III_Estruturas Metalicas e de Madeira

Prévia do material em texto

DIGITE O NOME DA 
UNIDADE 
Objetivos da Unidade 
PRODUCAO-15 
[Endereço de correio eletrónico] 
Síntese 
[Cative o leitor com uma síntese interessante, que normalmente é um pequeno resumo do 
documento. 
Quando quiser adicionar os seus conteúdos, clique aqui e comece a escrever.] 
PRODUÇÃO DE CONTEÚDO 
MATERIAL DIDÁTICO 
 Elementos Textuais 
 
 
 
 Produção de Conteúdo 
 
 
Caro autor (a), 
 
BEM-VINDO! 
 
Antes de começar, certifique-se das seguintes informações: 
1) Abordar o tema, conforme ementa da disciplina. 
2) Utilizar linguagem dialógica. 
3) Organize-se para que a produção ocorra dentro do prazo acordado. 
4) Citar corretamente o material consultado. 
5) Utilizar marcações no texto conforme as orientações do manual de 
produção. 
6) Indicar e/ou citar devidamente imagens, tabelas e gráficos. (ABNT) 
7) Este modelo de documento não deve ser utilizado para a Unidade de 
Revisão. Utilizar o PowerPoint. 
 
Em caso de dúvidas, entre em contato com o setor: 
11- 3385-3009 | ramal: 3057 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Data de Publicação] 
Autoria 
Exemplo: Prof. Dr. João Silva 
 Prof. Dr. Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro 
Unidade 
Exemplo: Unidade 1 – Conceitos Logísticos 
 Unidade 3 – Cálculo de Estruturas de Madeira 
 
Tópicos abordados 
Introduza os tópicos que serão abordados na unidade. 
 
 Dimensionamento de Peças Tracionadas 
 Dimensionamento de Peças Comprimidas 
 Dimensionamento de Vigas – Peças Flexionadas 
 Dimensionamento de Treliças 
 
 
 
Objetivos da Unidade 
Digite em tópicos ou em parágrafo único os objetivos de aprendizagem para esta unidade. 
Dica: É possível utilizar as mesmas informações elaboradas para o plano de ensino. 
 
 Apresentar as características inerentes ao dimensionamento de estruturas de 
madeira. Também será apresentado o dimensionamento de barras tracionadas e de 
barras comprimidas de madeira. Será apresentado o dimensionamento de vigas, isto é, 
de barras flexionadas de madeira. Por fim, será apresentado o dimensionamento de 
treliças de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL TEÓRICO 
Escrever o material teórico, produzir de 15 a 20 páginas. Não esqueça de utilizar as marcações 
e solicitações de recursos visuais à equipe de Produção. 
 
 
 Exemplo de marcação 
 
 Antes: 
 
 
 
 
 Depois: 
 
 
 
 Lista de Marcações – Elementos Visuais 
 
Links 
Explore – vídeo/áudio 
Explore – website 
Saiba mais – complemento 
Destaque 
Atenção 
Importante 
Reflexão/discussão 
 Pense/Trocando ideias 
Para pensar / reflita 
Diálogo com o Autor 
Informação Adicional 
Post-it 
Saiba mais /Você sabia? 
Glossário /Verbete 
Dicas > Museu/Galerias 
[PARA PENSAR] Lugares e pessoas: quais os interesses em determinados 
planejamentos? A geopolítica não é uma ciência exata, mas uma área do 
conhecimento que parte de interesses de homens e de governos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilização e solicitação de Imagens/figuras/tabelas/gráficos 
 
 Atentar-se aos aspectos de direitos autorais. 
 Observar a qualidade da imagem. 
 Realizar marcações no texto para solicitar o recurso visual. 
 Citar a fonte dos elementos visuais referenciados no material, indicando o link. 
 
 Fórmulas e expressões matemáticas 
 
 
 
 
 Não enviar as fórmulas e/ou expressões como imagem. 
 Utilizar Microsoft Equation ou Mathtype. 
 
 
 
1. Objetivo 
Apresentar as características inerentes ao dimensionamento de estruturas de 
madeira. Também será apresentado o dimensionamento de barras tracionadas e de 
barras comprimidas de madeira. Será apresentado o dimensionamento de vigas, isto é, 
de barras flexionadas de madeira. Por fim, será apresentado o dimensionamento de 
treliças de madeira. 
 
