7. HCL - Aula 7 - Escoamento Gradualmente Variado

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Hidráulica dos Condutos 
Livres
Rui Gabriel Modesto de Souza
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Aula 7: Escoamento Gradualmente 
Variado
2
Escoamento Gradualmente Variado
• Energia disponível:
H = 𝑧 + 𝑦 +
𝑉2
2 ∙ 𝑔
H = 𝑧 + 𝐸
• Escoamento Gradualmente Variado:
𝑑H
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
𝑑𝐸
𝑑𝑥
𝑑H
𝑑𝑥
= −𝐽 𝑒
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −𝐼
𝑑𝐸
𝑑𝑥
= 𝐼 − 𝐽
3
Escoamento Gradualmente Variado
• Escoamento Gradualmente Variado:
𝑑𝐸
𝑑𝑥
= 𝐼 − 𝐽, 𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑑𝐸
𝑑𝑦
= 1 − 𝐹𝑅
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝐼 − 𝐽
1 − 𝐹𝑅
2
• Equação de Manning e Fr²:
𝑗 =
𝑛2 ∙ 𝑄2
𝑅ℎ
ൗ4 3 ∙ 𝐴2
𝑒 𝐹𝑅
2 =
𝑄2 ∙ 𝐵
𝑔 ∙ 𝐴3
• Então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1 −
𝑛2 ∙ 𝑄2
𝑅ℎ
ൗ4 3 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐼
1 −
𝑄2 ∙ 𝐵
𝑔 ∙ 𝐴3
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1 − 𝑓1
1 − 𝑓2
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Análise da linha d´água
• Escoamento Gradualmente Variado:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1 − 𝑓1
1 − 𝑓2
• Análise do Numerador:
- n, Q e I constante. f1 em função da profundidade de
escoamento (profundidade normal, eq. de Manning);
- Y=yn: dy/dx não varia;
- Y>yn: numerador positivo;
- Y<yn: numerador negativo.
• Análise do Denominador:
- Q constante. f2 em função da profundidade de
escoamento (profundidade crítica, n° de Froud);
- Y=yc: dy/dx indeterminado;
- Y>yc: denominador positivo;
- Y<yc: denominado negativo.
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Análise da linha d´água
• Análise da declividade:
- Na análise de f1 fixou-se uma determinada
declividade. Na realidade, a cada valor de
declividade corresponde uma profundidade
normal, yn e para um valor de declividade crítica,
temos yn=yc.
• Cinco classificações da declividade
(i>0)
- Canais com declividades fracas (Mild): I<Ic;
- Canais com declividades críticas (Critical): I=Ic;
- Canais com declividades fortes (Steep): I>Ic;
(i=0)
Canais horizontais (Horizontal);
(i=<)
Canais em aclive (Adverse): I>Ic;
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Análise da linha d´água
• Canais com declividades fracas
(Mild Slope):
Onde: I<Ic e
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1−𝑓1
1−𝑓2
- Y > Yn > Yc: f1<1 e f2<1, então, numerador
(+) e denominador (+), ou seja: dy/dx>0
(M1);
- Yn > Y > Yc: f1>1 e f2<1, então, numerador
(-) e denominador (+), ou seja: dy/dx<0
(M2);
- Yn > Yc > Y: f1>1 e f2>1, então, numerador
(-) e denominador (-), ou seja: dy/dx>0 (M3);
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Análise da linha d´água
• Canais com declividades fortes
(Steep Slope):
Onde: I>Ic e
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1−𝑓1
1−𝑓2
- Y > Yc > Yn : f1<1 e f2<1, então, numerador
(+) e denominador (+), ou seja: dy/dx>0 (S1);
- Yc > Y > Yn: f1<1 e f2>1, então, numerador
(+) e denominador (-), ou seja: dy/dx<0 (S2);
- Yc > Yn > Y: f1>1 e f2>1, então, numerador
(-) e denominador (-), ou seja: dy/dx>0 (S3);
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Análise da linha d´água
• Canais com declividades críticas
(Critical Slope):
Onde: I=Ic e
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐼 ∙
1−𝑓1
1−𝑓2
- Y > (Yc = Yn) : f1<1 e f2<1, então, numerador
(+) e denominador (+), ou seja: dy/dx>0 (C1);
- Y < (Yc = Yn): f1>1 e f2>1, então, numerador
(-) e denominador (-), ou seja: dy/dx>0 (C3).
A Curva C2 deverão estar compreendida entre
Yn e Yc. Como Yn=Yc constata-se que a curva C2
corresponde a linha d’água em escoamento
uniforme, no regime crítico.
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Análise da linha d´água
• Canais com declividade nula
(Horizontal Slope):
Onde: I=0 e
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝐽
1−𝑓2
OBS: Sinal de dy/dx é contrário ao
denominador, pois o numerador sempre será
negativo.
- Y > Yc: f2<1, então, numerador (-) e
denominador (+), ou seja: dy/dx<0 (H2);
- Y < Yc : f2>1, então, numerador
(-) e denominador (-), ou seja: dy/dx>0 (H3);
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Análise da linha d´água
• Canais com declividade em aclive
(Adversal Slope):
Onde: I=0 e
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝐼−𝐽
1−𝑓2
OBS: Sinal de dy/dx é contrário ao
denominador, pois o numerador sempre será
negativo.
