Funções e limites

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Funções e limites
APRESENTAÇÃO
Uma função se estabelece quando se relaciona uma ou mais grandezas. Pensando de modo mais 
formal, ao considerar dois conjuntos, A e B não vazios, uma função de A em B é uma relação 
que associa a cada elemento de x pertencente a A um único elemento de y pertencente a B. Isso 
significa que, ao fazer uso de diagramas de flechas para representar uma função, todo x do 
conjunto de partida (A) estará associado a algum y do conjunto de chegada (B), além de nenhum 
x poder estar associado a mais de um y.
O estudo de funções tem vasta aplicação, tanto na matemática quanto nos fenômenos naturais, 
econômicos, etc. Com isso em mente, é possível avançar para o estudo de limite, que busca 
determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de algum valor de 
interesse. Esse tópico da matemática é relevante para diversas situações mais avançadas, como 
análise de pontos de máximo e mínimo, interseção entre funções, continuidade de funções, 
séries numéricas, etc.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você perceberá a aplicabilidade de funções e limites, será 
instigado a refletir sobre problemas que podem ser desenvolvidos na educação básica e como 
esse campo do conhecimento pode ser trabalhado por meio de exemplos e representações mais 
intuitivas e, ao mesmo tempo, consistentes e eficientes. Espera-se que os elementos sugeridos 
sejam estimulantes para a busca do aprofundamento dos estudos e para a compreensão do 
conceito de função, de limites e de suas respectivas propriedades.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever o conceito formal de função.•
Identificar a definição formal de limite.•
Reconhecer as propriedades de limites.•
DESAFIO
Informalmente, pode-se dizer que uma função é uma fórmula que relaciona dois elementos 
(variáveis). Uma das formas de representação dessa relação se dá por meio de diagramas de 
flechas, compostos por um conjunto de partida denominado domínio e um conjunto de chegada 
chamado de contradomínio, sendo que os elementos do contradomínio que fazem parte da 
relação formam um conjunto denominado imagem.
Outra maneira de representar uma função é por meio de gráficos, gerados por pontos 
correspondentes aos pares ordenados (x, y), os quais podem ser visualizados no diagrama de 
flechas e, também, ser obtidos pela função do correspondente problema.
Suponha que você seja professor de matemática e esteja planejando uma aula.
Nessas condições:
a) Considerando que a temperatura somente será avaliada para as altitudes –1, 0, 1, 2 e 3km, 
represente essa função por meio de um diagrama de flechas.
b) Verifique qual é a temperatura a 3km de altura.
c) Construa o gráfico da função utilizando as informações do 
diagrama de flechas.
INFOGRÁFICO
Ao estudar cálculo, logo há o primeiro contato com limites. A essência do limite consiste em 
analisar e descrever o comportamento de funções, para o cálculo de área, em diversas aplicações 
práticas, além de ser fundamental para a definição de derivadas (conceito que o sucede).
A definição formal de limite pode parecer um pouco complexa, mas é bastante importante para a 
compreensão dos limites estudados na sequência. Existem métodos e propriedades que 
viabilizam o seu cálculo de maneira muito eficiente e menos trabalhosa.
Neste Infográfico, você verá a definição formal de limite por meio de representações gráficas, 
passo a passo, para que consiga perceber todo o raciocínio envolvido por trás da definição. 
CONTEÚDO DO LIVRO
O número surgiu na Antiguidade como uma necessidade humana em quantificar os objetos, 
resolver suas questões de troca de mercadorias e serviços, além de cuidar dos animais de onde 
vinha o sustento das famílias. Já o cálculo foi desenvolvido para conseguir compreender 
fenômenos físicos como as marés, ou, ainda, fenômenos da natureza, como as fases da lua, a 
contagem do tempo, a luz, a gravidade, etc. Todas essas relações envolvem o conceito de 
função, que foi e ainda é essencial para a humanidade.
Outro conceito fundamental é o de limite. Newton e Leibniz estudaram o significado de taxa de 
variação instantânea, que tem como princípio o conceito de limite. Essas descobertas permitiram 
o surgimento de métodos eficientes e promissores para a ciência.
