ATIVIDADE 4 A4 GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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Usuário EDUARDO OLIMPIO RAMOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 15/03/21 10:45
Enviado 29/03/21 18:01
Status Completada
Resultado da tentativa 2 em 10 pontos  
Tempo decorrido 343 horas, 16 minutos
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Pergunta 1
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Comentário
da
resposta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um
comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o
comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado
obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da
massa  e  é a constante elástica. 
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
  
A solução geral do problema descrito é dada por .
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Do problema, temos a massa , e, da lei de
Hooke, temos . Além disso, no tempo  a mola está esticada em 0,8 m, sendo seu comprimento
natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m. Temos também que a velocidade inicial da mola é nula
(a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Portanto, a situação descrita se trata do PVI:
,  e , cuja solução é .
Pergunta 2
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Leia o excerto a seguir: 
  
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do
indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem
fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a
corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a
alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em . 
  
  
.
.
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
Comentário
da
resposta:
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A partir da equação diferencial e dos valores
fornecidos no enunciado, temos  e  assim, .
Essa é uma equação separável, resolvendo-a, obtemos: 
 onde
. Para , temos que , portanto a expressão da corrente é
.
Pergunta 3
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Comentário
da
resposta:
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados
matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte
situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de
bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa
população. 
  
  
  
  
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O problema pode ser descrito pelo seguinte PVI:
. A solução geral da equação diferencial é , onde  e  são constantes e
. Como , temos que  . Portanto, a função que descreve o crescimento dessa
população de bactérias é .
Pergunta 4
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Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem,
consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e .
Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e III, apenas.
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
 
Comentário da
resposta:
I e II, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. São falsas as a�rmativas III e IV, pois: 
A�rmativa III: incorreta. O valor das constantes da solução geral obtido na resolução do PVI é  e
. 
A�rmativa IV: incorreta. A EDO está igualada a zero, portanto, é uma EDO homogênea.
Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas
na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma
infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. 
  
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
  
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
F, V, V, V.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua
solução geral é: . Assim:
A�rmativa IV: Falsa. Para , temos que . Portanto,
 é a solução da equação diferencial dada.
Pergunta 6
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em
resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o
bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C.
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a
temperatura de 30 °C. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
  
25 minutos.
20 minutos.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita
pela equação diferencial  onde  e a solução geral é
. São fornecidas as
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
seguintes informações:  e , as quais possibilitam encontrar o valor das constantes
 e . De , temos . De , temos . Portanto, a função temperatura do
bolo é  e o tempo , em minutos, que o bolo leva para atingir a temperatura de 30ºC
é .
Pergunta 7
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Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da
seguinte forma: , onde  e  são funções contínuas. Para resolvermos
equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
  
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é expressa por
 . 
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a função . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, F, V, V.
V, F, F, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Com base na teoria das equações diferenciais
lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que: A a�rmativa I é verdadeira. A a�rmativa II é falsa, pois
a equação auxiliar de uma EDO linear de segunda ordem pode apresentar duas raízes reais distintas, duas
raízes reais iguais ou duas raízes complexas. A a�rmativa III é falsa, pois a equaçãoauxiliar da EDO
 é expressa por . E a a�rmativa IV é falsa, pois a expressão
 é solução de uma EDO com equação auxiliar de raízes reais e iguais, isto é, .
Pergunta 8
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Comentário
da
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito
pela equação , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa
da mola e  é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é
necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com
velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos? 
  
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
  
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Do problema, temos a massa , e, da lei de
Hooke, temos . Além disso, no tempo  a mola está esticada em 1,1 m, sendo seu comprimento
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
resposta: natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m. Temos também que a velocidade inicial da mola é
nula (a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Portanto, a situação descrita trata-se do
PVI:  ,  e  , cuja solução é .
Pergunta 9
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Comentário
da resposta:
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma
equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações
diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas
usando a integração em ambos os membros da igualdade. 
  
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A solução da equação  é . 
II. A solução da equação  é  . 
III. A solução da equação  é . 
IV. A solução da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações
diferenciais separáveis, temos que: 
A�rmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a
equação: , onde . 
A�rmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação:
, onde .
Pergunta 10
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se
transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui
um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: ,
onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma
substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos. 
  
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Quarta-feira, 17 de Novembro de 2021 16h28min52s BRT
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Comentário
da resposta:
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos
que as a�rmativas I e II estão corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que  e, para  concluímos .
Portanto, a função que representa o problema descrito é .