2. Introdução 
O cálculo de estruturas de madeira leva em consideração aspectos 
característicos inerentes a esse material. 
Síntese 
Em síntese 
Ideias chave 
Observações: Para outras marcações, basta [destacar o texto] e realizar 
o comentário/solicitação. 
 
Os valores de resistência de cálculo das peças de madeira são dados pela 
expressão 1. 
mod
wk
wd
w
f
f k

 ...(1) 
 Onde: fwk – valor característico da resistência 
 Kmod – coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da 
duração do carregamento, da umidade do meio ambiente e da 
qualidade do material 
 γw - coeficiente de ponderação de segurança do material 
 
 O coeficiente de ponderação (coeficiente de modificação) do material é 
formado pela expressão 2. 
mod mod1 mod2 mod3k k k k ...(2) 
 Onde: Kmod1 – coeficiente parcial de modificação que leva em conta a classe de 
carregamento (Tabela 1) e o tipo de material empregado (Tabela 2) 
 Kmod2 – coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da 
duração do carregamento, da umidade do meio ambiente e da 
qualidade do material (Tabela 3) 
 Kmod3 – coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da 
duração do carregamento, da umidade do meio ambiente e da 
qualidade do material (Tabela 4) 
 
O coeficiente de modificação Kmod3 é definido em função da categoria da 
madeira utilizada, podendo ser de primeira categoria ou segunda categoria: 
 Madeira de Primeira Categoria - é aquela que passou por classificação visual 
para garantir a isenção de defeitos e por classificação mecânica para garantir a 
homogeneidade da rigidez. Neste caso → Kmod3 = 1,0. 
 Madeira de Segunda Categoria - é considerada os demais casos. Neste caso → 
Kmod3 = 0,8. 
 
Para madeira de coníferas, deve sempre se adotar Kmod3 = 0,8 para considerar a 
presença de nós não detectáveis pela inspeção visual. 
 
Para madeira laminada colada o coeficiente parcial de modificação, Kmod3 leva 
em consideração a curvatura da peça, valendo o valor de Kmod3 = 1,0 para peças retas e 
para peças curvas utilizar a expressão 3. 
2
mod3 1 1200
t
k
r
 
   
 
 ...(3) 
Onde: t - é a espessura das lâminas 
 r - é o menor raio de curvatura 
 
Nas verificações de segurança que dependem da rigidez da madeira, o módulo 
de elasticidade na direção paralela às fibras deve ser tomado como na expressão 4. 
 
c0,ef mod,1 mod,2 mod,3 c0,mE k k k E ...(4) 
 
Tabela 1 – Valores de Kmod1 
Classe de Carregamento 
Ação Variável Principal da Combinação 
Duração Acumulada Ordem de Grandeza da 
Duração Acumulada da Ação 
Característica 
Permanente Permanente Vida Útil da Construção 
Longa duração Longa duração Mais de 6 meses 
Média duração Média duração 1 Semana a 6 Meses 
Curta duração Curta duração Menos de 1 Semana 
Duração Instantânea Duração Instantânea Muito Curta 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Tabela 2 – Valores de Kmod1 
Classes de Carregamento 
Tipos de Madeira 
Madeira Serrada 
Madeira Laminada Colada 
Madeira Compensada 
Madeira Recomposta 
Permanente 0,60 0.30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
 
Tabela 3 – Valores de Kmod2 
Classe de Umidade Madeira Serrada 
Madeira Laminada Colada 
Madeira Compensada 
Madeira Recomposta 
(1) e (2) 1,01,0 
(3) e (4) 0,8 0,9 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Tabela 4 – Valores de Kmod3 
Classes 1ª. Categoria 2ª. Categoria 
Coníferas 0,8 0,8 
Folhosas 1,0 0,8 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Os coeficientes de ponderação nos estados limites últimos, de acordo com a 
solicitação são apresentados na tabela 5. 
 
Tabela 5 – Valores do coeficiente de Ponderação nos Estados Limites Últimos 
Solicitação Coeficiente de Ponderação 
Tensões de Compressão paralelas às Fibras 1,4wc  
Tensões de Tração Paralelas às Fibras 1,8wt  
Tensões de Cisalhamento Paralelas às Fibras 1,8wv  
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Nos estados limites de utilização, os coeficientes de ponderação do material 
possuem o valor básico de γw = 1,0. 
 
