Cálculo de limites; Leis básicas de limites

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Cálculo de limites; Leis básicas de limites
APRESENTAÇÃO
Em algumas situações, traçar o gráfico da função pode não ser uma tarefa trivial, sem acesso a 
uma ferramenta digital. Porém, algumas funções possuem gráficos equivalentes, a menos de 
alguns pontos de seus domínios. Nestes pontos em que as funções se distinguem, o conceito de 
limite e suas propriedades podem auxiliar e, por isso, a importância de se estudar suas leis 
básicas. 
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar quatro propriedades particulares de limites: a 
lei da soma, a lei do múltiplo constante, a lei do produto e a lei do quociente. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Enumerar as leis básicas de limite.•
Utilizar as propriedades de limites no cálculo de limites numéricos.•
Analisar os resultados dos cálculos realizados.•
DESAFIO
Empresas e fábricas modelam suas produções por funções. Entender o comportamento dessas 
funções auxilia na tomada de decisões por parte dos administradores.
Para isso, é necessário modernizar sua fábrica com recursos limitados e reconhece que o 
 representa o tempo mínimo para essas adequações. Se t é dado em anos, qual o 
tempo necessário para essas mudanças?
INFOGRÁFICO
Muitas funções podem ser apresentadas como soma, produto ou quociente de funções mais 
simples. Nestes casos, as propriedades básicas podem auxiliar.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
O domínio das leis básicas de limites auxilia na determinação do comportamento das funções na 
vizinhança de um ponto. Desta forma, é possível verificar se a função em estudo é contínua em 
todo o seu domínio, por exemplo.
Acompanhe, no trecho selecionado da obra "Cálculo (Vol. 1)", uma discussão das leis básicas de 
limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas, múltiplos, produtos 
ou quocientes de outras funções. Inicie a leitura a partir do tópico: Leis básicas de limites.
Bons estudos. 
___________________________________________________________
R721c Rogawski, Jon.
Cálculo [recurso eletrônico] / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering. 
– Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.
v. 1
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-389-7
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
 CDU 51-3 
___________________________________________________________ 
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
60 CÁLCULO
2.3 Leis básicas de limites
Na Seção 2.2 investigamos limites e estimamos seus valores a partir de uma abordagem 
gráfi ca e numérica. Nas quatro próximas seções iremos além dessa abordagem intuitiva 
e desenvolveremos ferramentas para calcular os limites de uma maneira precisa. Nesta 
seção, discutimos as leis básicas de limites usadas para calcular os limites de funções 
construídas como somas, múltiplos, produtos ou quocientes de outras funções.
TEOREMA 1 Leis básicas de limites Suponha que existam e . Então:
 (i) Lei da Soma:
 (ii) Lei do Múltiplo Constante: dado qualquer número k,
 (iii) Lei do Produto:
 (iv) Lei do Quociente: se , então
As provas dessas leis serão discutidas na Seção 2.8 e no Apêndice D. Contudo, 
argumentando informalmente, podemos entender as idéias subjacentes. Por exemplo, 
para provar a lei da soma, observe que se f (x) estiver perto de L e g(x) estiver perto de 
M quando |x − c| for sufi cientemente pequeno, então f (x) + g(x) deverá estar perto 
de L + M quando |x − c| for sufi cientemente pequeno. De maneira análoga, f (x)g(x) 
deverá estar perto de LM, etc.
Antes de passar aos exemplos, apresentamos duas observações úteis. Em primeiro 
lugar, as leis da soma e do produto são válidas para qualquer número de funções. Por 
exemplo,
CAPÍTULO 2 Limites 61
Em segundo lugar, a lei da soma tem o contraponto para diferenças:
Isso não está listado separadamente porque segue da combinação das leis da soma e do 
múltiplo constante:
■ EXEMPLO 1 Use as leis de limite para calcular os limites seguintes:
 (a) (b) (c) 
Solução
 (a) Pelo Teorema 1 da Seção 2.2, para qualquer c. Como é igual ao produto 
, podemos aplicar a lei do produto
 (b) Primeiro utilizamos a lei da soma (para três funções):
Em seguida calculamos cada limite usando as leis do múltiplo constante e do produto:
Obtemos
 (c) Usamos as leis do quociente, da soma e do múltiplo constante:
 
■
O próximo exemplo reforça que as leis de limites somente são aplicáveis quando os 
limites de f (x) e g(x) existirem.
■ EXEMPLO 2 Hipóteses importam Mostre que a lei do produto não pode ser aplicada a 
 se e .
Solução A função produto é para x ≠ 0, portanto o limite do 
produto existe:
As leis de limites são aplicadas passo 
a passo na solução do Exemplo 1 
para ilustrar como elas são utilizadas. 
Na prática, consideramos as leis 
de limites como sendo evidentes e 
pulamos os passos intermediários.
62 CÁLCULO
Contudo, não existe porque tende a ∞ quando e a −∞ quan-
do , de modo que a lei do produto não pode ser aplicada e sua conclusão não vale:
■
2.3 RESUMO
As leis de limites afi rmam que se existirem ambos• e , então:
 (i) 
 (ii) 
 (iii) 
 (iv) se , então
Se não existir• ou , então as leis de limites não podem ser aplicadas.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
No vídeo a seguir você verifica uma síntese das leis básicas de limites e, também, alguns 
exemplos. 
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Analise o comportamento da função: 
 
A) - 4
B) 2
C) 10
D) 14
E) 45
2) Determine o limite da função :
A) 2
B) 
C) 
D) 
E) 0
3) 
Qual o valor do: 
A) Não existe este limite.
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,7
4) 
Aplique as leis básicas de limites para calcular o 
A) 0
B) Não existe limite.
C) 
 
D) 
 
E) 4
5) 
Calcule 
A) 6
B) 5
C) 3
D) 2
E) 0
NA PRÁTICA
Calcular o limite de uma função é estudar seu comportamento na vizinhança de pontos que 
podem não pertencer ao seu domínio. 
Aplicando as leis básicas de limite na função consumo C(t) é possível verificar que ela é 
contínua nos limites dos intervalos dados. Ou seja, no segundo e oitavo anos, não houve um 
aumento (e nem uma queda) brusco de consumo. Também, segundo esta função, o consumo 
tende a manter-se constante após o oitavo ano. 
Logo, saber utilizar as regras de limite auxilia na compreensão do comportamento de funções 
que descrevem o consumo de produtos, por exemplo, podendo assim contribuir com o seu 
controle.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Cálculo - Volume 1
Leis do Limite
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Cálculo: Propriedades dos Limites (Aula 4 de 15)
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!