Artigo - APLICAÇÕES DE DERIVADA E INTEGRAL NA ENGENHARIA DE ALIMENTOS

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APLICAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS NA ENGENHARIA DE ALIMENTOS 
 
 
 Juliana Costa Camillo1 
Matheus Guedes da Costa2 
Thamyris R.S.Nascimento3 
Vanessa Cristina de Barros4 
 
Faculdade Católica Paulista 
 
RESUMO: A Matemática e a Física são ciências que andam lado a lado, portanto, são 
ferramentas importantes e fundamentais para a evolução da sociedade e tecnologia como 
conhecemos nos dias atuais. Para este avanço, muitos foram os matemáticos e físicos que 
contribuíram para o nascimento dos cálculos utilizados atualmente, sendo que Newton e 
Leibniz foram grandes responsáveis pela construção lógica e estruturada dos cálculos como 
conhecemos, sendo elas as Derivadas e Integrais, que são úteis em física e diversas aplicações 
diárias. O presente artigo, propõe exemplificar o uso das derivadas e integrais dentro da 
engenharia de alimentos, relacionando os cálculos com grandezas e unidades físicas em suas 
aplicações práticas, em situações de empresas vinícolas, produção de farinha de mandioca e 
no desenvolvimento de embalagens especificas. 
 
Palavras-chave: Cálculo. Derivada. Engenharia. Integral. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Os números são de suma importância dentro da comunicação social, fazendo jus em 
raciocínio lógico para um entendimento da matemática. A matemática é uma ferramenta 
fundamental para evolução e desenvolvimento da ciência, inclusive a busca de praticidade nas 
formulas para o raciocínio de cálculos, que são muito utilizados dentro das engenharias. 
O cálculo de derivadas foi descoberto por Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton, 
no século XVII, que possibilita calcular a inclinação da reta tangente de uma função f (x), que 
é a taxa de variação. Sendo o cálculo da variação da função em determinados pontos, 
representando graficamente onde a curva da reta deve subir ou descer, sendo calculada por y 
= f(x) em relação à x, dada pela relação 
∆x
∆y
. 
 
1Graduando em Engenharia de alimentos pela Faculdade Católica Paulista (UCA). E-mail: 
julianacostacamillo@yahoo.com.br 
2Graduando em Engenharia de alimentos pela Faculdade Católica Paulista (UCA). E-mail: 
matheus_c0sta250@hotmail.com 
3Graduando em Engenharia de alimentos pela Faculdade Católica Paulista (UCA). E-mail: 
thamyris.r.souza@hotamail.com; 
4Graduando em Engenharia de alimentos pela Faculdade Católica Paulista (UCA). E-mail: 
vana1036@hotmail.com 
 
about:blank
mailto:julianacostacamillo@yahoo.com.br
mailto:maysalimadolce@gmail.com
mailto:thamyris.r.souza@hotamail.com
mailto:vana1036@hotmail.com
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As aplicações das derivadas podem ser utilizadas para relacionar qualquer grandeza 
que possa ser representada por uma função. Do qual o propósito, é a descoberta da taxa de 
variação entre o comportamento dessas variáveis. 
De forma geométrica, a definição de derivada se faz através do cálculo para 
determinação do problema de traçar a tangente a uma curva, já a integral está relacionada com 
o problema de determinar a área de certas figuras planas, a simetria das curvas, falta de 
constâncias em velocidades e outros, mas a descoberta real desses cálculos foi que a 
matemática além de lidar com grandezas, pode-se também calcular as variações das mesmas 
(SODRÉ, 2020). 
A classificação de integral definida se aplica ao resultado de uma área de certa região, 
não dependendo de variação x e não mudando o valor da integral. Já a integral indefinida 
representa funções, que são diferenciadas por uma constante C, e enquanto a integral definida 
é um número, com um valor fixo da área de um gráfico, a integral definida é uma função. 
Em face do cenário atual, com todos os avanços tecnológicos, o cálculo manual deixou 
de ser utopia e tornou-se uma distante realidade. Atualmente, na grande maioria das empresas, 
os cálculos de derivadas e integrais são feitos via software, devido sua maior precisão e 
otimização de tempo. Desde pequenas a grandes empresas, fazem a utilização desses 
softwares para ampliar e otimizar o tempo de seus colaboradores, de forma que se fazem 
necessários os cálculos manuais somente em casos de eventualidades ou erros de software 
(SANTANA, 2021). 
O presente trabalho tem como objetivo avaliar as aplicabilidades e conhecimento das 
formulas atuais oriundas das derivadas e integrais dentro do campo da engenharia de 
alimentos. 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
2.1 - Aplicação de cálculo de derivada 
2.1.1 Produção Vinícola 
 
