, eles resolvem 
depositar uma certa quantia mensalmente em um fundo 
com taxa de rendimento de 1,2% ao mês, num total de 
48 depósitos. Quanto o casal deve depositar por mês, 
se o primeiro saque de R$ 1.800,00 será feito no mês 
seguinte ao último depósito? 
 
10) Um condomínio prevê despesas extras de 
$120.000 e $160.000 no final de agosto e setembro, 
respectivamente. Quanto deverá arrecadar e aplicar, 
num fundo que rende 1,85% ao mês, em maio, junho e 
julho (valores iguais) para fazer frente a essas 
despesas? 
 
11) Um executivo, prevendo sua aposentadoria, resolve 
fazer depósitos mensais iguais durante 15 anos, 
visando retiradas mensais de 1500 dólares durante 20 
anos, a partir do mês seguinte ao último depósito. Se a 
taxa obtida for de 1% ao mês, quanto ele deveria 
depositar mensalmente? 
 
12) Quantos depósitos mensais e iguais a R$ 300 
devem ser feitos para se obter um montante de 
R$ 45.000, com uma taxa de juros de 1% ao mês? 
 
13) O dono de uma pequena empresa está analisando 
a compra de uma máquina para reduzir o custo de mão 
de obra e o desperdício de material. O preço da 
máquina é R$ 25.000, à vista, e a economia mensal 
que ela proporciona é de R$ 1.950. 
 
a) Se o investimento precisa ser pago em um prazo de 
um ano e o dono investe o dinheiro da empresa com 
uma taxa de juros de 1,4% ao mês, ele deve comprar a 
máquina ou não? 
 
b) Em quanto tempo o investimento se paga? 
 
14) Um projeto exige um investimento inicial de 
R$ 70.000, que proporcionarão benefícios futuros de 
R$ 10.000 por ano, durante 10 anos. Analisar se esse 
projeto deve ser aceito, supondo as seguintes taxas de 
atratividade: 
 
a) 6% ao ano 
 
b) 9% ao ano 
 
c) Qual a taxa mínima de atratividade que viabilize o 
projeto? 
 
 
GABARITO 
 
01a R$ 20.522,65 01b R$ 21.333,49 
02 R$ 3.904,46 03a R$ 3.143,17 
03b R$ 64.401,57 04a R$ 606 
04b 20 depósitos 05a R$ 232.654,97 
05b R$ 1.842,95 06 R$ 86.951,46 
07 R$ 34.925,46 08a 139 meses 
08b 57 meses 09 R$ 1.190,55 
10 R$ 89.029,68 11 272,69 dólares 
12 93 depósitos 13a Não 
13b 15 meses 14a Sim 
14b Não 14c 7,07%