UAM Cálculo aplicado Várias Variáveis A2 (N1)

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3/30/2021 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=ACCESS_CRT&COURSE_ID=_670523_1 1/6
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: , e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia.
No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis
independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que
podemos escrever . Se e e .
 
 Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável.
Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 3
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente
em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma
do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em 
 , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por 
 , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto .
 
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é 
, concluímos que a taxa máxima de aumento da
densidade é .
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária.
Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da
função no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o
vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
 - 
 
- 
 
- 
 
 
 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
 
Assim, a direção de maior crescimento é .
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Pergunta 5
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra,
1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o
ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitário na direção de é o vetor . Portanto, a derivada
direcional é .
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas
as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção
seja fornecida por um vetor unitário. 
 
 Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à
derivada direcional da função no ponto na direção do vetor 
 .
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
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. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de
temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
 
 Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a
variação de temperatura é mínima em . (O
sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
Pergunta 8
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns
exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não
geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto
 .
 
II - O domínio da função é o conjunto
 .
 
III - O domínio da função é o conjunto .
 
IV - O domínio da função é o conjunto 
 .
 
 
 
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentárioda
resposta:
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 9
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei
de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem
assumir. 
 
 Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto
.
O domínio da função é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para
os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 10
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o
conceito de curva de nível. 
 
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas de
nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .