FISICA - ONDAS, ELETRICIDADE E MAGNETISMO UN 1

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FÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADEFÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE
E MAGNETISMOE MAGNETISMO
ONDULATÓRIA -ONDULATÓRIA -
REVISÃO DEREVISÃO DE
TRIGONOMETRIA,TRIGONOMETRIA,
OSCILAÇÕES E ONDASOSCILAÇÕES E ONDAS
Autor: Me. Hugo M. Vasconcelos
R e v i s o r : R o s a l v o M i ra n d a
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Quando deslocamos um sistema de seu equilíbrio estável, forças ou torques tendem
a restaurar este equilíbrio, fazendo com o que os corpos entrem em movimento
oscilatório. Na ausência de atrito, essa oscilação continuaria para sempre. Contudo,
devido às condições enfrentadas pelos objetos, a condição de equilíbrio é
restabelecida. Você conhece algum sistema oscilante? Sabe identi�car os elementos
que descrevem esse sistema? Consegue descrever a propagação de uma onda e suas
possíveis interferências umas com as outras? Fenômenos do tipo periódico estão
presentes em diversas aplicações de Engenharia, como osciladores, corrente
elétrica, dentre outros. Atualmente, tem-se estudado muito sobre o aproveitamento
da energia das ondas marítimas. A forma como as ondas propagam-se ao longo de
grandes distâncias cria uma enorme área de energia aproveitável.
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A trigonometria é umas das áreas do conhecimento humano mais antigas. A
necessidade de determinar posições e distâncias, por exemplo, sempre foi uma
questão interessante para a humanidade. Observar a posição dos astros celestes e a
relação entre estes foi um importante campo de estudos de desenvolvimento para a
astronomia. Já aplicações que envolvem a agricultura também fomentaram o
desenvolvimento desse campo da Matemática, bem como as navegações.
Classi�icação de Triângulos e
Teorema de Pitágoras
Um triângulo pode ser de�nido como uma �gura plana, a qual contém três lados.
Estes podem ser classi�cados em função dos lados, como equilátero, isósceles e
escalenos, conforme vemos na representação da Figura 1.1:
TrigonometriaTrigonometria
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Em função dos ângulos, os triângulos podem, ainda, ser classi�cados como
obtusângulos (um ângulo interno maior do que 90º - ângulo obtuso), acutângulos
(três ângulos internos menores do que 90º - ângulos agudos) ou retângulos (um
ângulo interno igual a 90º - ângulo reto).
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice e um lado comum,
conforme a Figura 1.2:
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Daremos uma atenção especial ao triângulo retângulo. É possível perceber que
qualquer um dos triângulos – equilátero, isósceles ou escaleno – pode ser dividido
em triângulos retângulos e, em muitas situações, a resolução de problemas �ca
bastante simpli�cada.
Como já dissemos, um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, ou
seja, um ângulo igual a 90º, conforme vemos na Figura 1.3:
Figura 1.2 - Os ângulos α e β são adjacentes, pois possuem o mesmo vértice A e
dividem a mesma semireta AC
_
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Note que, no triângulo retângulo, A, B, e C representam os vértices, enquanto que 
a, b, e c representam os lados do triângulo, em que o lado maior é chamado de
hipotenusa, e os demais de catetos.
Pitágoras descobriu que a soma da área dos quadrados menores (azul e verde),
  formados pelos lados a e c de um triângulo retângulo, é igual à área do quadrado
maior (amarelo) de lado b. Em outras palavras, a soma do quadrado dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é o que chamamos de Teorema de Pitágoras,
conforme ilustrado na Figura 1.4:
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Matematicamente, escrevemos que:
a + c = b
Círculo Trigonométrico
Em trigonometria, o círculo trigonométrico é utilizado para relacionar o sistema
angular com os números reais. Na Figura 1.5, uma ilustração é feita para essa
relação, que também é útil para representar valores de seno e cosseno.
2 2 2
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Observe que, no círculo, não apenas há a representação dos ângulos, variando de 0
até 360o, mas também o equivalente em radianos, que varia de 0 até 2π, que equivale
a 180o.
