Movimento retilíneo uniforme

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Movimento retilíneo uniforme (MRU)
Se a velocidade é constante durante todo o percurso, a velocidade média coincide com a velocidade instantânea em todos os instantes durante o percurso. Assim, a relação Δx/Δt nos dá exatamente a velocidade em cada instante. Considerando ti=0, temos:
Onde x0 é a posição no instante t=0. Essa última equação é chamada de lei horária (ou função horária) do movimento retilíneo uniforme. O gráfico dessa função é uma reta cuja declividade dá a velocidade v, como já se sabe.
Nesse caso, onde a velocidade é positiva (o gráfico é crescente, ou seja, a posição cresce com o tempo – Δx>0), o movimento é dito progressivo. Já no caso em que se tem uma velocidade negativa, o gráfico é decrescente (a posição decresce com o tempo, ou seja, Δx<0) e o movimento é chamado de retrógrado.
Como a velocidade é constante em todo o tempo, o gráfico v contra t é uma reta paralela ao eixo t. Existem duas possibilidades de gráficos: para v>0 e para v<0.
Como Δx=v. Δt, a área do gráfico v contra t, dá Δx. Ou seja:
Embora no segundo caso a área deva ser positiva (usa-se o módulo de v - |v| -, pois não existe área negativa), basta trocar o sinal do resultado para se ter o resultado real de Δx.
Encontro de corpos no MRU
Dois corpos com funções horárias diferentes podem se encontrar em determinado ponto do espaço. Muitas vezes, é desejado determinar quanto tempo levará para o encontro acontecer. Por exemplo, se o carro r parte da cidade A em direção a cidade B e, no momento em r parte ou num momento posterior (desde que r não tenha chegado ainda em B), o carro s parte de B em direção a cidade A, num ponto do trajeto esses dois carros (r e s) se encontrarão. A condição de encontro entre os dois carros é a de que estejam num mesmo ponto da estrada. Ou seja, xr(t)=xs(t). Graficamente, esse é o ponto em que as duas funções coincidem (se interceptam).
No caso apresentado no gráfico, r e s partiram ao mesmo tempo de suas respectivas cidades, mas poderia acontecer de r ou s partir depois do outro (gráfico (a) – s parte depois). Também pode acontecer de r e s partirem da mesma cidade, mas um partir depois do outro e com velocidade superior a deste, de forma que se encontrem posteriormente (gráfico (b) – s parte depois).
Esses são só alguns exemplos de casos em que podem ocorrer encontros. Veja que se pode separar o problema em partes mais simples (e isso é possível em uma grande variedade de casos – não somente na cinemática). Por exemplo, no caso apresentado no gráfico (a), pode-se descobrir, antes de analisar o problema como um todo, em que posição estará r quando s sair da cidade B. Dessa forma, é possível tomar essa posição como a inicial, para r, e reduzir o problema ao caso em que ambos saem ao mesmo tempo, que é mais simples.
Aceleração média e instantânea
As mudanças de velocidade não são instantâneas. Se um corpo está a uma velocidade v e adquire uma velocidade v’, existe um intervalo de tempo em que a velocidade muda continuamente entre o instante em que o corpo está a uma velocidade v e o instante em que está a uma velocidade v’. Essa mudança contínua de velocidade ao decorrer do tempo está relacionada ao que se denomina aceleração. Da mesma forma que se definiu a velocidade média, podemos definir a aceleração média, para uma variação de velocidade Δv e tempo Δt quaisquer, como sendo:
Dessa forma, a aceleração possui unidade, no SI, (m/s)/s ¹ ou m/s² (metro por segundo ao quadrado). De forma semelhante à velocidade média, a aceleração média é o coeficiente angular da reta do gráfico v contra t e veja que também não se pode afirmar sobre a aceleração em determinado trecho baseado na aceleração média.
