ATIVIDADE 2 A2 GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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Usuário EDUARDO OLIMPIO RAMOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 24/02/21 21:00
Enviado 24/02/21 21:59
Status Completada
Resultado da tentativa 8 em 10 pontos  
Tempo decorrido 58 minutos
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Pergunta 1
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da
resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança
no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção
apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O
potencial elétrico num ponto  do espaço tridimensional é expresso pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do
potencial elétrico  no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e
no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no
ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 2
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da
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis  e , isto
é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio
da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por
meio da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com
relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
  
 e 
 e 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos as seguintes derivadas:
 e . Trocando essas expressões na regra da cadeia,
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resposta: temos:  e .
Pergunta 3
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da
resposta:
As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a
uma função de duas variáveis  quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses
eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função  com relação a qualquer
direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por
um vetor unitário. 
  
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por
 . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função  no
ponto  na direção do vetor . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e ,
que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos
que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional procurada é
.
Pergunta 4
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da
resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No entanto,  e  são
funções de  expressas por  e . Para se obter a derivada de  com relação a variável 
 devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de  em relação a ,
isto é, , para quando . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde
. Assim, . Dado
que , temos .
Pergunta 5
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da variável , isto é,
  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia
expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais
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Comentário
da
resposta:
da função  com relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação à
variável . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação à variável , sabendo que  e . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,
 e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as expressões de  e  temos
.
Pergunta 6
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Comentário da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou
variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a
todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto . 
II - O domínio da função  é o conjunto . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
  
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o conjunto
. 
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
Pergunta 7
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser
obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a
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Comentário
da
resposta:
alternativa correta. 
  
  
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu vetor gradiente são:
,  e . Assim, . Temos
ainda que vetor unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada direcional é
.
Pergunta 8
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Comentário
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível  que passa por um
P, para determinar a equação de um plano tangente à função  no ponto P, precisamos conhecer o
vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como
 . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função
  no ponto P(1,-1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e
.  Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: ,
 e . Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
.
Pergunta 9
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Comentário
da
resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é
derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que
observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente.
Sabemos que podemos escrever . Se  e  e . 
  
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
  
  
As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos que a variável  depende das variáveis  e ,
pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis  e  e essas últimas não possuem
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Quarta-feira, 17 de Novembro de 2021 16h25min19s BRT
dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que  é a variável dependente,  e  são as
variáveisintermediárias e  e  são as variáveis independentes.
Pergunta 10
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da
resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume
(V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde  é uma constante dada,
considere um gás com o volume de  sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma
taxa de  e a pressão está decrescendo a uma taxa de  por segundo. 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
  
  
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos
. Pelas informações do enunciado, temos , ,  e .
Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde
 e . Assim, . Portanto, a
temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
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