O radiano (1 rad) é de�nido como a medida do ângulo central, cujo arco
correspondente representa o mesmo comprimento (C) do raio (R) da circunferência,
conforme Figura 1.6:
Figura 1.5 - Círculo trigonométrico, em que o eixo x representa o cosseno do ângulo, e
o eixo y representa o seno
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Note que o comprimento dado pelo arco AB é igual ao raio R. Além disso, podemos
determinar uma relação entre um ângulo α e rad da seguinte maneira:
α = C /R
Funções Trigonométricas
Iniciamos nossos estudos sobre trigonometria. Agora, vamos conhecer algumas
características mais detalhadas das funções trigonométricas, como domínio, imagem
e grá�co.
A função seno é dada por f(x) = sen(x).
Na Figura 1.7, é possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo 2π
, ou seja, é uma função periódica, com período 2π. Além disso, trata-se de uma função
ímpar, uma vez que é simétrica em relação à origem, ou seja, f(−x) = f(x).
Figura 1.6 - De�nição do conceito de radiano no círculo
Fonte: Elaborada pelo autor.
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A função cosseno é dada por f(x) = cos (x), conforme o grá�co da Figura 1.8:
É possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo 2π, ou seja, é
uma função periódica, com período 2π. Além disso, trata-se de uma função par, uma
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vez que é simétrica, em relação ao eixo y, ou seja, f(−x) = − f(x). Perceba, também,
que esta é defasada, com relação à função seno em π /2.
praticarVamos Praticar
Um eletricista está realizando um reparo na instalação elétrica de um prédio. Para atingir
pontos altos, utiliza uma escada que possui 4 m de comprimento. Em um dado instante, o
eletricista precisou fazer um reparo em uma �ação localizada no teto do apartamento.
Considerando que o menor ângulo que a escada pode ter, em relação à parede, para
garantir segurança ao eletricista, é de 20^o, qual deve ser a altura máxima do teto, para
que o eletricista consiga atingir?
a) 1,45 m.
b) 1,36 m.
c) 3,00 m.
d) 3,75 m.
e) 4,50 m.
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Você, com certeza, já viu uma mola. É um objeto bem familiar, que pode ser utilizado
para diversos �ns, como na composição dos botões de seleção de componentes
eletrônicos, nos sistemas de suspensão de automóveis ou até em colchões. Esta
pode ser utilizada tanto esticada quanto comprimida.
Contudo, você sabe o que acontece quando movimentamos uma mola? Inicialmente,
esta está em equilíbrio. Quando esticamos ou comprimimos-na, exercemos uma
força paralela ao seu comprimento. Mas o que acontece depois? A mola �ca
oscilando? Será que é possível descrever essas oscilações, matematicamente? E
mais: será que esse movimento é característico somente das molas? Observe ao seu
redor. Existem vários movimentos que se repetem ou oscilam, comoo pêndulo de
um relógio antigo, as vibrações de uma corda de violão ou o som de um clarinete.
Oscilador Harmônico Simples
A oscilação é o que ocorre quando um sistema em equilíbrio estável, conforme a
Figura 1.9, é perturbado, produzindo um movimento de vai e vem, até retornar à
Oscilações -Oscilações -
MovimentoMovimento
Harmônico SimplesHarmônico Simples
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posição de equilíbrio.
Um modelo do movimento harmônico simples é o sistema massa-mola. Considere
um bloco de massa m preso à uma mola, como ilustrado na Figura 1.10. Quando o
bloco move-se para a direita, a força age para restaurar no sentido oposto
(esquerda), levando o bloco para a posição de equilíbrio x = 0, ou seja, sempre que o
bloco estiver na posição de equilíbrio, a força restauradora será nula.
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Em muitos sistemas, a força restauradora surge, quando deslocamos o sistema do
equilíbrio, de modo que a força é proporcional ao deslocamento, conforme descrito
na equação (1).
F(x) = − kx (1)
Sendo x o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio, e k a constante
elástica da mola que, no Sistema Internacional (SI), possui unidade de newton por
metro (N /m). Em um movimento harmônico simples, a força é proporcional ao
deslocamento. Como a força é restauradora, veri�camos a existência de um sinal
negativo. Assim, toda vez que uma força age em um sentido, o deslocamento age no
sentido oposto, de modo a restaurar a posição de equilíbrio.