Combinação de Ações 
Nos Estados Limites Últimos as combinações correspondem às ações que são 
combinadas conforme a sua natureza. Têm-se combinações para ações normais, 
especiais e de construção. 
 
Combinações Últimas Normais 
 
 
Essas combinações são definidas pela expressão (5). 
 
, 1, 0 ,
1 2
m n
d Gi Gi k Q Q k j Qj k
i j
F F F F  
 
 
   
 
  ...(5) 
 
Onde: onde FGi,K - valor característico das ações permanentes 
 FQ1,k - valor característico da ação variável considerada principal em 
um determinado caso de carregamento 
 Ψ0J FQj,k - o valor reduzido de combinação de cada uma das ações 
variáveis 
 Ψ0J - fator de combinação correspondente a cada uma das ações 
variáveis. 
 
Como a condição de segurança é para uma situação duradoura, portanto para a 
classe de carregamento de longa duração e a resistência de projeto leva em conta um 
tempo grande de atuação da solicitação, as ações variáveis de curta duração FQ1,k, 
deverão ser reduzidas pelo fator de 0,75. 
 
Coeficientes de Ponderação e Fatores de Combinação 
 Todas as partes de uma ação permanente são ponderadas pelo mesmo 
coeficiente e esses valores dependem do tipo de ação e da sua combinação (Tabela 6 à 
Tabela 9). 
Segundo a NBR 7190:1997, considera-se ação de pequena variabilidade o peso 
da madeira classificada estruturalmente, cujo peso específico tenha coeficiente de 
variação não superior a 10 %. 
São consideradas ações de grande variabilidade o peso próprio das madeiras 
das estruturas e dos elementos construtivos permanentes não estruturais e dos 
equipamentos fixos, todos considerados globalmente quando o peso próprio da 
estrutura não superar 75 % da totalidade dos pesos permanentes. 
 
 
Tabela 6 – Valores do coeficiente de Ponderação para Ações Permanentes de Pequena 
Variabilidade 
Combinações 
Efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg =1,3 γg =1,0 
Especiais ou de 
Construção 
γg =1,2 γg =1,0 
Excepcionais γg =1,1 γg =1,0 
Podem ser utilizados indiferentemente os símbolos γg ou γG 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Tabela 7 – Valores do coeficiente de Ponderação para Ações Permanentes de Grande 
Variabilidade 
Combinações 
Efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg =1,4 γg =0,9 
Especiais ou de 
Construção 
γg =1,3 γg =0,9 
Excepcionais γg =1,2 γg =0,9 
Podem ser utilizados indiferentemente os símbolos γg ou γG 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Tabela 8 – Valores do coeficiente de Ponderação para Ações Permanentes Indiretas (Incluem 
os efeitos de recalque de apoio e de retração dos materiais) 
Combinações 
Efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γε =1,2 γε =0 
Especiais ou de 
Construção 
γε =1,2 γε =0 
Excepcionais γε =0 γε =0 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Coeficientes de Ponderação para Ações Variáveis 
Nas estruturas são ponderadas apenas as ações variáveis que produzem efeitos 
desfavoráveis para a segurança, majorando-se seus valores característicos conforme a 
Tabela 9. 
 
Tabela 9 – Valores do coeficiente de Ponderação para Ações Variáveis 
Combinações 
Efeitos 
Ações Variáveis em 
Geral incluídas as 
Cargas Acidentais 
Móveis 
Temperatura 
Normais γQ =1,4 γε =1,2 
Especiais ou de 
Construção 
γQ =1,2 γε =1,1 
Excepcionais γQ =1,0 γε =0 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
 Fatores de Combinação em Estados Limites Últimos (ψ0) 
Esses fatores de combinação são utilizados levando-se em consideração que 
existe uma probabilidade remota de que as ações variáveis consideradas atuem 
simultaneamente (Tabela 10). 
Assim, toma-se uma ação variável como principal com o seu valor característico 
e reduzem-se os valores das demais ações multiplicando-os pelo fator de combinação 
que for correspondente. 
Fatores de Combinação em Estados Limites de Utilização (ψ1 e ψ2) 
Esses fatores de combinação são utilizados visando reduzir os valores das ações 
variáveis para que correspondam às condições de serviço, considerando a duração 
destas ações. 
Para combinações de média duração emprega-se o fator ψ1 enquanto que para 
longa duração emprega-se o fator ψ2 (Tabela 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 10 – Valores do Fator de Combinação 
Combinações 
Fator de Combinação 
Ψ0 
Ultimo 
ψ1 
Média D 
Ψ2 
Longa D 
Ações em Estruturas Correntes 
Variações Uniformes de Temperatura em Relação à 
Média Anual Local 
0,6 0,5 0,3 
Pressão Dinâmica do Vento 0,5 0,2 0 
Cargas Acidentais dos Edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, nem de elevada concentrações 
de pessoas 
0,4 0,3 0,2 
Locais onde há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, ou de elevada concentrações de 
pessoas 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Cargas Móveis e seus Efeitos Dinâmicos 
Pontes de Pedestres 0,4 0,3 0,2* 
Pontes Rodoviárias 0,6 0,4 0,2* 
Pontes Ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4* 
*Admite-se Ψ2 = 0, quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Exemplo 1 
Uma barra está submetida a carregamentos permanentes de grande 
variabilidade (g), cargas acidentais (q) de longa duração e pressão do vento (w), todos 
com direção vertical e sentido de cima para baixo. Sabe-se que as ações valem g = 430 
N/m, q = 100 N/m e w = 200 N/m. Pede-se a avaliação das combinações para estado 
limite de utilização. 
 
