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Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência
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Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ª Prof. Manoel Afonso de CaMlho línlor Coordenadtr do LOSP DEE I CTG I UFPE Editora Livraria da Física Luiz Cera Zanetta Jr. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Editora Livraria da Física São Paulo - 2006 - 1 ! edição Copyright 2005: Editora Livraria da Física Editor: José Roberto Marinho Capa: Arte Ativa Impressão: Gráfica Paym Diagramação: Carlos Eduardo de Morais Pereira Ilustrações: Ricardo Vianna Lacourt Revisão do texto: Tânia Mano Maeta Dados Internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Zanetta Júnior, Luiz Cera Fundamentos de sistemas elétricos de potência / Luiz Cera Zanetta Jr. -1. ed. - São Paulo : Editora Livraria da Física, 2005. Bibliografia. l. Centrais elétricas 2. Correntes elétricas 3. Energia elétrica - Distribuição 4. Energia elétrica - Sistemas 5. Energia elétrica -Transmissão 6. Linhas elétricas 1. Titulo. iWÍ'' e • · .. , :1fonso de carvalho Jm ,;ç,~ . .Jenador do LDSP OEE I CTG I UFPE 05-1252 Índices para catálogo sistemático: 1. Sistemas eletricos de potência : Engenharia elétrica 621.3191 ISBN: 85-88325-41-1 Editora Livraria da Física Telefone: (11) 3936-3413 www.livrariadafisica.com. br CDD-621 .3191 Sumário PREFÁCI0 .. ... ..... ... ...... ......... ........ ........ ....... ......... ............. ..... .. ...... ........... ........ .... .... 1 CAPÍTULO 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas de Transmissão ...................... 5 1.1 Introdução ...................................................................... .................... ............ 5 1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potência .................................. ......... 6 1.2.1 Resistência de Condutores .......................................................... ........... 8 1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistência dos Condutores em Corrente Contínua ...................... ............................ 9 1.3 Indutância de Linhas de Transmissão .......................................................... 11 1.3.1 Generalidades ....................................................................................... 11 1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor ................................................ 15 1.3.3 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Interno ............ .............. 15 1.3.4 Efeito Pelicular ............................. ... .... .. ............... ............................... 20 1.3.5 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Externo ........... .............. 24 1.3.6 Adição dos Fluxos Interno e Externo ........................ ~ .......................... 28 1.3.7 Indutância de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilíndricos ..... 29 1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor por um Grupo de Condutores ..... .... ........................................ .... ... ... .. .. 3 1 1.3.9 Linha Bifásica com Condutores Compostos ou em Feixe ................... 34 1.3.1 OReatância Indutiva da Linha com Utilização de Tabelas .................... .43 1.3.11 Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Eqüilátero ..... ...... .45 l .3.12Linhas Trifásicas com Espaçamento Assimétrico .............................. .47 1.4 Capacitância de Linhas de Transmissão ...................................................... 50 1.4.1 Generalidades .................................... , .. , ............................................ ... 50 1.4.2 Condutor Isolado ................... , ............. , .................................. ............. . 51 1.4.3 Diferença de Potencial entre Dois Pontos no Espaço .......................... 52 1.4.4 Capacitância de uma Linha Bifásica ...... ... ....... .................... ................ 53 1.4.5 Linha Trifásica com Espaçamento Eqüilátero .... .................... ............. 59 1.4.6 Linha Trifásica com Espaçamento Assimétrico ........................... ........ 62 1.4.7 Consideração de Condutores Compostos ou Bundle ............... ............ 65 1.5 Referências Bibliográficas ........................................................................... 70 CAPÍTULO 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas de Transmissão ........... 71 2.1 Introdução ......................... ..................................... ..... ... .. .. ................. .... ..... 71 2.2 Cálculo de Parâmetros Incluindo o Efeito do Solo ..... ................................. 71 2.2.1 Matriz de Impedâncias Série ................................. .... ... ............. ........... 72 2.2.2 Aplicação do Método das Imagens .................. ......... ........................... 73 2.2.3 Solo com Resistividade não Nula ...................... .................. .............. .. 76 2.2.4 Efeito dos Cabos-Guarda ..................................................... ................ 78 2.2.5 Aplicação de Componentes Simétricas ......................................... ....... 83 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 2.3 Matriz de Capacitâncias ............................................................................... 88 2.3.1 Consideração dos Cabos-Guarda ......................................................... 95 2.3 .2 Aplicação das Componentes Simétricas no Cálculo de Capacitância ................................................ 98 2.4 Linhas de Transmissão com Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda ......... 100 2.5 Cálculo Computacional de Parâmetros de Linhas de Transmissão ........... 114 2.5.1 Cálculo da Impedância Série (Matriz de Impedâncias) ..................... 114 2.5.2 Cálculo da Matriz de Admitâncias Capacitiva ................................... 118 2.6 Referências Bibliográficas ......................................................................... 121 CAPÍTULO 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão .... 123 3.1 Introdução .................................................................................................. 123 3.2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em uma Linha de Transmissão .................................................................. 123 3.3 Impedância Característica de uma Linha de Transmissão ......................... 127 3.4 Regime Permanente em Linhas de Transmissão ....................................... 127 3.4.1 Modelo de Linhas de Transmissão com Comprimento Finito ........... 130 3.4.2 Quadripolo Equivalente ..................................................................... 133 3.4.3 Modelo rr Equivalente de uma Linha Genérica (Linha Longa) ......... 134 3.4.4 ModelorrNominal ............................................................................. 140 3.4.5 Modelo para Linhas Curtas ................................................................ 141 3.4.6 Modelo T Nominal ............................................................................. 142 3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos ...................................................... 143 3.5.1 Associação em Cascata de Quadripolos ............................................. 143 3.5.2 Associação de Qu?..dripolos em Paralelo ............................................ 144 3.5.3 Representação de Elementos Concentrados Através de Quadripolos ............................................... 145 3.6 Transmissão de Potência ............................................................................ 146 3. 7 Compensação Reativa de Linhas de Transmissão ..................................... 150 3. 7 .1 Linha de Transmissão em Vazio ....................................................... .150 3. 7 .2 Linha de Transmissão em Carga ........................................................ 154 3 .8 Referências Bibliográficas ......................................................................... 164 CAPITULO 4 Curto-circuito ................................................................................. 165 4.1 Introdução .................................................................................................. 165 4.2 Modelos de Geradores ............................................................................... 167 4.2.1 Motor Síncrono .................................................................................. 170 4.2.2 Motor de Indução ............................................................................... 170 4.3 Curto-circuito Considerando as Condições Pré-falta ................................. 171 .. .. 4.4 Modelo de Carga e Análise Pré-falta ......................................................... 179. 4.4.1 Modelo de Carga ................................................................................ 179 4.4.2 Estudo das Condições Pré-Falta ......................................................... 180 4.5 Curto Trifásico Equilibrado ............................. .. r· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- 4.6 Curto-circuito Fase-terra ............................................................................ 183 4.7 Curto Dupla-fase ........................................................................................ 188 4. 8 Curto Dupla-fase-terra ............................................................................... 