Da mesma forma que se consegue a velocidade instantânea fazendo Δt tender a zero, para se saber a aceleração instantânea em um determinado ponto, se faz Δt tender a zero. Analogamente ao que se fez para a velocidade, pode-se reescrever a aceleração média como sendo:
Assim, a aceleração instantânea é:
Que é, matematicamente, uma expressão igual a da velocidade. Mas já sabemos que v(t)=dx/dt, o que nos dá:
Onde foi introduzida a notação de derivada de segunda ordem. Veja que, como a velocidade já é uma derivada do espaço em relação ao tempo, ao se derivar a velocidade em relação ao tempo, se está, na verdade, derivando novamente o espaço em relação ao tempo. Ou seja, a aceleração é obtida derivando-se a função do espaço duas vezes em relação ao tempo. Diz-se que a aceleração é a segunda derivada do espaço em relação ao tempo ou que é a derivada de segunda ordem do espaço em relação ao tempo.
Por exemplo, dado x(t)=t³+2t², v(t) e a(t) são, respectivamente:
Mas estudaremos com mais detalhes casos onde a aceleração não varia com o tempo.
1-Não necessariamente a unidade do tempo na velocidade média deve ser a mesma que a do Δt devido à aceleração média (nem na instantânea). Ou seja, é possível ter, por exemplo, uma aceleração média de 4 (km/h)/s, que quer dizer que a velocidade aumenta 4 km/h a cada segundo, em média.
Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)
Diz-se que um corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado quando o movimento se dá ao longo de uma reta e a aceleração é constante em todo o tempo. Assim, a aceleração instantânea em cada instante coincide com a aceleração média entre quaisquer dois instantes. Dessa forma, sendo ti=0 e v(0)=v0, a velocidade v(t) em um instante t qualquer é dada por:
Que é uma função de primeiro grau. Ou seja, o gráfico é uma reta. Mas ainda falta saber como a posição varia com o tempo. Isso poderia ser feito de forma simples através de uma operação chamada integral, mas não é necessário nesse caso. Vejamos primeiro o gráfico formado pela função v(t) caso a>0 (gráfico I) e a<0 (gráfico II).
Como no movimento retilíneo uniforme, a área do gráfico v contra t dá o deslocamento (Δx=x-x0). Ou seja, calculando a área do gráfico posto, conseguimos encontrar a posição, x, em função de t.
A área do gráfico foi separada em duas (um retângulo e um triângulo). A área do retângulo é A1=v0t e a do triângulo é A2=tΔv/2, já que Δv é a “altura” e t a “base”. Mas de (1) podemos ver que Δv= v-v0=at. Ou seja:
Somando as duas áreas, temos finalmente:
Que é a função horária do MRUV. Usamos o gráfico I para deduzir a função, mas a mesma pode ser obtida a partir do gráfico II (verifique!). Veja que é uma função de segundo grau e, por isso, possui como gráfico uma parábola. Veja também que a parábola vai possuir concavidade para cima caso a>0 (I) e concavidade para baixo caso a<0 (II) e que sua derivada é justamente a função da velocidade (v(t)=v0+at), como era de se esperar.
Como a função da velocidade é conseguida derivando a função do espaço, a velocidade em um ponto é a declividade da reta tangente ao gráfico nesse ponto. No entanto perceba que, por exemplo, no gráfico (II) a velocidade é positiva antes de atingir o cume (máximo da função), mas a aceleração é negativa nesse intervalo. Isso ilustra que não necessariamente a velocidade tem mesmo sentido¹ que aceleração (de forma mais geral, nem mesmo é preciso terem mesma direção, mas nos manteremos no caso unidimensional). Entretanto a variação de velocidade, Δv, possui mesmo sentido que a aceleração. Isso implica que, se a aceleração possui mesmo sentido que a velocidade, o módulo da velocidade cresce e, se a aceleração possui sentido contrário ao da velocidade, o módulo da velocidade diminui. É possível visualizar isso graficamente.
O gráfico (I) é o gráfico da velocidade correspondente ao gráfico (I) da posição e o gráfico (II) é o da velocidade correspondente ao gráfico da posição (II). Em ambos, a velocidade inicial (em t=0) é contrária ao sentido da aceleração. Perceba que, no gráfico (I), a velocidade é negativa inicialmente enquanto a aceleração é positiva e, enquanto a velocidade é negativa, seu módulo vai diminuindo, pois seu valor aumenta, mas é negativo (por exemplo, |-5|>|-3|). Quando a velocidade atinge zero ocorre uma inversão do movimento (que pode ser observado no gráfico da posição) e avelocidade passa a ter o mesmo sentido da aceleração. Veja que, a partir da inversão do movimento, o módulo da velocidade aumenta com o tempo. A análise do gráfico (II) é análoga (faça!).
Como o módulo da velocidade aumenta quando a velocidade e a aceleração possuem mesmo sentido, diz-se que, nesse caso, o movimento é acelerado e, quando o sentido da velocidade é contrário ao da aceleração, diz-se que o movimento é retardado. Perceba que o movimento não necessariamente precisa ser acelerado ou retardado em todo o tempo.
1-As grandezas posição, velocidade e aceleração são vetores, mas, como o movimento é unidimensional, se está omitindo a notação vetorial, no entanto tomando cuidado com o sentido dos vetores. Perceba que deslocamento (variação de posição), variação de velocidade e variação de aceleração também são vetores, pois são resultados de subtração entre vetores.
A equação de Torricelli
Existem algumas substituições que podem ser feitas isolando alguma variável da equação velocidade e substituindo na equação da posição. Uma substituição especialmente útil é a que se obtém uma equação independente do tempo. Para isso, isolemos o tempo na equação (1):
Substituindo na equação da posição:
Que é a equação procurada.
Queda livre e lançamento vertical
Uma aplicação do movimento retilíneo uniformemente variado é a descrição do movimento de um corpo em queda livre ou em um lançamento vertical. É fato experimental que a aceleração da gravidade é, aproximadamente, constante se considerarmos alturas pequenas (em relação ao raio da Terra) e desprezarmos a resistência do ar. Pode-se perceber isso fazendo uma imagem estroboscópica¹ de um objeto em queda livre.
Na imagem ao lado, está apresentada a imagem estroboscópica de uma bola em queda livre. Pode-se verificar que a aceleração é a mesma independendo da imagem tomada (em relação à primeira imagem, onde o objeto está em repouso). Por exemplo, a posição 4 é conseguida em 2δt (é a segunda imagem após a inicial) e a 64 em 8δt (δt é o intervalo de tempo entre imagens consecutivas).
Consideremos o modelo em que a aceleração do corpo em queda é constante, x0= h0=0 e v0=0. Com essas condições, tem-se que a posição do objeto (h) no instante t é:
Uma previsão que podemos fazer é que, se o tempo de queda é da forma nδt, tem-se que a posição é dada por:
onde α=gδt²/2 (perceba que, no modelo considerado, α é uma constante).
Ou seja, se a posição (h) no instante δt é α =h1, a posição num instante posterior múltiplo inteiro desse instante δt vai ser h1.n² e isso é verificado na imagem estroboscópica. Ou seja, concorda com a previsão.
Também é um fato que a aceleração da gravidade é igual para qualquer corpo. Ou seja, independe do material, forma ou massa. Assim, pode-se descrever o movimento através das equações já expostas para movimentos com aceleração constante. Tomaremos a aceleração da gravidade, g, como g=-10m/s² e notaremos Δx=x-x0 por Δh=h-h0.
Chamamos de lançamento vertical quando se joga (para baixo ou para cima) um corpo e esse fica sujeito à ação da gravidade. Ou seja, existe uma velocidade inicial não nula:
Já quando a velocidade inicial é nula, tem-se uma queda livre. Ou seja, o corpo é simplesmente largado.
Tomamos a aceleração da gravidade como g=-10m/s², mas isso porque estamos usando como sentido positivo do eixo h (posição na vertical) o que aponta para cima. Ou seja, estamos admitindo que as posições tomem valores maiores à medida que se sobe. Dessa forma, Δh é positivo quando se sobe e negativo quando se desce. De forma geral, todos os vetores com sentido ascendente serão positivos e todos os de sentido descendente (como a aceleração da gravidade) serão negativos. Mas isso tomando a convenção posta. Pode-se tomar como sentido positivo o descendente e, nesse caso, g passa a ser g=10m/s².