Solução 
 
Para se determinar a combinação de cálculo das ações para o estado limite de 
utilização deve-se fazer a avaliação das ações para se determinar a mais crítica. Para 
situações normais de projeto, a norma NBR 7190:1997 considera que todas as ações 
variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração, dada 
pela expressão (5). 
, 1, 0 ,
1 2
m n
d Gi Gi k Q Q k j Qj k
i j
F F F F  
 
 
   
 
  
 
Da Tabela 9, para ações devidas ao vento Ψ2j = 0 e para locais em que não há 
predominância de pesos e de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de 
pessoas Ψ2j = 0,2. Assim, substituindo-se os valores na expressão (5), tem-se: 
 
430 0,2(100) 0(200) 450 /dF N m    
 
3. Dimensionamento de Peças Tracionadas 
As peças de madeira quando submetidas a esforços axiais de tração 
apresentam comportamento denominado elastofrágil. Essa condição ocorre até o 
instante de sua ruptura. Elas não apresentam valores significativos de deformações 
antes do rompimento da peça. Nas estruturas de madeira, a tração paralela às fibras 
ocorre principalmente nas barras de treliças e nos tirantes de madeira. 
Nas barras tracionadas axialmente os estados limites últimos se configuram por 
ruptura das fibrasna seção líquida, ou na seção bruta quando não houver furos, com a 
condição de segurança é dada pela expressão (6). 
 
, ,
sd
t d t d
wn
N
f
A
   ...(6) 
Onde: σt,d – tensão solicitante de cálculo devido ao esforço de tração 
 ft,d – resistência de cálculo à tração 
 Awn – área líquida da seção 
 Nsd – esforço normal solicitante de cálculo 
 
 
Sendo a resistência de cálculo à tração dada pela expressão (7). 
,k
, mod
1,8
t
t d
f
f k ...(7) 
Onde: ft,d = f0,d – para fibras paralelas ao eixo longitudinal da barra 
 ft,d = ftα,d – para fibras com inclinação em relação ao eixo longitudinal da 
barra, com a redução da resistência dada pela fórmula de 
Hankinson (Expressão 8). 
0,d 90,d
, 2 2
0,d 90,d cos
t t
t
t t
f f
f
f sen f

 


  
 ...(8) 
 
Área líquida em ligações com pinos 
A área útil deve considerar a redução por furos, ou por entalhes, na seção 
transversal quando a redução da área resistente for superior a 10% da peça íntegra 
(item 7.1.1, NBR7190:1997). Considera-se neste item somente as barras de seção 
retangular h x t (Figura 1). 
Figura 1 – Seção Transversal de Barra de Seção Retangular. 
 
Fonte: o autor. 
 Área bruta da seção transversal reta (Expressão 9). 
Aw = h . t ... (9) 
 
Área de um furo (Expressão 10). 
Af = t . df ...(10) 
Onde: df – diâmetro do furo 
 
Valor do diâmetro do furo: 
 
Para parafusos com folga → df = d + 0,5 mm ...(11) 
Para pregos → df = d ...(12) 
Onde: d – diâmetro do furo 
 
Área da seção transversal reta (Expressão 13). 
Awr = Aw – n Af ...(13) 
Onde: n – número de furos da seção transversal 
 
Além das verificações das deformações da estrutura completa, recomenda-se 
limitar a esbeltez da peça tracionada correspondente ao comprimento máximo de 50 
vezes a menor dimensão da seção transversal (Expressão 14). 
 
