Atividade 2 A2 Cálculo aplicado várias variáveis

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CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
ATIVIDADE 2 (A2) 
• Pergunta 1 
0 em 1 pontos 
 
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma 
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente 
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 
1994. 
 
 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a 
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de 
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma 
unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior 
decrescimento da função. 
 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente 
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os 
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é 
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
 
 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software 
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que 
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o 
conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Resposta Correta: 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de 
uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do 
espaço , para poder visualizar uma representação 
geométrica da função no plano recorremos ao uso das 
curvas de nível, que são curvas planas do plano . 
Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do 
plano . 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . 
No entanto, e são funções de expressas por e . Para 
se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da 
regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à 
 
derivada de em relação a , isto é, , para quando . 
 
 
 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é 
dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o 
sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a 
função represente uma distribuição de temperatura no 
plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em 
). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior 
decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais 
rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida 
como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , 
medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no 
plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima 
de aumento da densidade no ponto . 
 
 
 
 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o 
comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de 
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. 
Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma 
placa retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no 
ponto na direção do vetor . 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A temperatura está aumentando à taxa de 
aproximadamente 9,93 unidades. 
Resposta Correta: 
A temperatura está aumentando à taxa de 
aproximadamente 9,93 unidades. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função e seu vetor gradiente são: 
 
, e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O 
vetor é unitário, então a derivada direcional irá nos 
fornecer a taxa de variação desejada: . 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura 
(T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a 
função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume 
de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa 
de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura 
considerando as informações anteriores. (Use ).