Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) do prof Diego Marques

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JOSÉ PLÍNIO DE OLIVEIRA SANTOS 
DIEGO MARQUES 
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Este livro destina-se a · 
alunos de graduação em 
Matemática (bacharelado 
e licencia~ra) e também 
aos que se preparam para 
olimpíadas de 
Matemática. 
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JOSÉ PLÍNIO DE OLIVEIRA SANTOS 
DIEGO MARQUES 
PROBLEMAS EM , 
TEORIA DOS NU MEROS 
(RESOLVIDOS E PROPOSTOS) 
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JOSÉ PLÍNIO DE OLIVEIRA SANTOS 
DIEGO MARQUES 
PROBLEMAS EM , 
TEORIA DOS NUM EROS 
(RESOLVIDOS E PROPOSTOS) 
" .. EDITORA 
\itYJ CIÊNCIA MODERNA 
Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) 
Copyright@J Editora Ciência Moderna Ltda., 2017 
Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CI~NCIA MODERNA L TDA. 
De acordo com a Lei 9.61 O, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, transmitida e 
gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por 
escrito, da Editora. 
Editor: Paulo André P. Marques 
Produção Editorial: Dilene Sandes Pessanha 
Capa: Daniel Jara 
Copidesque: Equipe Ciência Moderna 
Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses 
nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o 
editor declara estar utilizando tais nomes apenas para fins editoriais, em beií.éfído exclusivo do dono da 
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próprios e acontecimentos será mera coincidência. 
FICHA CATALOGRAFICA 
SANTOS, José Plínio de Oliveira; FERREIRA; Ofego Marques. 
Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) 
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2017. 
1. Matemática 2. Álgebra 
1- Título 
ISBN: 978-85-399-0894-3 
Editora Ciência Moderna Ltda. 
R. Alice Figueiredo, 46 - Riachuelo 
Rio de Janeiro, RJ - Brasil CEP: 20.950-150 
Tel: (21) 2201-6662/ Fax: (21) 2201-6896 
E-MAJL: LCM@LCM.COM.BR 
WWW.LCM.COM.BR 
CDD 510 
512 
04/17 
Prefácio 
O primeiro autor, do presente livro, publicou, na coleção Matemática Universitária do IMPA, o 
livro Introdução à Teoria dos Números onde, além de vários problemas resolvidos são propostos 
muitos outros. 
Nossa proposta inicial, para o presente livro, era apenas a de fornecer as soluções para todos aqueles 
problemas propostos no livro acima mencionado. Dado o grande interesse que estes tópicos despertam 
nos estudantes e a procura por soluções, decidimos pela inclusão de vários outros problemas resolvidos 
e uma pequena coleção de exercícios propostos. 
Desta forma o livro ficou dividido em três capítulos, cada um, por sua vez, dividido em nove seções 
correspondentes a cada um dos nove capítulos em que o livro original está dividido. 
No primeiro capítulo estão as soluções para todos os problemas do referido livro. No segundo estão 
problemas correspondentes aos conteúdos dos nove capítulos. com as correspondentes soluções e no 
terceiro, colocamos nove pequenaS listas de exercícios propostos mas sem soluções. 
No total são 312 problemas resolvidos e 137 problemas propostos. 
Esperamos, desta forma, que o presente texto possa contribuir, um pouco mais, nesta área tão 
importante da matemática ao trazer este material em língua portuguesa. 
Sumário 
1 Problemas resolvidos 
1.1 Divisibilidade 
Problemas resolvidos do Capítulo ·1 
1.2 Congruência 
Problemas resolvidos do Capítulo 2 
1.3 Teoria combinatória dos números 
Problemas resolvidos do Capítulo 3 
1.4 Funções Aritméticas 
Problemas resolvidos do Capítulo 4 
1.5 Resíduos Quadráticos 
Problemas resolvidos do Capítulo 5 
1.6 Raízes Primitivas 
Problemas resolvidos do Capítulo 6 
o •• o •••• o o ••• o o • o •• o o 
1. 7 Representação de inteiros como soma de quadrados 
Problemas resolvidos do Capítulo 7 . . . . . 