O vinho é uma bebida alcoólica produzida pela fermentação do sumo da uva, e é uma 
das principais bebidas consumidas e apreciadas pelo mundo, tendo seus principais 
consumidores e produtores a França, Itália, Espanha e Estados Unidos. 
Ainda, cabe mencionar que o Brasil, situa-se em um cenário de expansão e consumo 
de vinho, no ano de 2015 em território nacional, houve uma produção de 1.499.353 toneladas 
3 
 
 
situada em uma área de 79,094 hectares. Cabendo-se destaque ao Rio Grande do Sul, um 
estado que a vitivinicultura foi introduzida no pelos colonizadores italianos na Serra Gaúcha e 
região, e atualmente sendo o estado que mais plantou, colheu e produziu vinhos, sucos e 
derivados nos anos de 2013, 2014 e 2015 em território nacional (EMBRAPA, 2015). 
Na produção vinícola, é de extrema importância a qualidade da uva, e para isso um 
dos fatores essenciais para garantir qualidade em todos processos, as vinícolas, são exigentes 
em seus cultivos e compras de uvas. Pensando na maneira prática, a derivada é aplicada desde 
a matéria prima, passando por vários processos, começando com a uva recém obtida até 
chegar ao engarrafamento do vinho (DUTRA, 2014). 
De tal forma, podemos considerar a função f(x)= Uva, f' (x)= mosto das uvas e 
fermentação do mosto. f'' (x)= vinho engarrafado. 
 
Figura 1 – Ilustração da “derivada” da Uva. 
 
Fonte: Autoria própria, (2021). 
Um problema de situação prática que pode ser resolvido por derivadas é o custo 
marginal, que é o conceito utilizado em economia e busca descrever as alterações causadas no 
custo total para uma mudança unitária e com aplicações da Regra da Cadeia e Taxas de 
Variação podem ser solucionados. Todos os empreendimentos utilizam de forma direta ou 
4 
 
 
indireta aplicações de derivadas, para aproveitar oportunidades de compra e venda, evitar 
desperdícios e afins (SOUZA, 2015). 
Um exemplo aplicado na prática, pode ser demonstrado com o seguinte exercício de 
aplicação de derivadas feito por Menezes e readaptada para um cenário real. 
Suponha que em uma vinícola o P seja o preço de caixas de uvas, x o número de 
milhares de caixas de uvas ofertadas diariamente, sendo a Equação (1): Px – 20P – 3x + 105 
= 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, em que taxa o preço 
está quando a oferta diária é 5000 caixas? (MENEZES, 2013). 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= ? 
Conforme o enunciado, temos x = quantidade de caixas em milhares, P = o preço da 
caixa e t = o tempo em dias, derivando implicitamente em relação a t, temos que: 
 
𝑑𝑃𝑥
𝑑𝑡
− 
𝑑20𝑃
𝑑𝑡
− 
𝑑3𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑105
𝑑𝑡
= 0 
 
𝑑𝑃𝑥
𝑑𝑡
− 20 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 3 •
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0 
 
𝑥 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
+ 𝑝 •
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 20 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 3.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0 (Eq. 2) 
 
 
Calculando 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 250 ÷ 1000 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
4
 𝑜𝑢 0,25 
 
Como no enunciado informa que está decrescendo o valor deve ser negativo, portanto: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −
1
4
 𝑜𝑢 − 0,25 
 
Logo substituindo na Equação (2), obtemos: 
𝑥 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
+ 𝑝 •
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 20 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 3.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0 
𝑥 − 20 • 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 0,25𝑃 + 0,75 = 0 (Eq. 3) 
 
 
Calculando x, no momento que é ofertado 5 mil caixas: 
 
𝑥 = 5000 ÷ 1000 
𝑥 = 5 
 
5 
 
 
Calculando P, substituindo na Equação (1): 
 
𝑃 • 𝑥 − 20 • 𝑃 − 3 • 𝑥 + 105 = 0 
𝑃 • 5 − 20 • 𝑃 − 3 • 5 + 105 = 0 
5𝑃 − 20𝑃 − 15 + 105 = 0 
−15𝑃 + 90 = 0 
𝑃 = 90 ÷ 15 
𝑃 = 6 
Calculando 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
, substituindo na equação (3): 
𝑥 − 20 •𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 0,25𝑃 + 0,75 = 0 
 
5 − 20 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 0,25 • 6 + 0,75 = 0 
 
−15 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 1,5 + 0,75 = 0 
 
−15 •
𝑑𝑃
𝑑𝑡
− 0 = 1,5 − 0,75 
 
−15 • 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,75 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,75 ÷ 15 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,05 
 
O preço de uma caixa de uvas decresce R$0,05 diariamente quando a oferta diária é de 
5000 caixas, podendo ser considerado −0,05
𝑅$
𝑑𝑖𝑎
. 
 
