Aplicações da matemática financeira - capital, montante, juros

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MATEMÁTICA
Ensino Médio, 1º Ano
Aplicações da Matemática 
Financeira: capital, montante, juros
Matemática, 1º Ano, Aplicações da Matemática 
Financeira: capital, montante, juros
Em uma sociedade capitalista, é de fundamental importância o 
conhecimento, por parte de todos os indivíduos dessa sociedade, das 
ideias e conceitos relativos à Matemática Financeira, tais como: 
Porcentagem, Capital, Juros e Montante.
As páginas seguintes têm o objetivo de ajudar na compreensão dos 
conceitos citados e, consequentemente, na resolução de problemas 
envolvendo os mesmos.
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Financeira: capital, montante, juros
Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos 
utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de 
análise de investimentos em geral.
Isso não impede, porém, que alguns conceitos da Matemática 
Financeira, como o de porcentagem, por exemplo, possam ser utilizados 
em problemas que não envolvem dinheiro.
Exemplo: Podemos calcular o percentual de aumento na altura de uma 
planta em determinado intervalo de tempo.
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Financeira: capital, montante, juros
Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante um 
certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada 
por C. 
O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago 
pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado por J.
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A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é 
expressa como porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa 
unidade de tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.), 
ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc.
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De modo geral, os juros no período são iguais ao produto do capital pela 
taxa, isto é:
J = C ∙ i (juros no período da taxa)
Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao final do 
prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado 
com o juro, que chamaremos de montante e indicaremos por M.
M = C + J
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Juros Simples
Nesta modalidade, os juros são sempre calculados sobre um valor fixo (o 
capital). Assim, considerando um capital C aplicado a uma taxa i por 
período e durante t períodos de tempo, os juros simples da aplicação 
serão iguais à soma de t parcelas iguais a C ∙ i, ou seja:
J = C ∙ i + C ∙ i + C ∙ i + ... + C ∙ i
Portanto:
J = C ∙ i ∙ t
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Juros Compostos
Nesta modalidade os juros são calculados de acordo com o montante 
acumulado até o período anterior, ou seja, o montante após uma 
quantidade t de períodos de tempo é:
Mt = Mt  1 + Mt  1 ∙ i
Em resumo:
Mt = C ∙ (1 + i)t
A fórmula acima é indicada habitualmente sem o índice, escrevendo-se 
simplesmente:
M = C ∙ (1 + i)t
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Bina deseja comprar um automóvel que custa, atualmente, R$ 48 
000,00. Ela fez uma pesquisa e constatou que esse modelo vem 
aumentando seu valor a uma taxa de 1% ao mês. Bina aplicou seus R$ 
36 000,00 em um fundo que rende 4% ao mês. Em quanto tempo Bina 
terá o dinheiro suficiente para comprar o seu carro, considerando que 
essas condições se mantenham por todo o período?
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Para respondermos à pergunta do problema de Bina, devemos saber ainda 
se os reajustes e os rendimentos do fundo são em juros simples ou 
compostos.
Vejamos, então, os seguintes casos:
• Os reajustes e os rendimentos são em juros simples;
• Os reajustes e os rendimentos são em juros compostos;
• Os reajustes são em juros simples e os rendimentos em juros compostos;
• Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos em juros simples.