No capítulo Funções e limites, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você se conectará 
com esses importantes conceitos da matemática, percebendo a sua aplicabilidade e a noção 
intuitiva de limite até a sua formalização acurada. À medida que você for conhecendo os 
conceitos, as definições e as propriedades, percebendo-os como parte de seu cotidiano, poderá 
buscar soluções para problemas reais e identificará a grande relevância do tema.
Boa leitura. 
ANÁLISE REAL 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Descrever o conceito formal de função.
 > Identificar a definição formal de limite.
 > Reconhecer as propriedades de limites.
Introdução
Um dos conceitos muito estudados pela matemática é o de função, visto que 
todos os seus tipos (afim, quadrática, trigonométrica, logarítmica, etc.) têm vasta 
aplicação prática. Por exemplo, podemos ter interesse em analisar, considerando 
a relação entre espaço e tempo, o desempenho de um atleta da natação que treina 
para uma competição e cujo treinador o observa e faz anotações sobre o tempo 
(em minutos) e a distância percorrida (em metros). Nesse caso, cada instante 
corresponde a uma única distância. Dizemos, então, que a distância percorrida 
pelo atleta é uma função do tempo gasto em seu treinamento.
O conhecimento de funções nos permite avançar para o estudo de limite, 
cujo objetivo é determinar o comportamento de uma função à medida que ela 
se aproxima de alguns valores. Os limites são usados no cálculo diferencial e na 
análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.
Neste capítulo, apresentaremos o conceito formal de função, retomando a 
noção de conjuntos e lançando mão de exemplos de aplicação desses concei-
tos. Além disso, você poderá compreender os três tipos de função (sobrejetora, 
injetora e bijetora), bem como a relação entre continuidade e limite, que será 
definido formalmente a partir de uma análise intuitiva. Por fim, descreveremos 
as propriedades e os tipos de limite.
Funções e limites
Cristiane da Silva
Introdução a funções
Para compreendermos o que é uma função, antes devemos entender o que é 
um conjunto, conceito relativamente simples que é fundamental na matemá-
tica. Um conjunto, de acordo com Neri e Cabral (2011, p. 1) “[...] é constituído 
de objetos chamados elementos. Usamos a notação (lê-se x pertence 
a A) para dizer que x é um elemento do conjunto A. Se x não é um elemento 
de A, então escrevemos (lê-se x não pertence a A)”.
Em outras palavras, um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, 
como, por exemplo:
 � conjunto dos números primos: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …};
 � conjunto das instituições de ensino: B = {públicas, privadas, 
comunitárias,…}.
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas, ao passo que seus 
elementos (itens dentro do conjunto) são dispostos entre chaves, separados 
por vírgula ou ponto e vírgula. Quanto aos subconjuntos, diz-se, por exem-
plo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos 
números inteiros se e somente se todos os elementos do conjunto são 
também elementos do conjunto . Então, pode-se dizer que N está condido 
em ℤ (Figura 1). Para expressar simbolicamente essa relação, usam-se (está 
contido), (contém) ou (não está contido) (FRIEDRICH; MANℤINI, 2015).
Figura 1. Representação de 
Os números são uma invenção humana. Na Antiguidade, o crescimento 
da população e o consequente aumento da complexidade das sociedades, 
cujo comércio foi se tornando cada vez mais intenso, motivaram a criação de 
formas para representar as quantidades. Foi então que surgiram os números 
naturais, que mais tarde seriam acompanhadospelos demais conjuntos 
numéricos: inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos, etc. (FRIEDRICH; 
MANℤINI, 2015).
Funções e limites2
Em nosso cotidiano, relacionamos diferentes grandezas duas a duas. 
Por exemplo, quando fazemos compras, relacionamos o produto com o seu 
preço; quando extraímos o extrato de uma conta, relacionamos o saldo com 
a data em que o extrato foi gerado; quando analisamos uma conta de energia 
elétrica, relacionamos o valor com a quantidade de kWh/hora consumido em 
um mês; etc. Essas relações podem ser expressas por diagramas.