2.1.2 Produção de Farinha de Mandioca 
 
A Mandioca (Manihotesculentacrantz) é uma raiz de importância global sendo 
consumida por mais de 700 milhões de pessoas no mundo inteiro, segundo o IBGE, ela é 
consumida de diversas formas, porem a mais comum é a farinha. Além de alimento, é uma 
fonte de renda para muitos brasileiros através do plantio, do beneficiamento da matéria prima 
e da comercialização (IBGE, 2018). 
Conforme informações da Secretaria de Estado de Desenvolvimento Agropecuário e 
da Pesca –o Pará é o maior produtor brasileiro da farinha de mandioca, com mais de 5 
milhões de toneladas por ano, em uma área plantada de 300 mil hectares (SEDAP, 2017). 
6 
 
 
Trazemos um problema com base nos dados obtidos na pesquisa, bem como o 
desenvolvimento e métodos utilizados para a conclusão dos resultados. 
Um produtor de farinha do rio Anapú produz e comercializa sua produção diária na 
cidade Melgaço. Supondo que ele possui um custo C(x) = ⅓ x3− 4x2+ 65x – 200 para 
produzir x sacos de farinha (cada saco possui 30 quilos) durante o dia e obtém uma receita 
R(x)= 50x com a venda de sua produção. Supondo que toda produção seja absorvida pelo 
mercado consumidor, determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro 
(KÉDMA, 2019). 
Resolução obtendo a função lucro temos: 
(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶 (𝑥) 
𝐿(𝑥) = (50𝑥) − ( 
1
3
𝑥3 − 4𝑥2 + 65𝑥 − 200) 
𝐿(𝑥) = 50𝑥 − (
1
3
𝑥3 + 4𝑥2 − 65𝑥 + 200) 
𝐿(𝑥) = −
1
3
𝑥3 + 4𝑥2 − 15𝑥 + 200 
 
Calculando a derivada da função L(x): 
𝐿′(𝑥) = −
1
3
• 3 • 𝑥3−1 + 2.4𝑥2−1 − 1 • 15𝑥1−1 
 
𝐿′(𝑥) = − 𝑥² + 8𝑥 − 15 
Calculando os pontos críticos de temos: 
𝐿′(𝑥) = 0 
−𝑥2 + 8𝑥 − 15 = 0 
𝛥 = 𝑏2 − 4 𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4 • (−1) • (−15) 
𝛥 = 64 − 60 
𝛥 = 4 
Aplicando a fórmula resolutiva temos: 
𝑥 = 
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥 = 
−8 ± √4
21. (−1)
 
𝑥 = 
−8 ± 2
−2
 
𝑥′ = 
−8 + 2
−2
= 3 
𝑥′ = 
− 8 − 2
−2
= 5 
Assim temos x=3 e x=5 como pontos críticos. Vejamos se são pontos de máximo ou 
mínimo aplicando o teste da segunda derivada: Calculando a segunda derivada temos: 
7 
 
 
𝐿′(𝑥) = − 𝑥2 + 8𝑥 − 15
𝐿′′(𝑥) = −2𝑥 + 8
 
Calculando a segunda derivada nos pontos críticos, temos: Para x = 3 
𝐿′′(3) = − 2 • (+3) + 8 = 2 > 0 
Logo em x=3 temos um ponto de mínimo. Para x = 5 
𝐿′′(5) = − 2 • (+5) + 8 = −2 < 0 
 Logo em x=5 temos um ponto de máximo 
Logo o produtor de farinha deverá produzir 5 sacos de farinha (ou 150 quilos) para 
que obtenha um lucro máximo. Para sabermos o lucro máximo basta calcularmos: 
𝐿(𝑥) = −
1
3
𝑥3 + 4𝑥2 − 15𝑥 + 200 
𝐿(5) = −
1
3
• 53 + 4 • 52 − 15 • 5 + 200 
𝐿(5) = −
1
3
• 125 + 4 • 25 − 75 + 200 
𝐿(5) = −41,6 + 100 − 75 + 200 
𝐿(𝑥) = 300 − 116,6 
𝐿(𝑥) = 183,4 
 Logo o lucro máximo obtido com a produção de 5 sacos de farinha é de R$183,4. 
 