50
50 12 173
/ 12
máx
L t
r t
     ...(14) 
O item 10.3 da NBR 7190:1997 limita a esbeltez máxima de peças tracionadas 
em λ = 173. 
 
O valor mínimo do afastamento entre os eixos de furos é (Figura 2): 
S < 4 df An = Ag – 2 b d’ ...(15) 
S ≥ 4 df An = Ag – b d’ … (16) 
 
Figura 2 – Afastamento entre o Centro de Furos. 
 
 
 
Fonte: o autor. 
 
Exemplo 2 
Uma barra de madeira está submetida ao esforço solicitante de cálculo Nsd = 
30 kN, considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a seção (7,5 cm x 
10 cm) resiste a este esforço (Figura 3). 
Dados: Conífera classe C-30 → fc0k = 30 MPa 
 Carregamento de longa duração → kmod1 = 0,7 
 Classe 4 de umidade → kmod2 = 0,8 
 Peças de 2ª categoria → kmod3 = 0,8 
 Parafusos diâmetro 12,5 mm com tensão de escoamento fy = 250 MPa 
 
 
Figura 3 – Barra de Madeira Tracionada. 
 
 
 
Fonte: o autor. 
 
Solução 
 
mod mod1 mod2 mod3 (0,7)(0,8)(0,8) 0,45k k k k   
 
0,k
, 0, mod
30
0,45 7,50
1,8
t
t d t d
wt
f
f f k MPa

    
 
df = d + 0,5 mm = 12,5 + 0,5 = 13 mm 
 
Af = t . df = 7,5 x 1,3 = 9,75 cm
2 
 
Seção reta 
 
Awr = Aw – n Af = (7,5 x 10) – (2 x 9,75) = 55,5 cm
2 
 
 
3
0, 0,4
30 10
5,40 7,50
55,5 10
sd
t d t d
wn
N x
MPa f MPa
A x


     
 
 
4. Dimensionamento de Peças Comprimidas 
Nas barras comprimidas axialmente os estados limites últimos ocorrem através 
do esmagamento das fibras, como nas barras que são denominadas barras curtas, ou 
 
por instabilidades que são associadas aos efeitos de segunda ordem que são 
provocados por flambagem de Euler, também denominada flambagem por flexão, no 
caso das peças esbeltas e semiesbeltas. 
O índice de esbeltez de barra de barra comprimida é definido pela expressão 
(17). 
0L
r
  ...(17) 
 Onde: λ – índice de esbeltez 
 L0 – comprimento de flambagem 
 r – raio de giração 
 
Peças Curtas – λ ≤ 40 
 
Nas peças curtas a ruptura caracteriza-se por esmagamento da madeira e a 
condição de segurança é dada pela expressão (18). 
 
 
c0, c0,
d
d d
w
N
f
A
   ...(18) 
Onde: σc0,d – tensão de cálculo devido ao esforço de compressão 
 fc0,d – resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras 
 Aw – área bruta da seção transversal 
 Nsd – esforço normal solicitante de cálculo 
 
Peças Semiesbeltas – 40 < λ ≤ 80 
 
A ruptura das peças medianamente esbeltas pode ocorrer por esmagamento da 
madeira ou por flexão devido à perda de estabilidade. 
A norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira, não 
considera para peças medianamente esbeltas a verificação da compressão simples, 
mas exige a verificação da flexo-compressão nessas barras, mesmo para carga de 
projeto centrada. Esse critério estabelece a consideração de possíveis excentricidades 
na estrutura, não previstas no projeto. A verificação deve ser feita isoladamente nos 
planos de rigidez mínima e de rigidez máxima do elemento estrutural. 
 
A condição de segurança para o estado limite último de instabilidade impõe a 
relação (Expressão 19) para o ponto mais comprimido da seção transversal, aplicada 
isoladamente nos planos de rigidez mínima e máxima do elemento estrutural. 
 