Como exemplo, vamos supor que, ao fazer compras na padaria, o preço pago 
pelo presunto dependa da quantidade de gramas comprada e que ele tenha 
sido modelado por uma função afim do tipo Algumas quantidades 
estão representadas no diagrama da Figura 2, em que há os conjuntos A e B, 
chamados, respectivamente, “conjunto de partida” e “conjunto de chegada”.
Figura 2. Diagrama.
Poderíamos estar interessados em representar essa relação em um plano 
cartesiano. Ou seja, com os pares ordenados (valores de x e de y) marcar o 
ponto no gráfico e traçar a curva que expresse essa relação (Figura 3).
Funções e limites 3
Figura 3. Representação gráfica dos pares ordenados (x, y).
12
10
8
6
4
2
0
0 100 200 300
Quantidade de gramas
Pr
eç
o
400 500
Relações binárias como as que acabamos de mencionar foram descobertas 
na Antiguidade. Pitágoras, por exemplo, descobriu as relações aritméticas 
das notas musicais, e Galileu Galilei, a relação entre a distância percorrida 
por um objeto e o intervalo de tempo. Hoje, nas mais diversas áreas anali-
samos fenômenos em que são estabelecidas relações que evidenciam como 
a variação de uma grandeza depende da variação de outra. Por exemplo, o 
número de leitos disponíveis em um hospital depende da demanda por leitos, 
o gasto de combustível depende da quantidade de quilômetros rodados, os 
níveis de poluição dependem da degradação da natureza, etc. (FRIEDRICH; 
MANℤINI, 2015).
No exemplo do preço pago pelo presunto, deduzimos que existe uma 
relação entre o peso x do presunto que será comprado (em gramas) e o valor 
y a ser pago (expresso em reais). Mais especificamente, a relação é:
Isso significa que, se quisermos comprar 350 gramas de presunto, pagare-
mos A equação dada descreve como o preço 
depende do peso do presunto. Nessa equação, a variável x é denominada 
“variável independente”, e y é chamada “variável dependente”, uma vez que 
seu valor é obtido a partir de x. A regra que permite obter o valor da variável 
Funções e limites4
dependente a partir da variável independente é denominada função (GOMES, 
2018).
Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte forma: “Uma função f é uma 
relação que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio, 
um único elemento ou y de um conjunto C, denominado contradomínio”. 
Sabendo disso, vejamos algumas propriedades que caracterizam uma função, 
estudando os seus três tipos: sobrejetora, injetora e bijetora.
Função sobrejetora
Uma função será sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao con-
tradomínio. Em outras palavras, ela será sobrejetora quando não sobrarem 
elementos no conjunto C sem receber flechas (Figura 4).
Figura 4. Diagrama de uma função sobrejetora.
Função injetora
Uma função será injetora quando elementos distintos do domínio (D) tiverem 
imagens (C) distintas, isto é, quando dois elementos não tiverem a mesma 
imagem. Sendo assim, não pode haver nenhum elemento do conjunto C que 
receba duas flechas (Figura 5).
Funções e limites 5
Figura 5. Diagrama de uma função injetora.
Função bijetora
Uma função será bijetora quando for, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. 
Ou seja, ela será bijetora quando os elementos de C forem flechados uma só 
vez (o que a caracterizaria como injetora) e não houver elementos sobrando 
em C sem receber flechas, o que a caracterizaria como sobrejetora (Figura 6).
Figura 6. Diagrama de uma função bijetora.
Nesta seção, lançamos mão de exemplos do cotidiano para definir con-
junto e apresentar a sua representação, de modo a facilitar o entendimento 
sobre as relações binárias e o conceito de função. A partir disso, você pôde 
compreender a definição formal, a notação e os tipos de função: injetora, 
sobrejetora e bijetora.
