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Disciplina:Probabilidade e Estatística6.775 materiais99.577 seguidores
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Inferência Estatística:
Teste de Hipóteses

Média
Variância
Proporção

Teste de Hipóteses

Teste de Hipóteses: exemplo inicial

A ProCare Industries LTDA lançou, certa vez, um
produto chamado “Gender Choice”.

De acordo com a propaganda, o Gender Choice
permitiria aos casais aumentar em permitiria aos casais aumentar em

� 85% a chance de terem um menino
� 80% a chance de terem uma menina.

"Gender Choice a 'gross deception.'". FDA Consumer. FindArticles.com. 22 Sep, 2009.
http://findarticles.com/p/articles/mi_m1370/is_v21/ai_4790727/

Probabilidade “natural” de ter uma menina: 50%

Exemplo Inicial
Em um experimento para verificar a eficácia do “Gender

Choice”, suponha que 100 casais que querem uma
menina façam uso da embalagem rosa.

Número de meninas esperadas, caso os casais não Número de meninas esperadas, caso os casais não
usassem nenhum método: 50 meninas

Utilizando somente o bom senso, o que deveríamos
pensar se, das 100 crianças nascidas,

a) 52 fossem meninas?
b) 97 fossem meninas?

Discussão (Exemplo Inicial)

Situação a)

O número de 52 meninas é muito próximo daquele que
esperamos sem o uso de nenhum método (50) e
poderia ter ocorrido por mero acaso.

Aqui, não há evidências suficientes para concluir que o
“Gender Choice” tenha eficácia.

Discussão (Exemplo Inicial)
Situação b)
A ocorrência de 97 meninas em
100 nascimentos de maneira
natural é muito pouco provável.
(< 0.0001)0

.

1

0

0

.

1

2

0

.

1

4

(< 0.0001)

0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93

numero de meninas

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

p = 0.50
p: probabilidade de uma
menina em um nascimento

Discussão (Exemplo Inicial)
Situação b)
A ocorrência de 97 meninas em 100 nascimentos
poderia ser explicada de duas maneiras :

i) ocorreu um evento extremamente raro;i) ocorreu um evento extremamente raro;
ii) o “Gender Choice” é realmente eficaz .

Diante da probabilidade extremamente baixa de
ocorrer 97 meninas em 100 nascimentos de maneira
“natural”, a explicação mais sensata é a de que o
produto é eficaz.

0
.

0

6

0

.

0

8

0

.

1

0

0

.

1

2

0

.

1

4

0

.

0

6

0

.

0

8

0

.

1

0

0

.

1

2

0

.

1

4

p = 0.50

p = 0.90

p: probabilidade de uma menina em um nascimento

0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93

numero de meninas

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4 p = 0.50

97 meninas são muito mais prováveis quando p > 0.50.

Temos que nos decidir por uma de duas hipóteses …

H1: Gender Choice não funciona (p = 0.50)
H2: Gender Choice funciona (p > 0.50)

… na presença de uma única amostra da população
de interesse.

Teste de Hipóteses

Teste de Hipóteses :
decidindo na presença de incerteza

Hipótese é uma afirmação sobre um parâmetro da
população, sobre a média de uma variável na
população (µ) ou sobre uma proporção populacional

(p).(p).

Teste de Hipóteses é o processo de decisão entre
duas hipóteses sobre um parâmetro da população.

- Hipótese Nula (H0): ponto de partida
- Hipótese Alternativa (HA): hipótese do pesquisador

Teste de Hipóteses :
decidindo na presença de incerteza

Vamos utilizar as informações sobre o parâmetro contidas na
amostra para testar H0 versus HA.

Exemplo Inicial:

p = proporção de nascimentos de meninas com o uso do Gender
Choice.

- Hipótese do pesquisador: o método funciona (p > 0.5)
- Hipótese nula: o método não funciona (p = 0.5)

Usando as informações da amostra de 100 casais que usaram o
método (e, destes, quantos tiveram menina), decide-se entre

H0: p =0.5 e HA: p >0.5

Erros associados a um Teste de Hipóteses

Decisão
baseada

no teste

Situação real (desconhecida)
H0 é verdadeira H0 é falsa

Decisão incorreta
Rejeitar H0

Não rejeitar
H0

Erro tipo I: Rejeitar H0 quando H0 é verdadeira.
Erro tipo II: Não rejeitar H0 quando H0 é falsa.

Decisão incorreta
(Erro Tipo I)

Decisão incorreta
(Erro Tipo II)

Decisão correta

Decisão correta

Erros associados a um Teste de Hipóteses

H : p =0.5 (o Gender Choice não funciona)

Exemplo Inicial:

p = proporção de nascimentos de meninas com o uso do
Gender Choice.

