Oscilações e ondas

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Gabriel Gouvêa Slade
Oscilações e ondas
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
 Slade, Gabriel Gouvêa.
S12o Oscilações e ondas / Gabriel Gouvêa Slade. – Uberaba: 
 Universidade de Uberaba, 2020.
 168 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba. 
	 Inclui	bibliografia.																			
 ISBN 
 
1. Oscilações. 2. Ondas (Física). I. Universidade de Uberaba. 
 Programa de Educação a Distância. II. Título.
 CDD 531.1133
© 2021 by Universidade de Uberaba
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Revisão textual
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Andrezza de Cássia Santos
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Gabriel Gouvêa Slade
Doutor e mestre em Biofísica Molecular pela Universidade Estadual 
Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (UNESP). Bacharel em Física Biológica 
pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (UNESP). 
Possui experiência no ensino de Física no Ensino Fundamental, Médio 
e Superior, tendo atuado como docente na Universidade Estadual 
Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (UNESP) e na Universidade Federal 
do Triângulo Mineiro (UFTM). Possui experiência em modelagem e 
simulação computacional de macromoléculas. 
Sobre o autor
Sumário
Apresentação .....................................................................................VII
Capítulo 1 Oscilações – parte 1 ............................................................ 1
1.1 As oscilações e suas causas .................................................................................. 2
1.2 O Movimento Harmônico Simples (MHS) .............................................................. 7
1.2.1 Funções horárias do MHS ............................................................................ 8
1.2.3 Cálculo da energia em um sistema massa-mola ....................................... 17
1.3 Conclusão ............................................................................................................. 21
Capítulo 2 Oscilações – parte 2 .......................................................... 23
2.1 O pêndulo simples ................................................................................................ 24
2.2 O pêndulo físico .................................................................................................... 27
2.3 Oscilações amortecidas ........................................................................................ 30
2.3.1 Movimento subamortecido .......................................................................... 32
2.3.2 Movimento criticamente amortecido ........................................................... 33
2.3.3 Movimento sobreamortecido ....................................................................... 35
2.3.4 Energia para oscilações amortecidas ......................................................... 35
2.4 Oscilações forçadas .............................................................................................. 37
2.5 Conclusão ............................................................................................................. 39
Capítulo 3 Ondas mecânicas .............................................................. 43
3.1 O movimento ondulatório ...................................................................................... 44
3.2 Tipos de ondas ...................................................................................................... 46
3.3 Ondas progressivas .............................................................................................. 48
3.4 Ondas periódicas .................................................................................................. 50
3.5 Conclusão ............................................................................................................. 56
Capítulo 4 Descrição matemática das ondas ..................................... 59
4.1 Equação de onda .................................................................................................. 60
4.2 Velocidade de propagação de ondas transversais .............................................. 65
4.3 Velocidade de propagação de ondas longitudinais .............................................. 71
4.4 Energia e potência de uma onda em uma corda ................................................. 74
4.5 Conclusão ............................................................................................................. 77
Capítulo 5 Interferência ....................................................................... 79
5.1	Reflexão	e	refração	de	ondas .............................................................................. 80
5.2 Princípio da superposição de ondas .................................................................... 84
5.3 Interferência de ondas harmônicas ...................................................................... 87
5.4 Ondas estacionárias em cordas ........................................................................... 89
5.5 Modos normais de uma corda .............................................................................. 91
5.6 Conclusão ............................................................................................................. 95
Capítulo 6 Ondas sonoras .................................................................. 99
6.1 Características das ondas sonoras .................................................................... 100
6.2 Percepção das ondas sonoras ........................................................................... 105
6.3 Interferência de ondas sonoras .......................................................................... 107
6.4 Batimentos ...........................................................................................................110
6.5 Modos normais de vibração.................................................................................111
6.6 Efeito Doppler ......................................................................................................115
6.7 Conclusão ............................................................................................................118
Capítulo 7 Ondas eletromagnéticas ................................................. 121
7.1 Características das ondas eletromagnéticas ..................................................... 122
7.2 Equação de onda eletromagnética ..................................................................... 127
7.3 Difração de ondas ............................................................................................... 131
7.4 Redes de difração ............................................................................................... 134
7.5 Difração de raios x .............................................................................................. 136
7.6 Conclusão ........................................................................................................... 138
Capítulo 8 Oscilações e ondas em sala de aula .............................. 141
8.1 Molas como instrumento pedagógico ................................................................. 142
8.2 O pêndulo simples em sala de aula ...................................................................145
8.3 Interferência e difração: uma forma simples de observar esses fenômenos .... 147
8.4 A física do violão ................................................................................................. 151
8.5 Aplicação de simulações computacionais dentro de sala de aula ..................... 154
8.6 Conclusão ........................................................................................................... 157
Prezado(a) aluno(a), é um prazer tê-lo(a) conosco!
Neste livro, você entrará em contato com a disciplina Oscilações e 
Ondas e aqui procuraremos compreender aspectos relacionados aos 
movimentos oscilatórios e ondulatórios. Esses tipos de movimentos 
estão relacionados e possuem grande importância dentro da Física, 
uma vez que fazem parte do nosso cotidiano. Entre as situações em 
que encontramos movimentos oscilatórios podemos citar as vibrações 
mecânicas, enquanto, do ponto de vista da ondulatória, podemos citar 
as ondas sonoras e eletromagnéticas.
Seu livro está dividido em oito capítulos. No primeiro e no segundo 
deles, discutiremos sobre as oscilações e suas causas. Em particular, 
iremos	 abordar	 um	 caso	 específico	 de	 oscilação,	 o	 Movimento	
Harmônico Simples. Mostraremos sistemas que obedecem a esse tipo 
de movimento, além de tratar de situações em que temos oscilações 
amortecidas e forçadas.
No terceiro capítulo, iremos inicialmente destacar a importância do 
movimento	 ondulatório	 e	 classificar	 os	 diferentes	 tipos	 de	 onda.	
Além disso, discutiremos sobre ondas periódicas e relacionaremos 
o comportamento desse tipo de onda com o Movimento Harmônico 
Simples. Já no quarto capítulo, utilizaremos recursos matemáticos 
para obter expressões relacionadas com o movimento ondulatório. 
Determinaremos a equação de onda para o caso ideal e deduziremos 
expressões que relacionam a velocidade de propagação de uma onda 
mecânica com o meio no qual ela se propaga. 
Apresentação
VIII UNIUBE
Na sequência, discutiremos sobre fenômenos ondulatórios. Em particular, 
debateremos sobre um fenômeno característico de ondas: a interferência. 
Assim, no capítulo quinto, exploraremos a interferência de ondas e a 
formação	de	ondas	estacionárias.	Por	fim,	ainda	demonstraremos os 
modos	normais	de	vibração	em	uma	corda	e	verificaremos	as	condições	
necessárias para a sua ocorrência.
Nos capítulos sexto e sétimo, estudaremos as características de dois 
tipos de ondas que são extremamente importantes no nosso dia a dia: as 
ondas	sonoras	e	eletromagnéticas.	Por	fim,	no	último	capítulo,	voltaremos	
nossa atenção para possíveis abordagens e estratégias acerca de 
oscilações e ondas que podem ser usadas dentro de sala de aula para 
o Ensino Fundamental e Médio.
Bom proveito! 
Introdução
Oscilações – parte 1Capítulo
1
Prezado(a) aluno(a), é um prazer tê-lo(a) conosco!
Você já dever ter reparado que constantemente, em nosso dia 
a dia, deparamos com movimentos que se repetem ao longo do 
tempo. Uma criança brincando em um balanço, as cordas de um 
violão sendo dedilhadas e um alto-falante vibrando são apenas 
algumas situações em que podemos encontrar tais repetições. A 
esse tipo de movimento damos o nome de oscilação.
Neste capítulo, discutiremos sobre as oscilações e suas causas. 
Para isso, trabalharemos com um sistema de fundamental 
importância na Física denominado sistema massa-mola. 
Além	disso,	iremos	abordar	um	caso	específico	de	oscilação,	o	
Movimento Harmônico Simples. 
Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	o	aluno	seja	
capaz de:
• reconhecer os movimentos oscilatórios e suas causas;
• discutir sobre o movimento de um sistema massa-mola;
Objetivos
2 UNIUBE
1.1 As oscilações e suas causas
1.2 O Movimento Harmônico Simples (MHS)
1.2.1 Funções horárias do MHS
1.2.2	Análise	gráfica	do	MHS
1.2.3 Cálculo da energia em um sistema massa-mola
1.3 Conclusão
Esquema
• identificar	um	movimento	harmônico	simples;
• analisar	graficamente	o	comportamento	de	um	sistema	que	
realiza um movimento harmônico simples;
• calcular a energia do movimento harmônico simples.
As oscilações e suas causas1.1
Em diversas áreas da Física podemos encontrar fenômenos oscilatórios. 
Na Mecânica, por exemplo, podemos citar como sistemas vibratórios 
pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de 
ar em instrumentos de sopro. “Na Eletrodinâmica, a corrente elétrica 
alternada que utilizamos em nosso dia a dia representa um sistema 
oscilatório.” (NUSSENZVEIG, 2002, p. 39).
De um modo geral, qualquer coisa que oscile para 
frente e para trás, para lá e para cá, de um lado para 
outro, para dentro e para fora, ou para cima e para 
baixo, está vibrando. Uma vibração ou oscilação é um 
movimento bamboleante com o transcorrer do tempo. 
(HEWITT, 2015, p. 357).
Para que um movimento oscilatório ocorra,“é necessária a ação de uma 
força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de 
equilíbrio.” (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.34).
 UNIUBE 3
Um tipo de sistema clássico para se estudar as oscilações é formado por 
uma massa e uma mola, Figura 1. 