191 4.9 Potência de Curto-circuito ......................................................................... 195 4.9.1 Potência de Curto-circuito Trifásica .................................................. 195 4.9.2 Potência de Curto-circuito Monofásica .............................................. 198 4.1 O Referências Bibliográficas ......................................................................... 212 CAPÍTULO 5 Tratamento Matricial de Redes ...................................................... 213 5.1 Introdução .................................................................................................. 213 5 .2 Matrizes para Redes de Seqüências ........................................................... 213 5.2.1 Formação da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem Mútuas .................................................. 213 5.2.2 Formação da Matriz Y Considerando Elementos Indutivos com Mútuas ...................................................... 216 5.2.3 Obtenção da Matriz de Impedâncias Nodais ...................................... 218 5.3 Matrizes Trifásicas .................................................................................... 220 5.3. l Formação da Matriz YTrifásica ......................................................... 221 5.4 Referências Bibliográficas ......................................................................... 224 CAPÍTULO 6 Cálculo Matricial do Curto-circuito ............................................... 225 6.1 Introdução .................................................................................................. 225 6.2 Informações da Rede Pré-falta .................................................................. 225 6.3 Informações da Rede em Falta .................................................................. 226 6.4 Superposições ............................................................................................ 228 6.5 Componentes de Fase ................................................................................ 228 6.6 Cálculos de Curto-circuito ......................................................................... 229 6.6.1 Curto Trifásico ................................................................................... 229 6.6.2 Curto Dupla-fase ................................................................................. 230 6.6.3 Curto Fase-terra ................................................................................. 231 6.6.4 Curto Dupla-fase-terra ... '. ................................................................... 232 6.7 Referências Bibliográficas ......................................................................... 238 CAPÍTULO 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica ...................................... 239 7.1 Introdução .................................................................................................. 239 7.2 Análise de uma Rede Elementar ....................................................... : ........ 240 7.3 Variáveis e Análises de Interesse .............................................................. 244 7.3. l Barras ................................................................................................. 244 7.3.2 Ligações ............................................................................................. 245 7.4 Considerações sobre o Método Iterativo de Gauss e Gauss-Seidel ........... 250 7.4.1 Método de Gauss ............................................................................... 250 7.4.2 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de Gauss-Seidel ............. 253 7.5 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de Newton-Raphson .............. 254 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 7.5.1 Método Iterativo de Newton-Raphson ............................................... 254 7.5.2 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica com o Método de Newton-Raphson ................................................... 258 7 .5.3 Montagem da Matriz Jacobiana ......................................................... 259 7 .6 Fluxo de Potência com o Método Newton-Raphson Desacoplado-rápido ...................................................... 273 7.7 Referências Bibliográficas ......................................................................... 284 CAPÍTULO 8 Estabilidade .................................................................................... 285 8.1 Introdução .................................................................................................. 285 8.2 Modelo Elementar ..................................................................................... 286 8.2.1 Modelo Clássico ................................................................................. 286 8.2.2 Obtenção da Curva Px ô .................................................................... 286 8.3 Análise da Estabilidade .............................................................................. 289 8.3. l Elevação da Potência Mecânica ......................................................... 291 8.3.2 Ocorrência de Curto-circuito ............................................................. 292 8.4 Equação Eletromecânica ............................................................................ 294 8.4.1 Equação de Oscilação (Swing) .......................................................... 294 8.4.2 Critério das Áreas lguais .................................................................... 296 8.5.1 Modelo Eletromecânico Simples ....................................................... 300 8.5 Referências Bibliográficas ........................................................................ .312 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PREFÁCIO Um sistema elétrico de potência é constituído por usinas geradoras, linhas de alta tensão de transmissão de energia e sistemas de distribuição. As usinas geradoras estão localizadas próximo dos recursos naturais energéti- cos, como as usinas hidroelétricas estabelecidas nos pontos favoráveis para o apro- veitamento dos desníveis e quedas de água dos rios, assim corno locais propícios para a formação de lagos e o armazenamento da água. Da mesma forma, as usinas térmicas localizam-se próximo das reservas de combustíveis fósseis como o carvão ou gás. Cabe mencionar que pode ser mais econômico fazer o aproveitamento des- ses combustíveis por meio de sua queima, geração de calor e sua transformação em energia elétrica, transportando-a via linhas de alta tensão até os centros de consumo, do que efetuar o transporte do combustível por veículos, ferrovias ou embarcações. Até mesmo as usinas nucleares, que eventualmente poderiam se localizar próximo aos centros de consumo, por razões de segurança são instaladas em regiões afasta- das das grandes cidades. As grandes empresas estatais ou privadas são normalmente as responsáveis pela geração de energia elétrica, devido ao expressivo aporte de capital necessário nesses empreendimentos. Nas usinas geradoras a energia elétrica é produzida em um nível de tensão da ordem de urna ou duas dezenas de quilovolts, sendo muito comum a tensão de 13,8 kV, mas essa é urna tensão baixa demais para que o seu transporte seja economicamente viável a longas distâncias. Desse modo, utilizam-se transformadores encarregados de elevar esse nível de tensão a um patamar superior, que vai de algumas dezenas de quilovolts até algumas centenas. Essa energia, ao chegar aos grandes centros de consumo, corno as cidades e parques industriais, percorre regiões densamente habitadas, com circulação perma- nente de pessoas, cuja segurança exige a redução do nível de tensão a patamares inferiores, novamente sendo muito comum a tensão de 13,8 kV. Dessa tarefa se encarregam as empresas distribuidoras, que fornecem energia elétrica aos consumi- dores, geralmente classificados em grupos, corno residenciais, comerciais e industriais. 2 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Fatores macroeconômicos, empréstimos, juros, variações de preços interna- cionais de insumos energéticos, previsões de demanda e contratos de energia for- mam o pano de fundo de toda uma engenharia financeira que determina a viabilida- de e o sucesso de cada empreendimento. Tudo isso ocorre ainda ligado a uma ten- dência recente de desregulamentação do setor elétrico, ou seja, a grosso modo di- minuindo a participação estatal na geração, transmissão e distribuição, e permitindo a entrada no mercado de um número maior de agentes empreendedores privados. Após mais de um século de exploração da energia elétrica, as fontes de ener- gia mais próximas dos centros de consumo já se encontram em utilização plena ou quase isso, o que implica a busca de potenciais cada vez mais distantes, com desafi- os a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia. Embora diversos aspectos ligados aos sistemas elétricos de grande porte, como os anterior- mente mencionados, sejam assuntos palpitantes, nosso interesse neste trabalho é dirigido a um aspecto extremamente importante neste encadeamento, que é o da transmissão de energia elétrica por meio de linhas de alta tensão. Inúmeros proble- mas técnicos devem ser superados para que a energia elétrica possa ser transportada atendendo aos requisitos de segurança das instalações e das pessoas envolvidas. Aspectos cruciais como confiabilidade, flexibilidade e custos envolvidos no trans- porte estabelecem o núcleo das ações das equipes técnicas encarregadas da opera- ção e planejamento dos sistemas elétricos de potência. Do ponto de vista das linhas aéreas de transmissão, cabe a nós entender os aspectos básicos dos campos elétrico e magnético, que estabelecem os fundamentos para a transmissão de energia através de cabos. Dessa forma trataremos dos aspec- tos básicos no cálculo dos parâmetros das linhas de transmissão, com e sem a pre- sença do solo. Em seguida, estabeleceremos a modelagem elementar da linha de transmissão em regime permanente, delineando modelos utilizáveis do ponto de vista da teoria de circuitos, que são úteis no cálculo de variáveis elétricas como tensões, correntes e potências, assim como suas relações matemáticas. Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o cálculo das correntes de curto- circuito, principalmente do ponto de vista de sua avaliação para os diferentes tipos de faltas em redes elétricas, com o uso das componentes simétricas. Um outro tema de nosso interesse e igualmente importante será a abordagem do fluxo de potência em redes pois, como sabemos, os sistemas elétricos são consti- tuídos por diversas usinas de geração e centros de consumo, interligados por redes elétricas com diferentes configurações, que evoluem e se modificam devido a vários fatores. As interligações elétricas na transmissão permitiram um aproveitamento mais econômico e confiável dos recursos energéticos e dos equipamentos elétricos. Fará parte de nossa investigação a compreensão do fluxo desta energia pelos dife- rentes caminhos possíveis de uma rede interligada, com o seu equacionamento por meio de uma formulação eficiente no cálculo das grandezas elétricas envolvidas. Desfrutamos de notórios beneficias que as interligações de sistemas propor- cionam às redes elétricas, como redução de custos e aumento da confiabilidade. No entanto, a partir destas interligações também surgiram dificuldades técnicas para uma operação estável dos sistemas diante de perturbações inevitáveis, algumas normais, provenientes de alterações operativas e variações da carga. Outras pertur- bações são causadas por curto-circuitos, cuja origem muitas vezes se encontra em tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissão, além de outros fatores. Desse modo, complementamos o texto com uma introdução à estabilidade de geradores conectados a barramentos suficientemente robustos, conhecidos como barramentos infinitos, introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de redes, com base no modelo clássico de geradores. Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmis- são de energia elétrica em um sistema de potência, particularmente aqueles empre- gados na cadeira de Sistemas de Potência I, na formação de engenheiros eletricistas pela Escola Politécnica da USP. Sua despretensiosa elaboração não pretende substi- tuir uma vasta e rica literatura de textos clássicos existente sobre o tema, mas ape- nas condensar aspectos fundamentais empregados em um curso de graduação. Para sua leitura, o aluno de graduação necessita apenas conhecimentos de componentes simétricas e modelos de equipamentos em valores por unidade, desenvolvidos em cursos mais básicos. A análise introdutória desenvolvida se ampliará num segundotrabalho im- presso, ainda em elaboração, abordando aspectos complementares mais avançados. 4 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO AOS PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 1.1 Introdução O projeto de uma linha de transmissão envolve cálculos elétricos e mecâni- cos, pois o bom dimensionamento elétrico está intimamente ligado a fatores mecâ- nicos, como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o peso dos cabos, rajadas de ventos e outras ocorrências como rompimento de cabos, etc. Como o cabo sofre deformações, a sua altura em relação ao solo, entre duas estruturas, é inferior à sua altura nas torres. Além disso, como os vãos entre torres podem ser irregulares, por exemplo em trechos montanhosos, nas travessias de rios ou de vales, existe a necessidade de uma otimização do número de torres e de suas alturas visando reduzir custos, assim como a definir adequadamente o tracionamen- to admissível desses cabos nas estruturas. A elevação da tensão necessita de maior altura dos condutores em relação ao solo, assim como de um maior distanciamento entre fases, o que implica maiores estruturas de sustentação, freqüentemente metálicas, conhecidas como torres de linhas de transmissão. Os cabos condutores são presos às estruturas por meio de cadeias de isoladores, e são constituídos por fios encordoados que apresentam ca- racterísticas elétricas e mecânicas. Do ponto de vista mecânico destacam-se como variáveis o peso e a resistência à tração, assim como sua flexibilidade, fundamental para a fabricação, transporte e montagem no campo. Do ponto de vista elétrico, são importantes variáveis a condutividade e a seção condutora. Nosso objetivo básico volta-se para os aspectos elétricos fundamentais do cálculo dos parâmetros de uma linha de transmissão, correspondentes às caracterís- ticas elétricas, dimensões e espaçamento dos condutores. Com o cálculo dos cam- pos magnéticos e elétricos definiremos os parâmetros indutivos e capacitivos das linhas de transmissão. Na avaliação elementar de parâmetros, desenvolvida a seguir, desconsideramos o efeito do solo, mas dele nos ocuparemos em capítulo posterior dedicado ao·tema. 6 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Nosso interesse no cálculo dos parâmetros elétricos justifica-se pela impor- tância dessa tarefa, da qual são dependentes e alicerçadas as demais avaliações que se façam de um sistema elétrico de potência. 1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potência Uma preocupação básica na seleção de um condutor, definido o material a ser utilizado, cobre ou alumínio, é com a área de seção transversal, que está associada ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissão. Os aspec- tos de custo são tratados dentro de um tópico chamado de seleção do condutor eco- nômico, que não será objeto de nossa análise. Ao alterarmos o diâmetro do condutor, modificamos a densidade de corrente I / S, e conseqüentemente as perdas. Os aspectos positivos em aumentar o diâmetro são reduzir as perdas e também o gradiente elétrico na superficie do condutor, ate- nuando o efeito corona. Em contrapartida, isso aumenta o custo da transmissão. S = área da seção condutora Figura 1.1: Condutores com raios diferentes. Quando comparamos condutores de cobre com os de alumínio, fixados um mesmo comprimento e uma mesma resistência elétrica do circuito, o volume de alumínio será maior, pois será necessária uma seção condutora maior para compen- sar sua condutividade, inferior em relação à do cobre. Apesar disso, devido à maior densidade do cobre, o peso em cobre será aproximadamente o dobro em relação ao do alumínio. Isso confere uma vantagem adicional ao alumínio, que pode ser utili- zado com estruturas de sustentação mais leves, além do seu custo mais baixo. A dificuldade prática em se fabricar condutores com diâmetros elevados im- plica o uso de cabos formados por diversos fios, denominados cabos encordoados. Quando um só cabo encordoado não é suficiente para transmitir a corrente total, adicionamos mais cabos em paralelo, separados por espaçadores, formando cabos múltiplos. Existem diferentes tipos de condutores, e os mais usados em linhas de transmissão são normalmente, por razões econômicas, condutores de alumínio: Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 7 • CA: condutor de alumínio puro. • AAAC: condutor de liga de alumínio, de ai! aluminium alloy conductor. • CAA: condutor de alumínio com alma de aço, cuja denominação muito conhe- cida em inglês é ACSR, de aluminium cable steel reinforced. • ACAR: condutor de alumínio com alma de liga de alumínio, de aluminium conductor alloy reinforced. Seção condutora em forma de coroa Suporte mecânico de aço Figura 1.2: Formação 24/7 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de alumínio e 7 de aço. No processo de encordoamento os fios descrevem uma trajetória helicoidal em tomo do centro do condutor. Levando-se em conta ainda que os cabos sofrem uma deformação provocada pelo seu peso, o comprimento real é um pouco maior que a extensão da linha e . Figura 1.3: Efeitos de encordoamento e flecha. f : comprimento da linha, e,.ea/ ;;:e 1,02e. 8 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Da mesma fonna, a resistência total da linha pode ser estimada em um valor um pouco acima dos obtidos nos cálculos. 1.2.1 Resistência de Condutores As perdas nos condutores em corrente contínua, devidas ao efeito Joule, são representadas por meio de resistências, com a seguinte expressão conhecida: pe R=- s ' ( 1. 1) Figura 1.4: Dimensões de um condutor. São importantes as seguintes variáveis que definem um condutor cilíndrico: e: comprimento do condutor ou da linha (pés, metros, km), r: raio do condutor (centímetros, polegadas), S: área da seção do condutor (mm2 ou CM= circular mil), p: resistividade do material utilizado, (J': condutividade do material utilizado. A área de l CM corresponde à área de um círculo com diâmetro de um milé- simo de polegada. A área de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a área de 1 CM. Obtemos a seguinte correspondência entre áreas dadas em mm2 e CM: S 2 =ScM5,067x10-4, mm _........... . Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 9 ou aproximadamente em MCM: S 2 = 0,5SMCM · mm A resistividade, ou condutividade (ppadrão ou O'padrão), padronizada para um condutor, é a do cobre recozido. Dessa forma, para outros processos metalúrgicos, podemos estabelecer uma correspondência entre suas resistividades com a padroni- zada, conforme os exemplos a seguir para o cobre e o alumínio. O cobre à têmpera dura tem 97% da condutividade do O'padrão, apresentando a resistividade p = 1, 77 X 10-8 f2m ( 20 ° C) . O alumínio à têmpera dura tem 61 % da condutividade do O'padrão, com resis- tividade p=2,83x 10-8 nm (20 ºC). 1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistência dos Condutores em Corrente Contínua Sem entrarmos em maiores detalhes, a figura abaixo ilustra o efeito conheci- do da variação linear da resistência em função da temperatura, quando o condutor é percorrido por corrente contínua. com: Temperatura Resistência T Figura 1.5: Gráfico temperatura x resistência. R2_ITl+ 12 R1 ITl+t,, 1 O Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência T = Temperatura de referência na qual a resistência seria teoricamente desprezível. T = - 234,5 ºC para cobre recozido com 100% de condutividade do O'padrão, T = - 241,0 ºC para cobre à têmpera dura, T = - 228,0 ºC para alumínio à têmpera dura. Para a correção da resistência, em função de temperatura, utilizamos a seme- lhança de triângulos, tomando a temperatura Tem módulo. Vejamos alguns valores tabelados de resistência de condutores, utilizando o cabo Grosbeak 636 MCM (636 mil circular mil ou 636.000 CM), com: Rdc =O, 0268 n 11000 pés ( CC) . Em corrente contínua, passando a unidade de comprimento para milhas, ob- temos: Rdc = 0,0268 Q/mi (20 ºC). O, 1894 Muitos dados encontram-se tabelados em unidades inglesas e desse modo é conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversões de unidades para o sistema internacional. A conversão de 1000 pés para milhas é feita da seguinte forma: 1 pé --7 0,3048 m, 1000 pés --7 0,3048 km, 1000 ' 0,3048 . pes--7 m1, 1,609 1000 pés --7 0,1894 mi. Corrigindo essa resistência para 50 ºC, obtemos: 228+50 . Rdc SOºC = Rdc 20ºC =O, 1586 O/m1 . 228+ 20 Nesse caso, t1 = 20 ºC, t2 = 50 ºC e T = -228 ºC. No entanto, cabe mencionar que, em corrente alternada, as resistências apre- sentam um comportamento dependente do efeito pelicular, sendo mais conveniente sua obtenção em tabelas fornecidas pelos fabricantes. Para o mesmo cabo Grosbeak, extrairíamos os seguintes valores: Rac 20ºC =O, 1454 O/mi , Rac50ºC =O, 1596 O/mi . Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 11 1.3 Indutância de Linhas de Transmissão Neste item introduziremos o cálculo de indutâncias de linhas de transmissão, sem levar em conta a presença do solo. Antes porém, recordemos alguns conceitos básicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas, assim como os conceitos de fluxos interno e externo concatenados com condutores. 1.3.1 Generalidades i - v(t) ( • q) ( t) Figura 1.6: Indutância com núcleo ferromagnético. Dada uma bobina, envolvendo um núcleo composto por material ferromagné- tico, sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturação do núcleo e nessa situação obtemos indutâncias não lineares, que variam com a inten- sidade da corrente. L = não linear, l = l (i) Figura 1.7: Curva r/JX i. Nos meios com permeabilidade magnética constante, como por exemplo o ar, encontramos uma relação linear entre o fluxo e a corrente i, rjJ =Li . Nas lin_has de transmissão aéreas, assumimos a indutância l com um valor 12 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência constante, para qualquer nível de corrente, adotando µar = µ0 , sendo µ0 a permea- bilidade do vácuo. No caso linear, sabemos que: v(t) = L di(t) . dt Analisaremos a relação entre a tensão e a corrente, em grandezas alternadas no campo complexo, aplicando a transformada de Laplace: V(s) = sLI(s). Em regime permanente senoidal, calculando no ponto s = jOJ, sendo OJ a freqüência de excitação, obtemos a relação fasorial entre tensão e corrente: . . V= jmlf , com a corrente atrasada de 90º em relação à tensão, simplificamos a notação: V= }XI. (1.2) Definimos a reatância indutiva do bipolo por: X= ml. Quando ternos circuitos relativamente próximos, encontramos uma indutân- cia mútua entre eles, definida pela relação entre fluxo concatenado com um circuito devido à corrente no outro. 5 CD Figura 1.8: Indutância mútua. Sendo: - Capítulo/. Introdução aos Parâmetros de Linhas 13 rp12 o fluxo concatenado com o circuito 1 devido à corrente no circuito 2. Observa- mos que nesse exemplo o fluxo concatenado com o circuito 1 corresponde às linhas de fluxo 2, 3 e 4 da figura 1.8. fJJ2 = M12I2 · M 12 a indutância mútua entre os circuitos 1 e 2. Vj = jmM12f 2. X 12 = mM12 a reatância mútua entre os circuitos 1 e 2. No cálculo de circuitos magnéticos, o fluxo </J(t) concatenado com uma espi- ra está confinado no material ferromagnético, conforme a figura 1.9. e(t) e (t) r/J,B, H fluxo concatenado Figura 1.9: Fluxo magnético concatenado com uma espira. As linhas fechadas de B e H, aqui também denominadas linhas de fluxo, en- volvem completamente o condutor. Quando temos N espiras, o fluxo concatenado com a bobina, colocando em série todas as espiras, é dado por À-= N </J, sendo </J , como vimos, o fluxo concatenado com uma espira. A tensão nos terminais de cada espira é obtida com a aplicação da Lei de Lenz, adotando a convenção do receptor. em todas as espiras. A tensão nos terminais da bobina é obtida por: v ( t) = N d~~ t) , ou: n v(t) =Lei= Ne(t), i=I que pode ser reescrita como: 14 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência e admitindo  como o fluxo concatenado com N espiras em série, definimos  =Li, sendo L a indutância do enrolamento, que se comporta como um fator de proporção entre a corrente e o fluxo, nos casos sem saturação. i(t) - - v(t) ( e, e2 l e3 -e4 espü& (vista superior) Figura 1.1 O: Fluxo concatenado com N espiras. Quando temos dois condutores longos de comprimento e, espaçados por uma distância D, com f. »D, podemos analogamente aplicar o conceito de fluxo conca- tenado com uma espira, definida pelo retângulo formado pelos dois condutores, desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades. Novamente, as linhas de flu- xo envolvem completamente o condutor. 1 B - 1 1 1 ID 1 e (t) 1 1 X X X X X X X X 1 X X X X X X X X 1 1 1 -1 1 B C» D Figura 1.11: Fluxo concatenado com a espira com dois condutores paralelos. Do ponto de vista do circuito elétrico, podemos associar uma indutância ao circuito formado pelos dois condutores. Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 15 1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor Un:i conceito importante, que se aplica ao cálculo de parâmetros de linhas de transmissão, é o de fluxo concatenado com um condutor apenas. Para isso necessa- riamente precisamos fazer uma abstração e supor que o outro condutor, de retorno, encontra-se muito distante, a uma distância D tendendo ao infinito. _j. e(t) condutor 1 1 - J X -1 condutor 2 B ) ) ) ) X X X X ,,,,. ... ---- ......... , ~ ' ' \ \ condutor 1 ® 1 ,. 1 B \ \ \ \ 1 1 1 I "" Figura 1.12: Fluxo concatenado com um condutor. Nesse caso, podemos aceitar o conceito de fluxo concatenado com um condutor. Veremos a seguir, de modo bastante simplificado, como tratar o fluxo interno em um condutor. 1.3.3 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Interno Para uma precisão maior no cálculo, consideramos a indutância interna do condutor. Vejamos como obter essa indutância, supondo um condutor sólido, com raio R e seção S, percorrido por corrente contínua com intensidade /, que apresenta densidade uniforme de corrente em toda a seção condutora: J =!_. s ( 1.3) Para isso, fazemos uma extensão do conceito de fluxo concatenado, definindo o fluxo parcial concatenado em um condutor, ao calcularmos o fluxo interno, cor- respondente a uma seção condutora com raio r < R . 16 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência B;111 r < R .............. ..... , ' ',, Bexi r > R ' \ \ \ \ \ 1 1 1 1 1 ' Figura 1.13: Fluxo interno e externo. Para r < R, calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada. Na figura 1.14 Bri, B,.2 e B,.3 são densidades de fluxo internas ao condutor, a distâncias r1 < r2 < r3 < R , etc. Figura 1.14: Densidades de fluxo internas ao condutor O fluxo interno ao condutor, inserido em um elemento tubular de raio r < R e espessura dr, é dado pela expressão d</Jr = B,.dr, a ser novamente examinada logo mais adiante. Definimos o fluxo parcial concatenado com a corrente !,. , envolvida por esse elemento tubular, pela expressão: Obtemos o vetor H r em um ponto no interior do condutor, à uma distância r do centro, utilizando a Lei Circuitai de Ampere. Capítulo !. Introdução aos Parâmetros de Linhas 17 H r Figura 1.15: Fluxo em um elemento tubular. Supondo a corrente contínua uniformemente distribuída pela seção transver- sal, obtemos a corrente interna ao círculo de raio r, com r < R, dada pela relação de áreas: 2 I = Tfr I r ? . JrR- Fazendo a circuitação do vetor intensidade de campo magnético Hr em um caminho fechado, obtemos: ou: Como Hr é constante a uma distância r do centro do círculo: 2 H,.