0,d 0,d
1Nd Md
c cf f
 
  ...(19) 
 
Onde: σN,d – tensão de compressão devido a força normal de compressão 
 σM,d – tensão de compressão devido ao momento fletor Md 
 fc0,d – resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras 
 fc0,d – resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras 
 
Sendo a tensão de compressão devido a força normal de compressão 
(Expressão 20). 
N,
sd
d
w
N
A
  ...(20) 
 Onde: Nsd – esforço normal solicitante de cálculo 
 Aw – área bruta da seção transversal 
 
Sendo a tensão de compressão devido ao momento fletor Md devido à 
excentricidade de cálculo (Expressão 21). 
M,
d
d
M
W
  ...(21) 
 Onde: Md – momento fletor devido à excentricidade de cálculo 
 W – módulo resistente elástico da seção transversal 
 
 O momento fletor devido à excentricidade de cálculo (Expressão 22). 
d d dM N e ...(22) 
 Onde: ed – excentricidade de cálculo 
 A excentricidade de cálculo (Expressão 23). 
1
E
d
E d
N
e e
N N
 
  
 
 ...(23) 
 
 Onde: e1 – excentricidade de primeira ordem 
 NE – carga crítica de Euler 
 Nd – força normal de cálculo 
 
 A excentricidade de primeira ordem (Expressão 24) 
 
1 i ae e e  ...(24) 
Onde: ei – excentricidade inicial 
 ea – excentricidade acidental devida as imperfeições geométricas da 
barra 
A excentricidade acidental devida as imperfeições geométricas da barra 
(Expressão 25). 
0
300 30
a
L h
e   ...(25) 
Onde: h – altura da seção transversal na direção referente ao plano de 
verificação 
A excentricidade inicial devida aos valores de cálculo de M1d e Nd (Expressão 
26). 
1
1
30
d
d
M h
e
N
  ...(26) 
A força crítica de Euler (Expressão 27). 
2
0,
2
0
c ef
e
E I
N
L

 ...(27) 
Onde: I – mento de inércia da seção transversal relativo ao plano de flexão 
referente ao plano de verificação da segurança 
 
Peças Esbeltas – 80 < λ ≤ 140 
 
Nas peças esbeltas a forma de ruptura ocorre por flexão causada pela perda de 
estabilidade lateral. A condição de segurança relativa ao estado limite último de 
instabilidade é dada pela expressão (28). 
 
 
0,d 0,d
1Nd Md
c cf f
 
  ...(28) 
O momento fletor de cálculo (Expressão 29). 
1,
E
d d ef
E d
N
M N e
N N
 
  
 
 ...(29) 
Onde: e1,ef – excentricidade efetiva de 1ª. ordem 
 
A excentricidade efetiva de 1ª. ordem (Expressão30). 
1, 1ef c i a ce e e e e e     ...(30) 
Onde: ei – excentricidade inicial com valor ≥ h/30 
 ea – excentricidade acidental com valor L0/300 ou mínimo ≥ h/30 
 ec – excentricidade suplementar de primeira ordem 
 
A excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da 
madeira (Expressão 31). 
  
 
 
1 2
1 2
(
exp 1
gk qk
c ig a
e gk qk
N N
e e e
N N N
 
 
     
    
        
 ...(31) 
 
 1 2 1   , da tabela (10) ...(32) 
 
 1 ,g dig
gd
M
e
N
 ...(33) 
 
 
 
 
Onde: Ngk - valor característico da força normal devidos às cargas permanentes 
 Nqk - valor característico da força normal devidos às cargas variáveis 
 M1g,d - valor de cálculo do momento fletor devido apenas às ações 
permanentes 
 
 f - coeficiente de fluência relacionado às classes de carregamento e de 
umidade (Tabela 11). 
 
Tabela 11 – Valores do Fator de Combinação 
Classes de Carregamento 
Classes de Umidade 
1 e 2 3 e 4 
Permanente ou de Longa Duração 0,8 2,0 
Média Duração 0,3 1,0 
Curta Duração 0,1 0,5 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Similarmente que nas peças semiesbelta, a NBR7190:1997 admite que, para o 
caso de barras de treliças biarticuladas, seja dispensada a exigência de valor mínimo 
para ei. 
Exemplo 3 
Determinar a força máxima acidental que pode ser aplicada a uma barra de 
peroba rosa com seção transversal (15 cm x 20 cm) e comprimento L = 170 cm. Ela está 
em situação normal de projeto, sabendo que a força permanente vale Ngk = 160 kN. 
Ambas as extremidades estão impedidas de se deslocarem nas direções x e y, 
a madeira é usual, a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas 
permanentes são de grande variabilidade. fc0,k = 2950 N/cm2 (peroba rosa). 
 