Para esse tipo de sistema, um corpo de massa m desliza em uma 
superfície horizontal sem atrito. A mola utilizada possui massa desprezível 
e pode ser esticada e comprimida. Como o movimento só ocorre 
na horizontal, o módulo do peso do corpo é igual à normal e a força 
responsável pelo movimento é a força da mola. Note que nas situações 
em que a mola é esticada ou comprimida a força da mola atua de modo 
a fazer com que o corpo volte para a posição de equilíbrio (situação em 
que a mola não está deformada). “Desse modo, a força elástica atua 
como uma força restauradora e faz com que o sistema oscile.” (YOUNG; 
FREEDMAN, 2009, p. 34).
A	fim	de	compreender	o	movimento	descrito	por	esse	sistema,	vamos	
considerar um sistema de referência no qual, quando a mola não sofre 
deformação, a posição x do corpo vale 0, ou seja, (Figura 2a) . Ao 
esticar a mola por uma quantidade A, a posição do corpo passa a ser 
. Nessa situação, a mola exerce uma força sobre o bloco que é 
proporcional à sua deformação (Figura 2).
Figura 1 –Representação do sistema massa-mola e das forças que atuam sobre o sistema
Fonte: Elaborada pelo autor.
4 UNIUBE
Figura 2 – Representação do movimento descrito por um sistema massa-mola 
tendo como referência o eixo x
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa força é conhecida como força elástica e é determinada pela Lei 
de Hook, , em que é a constante elástica da mola e, a 
deformação sofrida por ela. Para a situação descrita, como a força 
elástica é a força resultante responsável pelo movimento, temos que:
Desse modo, o corpo então é acelerado em direção à posição de 
equilíbrio. Ao passar pela posição de equilíbrio, como a mola não sofre 
deformação, a força resultante sobre o corpo é zero. Entretanto, como 
o corpo está com velocidade, ele continua a se movimentar de modo a 
comprimir a mola. Esse movimento faz surgir uma força restauradora 
contrária à movimentação do corpo (Figura 2c acima). Essa força faz 
com que o bloco pare de se movimentar exatamente quando ele atingir 
a posição de . Nesse ponto, a força resultante será:
 UNIUBE 5
portanto a aceleração do corpo será: 
Novamente o corpo será acelerado para a posição de equilíbrio. Note 
que na ausência de atrito esse movimento continuaria acontecendo 
indefinidamente:	a	mola	esticaria	até	a	posição	 , na sequência a 
massa retornaria à posição de equilíbrio com velocidade e comprimiria 
a mola até a posição , novamente a massa retornaria à posição 
de equilíbrio com velocidade e a mola seria esticada novamente até a 
posição . 
Ao partir da posição , movimentar-se até e retornar 
à posição , dizemos que o sistema massa-mola realiza uma 
oscilação completa, ou um ciclo completo. Como dito anteriormente, 
devido à ausência da força de atrito, o movimento permaneceria inalterado 
indefinidamente.	Nessas	situações,	denominamos	o	movimento	realizado	
movimento periódico. 
Quando falamosde movimentos oscilatórios, podemos associar algumas 
grandezas físicas importantes, que são:
• Período (T): tempo necessário para realização de uma oscilação 
completa. A unidade do período no Sistema Internacional (SI) é o 
segundo (s).
• Frequência (f): número de oscilações que ocorrem por unidade de 
tempo. A unidade de frequência no SI é o hertz (Hz), que representa 
o número de oscilações que ocorrem por segundo.
6 UNIUBE
Note	pela	definição	que	existe	um	relação	entre	o	período	e	a	frequência,	
de modo que o período representa o inverso da frequência, ou seja,
Vale destacar ainda que, em um movimento periódico, o período e a 
frequência permanecem inalterados ao longo do tempo.
Vamos aplicar o que vimos até agora? Resolva a atividade a seguir. 
Atividade 1
Suponha um sistema massa-mola que é deslocado inicialmente 0,8m 
de sua posição de equilíbrio. Sendo sua velocidade inicial igual a zero e 
considerando que após 0,4s ele passa pela primeira vez pela sua posição 
de equilíbrio, calcule: 
a) a amplitude, 
b) o período e 
c) a frequência do movimento realizado pelo sistema. Despreze as forças 
 de atrito.
Agora	confira	sua	resposta.
Veja se você acertou:
Atividade 1
As condições iniciais fornecidas no enunciado nos dizem que a posição 
inicial da partícula é e que a velocidade inicial é igual a zero. Assim, 
temos que:
a) A amplitude de movimento está relacionada com a máxima deformação 
da mola. Esse valor é obtido quando a velocidade da partícula é zero. 
Assim, a amplitude A do movimento será ..
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 7
O Movimento Harmônico Simples (MHS)1.2
Na seção anterior, vimos que um movimento oscilatório é causado 
por uma força restauradora que obriga o sistema a retornar para a 
sua posição de equilíbrio. Além disso, exploramos o comportamento 
de um sistema massa-mola na ausência de forças de resistência. 
Além de ser conhecido por apresentar um movimento periódico, 
o sistema massa-mola descreve um movimento conhecido como 
Movimento Harmônico Simples (MHS).
“A condição necessária para que o movimento de um sistema seja 
classificado	 como	 movimento	 harmônico	 simples	 é	 que	 a	 força	
resultante seja proporcional e oposta ao deslocamento, a partir da 
posição de equilíbrio.” (TIPLER; MOSCA, 2009, p. 466).
Vimos que, em um sistema massa-mola, a força resultante que 
atua sobre o corpo é igual à força elástica, portanto
b) O período do movimento está relacionado com o tempo de uma oscilação 
completa. Para o problema proposto, teremos uma oscilação completa 
quando a partícula passar pela posição de equilíbrio, deformar a mola 
0,8m no sentido oposto, passar novamente pela posição de equilíbrio e 
retornar à posição do início do movimento. Como o sistema demora 0,4s 
para passar pela primeira vez pela posição de equilíbrio, ele levará 4 
vezes esse tempo para retornar à posição inicial. Assim, 
c) Para determinar a frequência, temos que ela é o inverso do período, 
portanto
8 UNIUBE
O sinal de menos na expressão da aceleração reforça que a aceleração 
atua no sentido contrário ao movimento. Outra observação importante a 
ser feita aqui é que a aceleração que atua sobre o corpo não é constante, 
portanto não podemos aplicar as equações da Cinemática do Movimento 
Uniformemente Variado (MUV) para descrever a trajetória dessa partícula.
Assim, como podemos então descrever o movimento de uma 
partícula que realiza um Movimento Harmônico Simples?
1.2.1 Funções horárias do MHS
Uma alternativa formal para descrever o Movimento Harmônico Simples é 
por meio da resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda 
ordem. Como a aceleração de um corpo pode ser descrita pela derivada 
de segunda ordem da posição em função do tempo, a aceleração em um 
sistema massa-mola é expressa como
ou ainda,
com . Essa equação é	classificada	como	equação linear 
homogênea de segunda ordem com coeficiente constante. Esse é 
o tipo de equação mais importante em Física Matemática e sua solução 
geral é formada pela combinação linear de duas soluções linearmente 
independentes, ou seja, x1(t) e x2(t) são soluções da equação diferencial 
e a solução geral é dada pela expressão .
 UNIUBE 9
Ao olharmos para expressão da equação diferencial, ela nos diz que a 
segunda derivada de uma função é igual ao negativo de uma constante 
multiplicada por essa mesma função. As funções seno e cosseno são 
duas funções que, ao derivarmos duas vezes, encontramos a própria 
função com o sinal negativo. No caso do sistema massa-mola, temos 
que duas possíveis soluções x1(t) e x2(t) podem ser expressas da forma:
em que as diferenças de fase e diferem entre si em π/2. Podemos, 
portanto, escrever a solução geral do problema como
em que as diferenças de fase estão sendo consideradas nas constantes 
A e B. Note que a solução geral engloba todas as soluções possíveis para 
o problema proposto. Além disso, observe que as possíveis soluções são 
funções periódicas, portanto esse é o comportamento do corpo também. 
Por simplicidade podemos utilizar apenas como 
solução para descrever o comportamento do sistema massa-mola. 
As constantes e são obtidas por meio das condições iniciais do 
problema estudado.
“Uma outra forma de se obter a solução para o Movimento Harmônico 
Simples é através da sua semelhança com o movimento circular uniforme.” 
(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p. 37). Para isso, podemos pensar em um 
aparato experimental que consiste numa esfera presa na extremidade 
de	um	disco	de	raio	A	que	gira	com	velocidade	angular	constante	ω,	
iluminada por um feixe de luz e tendo a sombra da esfera projetada sobre 
uma tela.Esse aparato está representado na Figura 3 a seguir.
10 UNIUBE
Figura 3 – Aparato experimental
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por meio desse aparato, podemos observar que enquanto a esfera 
percorre uma circunferência de raio A, sua sombra projetada na tela 
oscila entre pontos equidistantes ao centro de uma reta com comprimento 
2A. Se colocarmos um sistema massa-mola para oscilar paralelamente 
à direção da sombra com mesma frequência e amplitude de movimento 
do disco, observaremos que os movimentos da sombra e o do sistema 
massa-mola serão idênticos. Analise a Figura 4. Ela é a representação 
do sistema massa-mola oscilando paralelamente à direção da projeção 
da sombra da esfera que realiza o movimento circular. Como dissemos, 
a frequência e a amplitude de movimento são iguais nos dois sistemas: 
Figura 4 – Sistema massa-mola oscilando
Fonte: Elaborada pelo autor.
 UNIUBE 11
Desse modo, “o movimento harmônico simples é a projeção de um 
movimento circular uniforme sobre o diâmetro de um círculo.” (YOUNG; 
FREEDMAN, 2009, p. 37). A partir dessa conclusão, podemos utilizar o 
conceito de fasor para determinar a aceleração da sombra e determinar 
a função horária do Movimento Harmônico Simples. 