~dl = r 2 I, R r H,. = 2 I. 21fR ( 1.4) 18 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Conseqüentemente, como Br = µHr, obtemos: De posse da densidade de fluxo Br, calcularemos a indutância interna do condutor segundo dois procedimentos distintos, o primeiro por meio da energia eletromagnética interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcial- mente. • Energia eletromagnética interna do condutor Podemos calcular a energia magnética interna ao condutor, considerando o volume do condutor em um comprimento unitário, Para isso consideremos um elemento tubular, de comprimento unitário, com volume dvol = 2rcrdr, resultando em: 1 R µr212 µ12 R 3 µ12 R4 wmag = - f 2 2trr dr = 4 f r dr = 4 2 0 (2rc) R4 4trR 0 4trR 4 µ12 l 6tr ' que corresponde à energia magnética em uma indutância Li , percorrida por urna corrente 1: Considerando a permeabilidade do condutor próxima da permeabilidade do vácuo: obtemos: µ 1 - 7 L. = - =-xlO H/m. I 8Jr 2 ( 1.5) Ou seja, a indutância interna de um condutor, percorrido por corrente contínua, é uma constante que independe das suas dimensões. Por sua vez, podemos obter o fluxo interno do condutor por meio da relação: Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 19 Ai.= L.f 'f'r I ' resultando em: / / / / // ---;_,-- - -- ......... ____ -1-- / / ', ------ ,' :.---;----.... ...... ', __ L--í /" ', ' ---- I I I \ \ I / I \ \ I / / 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 : : : . : : \ \ \ - - - -::----a.'_1 ds\ , 1 _, --_-:-_::(· ·:----r; 1 ----!::-~-:;?\jcz:--- ,/ / ~ lr:: ::.}:---Hf\ ', .... ,~---~--/ ; ' ---H r ',, r ' Figura 1.16: Elemento tubular. • Fluxo interno concatenado parcialmente O fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr é da- do pelo produto Brds, sendo ds =dr x 1 , no caso de comprimento unitário, resul- tando em: ( 1.6) µr dr/Jr = 2 !dr Wb/m. 21!R Este fluxo interno dr/Jr concatena somente a parcela Ir de corrente interna, já obtida anteriormente. Faremos a seguir o cálculo da indutância interna empregando o conceito de fluxo parcialmente concatenado com um condutor, definido pela expressão: d À = !__r__ d Ai J 'f'r ' resultando em: 20 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência µr3. dÂ= 4 !dr. 27rR O fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor, e desse modo, integrando-o no intervalo O:::; r :::; R , obtemos: ou: Observamos que a idéia de fluxo concatenado está relacionada com a corren- te envolvida pelos enlaces de fluxo, que são linhas fechadas, e a indutância interna do condutor é definida pela relação entre o fluxo concatenado interno total e a cor- rente total do condutor, que se expressa por: Li=µ. 8Jr Admitindo-se µ = µ0 = 47rl0-7 , obtemos: L; = _!_ 10-7 H/m. 2 Esse resultado, coincidente com o da expressão ( 1.5), demonstra a validade do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor. Lembramos que os resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado só valem para condutores cilíndricos percorridos por corrente contínua, sendo um conceito teórico importante para o cálculo da indutância interna. Do ponto de vista prático, para os cabos encor- doados, veremos posteriormente como abordar essa indutância. 1.3.4 Efeito Pelicular Antes de prosseguir, faremos uma breve explanação sobre a distribuição de correntes internas em um condutor, percorrido por corrente alternada. A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada não é mais uniforme, diferentemente do caso de condução em corrente contínua, como fizemos na hipótese adotada na expressão (1.3), obedecendo a uma distribui- Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de linhas 21 ção que depende da permeabilidade e resistividade do material, assim como da fre- .-.- qüência de excitação. fo =0 Ro =pi So Figura 1.17: Distribuição de correntes com o efeito pelicular. Esse efeito, conhecido como pelicular, altera a indutância interna do condutor e tem implicações na avaliação das perdas, quando empregamos corrente alternada, pois ocorre uma concentração de correntes do centro do condutor para sua periferia, à medida que a freqüência aumenta, o que causa uma elevação da resistência, com uma redução na área efetiva de condução. Obviamente, o aumento da concentração de correntes é gradual, do centro do condutor para a superfície externa, não ocorrendo as descontinuidades indicadas na figura 1.17, apenas ilustrativas do fenômeno eletromagnético. Não será o nosso propósito explorar detalhadamente o equacionamento do efeito pelicular, neste texto introdutório. Com o objetivo de apresentar os passos do equacionamento, mencionamos que na dedução a seguir são utilizadas formulações básicas do eletromagnetismo, convenientemente elaboradas no campo complexo, em valores fasoriais. Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de tensões e correntes, dada a linearidade das relações que utilizaremos, é equivalente obter resultados instantâneos ou fasoriais em regime permanente. Por exemplo, como l/f =LI, sendo L linear, a associação de valores fasoriais aos fluxos, a partir dos fasores de corrente alternada, é imediata. Para isso, tomemos um condutor cilíndrico de raio R e comprimento unitário e chamemos a densidade fasorial das correntes Jr, no sentido longitudinal do con- dutor, à uma .distância radial r::;; R do seu centro. 22 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1----'- -- --í // 1 / / 1 / I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 \ \ 1 \ \ \ \ ',, \ ' \ ' ' ', ' ----- ' ' ',, / ,/ / I I I Figura 1.18: Contornos para aplicação das equações de Maxwell. a) Circuitação no contorno a, aplicando a Lei de Ampere, ao longo do círculo de raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente: (1.8) Com a equação ( 1.8), trabalhando nesse contorno a, sabemos que a corrente interna do cilindro, com seção circular de raio r e área interna A, é função da densi- dade de corrente J r : r Ir= J 2JrrJ,.dr . o Das fórmulas (1.8) e (1.9) concluímos que: r 2JrrH,. = J 2Jrr1,.dr. o Diferenciando em relação à r, é imediato obter a seguinte expressão: dH,. _!_H = J + r r · dr r b) Circuitação no retângulo de espessura dr, Lei de Lenz: (1.9) ( 1.1 O) (1.11) Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 23 No primeiro membro da equação ( 1.11 ), como o campo elétrico é longitudi- nal e proporcional à densidade de corrente, Er = pJr, calculamos a queda de ten- são ao longo do contorno retangular JJ, adotando o sentido horário. Com relação ao segundo membro, obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno. Exprimindo de forma incremental a alteração da densidade de corrente, LJ.Jr = d}r dr' dr escrevemos: dlr d . H d p- r=-1wµ r r. dr O que implica a relação entre Jr e Hr, H = -jp dlr r :::i ' wµ ur com a qual podemos eliminar H r da expressão ( 1.1 O), resultando em uma equação diferencial de segunda ordem, da densidade de corrente em relação à distância radial r ao centro do condutor: d 2 j r + !._ dJ r - j wµ J r = O . dr 2 r dr p ( 1.12) Tal equação diferencial apresenta solução em série bem conhecida, denomi- nada série de Bessel de primeira espécie e ordem zero. Chamando m = .JwµI p e conhecida a densidade de corrente na superfície do condutor, J R , escrevemos a expressão da densidade de corrente interna ao con- dutor J,., em variáveis complexas, na qual os termos ber e bei, relativos à parte real e à imaginária das séries, estão definidos em expressões matemáticas, não explora- das aqui. J,. ber(mr) + j bei(mr) =-------- } R ber(mR) + jbei(mR) A figura a seguir exemplifica um possível comportamento do módulo da va- riável complexa Jn em função der, para uma dada freqüência de excitação em um condutor cilíndrico. 24 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência J,. r R Figura l .19: Densidade de corrente em função da distância r ao centro do condutor, em corrente alternada. Cabe comentar que a indutância interna corresponde a uma pequena parcela da indutância total de um condutor. O efeito pelicular visto anteriormente reduz ainda mais essa parcela, não sendo por isso um aspecto preponderante no cálculo de indutâncias. O impacto mais significativo do efeito pelicular se manifesta na eleva- ção da resistência e conseqüentemente nas perdas Joule. 1.3.5 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Externo Neste item faremos o cálculo da parcela de indutâ_ncia correspondente ao flu- xo externo ao condutor, o qual pode ser feito em valores instantâneos ou fasoriais, indiferentemente. Como o cálculo anterior de indutâncias internas foi feito em cor- rente contínua, voltaremos a empregar essa hipótese em nossa formulação. Vejamos como obter uma expressão que forneça o fluxo confinado em duas superfícies cilíndricas determinadas pelas distâncias D1 e D2 ao centro do condutor. que passam pelos pontos Pi e P2 mostrados na figura 1.20. Para isso, calcularemos o fluxo na superfície S2 , apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e contém os pontos Pi e P2 , sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de fluxo: </J = f BdS = f Bds S S2 Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com raio r, r ~ R, do vetor intensidade de campo Hr, obtemos: Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 25 elemento tubular 1 Figura 1.20: Superfícies concêntricas de um elemento tubular. Nessa linha circular, como o vetor Hr é constante, podemos fazerÇ que resulta em: ou: 2trrHr = l, l Hr =-- . 2trr Sendo o vetor densidade de fluxo dado por: B = µ! r . 2trr Observamos que o vetor Hr internamente cresce de modo linear com a dis- tância em relação ao centro do condutor (r ~ R) e externamente decresce com uma função hiperbólica, em função da distância ao centro (r 2:: R). 26 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência I 2rrR r < R R ri H,. =--2 2rrR r > R I H,.