2.2 Aplicação de cálculo integral 
A utilização do cálculo Integral está relacionada para determinar a área de certa figura 
plana, está correlacionado dentro do setor alimentício à função de desenvolvimento de 
embalagens definirem a área plotada das embalagens para deixar envolto o produto, a fim de 
garantir a montagem em processo visando a maquinabilidade e sua função final, de proteger o 
alimento. 
Para determinação da área em pacotes estilo tubete conforme demonstra a imagem 1 
está aplicação no dia a dia utiliza-se a formula: 
𝐴 = 𝜋𝑟² 
 
 
Figura 2 - Pacote tubetes 
 
Fonte: Mialich, Marilan (2021). 
8 
 
 
A fórmula acima foi uma evolução após o cálculo do comprimento da Circunferência 
com Integral. 
A circunferência é uma figura onde todos os pontos têm a mesma distância do centro 
que é denominado 0, atualmente a área do círculo é conhecida como A=πr2 (KILHIAN, 2018). 
Abaixo é demonstrado o cálculo de forma integral para obtenção do cálculo moderno 
da área do círculo expresso como 𝐴 = 𝜋𝑟² 
Iniciasse com a equação: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟² 
Isolando o y teremos: 𝑦 = ±√𝑟² − 𝑥² 
 
Sendo as áreas dos semicírculos superior e inferior. 
𝑦 = √𝑟2 − 𝑥2 e 𝑦 = −√𝑟2 − 𝑥2 
Sendo que área do círculo de raio r será dada pela soma das áreas dos semicírculos. 
Podemos expressar então pela integral: 
A=∫
−𝑟 
𝑟
√𝑟² − 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ −√𝑟2 − 𝑥2𝑑𝑥
𝑟
−𝑟
 
A =∫
−𝑟 
𝑟
√𝑟² − 𝑥2 𝑑𝑥 +∫ −√𝑟2 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝑟
−𝑟
 
A =2 ∫
−𝑟 
𝑟 √𝑟² − 𝑥
2
 𝑑𝑥 
Simplificando fica: 𝐴 = 4 ∫ 
𝑟
0
√𝑟2 − 𝑥2 𝑑𝑥 
Sendo a integral: 𝐼 = √𝑟2 − 𝑥2 𝑑𝑥 
Assim integrando faz-se a substituição: x = r sen (u) e dx = r cos (u) du 
𝐼 = ∫ √𝑟2 − 𝑟2𝑠𝑒𝑛2(𝑢) • 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑢) 𝑑𝑢 
𝐼 = ∫ √𝑟2(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢)) • 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑢) 𝑑𝑢 
𝐼 = ∫ √𝑟2𝑐𝑜𝑠²(𝑢) • 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑢) 𝑑𝑢 
𝐼 = ∫ 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑢) • 𝑐𝑜𝑠 (𝑢) 𝑑𝑢 
𝐼 = ∫ 𝑟²(𝑢) 𝑑𝑢 
𝐼 = 𝑟²∫ (𝑢) 𝑑𝑢 
Integral é 𝑐𝑜𝑠2(𝑢) é 
𝑢
2
+
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
4
 sendo assim: 
𝐼 =
𝑟2
2
[𝑢 +
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
2
] + 𝑐 
U=arcsen (
𝑥
𝑟
), então dar-se: 
𝐼 = 
𝑟²
2
 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑟
) + 
𝑥
𝑟
 √1 −
𝑥2
𝑟2
] + 𝑐 
Se aplicado os limites de integração de 0 a r, temos: 
9 
 
 
𝐴 = 4 ∫
𝑟
0
√𝑟2 − 𝑥2 𝑑𝑥 
𝐴 = 2 𝑟2 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑟
) +
𝑥
𝑟
 √1 −
𝑥2
𝑟2
]
𝑟
0
 
𝐴 = 2𝑟²𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1) 
 