Para compreender o conceito de fasor e determinar a função horária do 
Movimento Harmônico Simples, vamor considerar o movimento circular 
da esfera e utilizar um eixo de coordenadas xy no plano da circunferência 
descrita pela esfera. Veja essa situação na Figura 5 a seguir, que é a 
representação por meio de fasor do movimento de uma esfera em um 
disco	de	raio	A	que	se	movimenta	com	velocidade	angular	ω	constante..	
Figura 5 – Fasor do movimento
Fonte: Elaborada pelo autor.
A descrição do movimento da esfera em relação ao centro da 
circunferência pode ser obitda por meio de um vetor . Esse vetor girante 
que acompanha o movimento da esfera é denominado fasor. Perceba 
que o movimento da sombra no anteparo coincide com a projeção do 
fasor no eixo x. Como a circunferência possui raio igual a A, o módulo 
do fasor também é A. Desse modo, a projeção do fasor no eixo x em um 
instante t qualquer é dada por 
em	que	θ	é	o	ângulo	entre	o	fasor	e	o	eixo	x.
12 UNIUBE
Em um movimento circular uniforme, o módulo da velocidade linear é 
constante e a única aceleração presente é a aceleração centrípeta . 
Essas grandezas se relacionamcom a velocidade angular ω	por	meio	
das expressões:
Note, pela Figura 6, que tanto a velocidade linear (6a) como a aceleração 
centrípeta (6b) podem ser projetadas no eixo x, de modo que essas 
projeções representam respectivamente a velocidade e a aceleração do 
movimento da sombra da esfera.
Figura 6 – Representação da projeção da (a) velocidade linear e da (b) aceleração centrípeta
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim sendo, a Figura 6 é a representação da projeção no eixo x da (a) 
velocidade linear e da (b) aceleração centrípeta do movimento de uma 
esfera em um disco de raio A que se movimenta com velocidade angular 
ω	constante.
Desse modo, podemos descrever o movimento da sombra da esfera 
pelas grandezas posição, velocidade e aceleração em um instante 
qualquer como:
 UNIUBE 13
Observe que a aceleração pode ser escrita como:
que é análoga à equação do sistema massa-mola. Dessa forma, 
conseguimos mostrar que o Movimento Harmônico Simples é a projeção 
de um movimento circular uniforme sobre o diâmetro de um círculo, como 
dito anteriormente. Assim, a função horária do Movimento Harmônico 
Simples é dada pela expressão:
em que e . 
A velocidade e a aceleração para esse tipo de movimento são 
respectivamente:
O termo é conhecido como frequência angular para o Movi-
mento Harmônico Simples e é denominada constante de fase, 
que é determinada pelas condições iniciais do problema. Além dis-
so, a frequência e o período de oscilação do sistema massa-mola 
são dados respectivamente por:
14 UNIUBE
e dependem apenas da massa do corpo e da constante elástica da mola, 
independentemente da amplitude A do movimento. O fato de o período 
independer da amplitude de oscilação é uma importante característica 
do Movimento Harmônico Simples.
Atividade 2
Considere um sistema que realiza um Movimento Harmônico Simples com 
amplitude e período de oscilação . No instante a 
partícula se encontra na posição . Sendo assim, determine a função 
horária desse sistema.
Agora	confira	sua	resposta.
Atividade 2
A função horária de um Movimento Harmônico Simples é dada 
pela expressão . Pelo enunciado do problema, temos 
a amplitude e o período . Assim, para determinarmos 
a função horária do problema proposto, devemos encontrar e . A 
frequência angular pode ser obtida pela expressão:
Já para determinarmos o valor da constante de fase , devemos utilizar as 
condições iniciais fornecidas pelo enunciado do problema. Assim,
Desse modo, a função horária do problema proposto é
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 15
Continue exercitando. Resolva por si mesmo(a) e só então cheque sua 
resposta. 
Atividade 3
Um bloco de massa 0,5kg está conectado a uma mola e oscila em MHS 
com amplitude . A constante elástica da mola vale 250N/m. 
Determine a frequência angular, a frequência e o período de oscilação 
desse sistema. 
Atividade 3
Os dados fornecidos pelo enunciado do problema são: , 
 e . Assim, temos que:
AGORA É A SUA VEZ
1.2.2 Análise gráfica do MHS
Na seção anterior, pudemos determinar as funções horárias que 
descrevem o Movimento Harmônico Simples. Essas podem ser expressas 
por	meio	de	gráficos	e,	através	deles,	podemos	obter	 informações	
importantes para compreender o movimento estudado.
Ao olharmos para a equação da posição em função do tempo,
16 UNIUBE
temos que a posição do corpo oscila entre o valor máximo e mínimo 
. A oscilação entre esses valores ocorre por meio de uma função do 
tipo	cosseno.	Assim,	o	gráfico	da	posição	da	partícula	no	MHS	em	função	
do tempo pode ser observado na Figura 7.
Figura 7	–	Gráfico	da	posição	em	função	do	tempo	para	o	movimento	harmônico	
simples
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que o movimento é restrito entre e e que uma oscilação 
completa denota o período do movimento. Além disso, para o caso 
representado, a constante de fase , uma vez que .
Podemos	ainda	fazer	o	gráfico	da	velocidade	e	da	aceleração	em	função	
do tempo para analisar o Movimento Harmônico Simples. Observe na 
Figura 8 que, quando a partícula se encontra nas posições de amplitude 
máxima, a velocidade da partícula é zero e a aceleração que atua sobre 
ela é máxima no sentido contrário ao deslocamento. 
 UNIUBE 17
Figura 8	–	Gráfico	da	velocidade	(a)	e	aceleração	(b)	em	função	do	tempo	
para o Movimento Harmônico Simples.As linhas tracejadas representam a 
posição da partícula em função do tempo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Já quando a amplitude de movimento da partícula é zero, sua velocidade 
é máxima e a aceleração que atua sobre ela é nula.
1.2.3 Cálculo da energia em um sistema massa-mola
Considerando ainda o sistema massa-mola, podemos inferir sobre a 
energia do Movimento Harmônico Simples. 
Durante as nossas análises do sistema massa-mola, desprezamos todo 
tipo de forças de atrito ou resistência e vimos que a força resultante que 
18 UNIUBE
atua no sistema é a força elástica. Nesse sentido, o sistema massa-mola 
é um sistema conservativo, portanto sua energia mecânica total é 
conservada.
As energias cinética e potencial do sistema massa-mola são dadas pelas 
expressões:
 
Portanto a energia total do sistema é escrita por:
Substituindo a velocidade e a posição por suas respectivas funções 
horárias, temos que:
Sendo e colocando os termos em comum em evidência:
Note que quanto maior a amplitude de movimento, maior será a energia 
mecânica	total	do	sistema.	Além	disso,	podemos	montar	um	gráfico	
de energia em função da posição da partícula (Figura 9) e analisar as 
transformações entre as energias cinética e potencial.
 UNIUBE 19
Figura 9	–	Gráfico	das	energias	total	(linha	contínua),	cinética	(linha	tracejada)	e	
potencial (linha pontilhada) em função da posição de uma partícula do sistema 
massa-mola 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando o sistema atinge sua amplitude máxima, a energia potencial é 
máxima e a energia cinética é nula. Conforme a deformação da mola 
diminui, a energia potencial diminui e a energia cinética aumenta até 
atingir seu máximo quando a deformação é nula. Na sequência, o sistema 
diminui sua velocidade e consequentemente sua energia cinética também 
diminui, enquanto isso a energia potencial aumenta até atingir seu valor 
máximo quando a velocidade é nula.
Atividade 4
Considere um sistema massa-mola que executa um Movimento Harmônico 
Simples. Ao passar pela posição de equilíbrio, a velocidade da partícula é 
2m/s. Sendo a massa da partícula igual a 0,250kg e a constante de mola igual 
a 150N/m, determine a amplitude máxima do movimento desse sistema.
AGORA É A SUA VEZ
Agora, cheque se você acertou:
20 UNIUBE
Atividade 4
Na posição de equilíbrio, o sistema apresenta apenas energia cinética. 
Assim,
Atividade 5
Um alto-falante vibra com frequência de 800Hz e a amplitude do movimento 
é 0,2mm. Considerando que esse alto-falante execute um Movimento 
Harmônico Simples, determine a velocidade máxima atingida por ele durante 
alto-falante durante a execução do seu movimento.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 5
A velocidade máxima será atingida quando toda energia mecânica 
do sistema estiver na forma de energia cinética, ou seja, o sistema deve estar 
na sua posição de equilíbrio. Assim,
 UNIUBE 21
Conclusão1.3
Compreender os movimentos oscilatórios é de fundamental importância 
na Física, uma vez que diversos sistemas ao nosso redor apresentam 
esse tipo de comportamento. Essa compreensão é obtida por meio 
da descrição do movimento e de grandezas físicas como período e 
frequência de oscilação. Neste capítulo abordamos um tipo particular 
de sistema oscilatório, o sistema massa-mola, e por meio dele podemos 
estudar o Movimento Harmônico Simples. No próximo capítulo, estudaremos 
outros casos de movimento oscilatório e suas respectivas características.
Resumo
Neste capítulo, iniciamos nossos estudos sobre oscilações. Discutimos 
sobre as causas do movimento oscilatório e o Movimento Harmônico 
Simples. Em particular, exploramos o movimento do sistemamassa-mola. 
Entre os tópicos discutidos, podemos destacar os seguintes pontos:
• Movimento oscilatório: movimento que se repete ao longo do 
tempo.
• Força restauradora: força que obriga o sistema a retornar à sua 
posição de equilíbrio.
• Período (T): tempo necessário para uma oscilação completa.