Exemplo:
Um garoto joga uma bola para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de módulo 10 m/s. a) Em quanto tempo a bola atingirá a altura máxima? b) Qual a altura máxima tomando a posição do solo h0=0? c) Em quanto tempo a bola atingirá a altura h=4,8?
a) A altura máxima é atingida quando ocorre a inversão do movimento. Ou seja, quando v(t)=0. Assim:
b) Para encontrar a altura máxima, basta substituir o resultado de (a) na equação da posição (h0=0, pois a bola parte do solo).
c) Basta que h=4,8 e h0=0:
Que é uma equação de segundo grau cujas raízes são t’=4/5 s e t’’=6/5 s. Veja que encontramos dois resultados e ambos possuem significado físico. Um deles é referente ao momento em que o corpo atinge 4,8 m na subida e o outro é referente ao momento em que o corpo atinge 4,8 m na descida.
Exemplo (2):
Um corpo é largado a uma altura de 10 m do solo com velocidade inicial nula. Em quanto tempo ele atinge o solo?
Tomando como altura inicial h0=10 a altura do solo é h=0. Ou seja, o tempo em que o corpo atinge o solo é:
Como o corpo foi largado em t=0, só tem significado, nesse caso, o t positivo. Ou seja, t=√2 s. Perceba que a informação do problema é a de que a altura em que foi deixado está 10m acima da do solo. Assim, poderíamos ter tomado h0=20 e h=10 e o resultado seria o mesmo. Isso porque h0 é arbitrário e o que realmente tem significado é Δh.
terça-feira, 19 de janeiro de 2010
Tudo Sobre Vetores ( Nível Básico) 
Você sabe o que é direção e Sentido?
Direção: Horizontal;Vertical.
Sentido: Na direção horizontal temos o sentido da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.
Na direção vertical, temos o sentido de cima para baixo e o de baixo para cima.
Um vetor possui módulo direção e sentido.
Em palavras simples um vetor é representado por uma seta.
Analizando os desenhos abaixo podemos concluir: 
AB diferente de DC (Sentidos Opostos)
CD igual FE (Mesmo módulo, direção e sentido)
Direção: Horizontal;Vertical.
Sentido: Na direção horizontal temos o sentido da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.
Na direção vertical, temos o sentido de cima para baixo e o de baixo para cima.
Adição Vetorial 
Vs=V1+V2
Vetor Oposto
	
Vetores
	 
	Lidar com grandezas escalares é muito fácil. Fazer adição de duas grandezas escalares é simples. Por exemplo, 3kg acrescidos de 2kg dá 5kg.
Trabalhar com grandezas vetoriais já não é tão simples. Considere o caso da adição de duas grandezas vetoriais. Como é possível adicionar grandezas que, além do módulo, têm direções e sentidos diferentes? Ou ainda efetuar subtrações e multiplicações de grandezas vetoriais?
Somar grandezas vetoriais, bem como realizar as demais operações, é fundamental em Física. Se aplicarmos duas forças a um corpo, qual será o resultado da adição dessas duas forças? Certamente, não podemos simplesmente somar os módulos.
A melhor forma de se lidar com grandezas vetoriais é introduzir um ente conhecido como vetor. O vetor representa, para efeito de se determinar o módulo, a direção e o sentido, a grandeza física.
Utilizando-se a representação através de vetores poderemos definir a soma, subtração e multiplicações de grandezas vetoriais. 
Ao longo do texto vamos estabelecer a distinção entre grandezas vetoriais e escalares, colocando uma flechinha sobre as primeiras. 
Até agora, para concentrar a atenção em conceitos importantes, não foi introduzida a natureza vetorial de grandezas como posição, velocidade e aceleração. Como os movimentos estudados são apenas casos especiais, movimentos retilíneos e movimento circular uniforme, é possível descrevê-los sem introduzir o conceito de vetores.
Na verdade, ao adotarmos a nomenclatura s para indicar a posição num movimento qualquer, usamos um artifício escolhendo um referencial composto de retas e curvas, como no exemplo de uma estrada. Na prática, isso é perfeitamente justificável e até mais adequado.
No movimento retilíneo, os vetores posição x, velocidade v e aceleração a têm todos a mesma direção, a direção da reta escolhida como sistema de referência. Os sentidos dos vetores estão explícitos nos valores positivos (mesmo sentido que o do sistema de referência) ou nos valores negativos (sentido opostoao do sistema de referência).
Já no movimento circular, o espaço poderá ser medido ao longo da trajetória ou então utilizando o ângulo com relação a uma referência escolhida adequadamente. 
	
	
= vetor aceleração 
= vetor velocidade 
= vetor posição 
= vetor força