1.8 Frações Contínuas 
Problemas resolvidos do Capítulo 8 
1.9 Partições 
o • o o •••••• o •• o • o ••• o o • o •• 
Problemas resolvidos do Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2 Problemas suplementares 
2.1 Divisibilidade 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 1 
2.1.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2.2 Congruência 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 2 
2.2.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2.3 Teoria combinatória dos números 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 3 
2.3.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2.4 Funções Aritméticas 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 4 
2.4.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2.5 Resíduos Quadráticos 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 5 
2.5.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
1 
1 
21 
29 
32 
39 
44 
46 
48 
50 
55 
55 
58 
69 
70 
75 
76 
78 
79 
83 
85 
viii Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) 
2.6 Raízes Primitivas 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 6 
2.6.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2. 7 Representação de inteiros como soma de quadrados 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 7 
2. 7.1 Solução dos Problemas Suplementares . . . . . 
2.8 Frações Contínuas 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 8 
2.8.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
2.9 Partições 
Problemas suplementares referentes ao Capítulo 9 
2.9.1 Solução dos Problemas Suplementares ..... 
3 Problemas propostos 
3.1 Divisibilidade 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 1 
3.2 Congruência 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 2 
Teoria combinatória dos números 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 3 
Funções Aritméticas 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 4 
Resíduos Quadráticos 
Problemas propostos referentes ao Capítuio 5 
Raízes Primitivas 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 6 
Representação de inteiros como soma de quadrados 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 7 
Frações Contínuas 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 8 
Partições 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 9 
88 
89 
91 
92 
94 
95 
98 
99 
105 
105 
108 
109 
110 
111 
111 
112 
113 
113 
Capítulo 1 
Problemas resolvidos 
1.1 Divisibilidade 
Problemas resolvidos do Capítulo 1 
1. Encontrar, usando o algoritmo de Euclides, o máximo divisor comum dos seguintes pares de 
números: 
(a) 542 e 234 
(b) 9652 e 252 
(c) 24573 e 1387 
( d) 4276 e 1234 
(e) 48762 e 176 
(f) 42516 e 97421 
(g) 8374 e 24517 
(h) 35262 e 12753 
Solução: 
(a) Temos, 
logo (542, 234) = 2. 
(b) Temos, 
logo (9652, 252) = 4. 
542 = 2 . 234 + 7 4 
234 = 3 . 7 4 + 12 
74=6·12+2 
12 = 6. 2 
9652 = 38 . 252 + 76 
252 = 3 . 76 + 24 
76 = 3. 24+ 4 
24=6·4 
2 Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) 
(c) Temos, 
logo (24573, 1387) = 1. 
(d) Temos, 
logo (4276, 1234) = 2. 
(e) Temos, 
logo ( 48762, 176) = 2. 
(f) Temos, 
logo (42516, 97421) = 1. 
24573 . 17 ·1387 + 994 
1387 = 1 . 994 + 393 
994 = 2 . 393 + 208 
393 = 1 . 208 + 185 
208 = 1. 185 + 23 
185 = 8. 23 + 1 
23 = 1· 23 
4276 = 3. 1234 + 574 
1234 = 2 . 57 4 + 86 
57 4 = 6 . 86 + 58 
86 = 1. 58+ 28 
58= 2. 28 + 2 
28 = 14.2 
48762 = 277 ·176 + 10 
176 = 17 . 10 + 6 
10=1·6+4 
6=1·4+2 
4 = 2· 2 
97421 = 2. 42516 + 12389 
42516 = 3 . 12389 + 5349 
12389 = 2 . 5349 + 1691 
5349 = 3. 1691 + 276 
1691 = 6. 276 + 35 
276 = 7. 35 + 31 
35 = 1· 31 + 4 
31 = 7. 4 + 3 
4=1·3+1 
3 = 3 ·1 
Capítulo 1. Problemas resolvidos 3 
(g) Temos, 
logo (8374, 24517) = 1. 
(h) Temos, 
logo (35262, 12753) = 9. 
24517 = 2. 8374 + 7769 
8374 = 1. 7769 + 605 
7769 = 12 . 605 + 509 
605 = 1 . 509 + 96 
509 = 5 . 96 + 29 
96 = 3. 29 + 9 
29 = 3. 9 + 2 
9=4·2+1 
4 = 2. 2 
35262 = 2 . 12753 + 9756 
12753 = 1 . 9756 + 2997 
9756 = 3 .