Continuidade e limite
Iniciaremos o estudo de limite com uma noção intuitiva, de modo a tornar 
mais evidente o que ele representa. Neri e Cabral (2011) explicam que muitas 
das funções encontradas em Análise são contínuas e que a noção de “estar 
Funções e limites6
próximo”, usada cotidianamente, é subjetiva, pois o que é longe para uns é 
perto para outros e vice-versa. No entanto, as ideias intuitivas e subjetivas 
nos ajudam a tornar mais palpáveis os conceitos abstratos. Na matemática, 
porém, as definições e demonstrações envolvem rigor. Então, para evitar 
subjetividade no conceito de proximidade, utiliza-se o verbo “tender”. Por 
exemplo, à medida que x se aproxima de 2, x + 4 se aproxima de 6, ou, se x 
tende a 2, então x + 4 tende a 6. Aqui, temos a ideia de limite. Os conceitos 
de proximidade e limite estão relacionados.
Também é preciso lembrar o que significa uma função contínua: aquela 
em que, considerando um ponto x = p, com p fazendo parte do domínio da 
função, o seu gráfico não deverá apresentar um salto (na vertical) em x = p 
(GUIDORIℤℤI, 2010). Para ficar mais claro, observe a Figura 7.
Figura 7. Compreendendo continuidade.
Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).
Guidorizzi (2010) destaca que g(x) é descontínua somente no ponto x = 1, 
quando ela apresenta um salto (na vertical); nos demais pontos, ela é contí-
nua. Dito isso, em uma função contínua, quando x se aproxima de p, ou tende 
a p, o valor da função se aproxima cada vez mais da função naquele ponto. 
Simbolicamente, isso pode ser expresso por:
Funções e limites 7
Em palavras, isso pode ser enunciado como “o limite de f(x), quando x tende 
a p, é f(p)”. A representação gráfica de limite pode ser observada na Figura 8.
Figura 8. Representação gráfica de limite.
Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).
Vejamos um exemplo, agora por meio da análise de uma tabela.
Considere a função f(x) = x + 4. Qual será o limite no ponto x = 2?
Pensando no gráfico dessa função, constatamos que se trata de 
uma reta. Logo, ele não apresentará salto em nenhum ponto, e, sendo assim, 
f(x) será contínua. Observe a Figura 9.
Figura 9. Gráfico de f(x) = x + 4.
Funções e limites8
Perceba que os valores de x estão se aproximando cada vez mais de x = 2, 
tanto pela direita quanto pela esquerda, e que os valores da função estão se 
aproximando cada vez mais da função naquele ponto por ambos os lados, ou 
seja, f(2) = 6. Isso também pode ser observado no Quadro 1.
Quadro 1. Tabela de f(x) = x + 4
Pela esquerda: x < 2 1 1,5 1,9 1,95 1,99 1,999
f(x) = x + 4 5 5,5 5,9 5,95 5,99 5,999
Pela direita: x > 2 3 2,5 2,1 2,05 2,01 2,001
f(x) = x + 4 7 6,5 6,1 6,05 6,01 6,001
Isso nos permite dizer que, quando a função f(x) tende a 2, tanto pela di-
reita quanto pela esquerda, o seu limite no ponto indicado x = 2 é igual a 6. 
Matematicamente:
ou seja:
Compreendidos esses conceitos, vejamos a definição formal de limite 
apresentada por Anton, Bivens e Davis (2014, p. 101):
Seja f(x) definida em todo x de algum intervalo aberto que contenha o número a, 
com a possível exceção de que f(x) não precisa estar definida em a. Escrevemos 
 se, dado qualquer número , pudermos encontrar um número 
 tal que se .
Ou seja, o que dizíamos informalmente “tão próximo quanto de L” se 
tratava de uma atribuição de sentido quantitativo ao escolher de maneira 
arbitrária um número positivo , e a expressão “suficientemente próximo 
de a” é quantificada pelo número positivo na definição formal de limite 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Vamos usar a definição formal de limite para 
provar o que fizemos intuitivamente no exemplo anterior, ou seja, para provar 
que 
Funções e limites 9
Dado qualquernúmero positivo , podemos encontrar um número positivo 
 tal que:
Primeiramente, vamos descobrir um valor de que sustente a afirmação 
e, depois, provar que ela é válida para aquele .
