Mecanica
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Mecanica


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Meca\u2c6nica Geral (MEG)
Luciano Camargo Martins
Departamento de F\u131´sica
Grupo de Dina^mica N~ao Linear e Sistemas Dina^micos N~ao Lineares
UDESC-Joinville-SC, Brasil
dfi2lcm@joinville.udesc.br
http://www.lccmmm.hpg.com.br
Revisa\u2dco 0.0.3 de 25 de janeiro de 2005
Prefa´cio
Apresentamos nesta apostila, um resumo da teoria e alguyns exerc´\u131cios resolvidos especialmente
selecionados para o curso de Meca\u2c6nica Geral da UDESC-Joinville. A apostila segue a mesma
estrutura do livro texto Meca\u2c6nica, de K. R. Symon, pore´m o texto foi enriquecido com exemplos
retirados de outras refere\u2c6ncias bibliogra´ficas1.
Alguns exemplos resolvidos foram bastante detalhados e ilustrados, a fim de demosntrar ao aluno
a abordagem mais refinada que se da´ no estudo da Meca\u2c6nica Geral, mesmo a problemas simples
e elementares.
Tendo-se a pacie\u2c6ncia de ler os exerc´\u131cios resolvidos, o aluno tera´ melhor visa\u2dco do que se espera
de uma \u201csoluc¸a\u2dco\u201dde um problema de f´\u131sica no a\u2c6mbito da Meca\u2c6nica Cla´ssica, e por extensa\u2dco, de
qualquer outra a´rea da F´\u131sica.
Ao final do texto, nos ape\u2c6ndices, esta\u2dco tabelas de fo´rmulas e expresso\u2dces espec´\u131ficas para cada um
dos sistemas de coordenadas mais usados neste curso, sa\u2dco eles: o sistema cartesiano, o esfe´rico e
o cil´\u131ndrico.
Bom estudo e divirtam-se!
Professor Luciano Camargo Martins
Joinville, 25 de janeiro de 2005
1Veja-se as refere\u2c6ncias bibliogra´ficas.
i
Suma´rio
1 Elementos de Meca\u2c6nica Newtoniana 1
1.1 Meca\u2c6nica, uma cie\u2c6ncia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cinema´tica, a descric¸a\u2dco do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Dina\u2c6mica, massa e forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 As leis do movimento, de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 Alguns comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Gravitac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Uma Forc¸a Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Unidades e dimenso\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Notac¸a\u2dco vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Alguns problemas elementares de Meca\u2c6nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Movimento Unidimensional de uma Part´\u131cula 14
A Sistemas de Coordenadas 28
A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.1 Posic¸a\u2dco, Velocidade, Acelerac¸a\u2dco, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a\u2dco escalar \u3d5 = \u3d5(x, y, z) . . . . . . . . 29
A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k . . 29
A.1.4 A Regra da Ma\u2dco Direita para o produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 29
A.2 Coordenadas Cil´\u131ndricas (\u3c1, \u3d5, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.1 Posic¸a\u2dco, Velocidade, Acelerac¸a\u2dco, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a\u2dco escalar f = f(\u3c1, \u3d5, z) . . . . . . . . 31
A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = A\u3c1 u\u3c1 + A\u3d5 u\u3d5 + Az k 31
A.3 Coordenadas Esfe´ricas (r, \u3b8, \u3d5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.1 Posic¸a\u2dco, Velocidade, Acelerac¸a\u2dco, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a\u2dco escalar f = f(r, \u3b8, \u3d5) . . . . . . . . 33
A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + A\u3b8 u\u3b8 + A\u3d5 u\u3d5 . . . . . . 33
0
Cap´\u131tulo 1
Elementos de Meca\u2c6nica Newtoniana
1.1 Meca\u2c6nica, uma cie\u2c6ncia exata
A Meca\u2c6nica e´ a parte da F´\u131sica que descreve e prediz as condic¸o\u2dces de repouso ou movimento de
corpos sob a ac¸a\u2dco de forc¸as.
O problema geral da meca\u2c6nica. Dadas as condic¸o\u2dces iniciais (posic¸o\u2dces e velocidades) dos corpos
de interesse (sistema meca\u2c6nico em estudo), as forc¸as que atuam sobre estes corpos e as equac¸o\u2dces
ba´sicas que devem ser satisfeitas (leis de Newton) em geral quer-se encontrar, em qualquer instante
futuro, as novas posic¸o\u2dces e velocidades destes corpos.