• Frequência (f): número de oscilações que ocorrem por unidade de 
tempo.
• Movimento periódico: o período de oscilação é inalterado ao longo 
do tempo.
• Movimento Harmônico Simples (MHS): movimento no qual a 
força resultante é proporcional e oposta ao deslocamento, a partir 
da posição de equilíbrio.
22 UNIUBE
• Equações do sistema massa-mola: 
em que .
Referências
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 12 ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: fluidos,	oscilações	e	ondas,	calor.	 
4 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002.
TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Sears &Zemansky física II: termodinâmica 
e ondas.12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
Introdução
Oscilações – parte 2Capítulo
2
Olá, caro(a) aluno(a). Prazer tê-lo(a) novamente conosco agora 
no segundo capítulo de nosso livro. 
No capítulo anterior, demos início aos nossos estudos sobre 
oscilações por meio de um sistema massa-mola e discutimos sobre 
o Movimento Harmônico Simples (MHS). Você pode perguntar: 
Existem outros sistemas que também possuem as mesmas 
características de um MHS? 
Sim. Entre eles, podemos destacar o pêndulo simples e o 
pêndulo físico.
Outro tópico importante quando falamos de oscilações diz respeito 
às oscilações amortecidas, sistemas nos quais atuam forças 
de resistência e que apresentam comportamento próximo ao de 
sistemas reais.
Assim, durante este capítulo, iremos inicialmente descrever 
o movimento de um pêndulo simples e um pêndulo físico, 
destacando as características do Movimento Harmônico Simples. 
Na sequência, discutiremos para um sistema massa-mola as 
oscilações	do	tipo	amortecida	e	forçada.	Por	fim,	analisaremos	o	
fenômeno da ressonância.
24 UNIUBE
Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	você	seja	capaz	de:
• descrever o movimento de um pêndulo simples e de um 
pêndulo físico;
• discutir sobre oscilações amortecidas e forçadas;
• analisar o fenômeno da ressonância.
Objetivos
2.1 O pêndulo simples
2.2 O pêndulo físico
2.3 Oscilações amortecidas
2.3.1 Movimento subamortecido
2.3.2 Movimento criticamente amortecido
2.3.3 Movimento sobreamortecido
2.3.4 Energia para oscilções amortecidas
2.4 Oscilações forçadas
2.5 Conclusão
Esquema
O pêndulo simples2.1
O pêndulo simples	é	um	sistema	ideal	formado	por	um	fio	inextensível	
de	comprimento	L	e	massa	desprezível,	que	possui	uma	extremidade	fixa	
e na outra extremidade uma partícula puntiforme de massa m (Figura 1). 
Figura 1–Representação de um pêndulo simples
Fonte: Elaborada pelo autor.
 UNIUBE 25
Esse tipo de sistema, ao sofrer um deslocamento lateral, retorna à 
sua posição de equilíbrio e pode representar “diversas situações que 
acontecem em nosso dia a dia: uma criança brincando em um balanço, 
um relógio cuco ou o movimento de um sino, por exemplo.” (YOUNG; 
FREEDMAN, 2009, p.49).
Para descrever o movimento descrito por um pêndulo simples, vamos 
deslocar a partícula de sua posição de equilíbrio ( ) e colocar 
as forças que atuam sobre ela (volte à Figura 1). Note que podemos 
decompor a força-peso P que atua sobre a partícula em duas componentes: 
Px e Py. A componente Py possui a mesma direção e sentido contrário 
da força de tração T, de modo que, aplicando a segunda lei de Newton, 
temos:
Assim, a componente Px da força-peso é responsável pelo movimento da 
partícula. Aplicando novamente a segunda lei de Newton, temos:
Note que a aceleração da partícula depende de , fato que traz 
não linearidade ao seu movimento. Entretanto, podemos fazer uma 
aproximação do movimento para ângulos pequenos, de modo que 
, portanto 
26 UNIUBE
Sendo , podemos escrever a aceleração de um pêndulo simples 
como:
,
em que . A expressão encontrada é semelhante à de um sistema 
massa-mola e a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento. 
Desse modo, temos que o pêndulo simples, para pequenas oscilações, 
comporta-se por meio de um Movimento Harmônico Simples.
A frequência e o período de oscilação para o movimento de um pêndulo 
simples nessas condições são encontrados pelas expressões 
Observe ainda que a “frequência e o período independem da amplitude 
de movimento (para aproximação de pequenas amplitudes), característica 
também encontrada para o sistema massa-mola e própria do Movimento 
Harmônico Simples.”(TIPLER; MOSCA, 2009, p. 478). Essa característica 
pode ainda ser utilizada para determinar o valor da gravidade em locais 
como o subsolo da Terra, que sofre variações devido à diversidade das 
formações rochosas que existem (HEWITT, 2015, p. 358).
Para situações em que não podemos aproximar , a frequência 
e o período de oscilção de um pêndulo simples passam a depender da 
amplitude de movimento e o sistema deixa de apresentar um Movimento 
Harmônico Simples. Nesses casos, por meio de expansão em série, podemos 
mostrar que o período é dado por:(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.50):
 UNIUBE 27
Atividade 1
Uma turma do curso de Física foi ao laboratório realizar um experimento 
sobre oscilações. Para isso, utilizaram um pêndulo simples e encontraram 
para movimentos de pequenas oscilações que o período de oscilação era 
por	volta	de	1,2s.	Considerando	que	o	comprimento	do	fio	utilizado	possuía	
35cm, determine a aceleração da gravidade encontrada pelos alunos.
AGORA É A SUA VEZ
O pêndulo físico2.2
Diferentemente de um pêndulo simples, o pêndulo físico representa “um 
pêndulo	real	e	constitui	um	único	corpo	com	volume	finito	que	oscila	em	
torno de um ponto sobre um eixo de referência.” (TIPLER; MOSCA, 2009, 
p. 480). Para que um corpo rígido rotacione, é necessário que o torque 
resultante seja diferente de zero. Na Figura 2, temos representado um 
pêndulo físico e as forças que atuam sobre ele.
Atividade 1
Para determinar a aceleração da gravidade encontrada pela 
turma de alunos, devemos utilizar a expressão para o período de um 
pêndulo simples e substituir os valores fornecidos pelo enunciado e 
. Assim,
28 UNIUBE
Figura 2 –Representação de um pêndulo físico
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que, ao ser deslocado da sua posição de equilíbrio, a componente 
Px da força peso P é responsável por fazê-lo retornar à sua posição de 
equilíbrio. Assim, pela segunda lei de Newton para a rotação, temos:
em que é o momento de inércia do corpo rígido que representa o 
pêndulo físico e é a distância do centro de massa desse corpo até 
o eixo de rotação. A partir da equação acima, podemos determinar a 
aceleração angular do sistema:
Novamente, encontramos que a aceleração (nesse caso angular) 
do sistema depende de , fato que traz não linearidade ao seu 
movimento. Entretanto, podemos fazer uma aproximação do movimento 
para ângulos pequenos, de modo que , portanto:
 UNIUBE 29
em que .
Observe que novamente temos uma equação semelhante a de um 
sistema massa-mola, em que a aceleração é proporcional e oposta ao 
deslocamento (nesse caso estamos falando de quantidades angulares). 
Desse modo, para pequenos ângulos, o pêndulo físico também apresenta 
Movimento Harmônico Simples.
A frequência e o período de oscilação para esse sistema são expressos 
pelas equações:
e novamente temos que essas grandezas independem da amplitude 
de movimento. “A determinação dessas quantidades é importante 
experimentalmente, uma vez que permite, por exemplo, determinar o 
momento de inércia de um corpo”. (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.51)
Atividade 2
Um pêndulo físico com massa oscila com frequência de 0.4Hz. 
Considere e determine a relação entre a distância entre o 
eixo de rotação e o centro demassa do pêndulo físico e o seu momento de 
inércia . 
AGORA É A SUA VEZ
30 UNIUBE
Oscilações amortecidas2.3
Até aqui, sempre quando descrevemos os movimentos oscilatórios, 
desprezamos as forças dissipativas. Para essas situações, a energia do 
sistema	era	conservada	e	o	sistema	oscilava	indefinidamente.	Entretanto,	
em sistemas reais, temos a ação de forças de atrito ou resistência que 
atuam de modo a fazer o sistema parar de oscilar. Assim, iremos ao longo 
desta seção estudar as oscilações amortecidas.
Considere um sistema massa-mola que sofra a ação de uma força de 
resistência que seja proporcional à velocidade, . Observe na 
Figura 3 que a força de resistência é sempre oposta à velocidade.
Figura 3 – Representação do movimento descrito por um sistema massa-mola 
sob	a	influência	de	uma	força	dissipativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Atividade 2
Pelos dados fornecidos, temos que , e . Assim,
 UNIUBE 31
Assim, para a situação descrita na Figura 3 e aplicando a segunda lei de 
Newton, temos que:
em que é chamado de parâmetro de amortecimento e .
Para resolvermos essa equação diferencial linear e homogênea de 
segunda ordem, devemos recorrer a uma equação chamada de equação 
característica, que é expressa como:
Observe que a equação característica transformou uma equação 
diferencial de segunda ordem em uma equação algébrica de segunda 
ordem, que possui simples resolução (fórmula de Bhaskara). As raízes 
da equação característica são:
Uma vez obtidas as raízes da equação característica, podemos escrever 
a solução geral da equação diferencial de segunda ordem como:
32 UNIUBE
Assim, para o sistema estudado, teremos que a solução geral será dada 
por:
Basicamente, quando estudamos oscilações amortecidas, temos três 
casos distintos:
1) Subamortecimento: 
2) Amortecimento crítico: 
3) Sobreamortecimento: 
e abordarmos cada caso individualmente a seguir.
