1 Avaliação Individual de MQE II

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1ª Prova de Métodos Quantitativos II
Professor Adriano de Amarante		Departamento de Ciências Econômicas	- 24/11/2021
Aluno:
1. Calcule o valor das seguintes integrais indefinidas e definidas (2 pontos):
a) 	b) 	c)	d)
2. Descubra se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva pelo método das quatro etapas (3 pontos):
a) 	b) 	 c)
3. Assuma o seguinte modelo de Solow, onde , e :
Descubra a trajetória ótima do Capital per capita dado que a condição inicial e qual o valor do Capital no steady state? (3 pontos)
4. Na maioria dos modelos econômicos tradicionais, assumimos como pressuposto simplificador que a taxa de crescimento do estoque de capital é constante, ao assumir que os recursos utilizados na produção do mesmo são escassos a taxa de crescimento desse estoque poderá ser declinante a medida que capital se aproxima do esgotamento dos recursos. Uma equação diferencial que apresenta taxa linearmente decrescente em função de é dada como (Modelo de Verhulst ou Logistico) (2 pontos):
, onde .
Qual a solução geral e definida para esta EDO não linear, para ?
Resposta:
Como para e tem-se (neste caso a densidade populacional não muda), logo deve-se obter a trajetória de para :
Solução direta, dividir a EDO por e aplicar integral:
 
Utilizar o método de frações parciais, para determinadas constantes e :
Igualando os numeradores:
, para qualquer , quando , tem-se e quando , tem-se:
Logo temos
Substituindo na integral:
Tem-se:
Aplicando exponencial na equação:
Multiplicando e dividindo por o lado direito da equação:
Ou
Onde . Assuma a condição inicial 
Logo a solução definida:
Ou
Ou ainda:
E a condição terminal :
Medida de Arrow-Pratt de aversão relativa ao risco ao nível de renda é dado pela expressão (Simon & Blume, p.642):
, vista de outra forma 
Que corresponde a elasticidade da utilidade marginal da renda, , em relação a renda. Assuma que a aversão relativa ao risco seja constante, logo tem-se:
, o que implica, , que é uma equação diferencial de segunda ordem. Assuma que, , logo tem-se uma ED de 1ª ordem, separável:
, que implica, , ao aplicar a integral, tem-se:
Aplicar exponencial:
Como , então, , novamente separando as variáveis e aplicando a integral, tem-se:
, para 
, para 
É uma família de funções de aversão relativa ao risco constante, cabe ressaltar que como , então, .