Vamos iniciar simplificando a equação apresentada:
Perceba que essa afirmação está assegurada quando 
Agora, vamos provar que se é válida 
para qualquer escolha de . Essa afirmativa é equivalente a 
se que, por sua vez, se verifica com Portanto, 
 se também se verifica com Isso prova 
que 
Nesta seção, apresentamos a definição informal de limite, iniciando pelo 
estudo de função contínua e descontínua. Em seguida, conhecemos repre-
sentações de funções por meio de gráficos e tabelas, de modo a visualizar 
a noção de limite e, por fim, compreender sua definição formal. Na próxima 
seção, aprofundaremos esse estudo apresentando as propriedades de limites.
Propriedades e tipos de limite
As propriedades dos limites são muito úteis, pois nos permitem resolver 
problemas mais facilmente, sem precisar fazer uso da definição de limite, que 
pode ser uma tarefa um tanto complicada. Por isso, a seguir vamos apresentar 
caminhos e métodos mais fáceis para encontrar os limites das funções.
Supondo que c seja uma constante e os limites e existam, 
então as propriedades são (STEWART, 2016):
1. que pode ser enunciada como 
“o limite de uma soma é a soma dos limites”;
2. que pode ser enunciada como 
“o limite de uma diferença é a diferença dos limites”;
Funções e limites10
3. que pode ser enunciada como “o limite de uma 
constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o 
limite dessa função”;
4. que pode ser enunciada como “o 
limite de um produto é o produto dos limites”;
5. que pode ser enunciada como “o 
limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite 
do denominador não seja zero”;
6. onde n é um inteiro positivo, que pode ser 
enunciada como “o limite de uma função elevada a n é equivalente ao 
limite elevado a n dessa função”;
7. que pode ser enunciada como “o limite de uma constante é 
a própria constante”.
8. que pode ser enunciada como “o limite de uma função será 
equivalente ao valor de que o x se aproxima, que, nesse caso, é a”;
9. onde n é um inteiro positivo;
10. onde n é um inteiro positivo. De modo mais geral, temos 
 que pode ser enunciada como “o limite da raiz 
enésima de uma função é equivalente à raiz enésima do limite dessa 
função”.
Vejamos alguns exemplos aplicados a cada uma dessas propriedades.
1) Propriedade da soma:
2) Propriedade da diferença:
Funções e limites 11
3) Propriedade da multiplicação por constante:
4) Propriedade do produto:
5) Propriedade do quociente:
6) Propriedade da potência:
7) Propriedade da constante:
8) Propriedade do limite de x:
9) Propriedade do limite de xn:
10) Propriedade da raiz enésima de uma função:
Funções e limites12
Além dessas propriedades, é importante conhecermos os tipos de limite 
com os quais podemos nos deparar. Os 15 tipos de limite são apresentados 
no Quadro 2.
Quadro 2. Os 15 tipos de limite
Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).
O Quadro 3 apresenta o significado dos limites iguais a (que 
correspondem, cada um deles, a uma coluna do Quadro 2), bem como o 
que representam os símbolos que 
correspondem às linhas do Quadro 2.
Quadro 3. Significado de alguns limites e símbolos
Significa que, por menor que seja podemos concluir 
que desde que x verifique certa condição.
Significa que, por maior que seja podemos concluir 
que desde que x verifique certa condição.
Significa que, por maior que seja podemos concluir 
que desde que x verifique certa condição.
Significa que a condição sobre x é para 
suficientemente pequeno.
Lê-se x tende a x0 pela direita. Significa que a condição 
sobre x é para suficientemente pequeno.
Lê-se x tende a x0 pela esquerda. Significa que a condição 
sobre x é para suficientemente pequeno.
(Continua)
Funções e limites 13
Lê-se x tende a mais infinito. Significa que a condição sobre 
x é para N suficientemente grande.
Lê-se x tende a menos infinito. Significa que a condição 
sobre x é para N suficientemente grande.
Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).