H0: p =0.5 (o Gender Choice não funciona)
HA: p >0.5 (o Gender Choice funciona)

Erro tipo I: Dizer que o Gender Choice funciona,
quando ele não funciona

Erro tipo II: Dizer que o Gender Choice não funciona,
quando ele funciona

Erros associados a um Teste de Hipóteses
O Erro Tipo I geralmente é o mais grave.

Assim pretende-se “controlá-lo”, pré-fixando sua
probabilidade de ocorrência em um valor pequeno α :

P(Erro tipo I) = P(Rejeitar H0 quando H0 é verdadeira) = α.

Este valor pré-fixado para a probabilidade do Erro Tipo I é
chamado nível de significância do teste.

Usualmente tem-se: α = 0.10 ou α = 0.05 ou α = 0.01.

Se for fixado o valor de α = 0.05, diz-se que “é um teste de
hipóteses ao nível de significância de 5%”.

Componentes de um Teste de Hipóteses
Hipótese nula: é a afirmação sobre o valor de um parâmetro
populacional (média ou proporção, denotados por µ e p).

Usualmente, H0 expressa a condição de igualdade.
H0: µ = µ0 , H0: µ ≥ µ0 ou H0: µ ≤ µ0.

Hipótese alternativa: é a afirmação verdadeira para o caso de
a hipótese nula ser falsa.
Comporta-se basicamente de três formas:
HA: µ ≠ µ0 , HA: µ > µ0 ou HA: µ < µ0.

Nível de significância do teste: Probabilidade máxima
tolerada para o Erro Tipo I (rejeitar H0 se ela é verdadeira).

Componentes de um Teste de Hipóteses
Estatística de teste: mede a distância entre o que foi
observado na amostra e o que seria esperado se a hipótese

nula fosse verdadeira.
Distribuição de Referência do teste: De acordo com o tipo de
teste de hipóteses feito, uma distribuição de probabilidades é

associada à estatística de teste.
Região de Rejeição: conjunto de valores da estatística de teste

que levam à rejeição de H0. A região de rejeição (RR) é
construída a partir da distribuição de referência.

Valor crítico: é o valor ou os valores que separam a região
crítica dos demais valores possíveis da estatística de teste.
Valor p: probabilidade de errar ao rejeitar a hipótese nula com
base nos dados amostrais. É calculado usando-se a
distribuição de referência da estatística do teste.

Formas das hipóteses sobre
uma média populacional µ

H0: µ = µ0
HA: µ < µ0

H0: µ = µ0
HA: µ > µ0

H0: µ = µ0
HA: µ ≠ µ0

Teste bilateral

Teste unilateral direitoTeste unilateral esquerdo

Passos para Teste de Hipóteses

1) Definir o parâmetro (média ou proporção) sobre o qual é feito
o teste.

2) Definir a hipótese do pesquisador.

3) Definir a hipótese nula (H0) e hipótese alternativa (HA).

4) Escolher um valor α para o nível de significância do teste.

5) Definir a estatística de teste.

6) Calcular o valor observado da estatística de teste na amostra
retirada da população.

Passos para Teste de Hipóteses (Método Tradicional)

7) Definir a região de rejeição de H0.

Conclusão: a amostra não
contém evidências suficientes

O valor observado da
estatística pertence à

região de rejeição ?

NÃO

SIM

contém evidências suficientes
para a rejeição da afirmação
da hipótese nula.

Conclusão: a amostra contém
evidências suficientes para a
rejeição da hipótese nula.

Passos para Teste de Hipóteses (Método do Valor P)

7) Calcular o Valor P

Conclusão: a amostra não
contém evidências suficientes

O valor P é menor do
que o valor do que o

nível de significância ?

NÃO

SIM

contém evidências suficientes
para a rejeição da afirmação
da hipótese nula.

Conclusão: a amostra contém
evidências suficientes para a
rejeição da hipótese nula.

Teste de Hipóteses para a Média Populacional

H0: µ = µ0
HA: µ ≠ µ0

Teste Bilateral

x µ−

Dados amostrais: , s e nx

.

o
obs

xT
s n

µ−
=Estatística de Teste:

0

Região de
Rejeição:

)2;1(
α

−

−<
n

tTobs

)2;1(
α

−

>
n

tTobs
OU

Sob H0, Tobs ~ t(n-1)

α/2α/2

Exemplo 1:

Um artigo no Materials Engineering* descreve os resultados de
testes trativos de