- Y > Yc: f2<1, então, numerador (-) e
denominador (+), ou seja: dy/dx<0 (A2);
- Y < Yc : f2>1, então, numerador
(-) e denominador (-), ou seja: dy/dx>0 (A3);
• Assim, verifica-se que as curvas A2 e A3 dos canais com
declividade adversa são, similares às curvas H2 e H3 dos
canais horizontais
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Análise da linha d´água
• Conclusões:
- 12 tipos básicos de perfis de linha d’água em
regime gradualmente variado e incluindo o
regime uniforme para os canais com declividade
fraca, forte e crítica, obtém-se 15 perfis de linha
d’água.
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Análise da linha d´água
• Exemplo 10.1:
Determinar qualitativamente o perfil da linha d’água para a situação da figura, identificando os tipos
de curvas observados e as seções de controle hidráulico.
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Análise da linha d´água
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- Seção de controle:
Seção qualquer que se conhece a profundidade de escoamento, condicionada pela
ocorrência do regime crítico ou por uma estrutura hidráulica;
- Três tipos de seção de controle:
- Controle crítico;
- Controle artificial;
- Controle de canal.
Análise da linha d´água
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• Regime crítico: limite entre os regimes
fluvial e torrencial
• Passagem se da de forma distinta, de
acordo com o regime inicial observado
Exemplos de passagem de subcrítico para
supercrítico:
- Mudança de declividade subcrítica para
supercrítica;
- Queda livre, a partir de uma declividade subcrítica
a montante;
- Escoamento junto à crista de vertedores.
• Passagem de modo gradual.
• escoamento gradualmente variado.
Análise da linha d´água
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Controle de canal:
- Profundidade de escoamento determinada
pelas características de atrito ao longo do
canal;
- Escoamento uniforme;
- Extremamente importantes na Engenharia
Hidráulica
Controle Artificial:
- Profundidade condicionada por uma
situação distinta da ocorrência do regime
crítico: nível do reservatório, estrutura
hidráulica (comporta), etc.
Análise da linha d´água
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Controle de montante:
- Trechos com escoamento supercrítico,
quando a influência de obstáculo a jusante n
pode afetar o escoamento a montante, pois
apenas o nível d’água de montante controla
o escoamento, define-se como sendo
controle de montante.
Controle de jusante:
- Trechos com escoamento subcrítico, ou
seja, a profundidade jusante pode controlar
o escoamento a montante.
Análise da linha d´água
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Indique o sentido de calculo adotado na
determinação da linha d'água do exemplo 10.1:
Trecho I:
Regime fluvial, controle de jusante: calculo de jusante
para montante;
Trecho II:
a) Queda: escoamento bruscamente variado;
b) Regime torrencial, controle de montante: cálculo
de montante para jusante;
c) Ressalto: escoamento bruscamente variado;
d) Regime fluvial, controle jusante: cálculo de
jusante para montante.
Trecho III:
Regime torrencial, controle de montante: cálculo de
montante para jusante;
Análise da linha d´água
• Problema 10.1:
Esboçar o perfil qualitativo da linha d'água da situação esquematizada na figura, identificando os
tipos de curvas presentes e as seções de controle. Indique também o sentido de calculo adotado na
determinação da linha d'água.
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Cálculo da linha d´água
Calculo por integração numérica:
• Método de Integração por Passos (Direct
Step Method e Standard Step Method).
• Discretizarão do canal em segmentos;
• Balanço energético entre duas seções
vizinhas;
• As duas seções devem ser suficientemente
próximas;
• Perfil da superfície líquida entre as seções
admitida como uma linha reta.
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Cálculo da linha d´água
Bernoulli entre as seções 1 e 2:
𝑃1
𝛾
+
𝑉1
2
2 ∙ 𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉2
2
2 ∙ 𝑔
+ 𝑧2 + ∆𝐻
𝑧1 − 𝑧2 = 𝐸2 − 𝐸1 + ∆𝐻
∆𝑧 − ∆𝐻 = 𝐸2 − 𝐸1
Como:
∆𝑧 = 𝐼 ∙ ∆𝑥 𝑒 ∆𝐻 = 𝐽 ∙ ∆𝑥
Então:
∆𝑥 =
𝐸2−𝐸1
𝐼−𝐽
Como as perdas de carga no escoamento 
gradualmente variado podem ser ditas equivalentes às 
perdas no escoamento uniforme, temos:
J =
ത𝑛2∙𝑄2
ത𝑅ℎ
ൗ4 3∙ ҧ𝐴2
𝑜𝑢 J =
ത𝑛2∙ഥ𝑉2
ത𝑅ℎ
ൗ4 3
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Cálculo da linha d´água
• A partir da avaliação qualitativa da forma de
evolução da linha d’água no canal e
conhecendo-se as características hidráulica
de uma seção 1 (uma seção de controle),
pode-se arbitrar a profundidade em uma
seção vizinha 2. Por fim, pode-se calcular ∆𝑥,
a distância que separa as seções 1 e 2
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Exemplo 1
Um canal retangular de concreto
(n=0,015), com declividade de 0,0005
m/m e largura de 2 m, funciona em regime
uniforme com a profundidadede 1,43.