2.3.1 Movimento subamortecido
Convém	definirmos	para	o	caso	do	movimento subamortecido uma 
frequência angular , conhecida como frequência angular do oscilador 
amortecido e expressa por:
Para esse caso, temos que , portanto . Como a solução 
geral encontrada nesta seção possui o termo , no caso 
subamortecido teremos o aparecimento de termos imaginários . Assim, 
a solução geral para o caso subamortecido pode ser escrita como:
Pela fórmula de Euler, temos que e podemos 
reescrever a solução geral do movimento como:
 UNIUBE 33
em que as constantes do movimento obtidas pelas condições iniciais 
do problema são a amplitude inicial A e a diferença de fase δ. Observe 
que a solução obtida é composta pelo produto de dois termos: e
. O primeiro deles é responsável por modular a amplitude 
do movimento, fazendo com que ela decaia exponencialmente com o 
tempo, algo esperado, pois o sistema perde energia ao longo do tempo 
devido à força de atrito. Já o segundo está relacionado com o movimento 
oscilatório da partícula. Na Figura 4, podemos observar o comportamento 
desse tipo de movimento em comparação com o movimento de um 
oscilador harmônico simples.
Figura 4 –	Gráfico	da	posição	em	função	do	tempo	do	movimento	
subamortecido
Fonte: Elaborada pelo autor.
2.3.2 Movimento criticamente amortecido
O movimento criticamente amortecimento ocorre quando . 
Nesse caso, as raízes da equação característica são iguais e a solução 
geral é escrita da forma:
Observe que essa solução não apresenta uma função periódica do 
tipo seno ou cosseno. Assim, o movimento criticamente amortecido não 
apresenta comportamento oscilatório e decai monotonicamente até a 
posição de equilíbrio. Esse tipo de amortecimento ocorre em sistemas como 
ponteiros de medidores e molas pneumáticas ou hidráulicas de portas.
34 UNIUBE
Figura 5 – Gráfico	da	posição	em	função	do	tempo	do	movimento	
criticamente amortecido
Fonte: Elaborada pelo autor.
Atividade 3
A frequência angular natural de um sistema é e sua massa é 
0,25kg. Considere uma situação com amortecimento na qual o sistema 
retorna o mais rapidamente à sua posição de equilíbrio. Determine a 
constante da força de resistência aplicada sobre o sistema.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 3
O sistema retorna mais rapidamente à sua posição de equilíbrio 
na situação de amortecimento crítico. Nesse caso, temos que:
 UNIUBE 35
2.3.3 Movimento sobreamortecido
Por	fim,	no	movimento	sobreamortecido, temos que o parâmetro de 
amortecimento é maior que a frequência natural de oscilação ( . 
Neste caso, não temos termos imaginários e a solução é formada apenas 
por termos que decaem exponencialmente com o tempo. Podemos então 
escrever a solução geral deste movimento por meio da equação:
em que . Note que, nesse caso, o termo não 
está relacionado com uma frequência, pois na solução não temos 
funções periódicas. Assim como no caso do movimento criticamente 
amortecido, o oscilador não apresentará um movimento oscilatório e 
o sistema irá lentamente retornar à posição de equilíbrio. Observe na 
Figura 6 o movimento do oscilador em função do tempo para o caso 
sobreamortecido.
Figura 6	–	Gráfico	da	posição	em	função	do	tempo	do	movimento	
sobreamortecido
Fonte: Elaborada pelo autor.
2.3.4 Energia para oscilações amortecidas
Devido à presença das forças dissipativas, “a energia para oscilações 
amortecidas não é conservada ao longo do tempo. Podemos então 
deduzir uma expressão que representa essa variação de energia em 
36 UNIUBE
função do tempo.” (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.54). A energia total 
inicial para um sistema massa-mola é expressa por:
Ao derivarmos a expressão acima em relação ao tempo, temos que
Assim, a taxa com que a energia diminui em relação ao tempo é 
proporcional ao quadrado da velocidade do sistema.
Atividade 4
Um oscilador amortecido de constante elástica oscila inicialmente com 
amplitude máxima de oscilação . Após 4 oscilações completas, a nova 
amplitude é 1/4 da amplitude incial. Calcule a porcentagem de energia 
perdida depois das 4 oscilações completas.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 4
Energia inicial do sistema é:
Depois de 4 oscilações completas, a nova amplitude é , portanto a 
energia será:
 UNIUBE 37
A energia perdida nesse caso será . 
Portanto a porcentagem da energia perdida foi 93,75%.
Oscilações forçadas2.4
Por	fim,	vamos	considerar	o	caso	de	oscilações	que,	além	de	sofrerem	a	
ação de forças dissipativas, sofrem a ação de uma força externa. Vamos 
considerar aqui a ação de uma força que varia cossenoidalmente em 
função do tempo. Assim, podemos escrever a equação de movimento 
para esse sistema como:
em que: , e 
Esse tipo de sistema apresenta dois comportamentos: o primeiro 
representa movimentos transitórios do sistema que serão extintos 
devido ao amortecimento causado pela força de atrito. Já o segundo é 
denominado estado estacionário e descreverá o movimento do sistema 
após determinado tempo, dominado pela ação da força externa.
A partir do estado estacionário, pode-se demostrar que a amplitude 
máxima de movimento é dada por:
Note pela expressão acima que, quando a frequência de vibração da 
força aplicada coincide com a frequência natural do sistema, a amplitude 
de movimento se torna máxima. Na Figura 7, podemos observar por meio 
do	gráfico	de	 em função de o pico de amplitude que ocorre 
quando existe essa coincidência entre as frequências:
38 UNIUBE
Figura 7 –	Gráfico	da	amplitude	do	movimento	de	um	sistema	que	
sofre a ação de uma força oscilatória em função da frequência 
Fonte: Adaptado de Ressonância (2013).
Associamos esse pico de amplitude ao fenômeno da ressonância. 
Quando ocorrem em sistemas mecânicos, as altas amplitudes de 
movimento, devido a esse fenômeno, podem gerar destruição. “Esse é 
o caso de uma ponte que foi destruída devido à marcha de uma tropa 
de soldados. A frequência com que eles marchavam coincidiu com a 
frequência natural da ponte.”(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.56).
Atividade 5
Pesquise sobre o fenômeno da ressonância e escreva em, ao menos, um 
parágrafo umexperimento simples que possa ser realizado dentro de sala 
de	aula	para	verificação	desse	fenômeno.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 39
Conclusão2.5
Diversos sistemas ao nosso redor podem ser associados ao movimento 
de pêndulos. Tal fato torna importante compreender os aspectos relacionados 
a esse tipo de movimento. Além disso, é importante frisar que sistemas 
reais apresentam a ação de forças dissipativas, o que evidencia a 
necessidade de estudar as oscilações amortecidas e forçadas.
Resumo
Neste capítulo continuamos nossos estudos sobre oscilações. Discutimos 
os aspectos relacionados ao movimento do pêndulo simples e do pêndulo 
físico. Além disso, descrevemos o comportamento apresentado por 
oscilações	amortecidas	e	forçadas.	Por	fim,	analisamos	o	fenômeno	da	
ressonância. Entre os tópicos discutidos, podemos destacar os seguintes 
pontos:
• Pêndulo simples: 
Atividade 5
Nessa atividade, você deve pesquisar sobre uma forma 
simples de demonstrar o fenômeno da ressonância dentro de sala 
de aula. Um exemplo pode ser encontrado na referência HEWITT, 
2015, página 383, em que, por meio de um par de diapasões, torna-
se possível demonstrar tal fenômeno.
40 UNIUBE
• Pêndulo físico:
• Oscilações amortecidas:
• Tipos de amortecimento:
 – Subamortecimento: 
– Amortecimento crítico: 
– Sobreamortecimento: 
• Movimento subamortecido:
• Movimento criticamente amortecido:
• Movimento sobreamortecido:
 UNIUBE 41
• Oscilações forçadas:
 em que , e 
• Ressonância: fenômeno que aumenta a amplitude do movimento 
de oscilação de um sistema e ocorre quando a frequência da 
força que atua sobre ele é igual à sua frequência natural de 
oscilação.
Referências
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 12ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: fluidos,	oscilações	e	ondas,	calor.	4	 
ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002.
RESSONÂNCIA. In: WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Wikimedia, 2020. Disponível 
em: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Resson%C3%A2ncia.png. Acesso em: 
20 jul. 2020.
TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: Mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Sears &Zemansky física II: termodinâmica 
e ondas.12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
Introdução
Ondas mecânicasCapítulo
3
Prezado(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à terceira etapa de estudos 
de seu livro. 
Nos capítulos anteriores, pudemos explorar os conceitos relacionados 
às oscilações e ao Movimento Harmônico Simples (MHS). Entre 
as características estudadas, fomos capazes de descrever as 
equações de movimento para diferentes sistemas e relacionar 
grandezas, como período, frequência e amplitude de oscilação. 
A partir deste capítulo, iremos discutir sobre o movimento ondulatório 
e suas características. As ondas estão relacionadas com a forma 
como as oscilações ou perturbações se propagam em meios 
distintos. Em nosso dia a dia, deparamos constantemente com 
os fenômenos ondulatórios, como é o caso das ondas sonoras, 
luminosas, entre outras. Assim, compreender esse fenômeno é de 
fundamental importância na Física.
Por isso, durante este capítulo, iremos inicialmente destacar a 
importância	do	movimento	ondulatório	e	classificar	os	diferentes	
tipos de onda. Na sequência, começaremos a descrever aspectos 
do	movimento	das	ondas	por	meio	do	perfil	de	ondas	progressivas.	
Por	fim,	discutiremos	sobre	ondas	periódicas	e	relacionaremos	o	
comportamento desse tipo de onda com o Movimento Harmônico 
Simples.
