Matematica Financeira Taxa de Juros

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FACULDADE SENAC MINAS- CONTAGEM
Tiago Júnio Dias
Curso: Administração 2° Período Noite
	
TAXA DE JUROS
Contagem – MG
29/05/2018
1.0 Taxa de juros
- Conceito:
 A taxa de juros é um índice utilizado em economia e finanças para registrar a rentabilidade de uma poupança ou o custo de um crédito. Chama-se taxa de juros aos diferentes tipos de índice que se empregam na medida de rentabilidade das poupanças ou que se incorporam ao valor de um crédito. 
 Ela é uma relação entre dinheiro e o tempo dado que podem beneficiar a um poupador que decide investir seu dinheiro em um fundo bancário, ou seja, que se soma ao custo final de uma pessoa ou entidade que decide obter um empréstimo ou crédito. 
 E é calculada em porcentagem e com frequência aplica-se de forma mensal ou anual. Isto é, que os juros permitem que uma pessoa que quer gerar rendimentos a partir de suas poupanças, coloque suas rendas em uma conta no banco, e este lhe dará um ganho mensal estipulado de acordo com a quantidade de dinheiro investida e o tempo durante o qual se comprometa a deixar esse montante num prazo fixo, por exemplo. 
 Por outro lado, se uma empresa ou indivíduo tem a necessidade ou desejo de obter dinheiro por empréstimo, o prestamista aplicará uma taxa de juros sobre o dinheiro emprestado que dependerá do tempo em que se compromete em devolver e da quantidade de efetivo que se estenda ao interessado.
 É a razão entre o valor de juro recebido (ou pago) no final de um certo período de tempo e o Capital inicialmente aplicado (ou emprestado)
 I = _J_
 C
 Entendemos que as taxas de juros podem ser classificadas:
a) Quanto ao regime de capitalização 
 - Simples (ou Linear) e Composta (ou Exponencial);
b) Quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo
 - Nominal, Efetiva e Real.
 Como se verifica mais adiante, essas duas classificações não são mutuamente excludentes, isto é uma taxa pode ser nominal linear ou nominal exponencial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real linear ou real exponencial.
Conceitos:
MONTANTE (M) ou VAL OR 
Futuro (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV”, ou seja: 
M = C + J ou FV = PV + J
	 M = C + J ou FV = PV + J 
 
 
Onde:
M= Montante
C= Capital
J= Juros
 OU 
FV= Valor Futuro
PV= Valor Presente
J= Juros
1.1 Classificação quanto ao regime de capitalização
Como foi mencionado, as taxas de juros quanto ao seu regime de capitalização podem ser Simples ou Compostas.
A Taxa de Juros é Simples (ou linear) quando o valor total dos juros é resultante da sua incidência somente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não incide sobre o valor dos juros acumulados periodicamente.
Formula: J = C x i x n
Onde:
J = Juros
C= Capital
I= Taxa de juros
N= períodos (tempo)
 Exemplo:
Seja um capital de R$ 100.000,00 aplicado por seis meses, à taxa de 4% ao mês.
Solução: J = C x i x n 
   J= 100.000,00 x 0,04 x 6 
 J= 24.000,00
O quadro 1 nos mostra os saldos mensais de capital + juros, no início e fim de cada mês.
 
 
A Taxa de Juros Composta (ou exponencial) quando o valor total dos juros é resultante da sua incidência sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros acumulados periodicamente. Assim, para o mesmo exemplo acima, teremos a seguinte solução:
- Montante M= C (1+ i)n
 M= 100.000,00(1,04)6  
 M= 100.000,00x1,26532 
 M= 126.532,00 
 J = M-C
 J= 126.532,00 - 100.000,00 
 J= 26.532,00
 Os juros mensais e acumulados, bem como os saldos iniciais e finais de capital mais juros, são mostrados no quadro 2.
 
 Através dos exemplos podemos verificar que os juros acumulados, e respectivos montantes de capital mais juros, crescem linearmente num regime de capitalização simples e exponencialmente num regime de capitalização composta. O cálculo do primeiro, por ser extremamente simplificado, continua sendo amplamente utilizado no mercado, embora apresente distorções que se agravam em função do crescimento do prazo.
1.2 Classificação quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo
 Na maior parte dos compêndios de matemática financeira, quer de autores nacionais ou estrangeiros, as taxas são classificadas como nominal ou efetiva em função da divisão de certo período (normalmente um ano), em subdivisões de períodos de capitalização (mensal, trimestral, semestral).
1.2.1 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA 
 A Taxa Nominal é uma taxa de juro, que corresponde a um período de um ano, aplicada em contratos de créditos ou aplicações financeiras. É obrigatório que o valor da taxa nominal esteja expresso de forma clara e legível nos contratos de créditos.
Características
A Taxa Nominal é expressa em percentagem e traduz-se num custo/ganho financeiro para quem pede ou concede um crédito.
 
 De acordo com o DL 133/2009, o cliente deve receber todas as informações relativas às alterações da taxa nominal em papel ou noutro suporte duradouro, antes da entrada em vigor dessas alterações. Nesta informação deve constar o montante dos pagamentos a efetuar após a entrada em vigor da nova taxa nominal e, se o número ou a frequência dos pagamentos forem alterados, os detalhes das alterações.
 