Partícula em Movimento Harmônico Simples
O modelo discutido na seção anterior pode ser descrito como uma partícula em
movimento harmônico simples. Podemos aplicar a segunda Lei de Newton, ao
sistema massa-mola, escolhendo o eixo x como referência, ao longo do qual ocorre a
oscilação. Então:
F = ma = − kx (2)
Figura 1.10 - Um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 5).
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Lembrando que, por de�nição, a = dv /dt = d2 x /dt2 , podemos escrever:
m 
d2x
dt2
= − kx (3)
Que podemos reescrever como:
d2x
dt2
= −
k
m
x (4)
A qual chamamos a razão k /m de ω2, assim, ω2 = k /m e a equação toma a forma:
d2x
dt2
= − ω2 x (5)
A solução deve ser do tipo periódica. A equação da posição x(t) deve satisfazer a
equação diferencial de segunda ordem, bem como possuir a representação
matemática da posição da partícula como uma função do tempo. As funções
trigonométricas seno e cosseno exibem este comportamento. Sendo assim,
podemos nos basear nessas funções, para encontrar a nossa solução.
No tempo inicial (t = 0), puxamos o corpo de massa m e, depois, soltamos. Como o
movimento inicial tem um deslocamento não nulo, a função cosseno é mais
apropriada que a função seno, já que cos 00 = 1. Logo, a solução é dada por:
x(t) = A cos (ωt + Φ) (6)
A é a amplitude máxima do movimento a partir do equilíbrio; Φ é a constante de fase,
apresentando o deslocamento da curva do cosseno para a direita (Φ < 0) ou para a
esquerda (Φ > 0).
A função x(t) é periódica, ou seja, sua forma repete-se a cada período de oscilação T.
A função cosseno completa um ciclo a cada 2π (em radianos), isto é, 360o (em graus).
O argumento da função cosseno é ωt, o qual pode variar de 0 até 2π, e o tempo pode
variar de 0 até 2π. Logo:
ωT = 2π (7)
( )
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ou seja,
T = 2π /ω (8)
conforme representação na Figura 1.11:
De�nindo a frequência como o inverso do período, ou seja, o número de oscilações
por unidade de tempo, podemos escrever:
f =
1
T
=
ω
2π
=
1
2π
k
m
 (9)
Podemos, também, escrever a frequência angular ω em termos de f ou T. Assim:
ω = 2πf =
2π
T
 (10)
A diferença entre estas é igual a 2π. Tendo a frequência de oscilação da unidade de
medida em Hz, e a frequência angular ω da unidade de rad /s no sistema
internacional.
√
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Também podemos obter a velocidade e a aceleração da partícula no movimento
harmônico simples a partir da posição, como ilustrado na Figura 1.12. Para
simpli�car, vamos considerar que a constante de fase ϕ = 0. Logo:
x(t) = Acos(ωt) (11)
v(t) =
dx
dt
= − ωAsen(ωt) (12)
a(t) =
d2x
dt2
= − ω2Acos(ωt) (13)
Ou seja, a velocidade e a aceleração não são constantes, mas variam entre valores
máximos e mínimos, no decorrer do tempo. Como as funções seno e cosseno variam
entre −1 e +1, os valores máximos da velocidade e da aceleração, em módulo, são:
vmax = ωA = A
k
m
 (14)
amax = ω
2A = A
k
m
 (15)
O oscilador harmônico simples não é apenas um movimento vibratório, mas também
um tipo muito especí�co de movimento, o qual é determinado pelas equações que
acabamos de estudar.
√
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O período T corresponde a uma oscilação completa; (b) a velocidade v(t)   da
partícula; e (c) a aceleração a(t) da partícula.
Energia no Movimento Harmônico
Simples
Assim, como um objeto cai na superfície da Terra, devido ao potencial gravitacional,
uma mola também tem energia potencial, quando é comprimida ou esticada. É a
energia potencial elástica.