44 UNIUBE
3.1 O movimento ondulatório
3.2 Tipos de ondas
3.3 Ondas progressivas
3.4 Ondas periódicas 
3.5 Conclusão
Esquema
Objetivos
Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	você	seja	capaz	de:
• discutir sobre a importância do movimento ondulatório;
• classificar	os	diferentes	tipos	de	onda;
• verificar	o	perfil	de	ondas	progressivas;
• relacionar ondas periódicas com o Movimento Harmônico 
Simples;
• identificar	grandezas	relacionadas	com	a	propagação	de	ondas.
O movimento ondulatório3.1
Uma das áreas de maior importância da Física é a Ondulatória. 
Diversos avanços foram possíveis graças à compreensão dos aspectos 
relacionados ao movimento de ondas, por exemplo, nas áreas de 
comunicação,	música	e	saúde.	Mas,	afinal,	o	que	seria	uma	onda?
De modo geral, “uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto 
a outro em um meio com velocidade constante.” (NUSSENZVEIG, 2002, 
p. 98). Nesse sentido a onda é responsável por transmitir informação. 
Além disso, outra característica dela é que transmite energia e movimento 
sem o transporte de matéria.
 UNIUBE 45
Uma forma de se compreender o fenômeno ondulatório é observar o 
movimento de uma onda gerada em uma corda. Para isso, imagine uma 
corda	esticada	horizontalmente	e	com	uma	de	suas	extremidades	fixa.	
Podemos gerar uma perturbação nessa corda ao sacudir para cima e 
para baixo a outra extremidade da corda. Se repetirmos esse movimento 
periodicamente, iremos observar a propagação de uma onda por meio 
dela (Figura 1). 
Figura 1 – Propagação de uma onda por meio de uma 
corda
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que, durante essa propagação, cada ponto da corda realiza um 
movimento de subida e descida, passando pela sua posição inicial. A 
perturbação realizada em uma das extremidades atinge a extremidade 
fixa,	entretanto	a	corda	permanece	no	mesmo	lugar.	Nesse	sentido,	
“houve a transmissão da perturbação sem o transporte de matéria.” 
(HEWITT, 2015, p. 360).
Outro	modo	de	verificarmos	esse	comportamento	das	ondas	é	imaginar	
um conjunto de peças de dominó que estão em pé e alinhadas. Ao derrubar 
a primeira delas, todas as outras começam a cair sucessivamente (Figura 2).
Figura 2 –Propagação de uma perturbação por 
meio	de	uma	fileira	de	dominós
Fonte: Elaborada pelo autor.
46 UNIUBE
Nesse sentido, novamente, “tivemos a transmissão de uma perturbação 
sem o transporte de matéria.”(NUSSENZVEIG, 2002, p. 98).
Por	 fim,	 podemos	 ainda	 pensar	 no	movimento	 de	 ondas	 sobre	 a	
superfície da água. “Ao deixarmos cair uma pedra sobre a superfície de 
uma lagoa, vemos que essa perturbação se espalha sobre a água, de 
modo que esse meio se movimenta e retorna para sua condição inicial 
após a passagem dessa onda.” (HEWITT, 2015, p. 360).
Tipos de ondas3.2
Basicamente,	as	ondas	podem	ser	classificadas	de	duas	formas:	com	
relação à sua natureza e de acordo com seu modo de propagação.
Com relação à sua natureza,	podem	ser	classificadas	como:
• Ondas mecânicas: são governadas pela lei de Newton e “se 
propagam apenas em meios materiais. Como exemplos, temos as 
ondas porduzidas em cordas, ondas do mar, ondas sonoras, entre 
outras.” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012, p. 117).
• Ondas eletromagnéticas: “são constituídas pelos campos elétrico 
e magnético e não precisam de um meio para se propagar. Como 
exemplos temos a luz, as ondas de rádio, as micro-ondas, entre 
outras.” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012, p. 117).
Já de acordo com seu modo de progação,	podem	ser	classificadas	
como:
• Ondas transversais: Para esse tipo de onda, o movimento da 
perturbação é perpendicular ao movimento de propagação da onda. 
Esse é o caso do “movimento de uma onda produzida em uma corda, 
em que a onda se propaga horizontalmente e a perturbação gerada 
 UNIUBE 47
 faz os pontos da corda se movimentarem na vertical, para cima e 
para baixo”, (como representado na Figura 1). (NUSSENZVEIG, 
2002, p. 98). As ondas produzidas em uma corda e as ondas 
eletromagnéticas são exemplos de ondas transversais.
• Ondas longitudinais: Para esse tipo de onda, o movimento da 
perturbação é paralelo ao movimento de propagação da onda. 
Podemos pensar, por exemplo, em uma mola que, ao ser comprimida 
em uma das suas extremidades, retorna à sua posição de equilíbrio 
de modo que a compressão se propaga ao longo da mola (Figura 3).
Figura 3 – Propagação de uma onda por meio de uma molaFonte: Elaborada pelo autor.
Além das ondas de compressão em uma mola, as sonoras também são 
exemplos de ondas longitudinais.
Atividade 1
Pesquise sobre as ondas sísmicas que se propagam no interior da Terra. 
Esse	tipo	de	onda	é	classificada	como	onda	transversal	ou	longitudinal?
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 1
As ondas sísmicas são compostas por ondas de compressão, que 
são longitudinais, e ondas associadas a tensões tangenciais (conhecidas também 
como cisalhamento), que são ondas transversais.
48 UNIUBE
Ondas progressivas3.3
“Uma onda é denominada progressiva quando a perturbação se desloca 
como um todo com velocidade para um determinada posição, sem 
mudar de forma.”(NUSSENZVEIG, 2002, p. 99). 
Para descrever o movimento de uma onda progressiva, vamos considerar 
um	perfil	de	onda	transversal	que	se	propaga	em	uma	corda	no	plano	
cartesiano xy, como representado pela Figura 4. 
Figura 4	–	Representação	do	perfil	de	onda	no	plano	xy
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note	que	esse	perfil,	em	um	determinado	instante	 , pode ser descrito 
por uma função . 
Observe	que	o	movimento	desse	perfil	de	onda	pode	ser	descrito	por	
meio de um referencial x´y´ que se desloca com velocidade em relação 
ao referencial xy, (Figura 5). 
Figura 5	–	Representação	do	perfil	de	onda	no	plano	x´y´
Fonte: Elaborada pelo autor.
 UNIUBE 49
Note	que	o	perfil	de	onda	nesse	referêncial	permanece	o	mesmo,	de	
modo que 
portanto torna-se dependente apenas de x´.
Como o referencial x´y´se desloca com velocidade constante em relação 
ao referencial xy, podemos relacioná-los por meio de uma transformação 
de Galileu,
Assim,	podemos	então	descrever	o	perfil	da	onda	no	referencial	xy	como:
e representar, dessa forma, o movimento de uma onda progressiva que 
se propaga para a direita com velocidade v.
Importante	frisar	que	o	perfil	descrito	pela	onda	é	dependente	de	x	e	t	por	
meio de x´, ou seja, depende de .
De modo análogo, podemos demonstrar que uma onda progressiva que 
se	propaga	para	a	esquerda	com	velocidade	v	tem	seu	perfil	descrito	em	
determinado instante de tempo como:
Geralmente, as ondas progressivas movimentam-se simultaneamente 
tanto	para	a	esquerda	como	para	a	direita,	de	modo	que	o	perfil	de	onda	
é dado pela função: 
50 UNIUBE
Ondas periódicas3.4
Um tipo particular de onda é denominada onda periódica. A fonte para 
desse tipo de onda oscila periodicamente. Em particular, se essa fonte 
executa um Movimento Harmônico Simples (MHS), a onda pode ser 
descrita	por	meio	de	uma	função	seno	ou	cosseno.	Assim,	o	perfil	de	
onda pode ser escrito como
e, consequentemente,
Comparando a expressão acima com a solução de um Movimento 
Harmônico Simples, , temos que a frequência 
angular do movimento em um determinado ponto é dado por
portanto
,
em que é chamado de amplitude da onda, é denominado 
fase da onda e é uma constante de fase determinada pelas condições 
iniciais do sistema. Essa equação é denominada função de onda e 
representa o deslocamento de um elemento da onda posicionado na 
posição em um determinado tempo .
Assim, para ondas descritas por essa expressão, temos que “cada 
partícula do meio executa um Movimento Harmônico Simples com a 
mesma frequência.”(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.238).
 UNIUBE 51
Atividade 2
Sendo a função de onda de uma onda harmônica dada pela expressão 
,
a	partir	da	definição	dada	para	o	Movimento	Harmônico	Simples,	mostre	que	
cada elemento da onda executa um MHS.
Atividade 2
A condição para Movimento Harmônico Simples é que a força 
resultante e, consequentemente, a aceleração resultante sejam 
proporcionais e opostas ao deslocamento, a partir da posição de equilíbrio. 
Assim, a partir da função de onda, temos que: 
Portanto, em cada elemento da corda, atua uma força resultante que produz 
uma aceleração proporcional e oposta ao deslocamento, a partir da posição 
de equilíbrio.
AGORA É A SUA VEZ
A representação de uma onda periódica pode ser vista na Figura 6:
Figura 6 – Representação de uma onda periódica e as grandezas 
físicas associadas a ela
Fonte: Elaborada pelo autor.
52 UNIUBE
Note	que	o	perfil	de	onda	se	repete	pelo	meio	no	qual	ela	se	propaga.	
Podemos	então	definir	algumas	grandezas	relacionadas	a	uma	onda,	como	
amplitude, comprimento de onda, número de onda, frequência e período.
A amplitude da onda está relacionada com o módulo do máximo 
deslocamento em relação à posição de equilíbrio sofrido pelos elementos do 
meio no qual a onda se propaga. Os pontos em que são chamados 
de cristas e os pontos em que são chamados de vale.