 Uma taxa é nominal quando o valor do capital inicial tomado como base de cálculo não representa o valor efetivamente recebido ou desembolsado. Trata-se, na verdade, de uma taxa aparente. 
 Exemplo:
- Um cliente obtém um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado, no final de um ano, em um único pagamento de R$ 130.000,00, garantido por uma nota promissória. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha 20% do valor recebido como saldo médio.
A taxa nominal no período considerado é a seguinte:
Taxa nominal =   = = 0,30 ou 30%
 Portanto, a taxa nominal é de 30% no período (no caso, um ano), e que corresponde normalmente à taxa contratual. Entretanto, o valor do capital inicial não corresponde ao valor efetivamente colocado à disposição do cliente, que é de R$ 80.000,00.
 A Taxa de juro Efetiva é aplicada quando existe capitalização, e se torna necessário converter a taxa nominal em taxa efetiva. Assim sendo, sempre que se faz uma aplicação, em que os juros serão incorporados no capital inicial (de forma trimestral ou semestral), o valor a receber será maior do que o indicado pela taxa nominal.
O cálculo da taxa de juros, com base neste valor, nos dá a taxa efetiva de juros no período.
Taxa de juros = = 37,5%
Ou seja, tudo se passa como se o empréstimo fosse de R$ 80.000,00 e o seu valor de resgate de R$ 110.000,00 (o valor da nota promissória de R$ 130.000,00 será complementado pelos R$ 20.000,00 já existentes na conta do cliente).
Exemplo:
- Um agiota empresta R$ 20.000,00 para receber Cr$ 30.000,00 no final de seis meses. Entretanto, no ato, paga a um intermediário uma comissão de 5% sobre o valor emprestado, ou seja, Cr$ 1.000,00.
As taxas, no período, são as seguintes:
Taxa nominal =   =   = 0,50 ou 50%
Taxa efetiva =   =   = 0,42857 ou 42,857%
 TAXA PROPORCIONAL
 i1 / i2 = n1 / n2 
 Taxas proporcionais são taxas de juros com unidades de tempo diferentes que, aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros simples.
 Exemplos: 3% a.m (ao mês). É proporcional a 36% a.a. (ao ano).
Relaçãoentre taxas proporcionais.
Sejam
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
it = taxa de juros trimestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
Vamos deduzir inicialmente a relação entre as taxas proporcionais mensal e anual. 
 Suponhamos um principal P aplicado por 1 ano à taxa ia e por 12 meses à taxa im. Da definição de taxas proporcionais temos 
 P (1 + ia) = P (1 + 12im) 
 1 + ia = 1 + 12im
 Portanto 
 ia = 12 im 
Analogamente, obtemos
	 ia = 2is = 4it = 12im = 360id 
 Exemplo:
- Que capital deverá ser aplicado à taxa de 10% ao trimestre, para produzir ao final de 2 anos, o montante de R$ 14.400,00, no regime de capitalização simples? 
Solução: 
S = R$ 14.400,00 
i = 10 % a. t. 
n = 2 anos = 8 trimestres 
P =?
S = P (1 + in)
14.400 = P (1 + 0,10 8)
 P = 14.400
 1,80
 P = R$ 8.000,00
TAXA EQUIVALENTE 
 São taxas de juros com unidades de tempo diferentes que, aplicadas ao mesmo capital PV durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante FV, no regime de juros compostos.
	 iq = (1 + it) q/t – 1
Onde: 
 iq = taxa que quero conhecer;
 it = taxa que tenho, taxa conhecida; 
 q = período da taxa que quero;
 t = período da taxa que tenho.
Exemplo 
- Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%. 
Temos que 4,5% = 4,5 / 100 = 0,045 
(1 + ia) = (1 + 0,045)12 
1 + ia = 1,04512 
1 + ia = 1,6959 
ia = 1,6959 – 1 
ia = 0,6959 
ia = 69,59 % ao ano 
TAXAS UNIFICADAS
A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil onde vários indexadores – na verdade taxas de correção monetária – são colocadas no mercado (IGP-DI) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação.
- O problema é ter duas taxas (i1 e i2) e torná-las únicas (iu) de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.
- “cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las: 
	 (iu diferente de i1 + i2)”
 Fórmula:
 
Exemplo:
i1 = 5%
i2 = 6%
 
TAXA REAL 
 A taxa real expurga o efeito da inflação. 
 Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas! 
 Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in. 
 O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P (1 + in). Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j). 
 A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escrever: 
 S1 = S2 (1 + r) 
Substituindo S1 e S2, vem: 
P (1 + in) = (1+r). P (1 + j) 
Daí então, vem que: 
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde: 
in = taxa de juros nominal 
j = taxa de inflação no período 
r = taxa real de juros 
 Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. 
 Veja o exemplo a seguir: 
 Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. 
 Teremos que a taxa nominal será igual a: 
 in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% 
 Portanto in = 25% 
 Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
 (1 + in) = (1+r). (1 + j)
 (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 
1,25 = (1 + r).1,10
 1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% 
 Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
 (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 
 1,25 = (1 + r).1,30 
 1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 
 Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
Referências:
http://queconceito.com.br/taxa-de-juros
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901981000100008
https://www.economias.pt/taxa-de-juro-nominal-real-e-efetiva/
http://www.peritocontador.com.br/artigos/matematica_financeira_para_gestores.pdf
http://www.ufjf.br/andre_hallack/files/2016/07/matfin-16.pdf
https://ead.acasadoconcurseiro.com.br/material/6712795/3214-taxa-aparente-e-real-edgar-abreu.pdf
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