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Os reajustes e os rendimentos são em juros simples
Neste caso, temos que:
J = C ∙ i ∙ t
E o montante do valor do automóvel será igual ao montante do 
investimento:
Ma = Mi
Logo:
Ca + Ca ∙ ia ∙ t = Ci + Ci ∙ ii ∙ t
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Assim:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
 48 000 + 480t = 36 000 + 1 440t
 1 440t  480t = 48 000  36 000
 960t = 12 000
 t = 12 000 : 960
 t = 12,5 meses
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Os reajustes e os rendimentos são em juros 
compostos
Neste caso:
 Ca ∙ (1 + ia)t = Ci ∙ (1 + ii)t
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
Aplicando logaritmo aos dois membros:
 log [48 000(1,01)t] = log [36 000(1,04)t]
log 48 000 + t ∙ log 1,01 = log 36 000 + t ∙ log 1,04
 4,68124 + 0,00432 ∙ t = 4,5563 + 0,01703 ∙ t
Portanto:
 t  9,83 meses
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Os reajustes são em juros simples e os rendimentos 
em juros compostos
Agora, temos:
48 000 + 48 000 ∙ 0,01 ∙ t = 36 000 ∙ (1 + 0,04)t
 480(100 + t) = 36 000(1,04)t
Aplicando logaritmo, teremos:
 log [480(100 + t)] = log [36 000(1,04)t]
 log 480 + log (100 + t) = log 36 000 + log (1,04)t
log (100 + t)  log (1,04)t = log 36 000  log 480
Daí resulta:
log [(100 + t)/(1,04)t] = log (36 000/480)
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Portanto:
 (100 + t)/(1,04)t = 75
 100 + t = 75 ∙ (1,04)t
Fazendo os gráficos das funções y = 100 + t e y = 75 ∙ (1,04)t, temos:
Assim, a abscissa positiva do ponto de intersecção nos dará a resposta:
t  9,7 meses
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Os reajustes são em juros compostos e os rendimentos 
em juros simples
De forma idêntica ao caso anterior, teremos:
48 000 ∙ (1 + 0,01)t = 36 000 + 36 000 ∙ 0,04 ∙ t
Seguindo-se os passos anteriores chegamos, finalmente, a:
 75 + 3t = 100 ∙ (1,01)t
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Fazendo-se, então, os gráficos das funções y = 75 + 3t e y = 100(1,01)t, 
teremos:
A abscissa positiva do ponto de intersecção é:
t  12,9 meses
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Atividades Resolvidas
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 12 000,00 a juros simples, 
à taxa de 18% a.a. durante 5 anos?
C = R$ 12 000,00
i = 18% a.a. = 0,18 a.a.
t = 5 anos
M = C + J  M = C + C ∙ i ∙ t  M = C ∙ (1 + i ∙ t)
Portanto:
M = 12 000 ∙ (1 + 0,18 ∙ 5)
M = 12 000 ∙ 1,90
M = 22 800 reais
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2) Um capital de R$ 20 000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à 
taxa de 2% a.m. Qual o montante obtido?
C = R$ 20 000,00
t = 2 anos = 24 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
M = 20 000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 24)
M = 20 000 ∙ 1,48
M = 29 600 reais
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3) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a.m., 
durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00.
i =2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = 2 anos = 24 meses
M = R$ 16 000,00
 M = C ∙ (1 + i ∙ t)
16 000 = C ∙ (1 + 0,025 ∙ 24)
16 000 = 1,6 ∙ C
 C = 16 000
 1,6
C = 10 000 reaisMatemática, 1º Ano, Aplicações da Matemática 
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4) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses, e à 
taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 825,00.
t = 11 meses
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
J = R$ 825,00
 J = C ∙ i ∙ t
825 = C ∙ 0,015 ∙ 11
825 = 0,165 ∙ C
 C = 825 .
 0,165
C = 5 000 reais
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5) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3 000,00 a juros 
compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.?
C = R$ 3 000,00
t = 10 meses
i = 1,4% a.m. = 0,014 a.m.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 3 000 ∙ (1 + 0,014)10
M = 3 000 ∙ (1,014)10
M  3 000 ∙ 1,15
M  3 450 reais
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6) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$ 80 000,00 pelo 
prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o banco cobrou 
juros compostos à taxa de 5% a.t.
C = R$ 80 000,00
t = 1 ano = 4 trimestres
i = 5% a.t. = 0,05 a.t.
M = C ∙ (1 + i)t
M = 80 000 ∙ (1 + 0,05)4
M  80 000 ∙ 1,2155
M  97 240,00 
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Atividades Propostas
1) Um capital foi aplicado em regime de juros simples à taxa de 1,5% a.m., 
por 3 meses. Ao final desse período, apresentou um rendimento de R$ 
135,00. Qual o capital aplicado?
2) Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 9 500,00 
produzir um montante de R$ 11 900,00 ao fim de 1 ano?
3) O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. Dando-se uma entrada 
de R$ 80,00, financia-se o restante em 12 meses com juros simples de 4% ao 
mês. Qual será o valor de cada prestação?
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4) Andrea deseja aplicar R$ 18 000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que 
montante ela terá após 1 ano de aplicação?
5) Um capital foi aplicado em regime de juros compostos, por 24 meses, a uma 
taxa de 7% ao mês. Sabendo que o montante da aplicação foi de R$ 12 825,00, 
qual o valor aplicado?
6) Ana quer aplicar R$ 6 000,00 com o objetivo de, após 1 ano e 3 meses, ter 
guardado R$ 9 348,00. Que taxa mensal sua aplicação deverá ter para que ela 
consiga o valor desejado?
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