O comprimento de onda “está relacionado com a distância paralela 
à direção de propagação da onda entre repetições da mesma forma de 
onda.”(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012, p. 117). Uma forma fácil 
de identificar	o	comprimento	de	onda	é	determinar	a	distância	entre	duas	
cristas ou dois vales consecutivos.
Retornando	à	equação	do	perfil	de	onda,	 , temos 
que o parâmetro é denominado número de onda e está relacionado 
com o comprimento de onda pela expressão:
Além	disso,	podemos	definir	o	período de uma onda como o tempo 
que um elemento do meio no qual a onda se propaga realiza uma 
oscilação completa. Consequentemente, podemos associar a frequência 
de uma onda com o número de repetições que ocorrem por unidade de 
tempo. Desse modo, podemos relacionar período e frequência por meio 
da relação:
Note	que	associamos	as	definições	apresentadas	anteriormente	com	os	
movimentos do meio no qual a onda se propaga, como os pontos de uma 
corda por exemplo. Entretanto, por meio do comprimento de onda e do 
período de oscilação, podemos determinar a velocidade de propagação 
de uma onda.
 UNIUBE 53
Atividade 3
Ao observar as ondas que se propagam na superfície da água, um observador 
nota que para um ponto se deslocar da posição de equilíbrio até a amplitude 
máxima demora 0,5s. Considerando que a onda observada seja harmônica, 
determine o período e a frequência desse movimento.
Atividade 4
Uma onda harmônica se propaga em uma corda e obedece à seguinte 
equação:
em unidades do sistema internacional. Para essa onda, determine a 
amplitude, o comprimento de onda e seu período.
Atividade 3
Na situação descrita, o ponto observado realiza 1/4 de uma 
oscilação completa. Assim, para o período, temos que: 
e para a frequência:
Atividade 4
Comparando a equação fornecida no enunciado, , com 
a equação que representa os elementos de uma onda , 
temos que:
– a amplitude da onda: .
– para o comprimento de onda: 
AGORA É A SUA VEZ
54 UNIUBE
– para o período da onda:
Conforme a onda se desloca em uma corda, por exemplo, temos que o 
deslocamento é conservado. (Figura 7).
Figura 7 – Onda periódica se propagando em uma corda 
Representação da onda em um instante e em um instante 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, a fase da onda deve ser constante ao longo tempo, ou seja,
.
Derivando a expressão acima em relação ao tempo, temos
 UNIUBE 55
que representa a velocidade de propagação de uma onda. Essa 
equação também é denominada equação fundamental da ondulatória.
Veremos adiante que, para muitas situações físicas importantes, a velocidade 
de propagação de uma onda mecânica depende das propriedades 
mecânicas do meio no qual ela se propaga. Desse modo, um aumento 
na frequência de vibração gera uma diminuição no comprimento de onda, 
sendo o produto constante. “Importante frisar ainda que essa relação 
é válida para qualquer tipo de onda periódica, tanto transversal, como 
longitudinal.”(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.239). 
Atividade 5
A velocidade de propagação de uma onda harmônica é 10m/s. Sendo 
a amplitude do movimento dessa onda 0,05m e sua frequência de 
oscilação igual a 4Hz, escreva a função que representa o movimento 
da onda. Considere que no instante inicial e na posição de o 
deslocamento seja máximo.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 5
Devemos encontrar para esse problema a equação . A 
partir dos dados do problema, temos que:
Como , temosque , portanto
56 UNIUBE
Conclusão3.5
Ondas estão presentes em nosso dia a dia e compreender seus aspectos 
é de fundamental importância para o desenvolvimento da sociedade. 
Elas	podem	ser	classificadas	tanto	de	acordo	com	sua	natureza,	como	
também de acordo com sua forma de propagação. Quando falamos 
do	perfil	de	uma	onda,	temos	que	ele	pode	ser	descrito	em	função	da	
posição e do tempo e que essas grandezas devem estar relacionadas 
entre	 si.	 Por	 fim,	 temos	 que	 ondas	 periódicas	 estão	 relacionadas	
com o Movimento Harmônico Simples e compreender as grandezas 
amplitude, comprimento de onda, número de onda, frequência e período 
é fundamental para a descrição do movimento ondulatório. 
Resumo
Neste capítulo introduzimos aspectos relacionados ao movimento 
ondulatório. Em um primeiro momento, destacamos a importância 
desse	tipo	de	movimento	e	classificamos	os	diferentes	tipos	de	ondas.	
Na sequência, realizamos a descrição do movimento ondulatório por 
meio	de	ondas	progressivas	e	periódicas.	Por	fim,	definimos	grandezas	
importantes para a descrição de ondas. Entre os tópicos discutidos, 
podemos destacar os seguintes pontos:
• Característica das ondas: transmitem energia e movimento sem o 
transporte de matéria.
• Ondas mecânicas: são governadas pela lei de Newton e se 
propagam apenas em meios materiais.
• Ondas eletromagnéticas: são constituídas pelos campos elétrico e 
magnético e não precisam de um meio para se propagar.
• Ondas transversais: para esse tipo de onda, o movimento da 
perturbação é perpendicular ao movimento de propagação da onda.
• Ondas longitudinais: para esse tipo de onda, o movimento da 
perturbação é paralelo ao movimento de propagação da onda.
• Perfil	de	onda	progressiva:	
 UNIUBE 57
• Ondas periódicas:
• Amplitude de onda ( ): módulo do máximo deslocamento em 
relação à posição de equilíbrio sofrido pelos elementos do meio no 
qual a onda se propaga.
• Comprimento de onda ( ): distância paralela à direção de 
propagação da onda entre repetições da mesma forma de onda.
• Número de onda ( ):
• Período ( ): tempo em que um elemento do meio no qual a onda 
se propaga realiza uma oscilação completa.
• Frequência ( ): número de repetições que ocorrem por unidade de 
tempo.
Relação entre período e frequência:
Velocidade de propagação de onda:
Referências
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.Fundamentos de física: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 2.
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 12 ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: fluidos,	oscilações	
e ondas, calor. 4 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002.
TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Sears &Zemansky física II: termodi-
nâmica e ondas,12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
Introdução
Descrição matemática 
das ondas
Capítulo
4
Prezado(a) aluno(a), é um prazer tê-lo(a) de volta ao quarto 
capítulo de seu livro. 
Saiba que descrever matematicamento o comportamento de um 
fenômeno físico é de fundamental importância para compreendê-
lo de forma geral e inferir acerca do seu movimento em diferentes 
condições. Nesse sentido, o intuito deste capítulo é utilizar os 
recursos matemáticos para obter expressões relacionadas com o 
movimento ondulatório.
Assim, em um primeiro momento, iremos determinar a equação 
de onda para o caso unidimensional e mostrar que tal equação 
é válida para qualquer tipo de onda que se propaga em uma 
dimensão. Na sequência, iremos deduzir as expressões da 
velocidade de propagação de ondas transversal e longitudinal, 
além de demonstrar que tal velocidade depende apenas das 
características	do	meio	no	qual	ela	se	propaga.	Por	fim,	iremos	
abordar aspectos referentes à energia e à potência de uma onda 
que se propaga em uma corda.
60 UNIUBE
Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	você	seja	capaz	de:
• determinar a equação de onda;
• deduzir as expressões da velocidade de propagação de 
ondas transversal e longitudinal;
• verificar	a	energia	e	a	potência	de	uma	onda	em	uma	corda.
Objetivos
4.1 Equação de onda
4.2 Velocidade de propagação de ondas transversais
4.3 Velocidade de propagação de ondas longitudinais
4.4 Energia e potência de uma onda em uma corda
4.5 Conclusão
Esquema
Equação de onda4.1
No capítulo anterior, discutimos sobre a função de onda que descrevia 
o	perfil	de	uma	onda.	Particularmente,	vimos	que,	para	uma	onda	
progressiva que se propaga para a direita, a função de onda é escrita 
como:
“Podemos associar uma equação de movimento à propagação da 
onda através do cálculo da aceleração de um determinado ponto 
(NUSSENZVEIG, 2002, p. 102). Para compreender essa relação, vamos 
utilizar a propagação de uma onda transversal em uma corda.
 UNIUBE 61
A função de onda depende de e , assim, para determinarmos a 
velocidade e a aceleração de um ponto da onda, devemos utilizar 
derivadas parciais em relação ao tempo. Note que essas quantidades 
estão relacionadas com o movimento transversal dos pontos da corda. 
Desse modo, temos que a velocidade transversal de um ponto da onda 
é expressa por:
enquanto a aceleração é:
Vimos no capítulo anterior que as variáveis e estão relacionadas por 
meio de pela expressão . Assim, as derivadas parciais 
apresentadas devem ser realizadas por meio da regra da cadeia, 
portanto
e
Desse modo, relacionamos as derivadas parciais de em relação 
ao tempo com as derivadas totais de em relação a . 
Observe que podemos agora realizar a derivada de em relação a , 
de modo que: 
62 UNIUBE
Isso nos permite encontrar a seguinte relação por meio das derivadas 
parciais de em relação a :
e
Comparando os resultados encontrados para as derivadas parciais de 
segunda ordem da função de onda em relação a e a , temos 
que:
portanto encontramos que:
que “é chamada de equação de onda unidimensional e é válida 
para qualquer tipo de onda que se propaga em uma dimensão. Além 
disso, essa equação representa uma das equações fundamentais da 
Física.”(NUSSENZVEIG, 2002, p. 103).
A	fim	de	comprovar	a	validade	da	equação	de	onda,	podemos,	por	exemplo,	
verificar	se	a	função	de	onda	periódica	 
satisfaz esse tipo de equação. 