Determinar o remanso causado por uma
pequena barragem de 1 m de altura.
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Exemplo 2
Um canal trapezoidal, com base de 20 m, taludes 1,5 (H): 1 (V), declividade de 0,001 m/m
e rugosidade de 0,025, transporta uma vazão de 550 m³/s. Calcule o perfil da linha d’água
do ponto final do canal, em queda livre, até um ponto em que y=0,85yn.
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Cálculo em condições de vazão não definida
• Situações anteriores pressupõe conhecida a vazão em transito;
• Podem existir situações em que as vazões e as profundidades não são conhecidas;
• Caso da saída de reservatórios.
- Supondo um reservatório com um dado nível d'água constante, com velocidade de 
aproximação nula, alimentando um canal, com rugosidade n, implantado com uma 
declividade I, podem ocorrer duas situações distintas:
1. Se a declividade do canal for igual ou superior à critica, ocorrerá a profundidade crítica na saída do 
reservatório e a vazão crítica será transportada pelo canal;
2. Se a declividade for inferior à critica, ocorrerá a profundidade normal logo à saída do reservatório.
- Solução do problema passa, portanto, pela determinação da declividade crítica.
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Cálculo em condições de vazão não definida
• Supondo que ocorra a profundidade crítica à saída
do reservatório:
𝐻𝑟 = 𝑦𝑐 + 1 + 𝐶𝑒 ∙
𝑄2
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐴2
𝑦𝑐 =
2
3
∙ 𝐻𝑟
𝑞 = 𝑔 ∙ 𝑦𝑐
3
Q=𝑞 ∙ 𝐵
𝐼𝑐 =
𝑄 ∙ 𝑛
𝐴 ∙ 𝑅ℎ
ൗ2 3
2
Onde, Hr é a profundidade do reservatório em relação
ao nível de entrada do canal e Ce é um coeficiente de
perda de carga na entrada.
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Pela comparação da declividade crítica (Ic) com a
declividade real do canal (I), pode-se, em seguida
identificar a situação:
• Se a declividade do canal for igual à crítica, a
vazão e a profundidade calculadas estão corretas;
• Se a declividade do canal for superior à critica,
apenas a vazão está correta e a linha d'água pode
ser definida sabendo-se que ocorre a
profundidade na saída do reservatório, e esta
atende, em seguida, para a profundidade normal.
Cálculo em condições de vazão não definida
• Supondo que ocorra a declividade do canal for
inferior à crítica, a vazão deve ser recalculada:
𝐻𝑟 = 𝑦 + 1 + 𝐶𝑒 ∙
𝑅ℎ
ൗ4 3 ∙ 𝐼
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑛2
Pela equação calcula-se a profundidade de
escoamento e, então, calcula-se a vazão pela
equação de Manning.
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Exemplo 3
Calcule a vazão em um canal de concreto, com rugosidade 0,015, largura de 5,00 m e
declividade de 0,3%, abastecido por um reservatório com nível d'água situado a 1,50 m
acima da entrada do canal, admitindo-se que Ce seja sensivelmente igual a zero.
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Exercícios 1
Um reservatório abastece um canal de concreto, com rugosidade 0,015, com 15m de
largura e 1 km de extensão, implantado entre as cotas 823,00 e 817,50 m. Calcule a vazão
que passa pelo canal, sabendo que o NA no reservatório situa-se na cota 823,50 m.
Considere desprezível as perdas de carga na saída do reservatório (Ce = 0).
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Exercícios 2
Um canal retangular em concreto com largura de 4,00 m, declividade de 0,0009 m/m e
rugosidade de 0,015 transporta uma vazão de 20 m³/s com uma profundidade de 2,50 m.
Identifique o tipo de curva observado e determina a profundidade a 460 m a jusante
deste ponto.
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Exercícios 3
Uma comporta descarrega uma vazão de 5 m³/s.m em um canal retangular com largura
de 1,0 m, rugosidade de 0,013 e declividade nula. Sabendo que a profundidade do fluxo
mínima é de 0,30 m, determine a distância da ocorrência da profundidade de 1,00 m.
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Referências
BAPTISTA, M. B.; LARA, M. Fundamentos de
Engenharia Hidráulica. 4. ed. Belo Horizonte:
Editora UFMG, 2016. 477 p. ISBN: 978-85-423-
0189-2
AZEVEDO NETO, J. M. DE; FERNÁNDEZ, M. F.
Manual de Hidráulica. 9. ed. São Paulo: Blücher,
2015. 632 p. ISBN: 978-85-212-0500-5
MEIRELLES, G. Hidráulica I: conceitos básicos de
mecânica dos fluidos. Apresentação em Slide. 13
slides. Aula de Hidráulica I do curso de
Engenharia Civil da UFMG.
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