Ao deslocar o sistema massa-mola do equilíbrio, você realiza o trabalho, que é
convertido em energia potencial na mola. Quando o objeto é deslocado por uma
distância x, a partir da posição de equilíbrio x = 0, a mola é contraída para levar o
objeto de volta à posição inicial. Quando o objeto passa pela posição de equilíbrio,
este possui energia cinética máxima e nenhuma energia potencial. A partir daí, o
corpo passa pelo ponto de equilíbrio, ganhando energia potencial, bem como
comprimindo a mola.
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Vamos considerar um objeto que desliza sobre uma superfície sem atrito. Também
vamos desprezar a resistência do ar. Nesse sistema, o processo continua
inde�nidamente. Em um movimento oscilatório, a energia está continuamente
sendo transferida nas formas de energia potencial e energia cinética.
Para um sistema massa-mola, a energia potencial é dada por:
U =
1
2
kx2 (16)
Podemos ilustrar, na Figura 1.13, explicitamente, essa troca entre a energia
potencial e a energia cinética no movimento harmônico simples, pois basta
substituir a dependência da posição (amplitude) x, em relação ao tempo na
expressão da energia potencial, e a velocidade na expressão da energia cinética.
Fazendo isso, encontramos:
U =
1
2
kx2 =
1
2
k(Acos(ωt))2 =
1
2
kA2(ωt) (17)
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K =
1
2
kv2 =
1
2
m(−ωAsen(ωt))2 =
1
2
mω2A2sen2(ωt) =
1
2
kA2sen2(ωt) (18)
Consideramos que ω2 = k /m. Ambas as energias têm o mesmo valor máximo 
1
2 kA
2,
mas a energia potencial é máxima, quando a energia cinética é zero e vice-versa.
O que podemos dizer sobre a energia total do sistema? É dada por:
E = U + K =
1
2kA
2(ωt) +
1
2kA
2sen2(ωt) =
1
2kA
2 (19)
Como resultado, encontramos que, apesar da energia cinética K e de a energia
potencial U variarem no tempo, sua soma – a energia total do sistema – não muda,
isto é, a energia total do sistema é conservada.
Movimento Harmônico Simples e
Movimento Circular Uniforme
Existem alguns dispositivos bastantes conhecidos, osquais apresentam uma relação
entre o movimento oscilatório e o movimento circular. Os pistões de um motor de
automóvel, por exemplo, movem-se para cima e para baixo, em um movimento
oscilatório, que é resultado do movimento circular das rodas. Nas antigas
locomotivas, o eixo de acionamento vai e volta, também, de forma oscilatória,
gerando o movimento circular. Esse movimento de vai e vem aparente é apenas um
componente do movimento circular real e tem uma forma senoidal.
Especi�camente, o vetor posição r de qualquer objeto em movimento circular faz um
ângulo que aumenta linearmente com o tempo: θ = ωt, em que medimos θ em
relação ao eixo x. Quando o objeto está sobre o eixo x, temos t = 0. Logo, as duas
componentes (polares) do objeto:
x = r cosθ y = r senθ
tornam-se:
x(t) = rcoscos (ωt) y(t) = r sen (ωt)
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Essas são as equações para dois osciladores harmônicos simples diferentes: um na
direção x, e outro na direção y. Já que um oscilador é o cosseno e o outro é seno,
estes estão com uma diferença de fase (defasagem) de 90o ou π /2.
Podemos pensar, portanto, que o movimento circular uniforme é o resultado de
movimentos harmônicos simples perpendiculares, com mesma amplitude e
frequência, mas com 90o de diferença de fase. Isso ajuda-nos a entender porque
usamos o termo frequência angular para o movimento harmônico simples, mesmo
sabendo que não há nenhum ângulo envolvido no sistema.
O argumento ωt na descrição do movimento harmônico simples é o mesmo que
aparece no ângulo θ da correspondência angular. O tempo para que ocorra um ciclo
no movimento harmônico simples é o mesmo tempo de revolução no movimento
circular, tal que os valores de Te ω são exatamente os mesmos.
É possível veri�car que os movimentos harmônicos simples perpendiculares, com
mesma amplitude e frequência, somam-se vetorialmente para produzir o
movimento circular. Se as amplitudes ou frequências não são as mesmas, os
movimentos tornam-se mais complexos.