Você pode saber mais sobre as propriedades dos limites consultando 
o capítulo 7 da obra Curso de Análise Real, de Neri e Cabral (2011).
Nesta seção, você pôde conhecer as propriedades de limites e os 15 tipos 
de limite com os quais podemos trabalhar, bem como exemplos envolvendo 
tais propriedades. Ademais, neste capítulo, você pôde compreender o conceito 
formal de função e a sua representação, assim como a definição formal de 
limite.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
FRIEDRICH, M. A.; MANℤINI, N. Matemática aplicada: administração e ciências contábeis. 
2 ed. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2015.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e sequências. São Paulo: 
Cengage Learning, 2018.
GUIDORIℤℤI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: Universidade Federal 
do Rio de Janeiro, 2011. Disponível em: https://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/
livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf. Acesso em: 11 abr. 2021.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.
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integralidade das informações referidas em tais links.
(Continuação)
Funções e limites14
DICA DO PROFESSOR
Para compreender a definição formal de limites, é importante ter uma noção intuitiva, o que 
pode ser feito, por exemplo, por meio de análises gráficas e da construção de tabelas. Lançar 
mão desses métodos é interessante para que o estudante faça uma conexão com aquilo que 
é dado em determinado teorema ou definição e o que representa na prática. Outro ponto 
relevante é ter claro que o limite permite analisar 
o comportamento de uma função e tirar conclusões a seu respeito.
Nesta Dica do Professor, será tratada uma das maneiras de trabalhar com limites, a partir de suas 
propriedades, as quais, por sua vez, foram deduzidas no intuito de tornar o uso de limite mais 
eficiente e prático, sem a necessidade de resolvê-lo por sua definição formal, tarefa que pode ser 
bastante trabalhosa. Espera-se que esta dica evidencie como 
é possível tornar o ensino de limite mais visual e factível sob a óptica dos estudantes. 
 
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EXERCÍCIOS
1) Função, na linguagem matemática, é uma relação entre variáveis, 
em que teremos, por exemplo, uma variável dependente e uma variável independente. 
Normalmente, chamamos de x a variável independente 
e de y a variável dependente. Portanto, teremos uma relação em que y depende de x, 
ou seja, y será uma função de x. Uma das maneiras 
de representar relações se dá por meio de diagramas, no entanto 
nem sempre essas relações são capazes de representar uma função. Nesse contexto, 
avalie os diagramas a seguir, assinalando a alternativa que pode representar uma 
função.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
O conceito de funções é um dos mais importantes da matemática, aplicável em vários 
conteúdos dessa área do conhecimento. Porém, 
ele vai muito além disso, visto ser essencial para expressar fenômenos físicos, 
biológicos, sociais, econômicos, etc. Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte 
forma: “Uma função f é uma relação 
que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio, 
um único elemento f(x) ou y, de um conjunto C, denominado contradomínio”.
Nesse contexto, no que diz respeito aos três tipos de funções — sobrejetora, injetorae 
bijetora —, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta correta:
I. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora se, 
e somente se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência de um ou 
mais elementos do conjunto B.
II. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora 
se, e somente se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência com um 
único elemento do conjunto B.
III. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se todos os 
2) 
elementos do conjunto A estão associados a um único elemento do conjunto B.
IV. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se, e somente se, a 
função for injetora duas vezes.
V. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será sobrejetora se, e somente se, 
não sobrar elementos do conjunto B sem receber correspondência.
A) I e III. 
B) II, IV e V. 
C) II e IV. 
D) I, III e V. 
E) II e V. 
O conceito formal de limites pode ser bastante trabalhoso na prática; por isso, regras 
(propriedades) foram desenvolvidas de modo a poder resolver problemas envolvendo 
limites de forma mais eficiente e prática. Nesse contexto, supondo que c seja uma 
constante e os limites limx → af(x) e limx → ag(x) existam, analise as afirmações a 
seguir assinalando a resposta correta:
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta 
constante ao limite da função.
II. 