=-- 2rrr Figura 1.21: Curva Hx r. r O fluxo inserido em um elemento tubular com raio r e com espessura dr é dado por: µ! d</J,. =-dr, 27rr que, integrado, fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2, ou Pi e P2 , ex- ternos ao condutor: (1.13) Observamos que estamos impondo D2 > D1 e que o fluxo externo concatena a corrente uma vez, de tal modo que: d </J = d À (N= 1 ). Sabendo que µ = µ0 =47rX10-7 , a expressão (1.13) também pode ser colo- cada na forma: (1.14) Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 27 Esse fluxo, dividido pela corrente do condutor, fornece uma indutância parcial, que chamaremos de Li 2 , L12 =2x10- 7 ln D2 H/m, Di ou ainda: L12 = 2xl0- 4 ln D2 H/km. D1 (l.15) Novamente, lembrando o conceito de energia armazenada em um volume, aqui particularmente empregado na coroa, ou na região tubular externa ao condu- tor, com comprimento unitário e compreendida entre os pontos Pi e P2 , podemos escrever: na qual dvol = 2Jrrdr é o incremento de volume do elemento tubular com raio r e espessura dr. D2 1 /2 W mag = J -µ 2 2Jrr dr . D1 2 ( 2Jrr) Temos: Que resulta nçi mesma expressão anteriormente obtida em ( 1.14 ). 28 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1.3.6 Adição dos Fluxos Interno e Externo Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor, até um ponto P externo ao mesmo, situado a uma distância D do centro. 2 p D Figura 1.22: Fluxo concatenado com um condutor desde o seu centro até um ponto externo P. Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas: O fluxo interno, como vimos, é dado por: </J· = µ! I 8Jl' • Observamos que colocando o ponto 1 na superfície do condutor, a uma dis- tância D1 = r do centro, e o ponto 2 coincidente com P, a uma distância D2 = D do centro, o fluxo externo, empregando a expressão ( 1.13 ), é dado por: µ! D <Pe =-ln-. 2Jr r Somando as duas parcelas, interna e externa: </J = µ! (_!_ + ln D J . 2Jr 4 r Usando o artificio de escrever: 1 1 1/4 -=-lne = lne 4 4 ' ficamos com a expressão: Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 29 <jJ = µJ (1ne114 +ln D), 2TC r ou: ou ainda: µJ D </J =-ln -1/4 . 2TC re Chamando r' = re-114 de raio corrigido, escrevemos a expressão modificada para o fluxo concatenado: </J=2x10-7 Jln ~, r ( 1.16) correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro até um ponto externo P. Podemos calcular a indutância, incluindo todo o fluxo do condutor, do seu centro até um ponto P externo, correspondente à energia magnética armazenada nessa região do espaço. Tomando a expressão anterior, escrevemos: 1.3.7 µ D L=-ln- 2 '' 1C r L = 2x10-7 ln~ H/m. r ( 1.17) Indutância de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilíndricos B B l - ri a~ @br. ® @ 2 + / 0 = I lb = 1 E carga -S=Dxl I Figura 1.23: Linha monofásica a dois fios. 30 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Consideremos os dois fios a e b da figura 1.23 compostos por condutores ci- líndricos, com raios externos 'i e r2 , respectivamente. Observamos que no plano transversal que corta o circuito, se convencionar- mos como positivas as correntes que entram no plano, teremos 1 ª = 1 e 1 h = -1, portanto com uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal. Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe- los dois condutores espaçados por uma distância D . A área, associada a um com- primento unitário dos fios, é dada por D x 1 . C=l la B , r1 a __.. a X X X X X X s z D X X X X X X - b b lb B , r1 Ia+I6 =0 Figura 1.24: Fluxo concatenado com dois condutores. A contribuição do fluxo, dada pelo condutor a, utilizando a expressão ( 1.17) é: r/Ja = 2x10-7 la ln~ com indutância parcial La= 2xl o-7 ln~. lj lj A contribuição do condutor b é dada por: Observamos que r/Ja tem sentido horário e f/Jb sentido anti-horário, de modo que podemos somá-los na superficie apoiada entre as duas espiras, assim como as indutâncias, obtendo a indutância total do circuito: F Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 31 1: I··• Lembremos que essa expressão é válida para corrente contínua e condutor ci- líndrico com seção circular de raio r, exercendo r' o papel de um raio equivalente. Elaborando a expressão um pouco mais, obtemos: L =4x10-7 ln D . e no caso particular de condutores iguais, quando r' = r( = r2, L = 4x 10-:7 In ~ H/m. r ( 1.18) Observamos que o número quatro aparece apenas nas expressões de linhas a dois fios, quando somamos as indutâncias individuais de cada fio. 1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor por um Grupo de Condutores Desenvolveremos, a seguir, um conceito fundamental no . cálculo de indutân- cias, quando estão presentes vários condutores, retilíneos e paralelos, percorridos por diferentes correntes. Precisamos então tratar o fluxo concatenado com um condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das correntes nos condutores seja nula, o que de certa forma nos conduz novamente à idéia de circuito elétrico, ou seja, que deve haver um retomo de corrente por parte de alguns condutores. Sejam n condutores separados espacialmente por distâncias Du , percorridos por correntes I;, 1 :::;; i :::;; n , de tal modo que: Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores, calculemos inicial- mente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a fórmula geral do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genéricos no espaço. Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estará situado na su- perficie do condutor 1. Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio corrigido, obtemos, utilizando a equação (1.16): 32 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência D ,n(I) = 2x10-7 J ln__!_e_ 'ri p 1 ' • r1 B Figura 1.25: Fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores. 2 p Empregando a equação ( 1.13 ), a parcela de fluxo concatenado com o condu- tor 1, devida ao condutor 2 é: Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P, devido ao condutor 2, não altera as linhas de fluxo já existentes do condutor 1. Estendendo esse resultado aos demais condutores, fazemos a superposição dos fluxos, escrevendo genericamente: - (1) (2) (n) - -7 ( D1p D2p Dnp J </J1p -</J1p +</J1p + ... + </Jip -2x10 / 1 ln-, + 12 ln--+ ... +f11 ln- , r1 D1 2 Din que pode ser desmembrada na seguinte expressão: Utilizando a restrição imposta de soma de correntes nula, escrevemos: Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 33 que, substituída na equação anterior, fornece: [ 1 1 1 J 11ln-;+12 ln--+ ... + ! 11 ln--+ / 1 ln D1P + 12 ln D217 + r/Jip = 2x 10-7 r, D12 D111 , ... + / 11_1 lnDc11_1)p -( 11+12 + ... + ! 11_1) ln D1117 ou ainda: rfJ.. 17 =2x10- 7 Deslocando o ponto P a uma distância muito grande do condutor 1, tendendo ao infinito, os quocientes D;p / D11P tendem ao valor unitário e conseqüentemente os limites: são nulos, resultando em uma expressão mais simplificada do fluxo concatenado com o condutor 1: -7 ( 1 1 1 J rjJ1 = 2x1 O / 1 ln---;+ I 2 ln - + ... + 111 ln - . 'i D12 D111 ( 1.19) A expressão ( 1.19) apresenta um resultado interessante, que será a base de nossas avaliações de fluxos concatenados com condutores, na presença de outros, percorridos por correntes submetidas à restrição de apresentarem uma soma nula. Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios, com o intuito de avaliar essa expressão, aplicando agora o conceito de fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores. Para a fase a, escrevemos: como I b = -J ª, convencionando como positiva a corrente I ª que penetra no plano transversal aos condutores. 34 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência resultando em: Desse modo, associamos uma indutância ao condutor a, dada por: e analogamente para o condutor b, e desse modo obtemos a indutância total da linha a dois fios: (1.20) Verificamos assim a equivalência dos procedimentos, ao compararmos as e- quações ( 1.18) e (1.20). No cálculo de indutâncias de linhas de transmissão, com vários condutores dispostos espacialmente, usaremos o conceito de fluxo concate- nado com um condutor, por um grupo de condutores, que facilita o cálculo. 1.3.9 Linha Bifásica com Condutores Compostos ou em Feixe Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifásica, na qual cada fase é composta por um conjunto de subcondutores, o que introduz algumas vantagens na transmissão de energia elétrica. Uma primeira vantagem é aumentar a capacidade de corrente de cada fase da linha de transmissão, pois cada condutor tem um limite máximo de corrente admissível. Uma segunda vantagem, igualmente importante, é diminuir a indutância equivalente de cada fase, conforme veremos · a seguir. Esse conjunto de subcondutores é chamado de feixe, também conhecido como bundle, na sua denominação original em inglês. Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 35 Figura 1.26: Disposição espacial dos subcondutores. • Cálculo da indutância da fase a, l 0 Tomemos o caso com n subcondutores na fase a em subcondutores na fase b, conforme a figura a seguir. fase a fase b !ln +! -/ I a - !ln !/m carga -I b !/m n sub-condutores m sub-condutores Figura 1.27: Linha bifásica com n subcondutores na fase a em subcondutores na fase b. O cálculo será desenvolvido em quatro etapas: 1 ª etapa: Cálculo do fluxo concatenado <j;1 com o subcondutor l da fase a. 2ª etapa: Cálculo da indutância desse subcondutor, percorrido por uma corrente ! 