 Solução 
Será calculado no plano com maior índice de esbeltez. 
3 3
320 15 5625
12 12
y
h b x
I cm   
215 20 3000A b h x cm   
5625
4,33
3000
y
y
y
I
r cm
r
   
170
39,3
4,33
fl
máx
y
L
r
    
 Em torno dos dois eixos, a peça é considerada curta, pois λ < 40. 
O critério de segurança para peça curta é: 
 
 
 c0, c0,
d
d d
w
N
f
A
   
A ação permanente é de grande variabilidade e o coeficiente de ponderação 
correspondente é γg = 1,4 para a combinação normal. 
A ação variável máxima deve ser determinada, sendo o coeficiente de 
ponderação para ação variável igual a (γq = 1,4). 
1,4 160 1,4d g gk q qk qkN N N x xN     
 
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por: 
0,
0, mod
c k
c d
c
f
f k

 
mod mod1 mod2 mod3k k k k 
Madeira serrada e carregamento de longa duração (para situação normal de projeto, o 
carregamento é sempre considerado de longa duração) → kmod1 = 0,7 
Madeira serrada e classe de umidade igual a 2 → kmod2 = 1,0 
Madeira de 2ª. categoria (não submetida a ensaios específicos) → kmod3 = 0,8 
 
mod mod1 mod2 mod3 (0,7)(1,0)(0,8) 0,56k k k k   
0, 2
0, mod
2950
0,56 1180 / 11,80
1,4
c k
c d
c
f
f k N cm MPa

    
 
3 3
6
c0, c0,4
1,4 160 10 1,4 10
11,80 10
300 10
qkd
d d
w
x x xN xN
f x
A x



    
Nqk ≤ 92,86 kN 
 
5. Dimensionamento de Vigas – Peças Flexionadas 
A verificação da segurança de peças sujeitas à flexão consiste nas verificações 
dos estados limites últimos e dos estados limites de utilização. 
Nos estados limites últimos, devem ser verificadas as tensões normais de 
tração e compressão, as tensões cisalhantes e a estabilidade lateral para vigas 
esbeltas. 
 
Nos estados limites de utilização, são verificadas as deformações e vibrações 
limites. 
Estados Limites Últimos para Momento Fletor 
 
Flexão simples reta 
Nas peças submetidas à flexão simples, o plano de incidência do carregamento 
coincide com um dos eixos principais de inércia e não sofrem efeito do esforço normal. 
Para peças com pelo menos um eixo de simetria, um eixo principal de inércia 
coincide com o eixo de simetria. 
A verificação dos estados limites últimos de esmagamento da borda 
comprimida e ruptura da borda tracionada ficam garantidos respectivamente pelas 
condições das expressões 34 e 35. 
0, 0,
sd
c d c d
c
M
f
W
   ...(34) 
 
0, 0,
sd
t d t d
t
M
f
W
   ...(35) 
Onde: σc0,d - tensão atuante de cálculo na borda comprimida 
 σt0,d - tensão atuante de cálculo na borda tracionada 
 Wc - módulo de resistência elástica à compressão da seção transversal 
da peça 
 Wt - módulo de resistência elástica à tração da seção transversal da 
peça 
 fc0,d – resistência de cálculo à compressão paralela às fibras 
 ft0,d – resistência de cálculo à tração paralela às fibras 
 
Sendo: 
c
c
I
W
y
 ...(36) 
 
t
t
I
W
y
 ...(37) 
 
Onde: I - momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo central 
de inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor atuante 
 
Para cálculos das barras fletidas, adota-se para o vão teórico L o menor dos 
valores: 
 Distância entre eixos apoiados. 
 Vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão. 
 Não se consideram acréscimos maiores que 10 cm. 
 
 
Figura 3 – Tensões Atuantes em Barra de Madeira Flexionadas com Seção Tê. 
 
 
Fonte: o autor. 
Módulo de Elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras é dado pela 
expressão (38). 
 