Logo o arco cujo seno vale 1 é 
𝜋
2
 : 𝐴 = 2𝑟2 • 
𝜋
2
 
 
Temos então a área do círculo: 𝐴 = 𝜋 𝑟² 
 
 
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Diante o exposto acima podemos verificar a grande importância dos cálculos de 
derivadas e integrais dentro do contexto da engenharia. A sua vasta aplicação no contexto 
comercial e tecnológico pode-se verificar dois exemplos da aplicação da derivada, para 
determinar o custo marginal do produto, conforme abordado na produção de vinícola e o 
volume e a produção que maximiza o lucro de um produtor de farinha que permite que o 
produtor faça o planejamento de sua produção, já sabendo qual o maior lucro possível de seu 
investimento, sendo o modelo ideal obtido que garante parâmetros relevantes que irão ajudá-
lo a acompanhar os rendimentos e lucratividade. O cálculo de integral neste trabalho foi 
abordado para dar ênfase na importância de pesquisa e estudos cientifico de estudiosos que 
viabiliza novas formulas que resultam em facilidade e praticidade no dia a dia, utilizando 
fórmulas menores alcançando resultados com mais exatidão para cálculo de área circular com 
a fórmula 𝐴 = 𝜋 𝑟². Temas extremamente relevantes e importantes para entendimentos e 
aplicações. 
 
REFERÊNCIAS 
DUTRA, Maria da Conceição Prudêncio et al. Influência da variedade de uvas nas 
características analíticas e aceitação sensorial do suco artesanal. Revista Brasileira de 
Produtos Agroindustriais, v. 16, n. 3, p. 265-272, 2014. 
 
EMBRAPA. Comunicado Técnico 191 - Vitivinicultura Brasileira 2015. Disponível em: 
https://www.infoteca.cnptia.embrapa.br/infoteca/handle/doc/1060511. Acesso em: 07 nov. 
2021. 
 
https://www.infoteca.cnptia.embrapa.br/infoteca/handle/doc/1060511
10 
 
 
IBGE, BRASIL. Levantamento sistemático da produção agrícola. Disponível em: 
ftp://ftp.ibge.gov.br/producaoagricola/levantamentosiatematicodaproducaoagricola201801.pdf
. Acesso em: 11 nov.2021 
 
KÉDMA F. F. Otimização de problemas no contexto da farinha de mandioca usando a 
Derivada. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO 
MARAJÓ. Breves – PA, 2019. 
 
KILHIAN, Kleber. ÁREA DO CÍRCULO CALCULADA POR INTEGRAL. Disponível 
em: https://www.obaricentrodamente.com/2018/03/area-do-circulo-calculada-por-
integral.html. Acesso em: 09 nov. 2021. 
 
MENEZES, Leopaldino. Analise Marginal – Problemas de TaxasRelacionadas. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA. 
Departamento de Matemática, 2013. 
 
SANTANA, Guilherme. Integrais. Todo Estudo. Disponível em: 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/integrais. Acesso em: 08 nov. 2021. 
 
SEDAP. Secretaria de Estado de Desenvolvimento Agropecuário e da Pesca. Disponível 
em: http://sedap.pa.gov.br/artigos/agricultura-familiar-sustenta-produ%C3%A7%C3%A3o-
de-mandioca-e-mesa-do-paraense. Acesso em: nov.2021. 
 
SODRÉ, Ulysses et al. Ensino superior: Calculo: Integrais de funções reais (I) – 
Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/integral/int01.htm. 
Acesso em: 07 nov. 2021. 
 
SOUZA, André Luiz Sabino Nunes et al. A DERIVADA EM ECONOMIA. EVINCI-
UniBrasil, v. 1, n. 3, p. 341-341, 2015. 
 
ANEXO 
Figura 2: Imagem pacote estilo Tubetes. Mialich, 2021. Disponível em: 
https://www.mialich.com.br/up_produtos/7896003702057.jpg Acesso em: 13 nov. 2021 
ftp://ftp.ibge.gov.br/producaoagricola/levantamentosiatematicodaproducaoagricola201801.pdf
ftp://ftp.ibge.gov.br/producaoagricola/levantamentosiatematicodaproducaoagricola201801.pdf
https://www.obaricentrodamente.com/2018/03/area-do-circulo-calculada-por-integral.html
https://www.obaricentrodamente.com/2018/03/area-do-circulo-calculada-por-integral.html
http://sedap.pa.gov.br/artigos/agricultura-familiar-sustenta-produ%C3%A7%C3%A3o-de-mandioca-e-mesa-do-paraense
http://sedap.pa.gov.br/artigos/agricultura-familiar-sustenta-produ%C3%A7%C3%A3o-de-mandioca-e-mesa-do-paraense