1 • 3ª etapa: Cálculo da indutância média dos subcondutores de uma mesma fase, es- tendendo o resultado aos demais subcondutores. L = l1 + l 2 + ... + Ln n 36 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 4ª etapa: Cálculo da indutância equivalente dos n subcondutores em paralelo. L la=-. n Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1, devido à contribuição do conjunto correspondente à fase a. Faremos ainda uma hipótese adicional, admitindo também que os subcondu- tores são aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por todos os subcondutores. Desse modo: Nesse caso, calculemos o fluxo concatenado com o condutor I, devido ao conjunto a, lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase: -7 I ( l I I J f/;10 =2xl0 - ln-;+ ln-+ ... + ln- . n r1 D12 Din Em seguida, obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a, devido ao conjunto b, considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra fase, assumindo as mesmas hipóteses de subdivisão de correntes entre condutores da fase b. -7 I ( 1 1 1 J f/;16 =-2x10 - ln-+ ln--+ ... + ln-- , m D,,, D12' D1m' resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1, colocado na fonna compacta: ( I .21) No numerador, encontramos a média geométrica das distâncias do subcondutor I , da fase a, a todos os subcondutores da fase b. No denominador encontramos a mé- dia geométrica do raio corrigido do subcondutor a com as distâncias a todos os sub- condutores da própria fase a. Para o condutor 2, escrevemos analogamente: 92 =2xlo-7 /ln ~D21'D22'···D2m' ~D21r; ... D2n Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 37 Estendendo esse resultado aos demais subcondutores, obtemos as indutâncias individuais de cada um, fazendo a divisão do fluxo pela parcela de corrente I / n : Li =-1L._=2xl0-7nln ~Di 1'···D1m'' I / n ~r(D12 ... Dln n. ~D i' D , L = _Y_n_ = 2 X 1o-7 n ln n • • · nm n ! / n ~Dni ... Dn,n-lr; Calculando a indutância médiaL dos subcondutores da fase a (conjunto a), fazendo a soma das expressões logarítmicas: L =Li +L2 + ... Ln n Como os n subcondutores estão ligados em paralelo, a indutância do conjunto a é dada por: L La=-, n La = 2 x 10-1 _!_ln m ( Di i' Di 2' · · · Dim') ( D21' D22' · · · D1,,,') · · · ( Dnl' Dn2' ... Dnm') , n ~(r(D12 ... Din)(D21r; ... D2n)(Dn1 ... r;) que pode ser recalculada da seguinte forma: La= 2x l o-7 ln nm (D11'D1?2' · · · D1m') ( D2 rD22' · · · D2,,,') · · .( Dn1'Dn2' ... Dnm') . ( 1 _22) n~(ri'D12 · · · D1n )( D21r; · · .D2n) ( Dnl · · .r;) Introduzimos então o conceito de distância média geométrica mútua, entre os con- juntos de subcondutores das fases a e' b. Observe que os conjuntos a e b não têm correntes em fase, sendo que nesse caso particular, na realidade, as correntes estão em oposição de fases. DMG = n~(Di l'Dit ... Dim' )(D2rD22' .. . D2m' ) ... ( Dn1'Dn2' ... Dnm'). ( 1.23) Da mesma forma, apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto de subcondutores a ou distância média geométrica própria do conjunto a. Lembra- 38 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de corrente em módulo e sinal 1 / n, subdividida igualmente por todos os subconduto- res. Em corrente alternada admitimos uma hipótese semelhante, supondo as corren- tes com o mesmo módulo e fase em todos os subcondutores. Para evitar confusão de nomenclatura; passaremos a chamar a distância mé- dia geométrica própria de raio equivalente do conjunto de subcondutores (ou bun- dle) de uma fase. A letra z tem a finalidade de especificar o cálculo voltado para impedâncias ou reatâncias indutivas da linha de transmissão que, como veremos, será um pouco diferente do cálculo de capacitâncias. Definimos o raio equivalente da fase a: ( 1.24) Finalmente, escrevemos a expressão da indutância da fase a na sua forma compacta: • Cálculo da indutância da fase b e total Analogamente, obtemos a indutância do conjunto b: Lb = 2x 10-7 ln DMG, req=b resultando para a indutância total da linha bifásica: ? -7 DMG-L =La + Lh = 2X1 O ln --- Colocando essa expressão na forma usual, obtemos: L=4x10-7 ln DMG . ) req=a req=b ( 1.25) Se as fases possuírem características idênticas, teremos req=a = req=b = req=, resultan- do em uma expressão análoga à obtida anteriormente para a linha bifásica a dois fios. a a D DMG Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 39 b b linha bifásica a dois fios linha bifásica com feixe de subcondutores Figura l .28: Cálculo da indutância. Linha com a fase constituída por condutor cilíndrico: Linha com um feixe de subcondutores em cada fase: na qual reqzª é o raio equivalente da fase a. Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor sólido r', váli- do para corrente contínua, passaremos a utilizar o raio médio geométrico, rmg, váli- do para cabos encordoados e corrente alternada, que leva em conta a média geomé- trica das distâncias entre os fios que compõem um cabo encordoado, de forma se- melhante ao conceito anterior de média geométrica própria dos subcondutores de uma fase, além de levar em conta a disposição dos condutores em torno do suporte mecânico no caso de cabos CAA (ACSR). Em geral, não fazemos o cálculo do raio médio geométrico, sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores, assim como as demais características elétricas ou mecânicas do cabo, fornecidas pelos fabricantes. 40 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como exemplo, a linha com a fase constituída por um cabo encordoado apre- sentaria a indutância: • Resumo da nomenclatura para distâncias médias geométricas próprias Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subconduto- res de uma fase. a) Condutor sólido e o seu raio corrigido r', que é um conceito mais teórico, com a finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente contínua. ' r Figura 1.29: Condutor cilíndrico. b) Cabo encordoado, para o qual usaremos uma extensão do conceito de distância média geométrica própria, expressa pelo raio médio geométrico rmg. No caso práti- co de feixes de cabos encordoados e corrente alternada, trocamos r' pelo raio mé- dio geométrico rmg e as expressões se mantêm. 1 rmg Figura 1.30: Cabo condutor encordoado. c) Feixe de subcondutores cilíndricos e o seu raio equivalente: req = n~(r(D12 · · · D1n )( D21r~ · · · D2n ) ... ( Dnl · · · Dnn-lr~) /,,,.í--2 ...... ,, /Q Q\ I 1 : 3 n i \Q Q/ ' , '~ , .... ___ ..... Figura 1.31: Feixe de condutores cilíndricos. Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 41 d) Cabos encordoados em feixe. A expressão a seguir é utilizada em casos práticos em corrente alternada. Figura 1.32: Feixe com n cabos encordoados. Na realidade, os programas existentes de cálculo de parâmetros não utilizam o conceito do raio médio geométrico, tratando os cabos encordoados como conduto- res tubulares, utilizando fórmulas relativamente complexas para correções de con- centrações de correntes em função da freqüência. Nessa etapa do nosso curso, introdutória ao cálculo de parâmetros, continua- remos utilizando o conceito de raio médio geométrico, que é suficientemente preci- so para os nossos propósitos. Assim, substituímos o bundle percorrido pela corrente 1 por um condutor equivalente, dado pela distância média geométrica própria do bundle, ou raio equivalente, o que facilita muito os cálculos. Os casos práticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais espaçados uniformemente, circunscritos em um círculo. A simetria dessas configu- rações permite um cálculo mais simples, como veremos a seguir, nos casos mais comuns de 2, 3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe. a) Caso de dois subcondutores: I I I 1 Q 1 \ \ I ,. ,. \ ',, ----- • ' ' ', e= 2R \ \ R ~ I I ,." I I I Figura 1.33: Disposição espacial de dois subcondutores em feixe. e: espaçamento entre subcondutores. 42 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A distância média geométrica própria Ds, segundo a referência [2] ou raio equivalente, reqz, é dada por: ( 1.26) Para a resistência equivalente do feixe, adotamos: R = Rac eq 2 ' sendo R0 c a resistência em corrente alternada para cada condutor, em uma dada temperatura. b) Caso de três subcondutores: / I " " / ,' e 1 1 1 1 e Figura 1.34: Disposição espacial de três subcondutores em feixe. req;: = Ds = ~ (rmg · e· e )3 = ~ rmg · e2 . Para a resistência equivalente: R = Rac eq 3 c) Caso de quatro subcondutores: I I I I 1 1 1 1 e 1 1 1 1 1 \ \ " " " ' ' ' ------ " e e ------ ' ' \ 1 1 1 1 1 e 1 1 1 I I I I / " " " Figura 1.35: Disposição espacial de quatro subcondutores, em feixe. ( 1.27) Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 43 ( 1.28) Par.a a resistência equivalente: R = Rac eq 4 O raio equivalente também pode ser calculado, genericamente, pela expressão a seguir, conhecido o número de subcondutores e o raio do círculo circunscrito R: ~ Rn-1 reqz =n rmg. Lembramos ainda que, na nomenclatura da referência [2], temos: Dm =DMG. A distância DMG também é conhecida por distância equivalente, ou Deq . 