0, mod 0,c ef c mE k E ...(38) 
 
Onde: Ec0,m - rigidez na compressão paralela às fibras 
 
Tabela 12 – Valores da Classe de Resistência Coníferas 
Coníferas 
Classes fc0k (MPa) FVk (MPa) Ec0m (MPa) Ρbas,m (kg/m
3) Ρaparente 
(kg/m3) 
 
C20 20 4 3500 400 500 
C25 25 5 8500 450 550 
C30 30 6 14.500 500 600 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
Tabela 13 – Valores da Classe de Resistência Folhosas 
Coníferas 
Classes fc0k (MPa) FVk (MPa) Ec0m (MPa) Ρbas,m (kg/m
3) Ρaparente 
(kg/m3) 
C20 20 4 9500 500 650 
C30 30 5 14.500 650 800 
C40 40 6 19.500 750 950 
C60 60 8 24.500 800 1000 
Fonte: adaptada da norma técnica ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Uma viga biarticulada com 4 m de vão e 6 cm de largura está submetida a um 
carregamento permanente distribuído de 700 N/m. Calcular a altura necessária da 
viga, considerando madeira da classe C40 e ações permanentes de grande 
variabilidade, considerando situação duradoura de projeto, com carregamento de 
longa duração e a classe de umidade igual a 2. 
 
Solução 
 
Mk = (700 x 6
2)/8 = 3.150 Nm → Md = 1,4 x 3.150 = 4.410 Nm = 44.100 Ncm 
Vk = (700 x 6)/2 = 2.100 N → Vd = 1,4 x 2.100 = 2.940 N 
 
Ec0,f = 0,56 x 1.950.000 = 1.092.000 N/cm
2 
 
3 2
44.100 12 44.100
2 6
d c
md
M y x x h
I x x h h
    
3 3 2.940 735
2 2 6
d
Vd
V x
bh x x h h
    
Condições de Segurança 
2
mod
4000
0,56 1.600 /
1,4
wk
wd
w
f
f k N cm

   
Tensão Normal 
 
2
1, 1, 0,2
44.100
1.600 /c d t d c df N cm
h
     
h ≥ 5,25 cm 
 
Tensão de Cisalhamento 
2
0,
600
0,56 187 /
1,8
v df N cm  
2
, ,
735
187 /V d Vo df N cm
h
    
h ≥ 3,93 cm 
 
Flecha 
4
,
,
5
384 200
g
d util
co ef
x F x L L
u
x E x I
  
 
4
, 3
5 7 400 400
2006
384 1.092.000
12
d util
x x
u
x h
x x
 
 
 
 
 
h ≥ 12,88 cm 
 
Adotado: h ≥ 13 cm 
 
6. Dimensionamento de Treliças 
Nas treliças de madeira as barras são dimensionadas e esforços de tração e de 
compressão. Assim, deve-se calcular os esforços em todas as barras e utilizar os 
conceitos desenvolvidos nos itens de barras tracionadas e de barras comprimidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material Complementar 
Inserir os materiaiscomplementares para aprofundamento dos conceitos abordados na unidade. 
Importante: Mínimo 04 indicações — livros, sites, vídeos, artigos, repertagens 
 
 
BELLEI, I. H. Edifícios Industriais em Aço: Projeto e Calculo. 3. ed. São Paulo: Pini, 2000. 
 
DIAS, L. A. M. Estruturas de Aço: Conceitos, Técnicas e Linguagem. 7. ed. São Paulo: Zigurate 
Editora, 2009. 
 
FAKURY, R. H. ; SILVA, A.L.R.C ; CALDAS, R.B. Dimensionamento de Elementos Estruturais de 
Aço e Mistos de Aço e Concreto. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016 (ebook) 
 
JUNIOR CALIL, C., LAHR, F. R., DIAS, A. A.. Dimensionamento de Elementos Estruturais de 
Madeira. Manole, 01/2003. (ebook) 
 
PFEIL, W., PFEIL, M. Estruturas de Madeira, 6ª edição. LTC, 09/2003 (ebook) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
Inserir as referências consultadas para produção da unidade. 
Importante: Utilzar a norma ABNT 
 
 
 
PFEIL, W. Estruturas de Madeira: Dimensionamento Segundo a Norma Brasileira Nbr 7190/97 
e. 6. ed. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Técnicos e Cientifico, 2007. 
PFEIL, W.; PFEIL, M. Estruturas de Aço: Dimensionamento Pratico. 7. ed. Rio de Janeiro: Ltc-
Livros Técnicos e Cientifico, 2008. (ebook) 
PINHEIRO, A. C. F. B. Estruturas Metálicas: Cálculos, Detalhes, Exercícios e Projetos. 2. ed. São 
Paulo: Edgard Blucher, 2012.