MATEMÁTICA - Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunferência

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Relações Métricas no Triângulo
Retângulo
Por: Antônia Oliveira Sousa;
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo
retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Elementos de um triângulo retângulo:
a: medida da hipotenusa (lado
oposto ao ângulo de 90º);
b: cateto;
c: cateto;
h: altura relativa à hipotenusa;
m: projeção do cateto c sobre a
hipotenusa;
n: projeção do cateto b sobre a
hipotenusa.
Semelhança e relações métricas:
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos.
Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC:
Como os triângulos ABC e HBA são
semelhantes ( ), as
proporções:
Usando que
encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos
HBA e HAC encontramos a
proporção:
Temos ainda que a soma das
projeções m e n é igual a
hipotenusa:
Teorema de Pitágoras:
Vamos somar a relação b2 = a . n
com c2 = a . m:
Como a = m + n, substituindo na
expressão anterior:
Assim, o Teorema de Pitágoras é:
“A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”
Fórmulas:
Exemplos:
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado
por y.
Usando a relação: a = m + n
● y = 9 + 3
● y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n:
● x2 = 12 . 3 = 36
● x = = 6√36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12
cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos
desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m .
n
●
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
● a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2
= a . m
●
Relações Métricas Referentes à
Circunferência
A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo
segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as
medidas procuradas.
Cruzamento entre duas cordas:
O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos
proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma
corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda.
AP * PC = BP * PD
Exemplo 1:
● x * 6 = 24 * 8
● 6x = 192
● x = 192/6
● x = 32
Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto:
Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes,
partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela
medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro
segmento pela medida de sua parte externa.
RP * RQ = RT * RS
Exemplo 2:
● x * (42 + x) = 10 * (30 + 10)
● x2 + 42x = 400
● x2 + 42x – 400 = 0
Aplicando a fórmula resolutiva de
uma equação do 2º grau:
Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’
= – 50. Como estamos trabalhando
com medidas, devemos considerar
somente o valor positivo x = 8.
Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto:
Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à
multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte
externa.
(PQ)2 = PS * PR
Exemplo 3
● x2 = 6 * (18 + 6)
● x2 = 6 * 24
● x2 = 144
● √x2 = √144
● x = 12