1.3.10 Reatância Indutiva da Linha com Utilização de Tabelas Apesar do menor uso de tabelas atualmente, vejamos como utilizar os valores de reatâncias indutivas Xi constantes destas tabelas [2,3] que se referem sempre a um condutor por fase, nesse caso Ds = rmg e Dm = DMG, e apresentam normal- mente valores em unidades inglesas. Dada a reatância distribuída de um condutor, em .O/km, sabemos que: xi = 2;r jL (27r f = m)' Xi = 2;rf2x10- 7 ln DMG = 4;r /1 o-7 ln DMG .O/m. rmg rmg Passando a unidade de comprimento para milhas: X; ( n/mi) =xi (.O/km) x 1, 609 ·. Observamos que na referência [2] as expressões usam log (logaritmo na base 1 O) em vez de ln (logaritmo na base e): X; = 2,022x l 0- 3 f ln DMG .O/mi. rmg Separando em duas parcelas: 44 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Xª é definida como a reatância do condutor para espaçamento de 1 pé: Xª= 2,022x 10-3 f ln-1-. rmg Observamos que, dispondo da reatância Xª, obtemos o raio médio geométri- co em pés, ou seja, essa é uma maneira indireta de fornecer o raio médio geométrico do condutor. X d é o fator de espaçamento, também em pés: Xd =2,022xl0-3 flnDMG. EXEMPLO 1 Calcular a reatância da fase a de uma linha bifásica com cabo Grosbeak, com a geometria indicada abaixo: a b 25 pés Figura 1.36: Disposição espacial de dois condutores com cabo Grosbeak. Dm =DMG=25 pés. Consultando uma tabela de cabos, obtemos: Grosbeak 636 MCM; 26(Al)/7(aço), D.1. = rmg =O, 0335 pés, Xª= 0,412 Q/mi para l pé de afastamento. Sabemos também que a reatância de uma fase é dada por: Xi =2,022x10- 3 /ln DMG, rmg Xª =0,412 Q/mi, Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 45 xd = 0,391 !1/mi, X;= 0,803 !1/mi. No caso de linha bifásica a dois fios, multiplicamos o resultado por 2: X;= 2x0,803=1,606 !1/mi. J.3.11 Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Equilátero Vejamos o cálculo da indutância de uma fase, em um sistema trifásico. Em corrente alternada, no caso de um condutor, utilizamos o rmg e no caso de cabos em feixe utilizamos o req=, substituindo os subcondutores de uma fase pelo condutor com raio equivalente, concêntrico com o círculo que circunscreve o feixe. 'ª a reqz D D /e D lb reqz 'eqz e b Figura 1.37: Linha trifásica com espaçamento equilátero D. Novamente, admitiremos que a soma das correntes trifásicas é nula, conforme as hipóteses adotadas para o cálculo do fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores. Esse artificio nos permitirá introduzir uma simplificação signifi- cativa, com boa aproximação, no cálculo da distância média geométrica mútua (DMG). Essa restrição corresponde a assumir que não temos corrente de seqüência ze- ro na linha, ou seja, que os resultados serão razoáveis apenas para a seqüência posi- tiva. Supondo as três fases idênticas, calculamos o fluxo concatenado com a fase a aplicando a equação (1.19), trocando r' por reqz, obtemos: Sabendo que: 46 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência resultando em: r/Ja =2xl0-710 [ln- 1 --ln- 1 J. reqz D ou: Obtemos a indutância da fase a: L0 = 2x10- 7 ln_Q__ H/m ( 1.29) req:: o / Vc:,fc: Ü Figura 1.38: Sistema trifásico equilibrado. Observamos que, nessa estrutura particular, o valor de DMG coincide com o espaçamento entre fases D, pois: DMG=efiJ3 =D. Verificamos também que a indutância (ou reatância) de uma fase relaciona ten- sões e correntes que compõem um sistema trifásico simétrico e equilibrado e, portan- to, as tensões e correntes de uma fase estão referidas a uma tensão de neutro nula. EXEMPLO 2 Dada uma linha com espaçamento equilátero, com D = 25 pés e um cabo Grosbeak por fase, calculamos a reatância de uma fase aplicando (1.29): Consultando uma tabela sabemos que: rmg =O, 0335 pés: Capítulo /. Introdução aos Parâmetros de Linhas 47 25 X= wL = wx2x 10-4 ln = 0,499 .Q/km, 0,0335 que corresponde a O, 803 .Q/mi, conforme o exemplo anterior. Observamos que DMG e reqz devem estar na mesma unidade. 1.3.12 Linhas Trifásicas com Espaçamento Assimétrico No caso de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico, o cálculo da indutân- cia de uma fase com as expressões anteriores só é possível em linhas com transposição. Calculamos o fluxo médio, concatenado com o condutor da fase a (ou bundle), supondo as fases a, b e e com a mesma composição de subcondutores. Introduzimos a idéia de transposição dos condutores, tomando o fluxo médio concatenado nos três trechos da linha de transmissão. Observamos que cada condutor ocupa, em cada trecho, uma das três possíveis posições distintas, resultando em um fluxo médio para cada condutor ao longo da linha de transmissão. Desse modo, subdividimos a linha em três trechos 1, II e III, com urna rotação das posições ocupadas por cada condutor, conforme a figura a seguir. trechos I II III 1 a e b b a e b e b a e 3 ef 3 €1 3 e 13 Corte transversal dos condutores no trecho I e Posicão aérea dos condutores Figura 1.39: Linha trifásica com espaçamento assimétrico. Consideremos uma linha com feixes de mesma característica reir::ª = reqzh = reqzc = reqz e assumiremos que os condutores sofrerão uma rotação no sentido anti- horário. Os fluxos médios em cada fase serão obtidos pela média dos fluxos conca- tenados em cada trecho da linha. 48 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência n. = <Pai +<Pau + </Jam ~a 3 ' n. = </Jc1 + </Jcii + </Jcm ~e 3 Obtemos o fluxo concatenado com a fase a no trecho I: b a e 3 Figura 1.40: Trecho 1. -7( 1 1 1 J <Pai =2x10 IªIn-+Ibin-+Icin- . · reqz D12 D13 Para o trecho II: a c 1 b 3 Figura 1.41 : Trecho II. Capítulo /. Introdução aos Parâmetros de Linhas 49 E também para o trecho III: = 2xl0-7 ( 1ª ln-1-+ Ib ln~+ !e ln-1-J reqz .LJ13 [)23 b 1 e a 3 Figura 1.42: Trecho III. O fluxo médio concatenado, com o condutor da fase a, é dado pela média aritmética: Como Ib +lc =-!ª,escrevemos: <Pa = 2xl0-7 Ia ln D12IJ2;D13 =2 x l0-7 Ia ln VD12D23IJ13 3 req= reqz Resultando na indutância da fase a: 3([) [) [) La=2xl0-7 ln\J 12 23 13 H/m, reqz La= 2xl0-7 ln DMG' req= na qual a distância média geométrica mútua IJMG é dada por: ( 1.30) 50 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1.4 Capacitância de Linhas de Transmissão 1.4.1 Generalidades Neste item apresentaremos o cálculo de capacitâncias de linhas de transmis- são, ainda sem levar em conta o efeito do solo. Ao energizarmos condutores aéreos por meio de um gerador, mesmo sem alimentar nenhuma carga, observaremos uma corrente capacitiva fornecida pelo gerador. Tal efeito é semelhante ao de energizarmos um capacitor com duas placas em paralelo, conforme o caso da linha bifásica da figura 1.43. Figura l .43: Linha bifásica com dois fios. Aplicando-se uma tensão alternada, a cada semiciclo as polaridades se alternam. + + + + + + + + + + + + v(t) 1 \ \ ' v(t) ,- / ' I \ I \ 1 + + + + + + + + + + + + Figura 1.44: Semiciclo positivo e semiciclo negativo. I I / I .. Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 51 Ao associarmos uma capacitância C = Q /V aos condutores, obtemos uma relação entre tensão e corrente, dada pela admitância (susceptância) capacitiva da linha, sendo válida a equação em valores fasoriais: 1 = jmCV. 1.4.2 Condutor Isolado Suponhamos um condutor cilíndrico isolado no espaço, carregado com uma densidade de carga Q por unidade de comprimento. / j E,D Figura 1.45: Campo elétrico de um condutor isolado. R: raio do condutor. r: raio da superficie cilíndrica, r > R. A carga do condutor é obtida por meio do cálculo do fluxo do vetor desloca- mento D, em uma superficie cilíndrica externa ao condutor, com raio r e compri- mento unitário, o que corresponde à aplicação da Lei de Gauss: f f>ás = º. ( 1.31) Sabemos que o vetor deslocamento D (densidade de fluxo) e o campo elétrico E estão relacionados pela relação constitutiva: - -D=eE, (1.32) na qual ê é a permissividade do dielétrico. 52 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como as linhas do campo elétrico são radiais e portanto normais à superfície cilíndrica que envolve o condutor, a densidade de fluxo é constante nessa superfí- cie, simplificando o cálculo: EE fds=Q. (1.33) A área de uma superficie cilíndrica com raio r e comprimento unitário é dada por: S = Jds = 2Trr ( 1.34) Obtemos então o campo elétrico em uma linha radial, a uma distância r do seu centro: E=JL. 21!Er (1.35) Observamos que, como não temos cargas internas no condutor, o cálculo do campo elétrico só tem interesse a uma distância r do centro, tal que r ;:::: R . Desse modo, considerando a distribuição de cargas na superficie do condutor, diferentemen- te do cálculo de indutâncias, não há necessidade de considerarmos efeitos internos como as correções do raio efetivo. Sendo assim, o raio do condutor, a ser utilizado nos cálculos, será sempre o seu raio externo. Em contrapartida, para o cálculo do campo externo, em vez de considerarmos a carga distribuída na superficie do condutor, resul- ta em boa aproximação considerá-la concentrada no centro desse condutor. 1.4.3 Diferença de Potencial entre Dois Pontos no Espaço Figura 1.46: Condutor e dois pontos do espaço. Capítulo 1. Introdução aos Parâmetros de Linhas 53 De posse da expressão do campo elétrico, calculamos a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer do espaço, 1 e 2, onde D1 e D2 são as distâncias entre o centro do condutor e os pontos 1 e 2 no espaço, que estão localizados em superfí- cies concêntricas e equipotenciais. Como a diferença de potencial entre os pontos 2 e 2' é nula, pois a superfície cilíndrica é equipotencial, faremos o cálculo em uma linha radial que passa pelos pontos 1 e 2'. Observamos que estamos utilizando o símbolo D para as distâncias, que não deve ser confundido com o vetor deslocamento f5. Esta expressão será fundamental para o cálculo de capacitâncias de linhas de transmissão, a ser utilizada nos itens a seguir. ( 1.36) 1.4.4 Capacitância de uma Linha Bifásica • Linha bifásica De posse da expressão fundamental da diferença de potencial entre dois pon- tos no espaço, externos ao condutor, podemos dar início ao cálculo de capacitâncias de linhas de transmissão, começando pela linha bifásica. ' ' Equipotencial que ' ' ' ' intercepta o condutor 2 \ --------.. ',, D \ 1 2 \ 1 1 ,..J r2 ((ÔQ2 -) /1 ,' 1 ,'
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