Para isso, primeiramente vamos determinar as derivadas parciais de 
 em relação ao tempo:
 UNIUBE 63
Na sequência, vamos determinar as derivadas parciais de em 
relação a 
Relacionando as expressões encontradas, temos que:
portanto:
satisfazendo assim a equação de onda.
Ao	comparar	a	equação	de	onda	com	o	perfil	de	uma	onda	transversal	
que se propaga em uma corda, Figura 1, podemos observar as seguintes 
relações.
Figura 1 – Representação de uma onda transversal que se 
propaga em uma corda
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nas regiões em que a curvatura da corda está voltada para cima, o 
termo é positivo e, consequentemente, pela equação de onda, a 
aceleração transversal naquele ponto da corda é positiva . 
64 UNIUBE
Além disso, o módulo da aceleração é máximo quando estamos no vale 
da onda. Nas regiões em que a curvatura da corda está voltada para 
baixo, o termo é negativo e, consequentemente, pela equação 
de onda, a aceleração transversal naquele ponto da corda é negativa 
. Nesse caso, o módulo da aceleração é máximo quando 
estamos	na	crista	da	onda.	Por	fim,	os	pontos	em	que	a	corda	se	encontra	
nas	posições	de	equilíbrio,	temos	os	pontos	de	inflexão	 e, 
consequentemente, pela equação de onda, a aceleração transversal 
naquele ponto da corda é zero (YOUNG; FREEDMAN, 
2009).
Atividade 1
Considere	o	perfil	de	uma	onda	progressiva	que	se	propague	para	a	
esquerda, . Mostre que essa onda satisfaz a 
equação de onda.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 1
Nesse caso, temos que . Assim,
e
Realizando a derivada de em relação a , de modo que:
 UNIUBE 65
Velocidade de propagação de ondastransversais4.2
Como discutido no capítulo 3, a velocidade de propagação de uma onda 
obedece à relação:
Além disso, mencionamos o fato de que essa velocidade para uma onda 
mecânica depende das propriedades mecânicas do meio no qual ela 
se propaga. Assim, nessa seção vamos demonstrar como podemos 
determinar a velocidade de propagação de uma onda transversal que 
se propaga em uma corda.
Considere então uma onda com comprimento e densidade linear 
de massa ,	fixa	em	uma	extremidade	e	submetida	a	uma	tensão	 
constante (Figura 2). Na situação de equilíbrio, sob todos os pontos da 
corda a força resultante é zero.
Isso nos permite encontrar a seguinte relação por meio das derivadas 
parciais de em relação a :
 e
Comparando os resultados encontrados para as derivadas parciais de 
segunda ordem da função de onda em relação a e a , temos que:
portanto encontramos que: 
66 UNIUBE
Figura 2 – Representação de uma corda com densidade linear 
 submetida a uma tensão 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vamos tomar um elemento da corda de comprimento e com massa 
 que se desloca transversalmente em relação à posição de equilíbrio. 
Esse deslocamento provoca uma variação na direção da tensão, o que 
causa uma variação na força resultante transversal aplicada sobre o 
elemento da corda.
Note pela Figura 3 que as componentes horizontais das tensões aplicadas 
sobre o elemento da corda se anulam, enquanto na vertical teremos uma 
resultante para cima. 
Figura 3 – Deslocamento de um elemento 
 de uma corda com densidade linear 
submetida a uma tensão 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para efeitos de cálculo, iremos considerar pequenos deslocamentos 
de modo que a componente transversal da tensão possa ser escrita da 
forma:
 UNIUBE 67
Assim, a força resultante que atua na transversal, , sobre o elemento 
da corda pode ser calculada como a diferença entre a componente 
transversal da tensão nos pontos e , ou seja,
Se multiplicarmos e dividirmos o termo da direita da expressão anterior 
pelo	comprimento	infinitesimal	 do segmento da corda e recordarmos 
a	definição	de	derivada parcial, podemos escrever que:
Aplicando então a segunda lei de Newton para esse elemento da corda 
que possui massa , temos que:
Considerando que:
podemos escrever que:
68 UNIUBE
Comparando a expressão acima com a equação de onda unidimensional:
temos que
portanto a velocidade de propagação de uma onda transversal em uma 
corda é dada pela expressão:
Note que a expressão encontrada para a velocidade de propagação 
da onda em uma corda não depende da amplitude ou frequência de 
movimento, mas sim das características do meio no qual ela se propaga. 
Nesse caso, em particular, temos então que a velocidade depende da 
tensão aplicada sob a corda e sua densidade linear.
Um ponto importante a se destacar é que a forma apresentada 
anteriormente não é a única a ser considerada para demonstrar a 
velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda. 
“Podemos, alternativamente, utilizar os conceitos de momento linear e 
impulso para realizar tal demonstração.”(YOUNG; FREEDMAN, 2009, 
p.246). Esse método será apresentado a seguir.
Vamos novamente considerar uma corda com densidade linear ,	fixa	
em uma extremidade e submetida a uma tensão constante. Sobre a 
outra extremidade da corda, uma força transversal 	é	aplicada	a	fim	de	
produzir uma onda transversal nessa corda.
Diferentemente de quando aplicada em uma partícula, a força aplicada 
na extremidade da corda altera a posição de equilíbrio de um conjunto de 
 UNIUBE 69
elementos dessa corda de modo que a quantidade de massa se 
altera durante a aplicação da força. Pelo Teorema do impulso e momento 
linear, temos que:
Observe pela Figura 4 que podemos associar o tempo em que a força 
transversal está sendo aplicada na corda com o segmento da corda 
que sofre a ação dela.
Figura 4 – Representação inicial de uma corda com 
densidade linear submetida a uma tensão , que sofre 
a ação de uma força transversal 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Esta associação é dada por meio da velocidade de propagação da onda, 
de modo que:
portanto
Ainda pela Figura 4 podemos observar por semelhança de triângulo uma 
relação entre a força transversal e a tensão na corda , tal que:
70 UNIUBE
Substituindo na expressão obtida pelo Teorema do impulso, temos 
que:
e rearranjando os termos podemos encontrar novamente que a velocidade 
de propagação de uma onda transversal em uma corda é dada pela 
expressão:
Atividade 2
Uma das extremidades de uma corda está acoplada a um motor elétrico 
que vibra com frequência de 180Hz. Já a outra extremidade passa por uma 
polia e suporta um objeto de 2,5kg de massa. Sendo a densidade linear 
do	fio	0,05kg/m,	determine	a	velocidade	de	propagação	da	onda	e	seu	
comprimento. 
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 2
A tensão na corda é gerada pela força peso que atua sobre a 
massa	amarrada	em	uma	das	extremidades	do	fio.	Assim,	
A partir da expressão da velocidade de propagação de onda transversal, 
temos que:
Por	fim,	utilizando	a	relação	fundamental	da	ondulatória,	encontramos	que:	
 UNIUBE 71
Atividade 3
Uma onda transversal se propaga em uma corda de densidade linear 
 com velocidade quando submetida a uma tensão . O que ocorre 
com a velocidade de propagação dessa onda se duplicarmos a densidade 
linear da corda e diminuirmos a tensão pela metade?
Atividade 3
A velocidade de propagação da onda transversal em uma corda é 
dada pela expressão: 
Ao duplicarmos a densidade da corda e diminuirmos a tensão pela metade, 
temos que:
ou seja, a velocidade de propagação da onda cai pela metade.
AGORA É A SUA VEZ
Velocidade de propagação de ondas longitudinais4.3
Vimos que além das ondas transversais existem também as ondas 
longitudinais em que o movimento da perturbação é paralelo ao movimento 
de propagação da onda. É muito comum esse tipo de onda estar relacionado 
com	a	propagação	de	ondas	em	fluidos,	como	é	o	caso	do	som	por	exemplo.
Nessa seção iremos demonstrar a expressão da velocidade de propagação 
de ondas longitudinais. Em particular, demonstraremos essa expressão 
para	o	caso	de	um	fluido	e,	novamente,	é	válido	frisar	que	“essa	velocidade	
será dependente das características do meio no qual essa onda se 
propaga.”(YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.249).
72 UNIUBE
Considere	um	cilindro	com	um	fluido	em	seu	interior	e	um	êmbolo	móvel	
capaz de alterar seu volume interno, como se vê na Figura 5.
Figura 5 – Representação de uma onda se 
propaga	em	um	fluido	no	interior	de	um	cilindro
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que em situação de equilíbrio a pressão no interior do cilindro 
é igual à pressão externa, de modo que a força é aplicada sobre 
o êmbolo é a mesma tanto na sua face interna quanto na externa. Ao 
deslocar o êmbolo da esquerda para a direita, perturbamos as moléculas 
próximas a ele, de modo que elas adquirem uma velocidade também 
da esquerda para a direita. Essa perturbação irá então se propagar pelo 
cilindro de modo a termos uma onda longitudinal.
Importante ainda observar na Figura 5 que a força aplicada sobre o êmbolo 
exerce	influência	sobre	uma	porção	de	massa	do	fluido	e	de	modo	análogo	
ao caso da onda transversal, podemos aplicar o Teorema do impulso para 
determinar a velocidade de propagação da onda longitudinal.
Primeiramente,	vamos	definir	o	momento	linear	 	da	porção	de	fluido	
que se move ao deslocarmos o êmbolo. Sendo a densidade de 
massa	volumétrica	do	fluido,	 a seção de área do êmbolo e 
o	comprimento	dessa	quantidade	de	fluido	que	se	desloca	inicialmente,	
temos que:
 UNIUBE 73
Na	sequência,	devemos	definir	“outra	grandeza	importante	conhecida	
como módulo de compressão (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p.249). 
Essa relaciona a variação de pressão com a variação relativa de volume, 
ou seja:
Aplicando agora o Teorema do impulso, temos que:
Substituindo a variação de pressão pela expressão do módulo de 
compressão: 
e rearranjando