III. O limite de uma função elevada a n é equivalente a n vezes o limite dessa função, 
ou seja, 
IV. O limite de uma constante é a própria constante.
3) 
V. limx → axn=an onde n é um inteiro positivo.
A) IV e V. 
B) II, III e IV. 
C) I, III e V. 
D) III e IV.
E) I, II e III. 
O estudo de limites possibilita avançar para conceitos importantes da matemática, como o 
cálculo de áreas, regiões entre curvas, derivadas, solução de problemas práticos em física, 
economia, química, biologia, engenharia, etc. Ele nos permite compreender o 
comportamento de uma função, além de ter uma noção intuitiva sobre a sua definição. 
Assim, analise o gráfico que representa a seguir assinalando a alternativa 
correta no que diz respeito ao conceito 
e ao gráfico apresentado:
4) 
A) 
A função está definida quando x = 1.
B) 
A função não está definida em x = 1, no entanto isso não é relevante para 
o cálculo do limite, pois consideram-se valores de x que estão próximos de a, mas não 
iguais a a.
C) 
A função não está definida em x = 1, e, conforme a definição de limite, 
não é possível encontrar o limite de uma função que não esteja definida em determinado 
valor, como, nesse caso, em x = 1.
D) 
O limite é .
E) 
O limite não existe.
5) Uma das propriedades de limites diz que o limite de um quociente é o quociente dos 
limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Matematicamente, 
representado por . 
Assim, calcule o limite da função quando x tende a –2, assinalando a 
alternativa que contém a resposta correta.
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
NA PRÁTICA
Por vezes, o ensino de funções se desconexa da prática, ainda que exista uma variedade de 
problemas cotidianos que podem ser resolvidos por meio de funções. Aliás, pode-se facilmente 
perceber tais relações.
O estudo da função é fundamental para avançar no estudo de limite, continuidade, derivada, e 
assim por diante. Além disso, apresentar os conceitos e exemplos de forma mais visual e 
intuitiva facilita o processo de ensino e aprendizagem.
Destaca-se a importância de o professor aprofundar o conceito de funções, para que se tenha 
uma formação sólida e consiga visualizar aplicações que podem ser utilizadas em sua sala de 
aula na educação básica.
Acompanhe, neste Na Prática, algumas sugestões de atividades pensadas para alunos da 
educação básica envolvendo o conceito de função e sua representação. A proposta é oferecer 
subsídios para refletir a respeito de maneiras diferentes que podem ser úteis, dinâmicas e 
atrativas na abordagem desse conteúdo para, gradativamente, ir avançando a conceitos mais 
elaborados e complexos.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Definição de função
Neste vídeo, você poderá compreender qual é o domínio e qual é o contradomínio de uma 
função, analisando exemplos por meio de diagramas que lhe permitirão avaliar se cada uma das 
situações apresentadas expressa ou não uma função. O professor sempre faz menção à definição 
para que você perceba o que nos permite afirmar que determinada relação é uma função.
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Definição de limite
Neste vídeo, o professor explica a definição de limite mostrando graficamente o que isso 
significa. No gráfico, você conseguirá compreender exatamente o que a definição diz olhando 
para a vizinhança do ponto. Por fim, o professor apresenta um exemplo mostrando como 
resolver um exercício em que se utiliza a definição para que você tome conhecimento.
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Propriedades dos limites
No vídeo a seguir, o professor ensina como calcular os limites de funções polinomiais, 
compostas por meio das propriedades. Ainda, apresenta os limites de funções trigonométricas, 
exponenciais e logaritmos, e explica o teorema do confronto (ou sanduíche) e motivo de ser 
utilizado.
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Cálculo — V1
Sugere-se a leitura dos capítulos 0 e 1 do livro Cálculo. Neles, você poderá retomar conceitos 
básicos de funções e estudar detalhadamente as famílias de funções, além de encontrar uma 
abordagem intuitiva de limites, como calculá-los e sua definição formal. Os autores detalham 
cada um dos conceitos apresentando diversos exemplos, aplicações práticas e diversos 
exercícios para que você possa praticar e aprofundar os seus estudos.