Circuitos Digitais - Tema 04 - Álgebra Booleana

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Prof.: Marcelo Duarte 
Circuitos Digitais
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Desenvolvida por George Boole, a Álgebra
Booleana nos permite expressar,
matematicamente, o funcionamento de um
circuito e simplifica-los, a partir de seus teoremas.
– Por que simplificar circuitos?
– Qual a vantagem de ser fazer isso?
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Propriedades da função NOT:
• A = 0 → ഥA = 1
• A = 1 → ഥA = 0
• A = ഥഥA =
ഥഥഥഥA
– Propriedades da função AND:
• 0 . 0 = 0
• 0 . 1 = 0
• 1 . 0 = 0
• 1 . 1 = 1
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A . 0 = 
A . 1 = 
A . A = 
A . ഥA = 
0
A
A
0
Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Propriedades da função OR:
• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1
– Propriedades Comutativa:
• A + B = B + A
• A . B = B . A
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A + 0 = 
A + 1 = 
A + A = 
A + ഥA = 
A
1
A
1
Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Propriedades Associativa:
• A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B = A + B + C
• A . (B . C) = (A . B) . C = (A . C) . B = A . B . C
– Propriedades Distributiva:
• A . (B + C) = A . B + A . C
• A . B + A . C = A . (B + C)
• A + B . C = (A + B) . (A + C) *
• (A + B) . (A + C) = A + B . C *
➢* Não se aplicam à Álgebra convencional.
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Propriedades Distributiva:
• (A + B) . (C + D) = A . C + A . D + B . C + B . D
• A . C + A . D + B . C + B . D = (A + B) . (C + D)
• Comprove:
• A + B . C = (A + B) . (A + C)
• (A + B) . (A + C) = A . A + A . C + B . A + B . C =
• A + A . C + A . B + B . C = A (1 + C + B) + B . C =
• A (1) + B . C = A + B . C
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Teoremas de De Morgan:
• ഥA + ഥB = A . B
• ഥA . ഥB = A + B
➢Verifique as tabelas verdade (visto em aula anterior).
– Mais uma regra:
• A + ഥA . B = A + B
➢Verifique as tabelas verdade.
➢Comprove pela Álgebra de Boole.
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Mais uma regra:
• A + ഥA . B = A + B
➢Verifique as tabelas verdade.
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DEC A B ഥ𝐀 ഥ𝐀 . 𝐁 𝐀 + ഥ𝐀 . 𝐁 A + B
0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1
2 1 0 0 0 1 1
3 1 1 0 0 1 1
Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Mais uma regra:
• A + ഥA . B = A + B
➢Comprove pela Álgebra de Boole.
➢A + ഥA . B = A + ഥA . A + B =
➢1 . A + B =
➢ A + B
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
➢S = ഥA . ഥB . തC + ഥA . ഥB. C
➢S = ഥA . ഥB . (തC + C)
➢S = ഥA . ഥB . (1) = ഥA . ഥB
➢S = A + B
➢S = ഥA . ഥB . തC + ഥA . ഥB. C + ഥA . B . തC + ഥA . B . C
➢S = ഥA . (ഥB . തC + ഥB. C + B . തC + B . C)
➢S = ഥA . [ഥB . (തC + C) + B . (തC + C)]
➢S = ഥA . (ഥB .1 + B .1)
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
➢S = ഥA . (ഥB .1 + B .1)
➢S = ഥA . (ഥB + B)
➢S = ഥA . (1)
➢S = ഥA
➢S = ഥA . A + B . B
➢S = 0 + B
➢S = B
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
➢S = ?
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
➢S = A . B + B + A
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
➢S = A . B + B + A
➢S = B . (A + 1) + A
➢S = B . (1) + A
➢S = B + A
➢S = B . A
➢S = A . B
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Unidade 2 – Simplificação
• Álgebra Booleana:
– Exemplos:
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DEC X Y Z S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
S = X .ഥY . Z + X . Y . തZ + X . Y . Z
S = X . ഥY . Z + Y . തZ + Y . Z
S = X . ഥY . Z + Y . തZ + Z
S = X . ഥY . Z + Y . 1
S = X . ഥY . Z + Y = X . Y + ഥY . Z
S = X . Y + Z
Unidade 2 – Simplificação
• Bibliografia:
– Básica:
• IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de Eletrônica Digital. 40. ed. São Paulo:
Érica, 2007.
• MENDONÇA, A.; ZELENOVSKY, R. Eletrônica Digital: Curso Prático e Exercícios. Rio de Janeiro: MZ, 2004.
• WIDMER, Neal S.; TOCCI, Ronald J. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 11. ed. São Paulo: Prentice
Hall, 2011.
– Complementar:
• CAPUANO, Francisco Gabriel. Sistemas Digitais - Circuitos Combinacionais e Sequenciais. São Paulo: Érica,
2014.
• CRUZ, Eduardo Cesar Alves; JÚNIOR, Salomão Choueri; ARAÚJO, Celso de. Eletrônica Digital. São Paulo:
Érica, 2014.
• JUNIOR, Annibal Heterm. Fundamentos de Informática – Eletrônica Digital. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
• LOURENCO, Antonio Carlos de. Circuitos Digitais. 9. ed. São Paulo: Érica, 2012.
• TOKHEIM, Roger. Fundamentos de Eletrônica Digital: Sistemas Combinacionais. V. 1, 7. ed., Rio de
Janeiro: McGraw-Hill, 2013.
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