Neste sentido, diz-se que a Meca\u2c6nica e´ determin´\u131stica pois as equac¸o\u2dces admitem em geral apenas
uma soluc¸a\u2dco, e em condic¸o\u2dces ideais, seria enta\u2dco poss´\u131vel se predizer o futuro de um sistema
meca\u2c6nico, desde fosse poss´\u131vel resolver analiticamente as equac¸o\u2dces de Newton do sistema, o que
em geral e´ imposs´\u131vel. Apenas para alguns poucos sistemas muito simplificados sera´ poss´\u131vel uma
descric¸a\u2dco exata, sendo em geral, baseados em modelos muito irreais. Por exemplo, uma part´\u131cula
em queda livre pode ser idealizada, modelada e seu movimento completamente determinado, em
condic¸o\u2dces ideais onde muitas simplificac¸o\u2dces sa\u2dco feitas. A pergunta e´ a seguinte, poderemos observar
esse tipo de sistema no mundo real e o seu comportamento meca\u2c6nico sera´ o mesmo?
1.2 Cinema´tica, a descric¸a\u2dco do movimento
Repouso e movimento sa\u2dco conceitos relativos, isto e´, dependem da escolha de um referencial onde
esta´ o observador. Assim, para descrever um dado movimento, um observador deve definir um
sistema de refere\u2c6ncia, ou referencial, a partir do qual ele fara´ as medic¸o\u2dces necessa´rias para a o
estudo do movimento de interesse.
Num dado refencial O, um observador pode medir a passagem de uma part´\u131cula num ponto de
coordenadas (x, y, z) num dado instante t. Um outro observador num outro referencial O \u2032, observa
o mesmo feno\u2c6meno e determina que a part´\u131cula estava no ponto (x\u2032, y\u2032, z\u2032) no instante t\u2032, marcado
no seu relo´gio local. Ambos observaram a mesma part´\u131cula, mas podem chegar a concluso\u2dces
diferentes. Por exemplo, um deles pode concluir, apo´s uma segunda medic¸a\u2dco, que a part´\u131cula esta´
em repouso, e o outro que ela esta´ em movimento. Ambos podem estar certos, e descrevem o
movimento relativo da part´\u131cula visto de cada um dos dois referenciais O e O \u2032 simultanamente.
A Meca\u2c6nica Cla´ssica baseia-se nessa ide´ia de Galileu, de que o espac¸o e´ relativo, ou seja, depende
do referencial adotado, pore´m o tempo e´ absoluto e universal e na\u2dco depende do referencial usado.
Para os observadores da part´\u131cula no caso exposto acima, mesmo que ambos tivessem leituras
diferentes em seus relo´gios, estaria determinando o mesmo instante universal, se seus relo´gios
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECA\u2c6NICA NEWTONIANA 2
estivessem sincronizados.
Mesmo com medic¸o\u2dces diferentes no espac¸o e no tempo, Galileu imaginou que as leis da natureza
deveriam ser invariantes, ou seja, ter a mesma foema matema´tica em qualquer referencial que se
movam com velocidade constante, uns em relac¸a\u2dco aos outros, os ditos referenciais inerciais.
Considerando-se que as coordenadas (x, y, z, t) de uma part´\u131cula podem assumir qualquer valor
real, ou seja, sa\u2dco varia´veis cont´\u131nuas, podemos usar o ca´lculo diferencial e definir as velocidades
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
e vz =
dz
dt
(1.1)
e acelac¸o\u2dces
ax =
dvx
dt
=
d2x
dt2
, ay =
dvy
dt
=
d2y
dt2
e az =
dvz
dt
=
d2z
dt2
(1.2)
ao longo dos eixos X, Y e Z do referencial O usado.
Ou seja, as func¸o\u2dces x(t), y(t) e z(t) descrevem completamente o movimento da part´\u131cula ao
longo dos respectivos eixos espaciais, e portanto, o seu movimento no espac¸o fica completamente
determinado, e pode ser descrito pelo vetor de posic¸a\u2dco
v(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.3)
numa base cartesiana ortonormal {i, j,k}. Como sera´ visto nos cap´\u131tulos seguintes, existem outras
bases vetoriais poss´\u131veis para representar o vetor r(t), e as mas usadas ale´m da cartesiana, sa\u2dco a
base cil´\u131ndrica e a base esfe´rica.
1.3 Dina\u2c6mica, massa e forc¸a
Os conceitos de massa, ine´rcia e forc¸a sa\u2dco fundamentais