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um �o
inextensível e de massa desprezível, com comprimento L. Quando a partícula é
afastada de sua posição de equilíbrio e liberada em seguida, o pêndulo oscilará em
um plano vertical, sob a ação da gravidade, como mostra a Figura 1.14:
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As forças que atuam sobre a partícula de massa m são tensão do �o T e   força
gravitacional mg, que pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial
ao movimento, de módulo mgsenΦ; e outra radial, de módulo mgcosΦ.
A componente tangencial é uma força restauradora, pois tende a trazer a partícula
para sua posição de equilíbrio, a mais baixa do pêndulo. Essa força age sempre
contrariamente ao movimento da partícula. Aplicando a lei de Newton, na direção
tangencial, temos:
m
d2s
dt2
= ma = − mgsenΦ (20)
O comprimento do arco $s$ está relacionado ao ângulo θ por:
s = LΦ
Derivando ambos os lados dessa relação, encontramos:
d2x
dt2
= L
d2Φ
dt2
Substituindo esse resultado na equação (1), temos:
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d2θ
dt2
= −
g
L
senΦ
Para ângulos pequenos:
senΦ ≈ Φ
e podemos escrever:
d2Φ
dt2
= −
g
L
Φ Φ ≪ 1
Logo, temos a mesma equação, que descreve o movimento de um objeto ligado a
uma mola, isto é, uma equação de movimento harmônico simples. Para pequenos
deslocamentos angulares, a representação grá�ca do movimento do pêndulo
reflitaRe�ita
Percebeu que a massa m não aparece
nesta equação �nal? Isso signi�ca que o
movimento do pêndulo não depende
dela. Re�ita sobre este fato.
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simples é semelhante ao padrão sinusoidal para o movimento harmônico simples.
Analogamente, sua solução é:
Φ = Φmaxcoscos (ωt + ϕ) (21)
θmax é a amplitude do movimento ou posição angular máxima, e a frequência angular
do pêndulo é dada por:
ω =
g
L
 (22)
Portanto, o período do movimento para pequenas oscilações é:
T =
2π
ω
= 2π
L
g
 (23)
O período e a frequência angular do pêndulo simples, oscilando em ângulos
pequenos, dependem apenas do comprimento do �o e da aceleração da gravidade.
√
√
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Oscilador Harmônico Amortecido
Em um movimento harmônico simples, como pode ser veri�cado na Figura 1.15, um
objeto oscila com amplitude constante. Isso ocorre porque não há nenhum
mecanismo de dissipação de energia. Na realidade, o atrito ou algum outro
mecanismo de dissipação de energia (por exemplo, a resistência do ar) está sempre
presente. Na presença de algum tipo de energia dissipativa, a amplitude da oscilação
diminui, com o passar do tempo, e o movimento deixa de ser harmônico simples,
para tornar-se um movimento harmônico amortecido. A diminuição na amplitude é
chamada amortecimento.
Esse tipo de movimento é essencial para o sistema de suspensão de um automóvel.
O amortecedor, ligado a uma mola principal de suspensão, é constituído de um
pistão, em um reservatório de óleo, que se move em resposta a uma vibração na
estrada. Nesse pistão, há buracos que deixam passar o óleo. Assim, durante o
movimento, surgem forças de viscosidade que procam um amortecimento.
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Em muitos sistemas, a força de amortecimento é aproximadamente proporcional à
velocidade e com direção oposta:
→
Fd = − b
→v (24)
b é uma constante. Usamos a seta para indicar as grandezas vetoriais.
Vamos, agora, escrever a segunda lei de Newton, ∑
→
F = m→a , incluindo a força de
amortecimento como a força restauradora. Para o sistema massa-mola, temos:
m
d2x
dt2
= − kx − b
dx
dt
 (25)
A solução exata para essa equação pode ser encontrada usando métodos padrões
para a resolução de equações diferenciais, que podem não ser familiares a você.
Portanto, vamos, simplesmente, indicar sua solução sem provas. Para constantes de
amortecimento su�cientemente pequenas, a solução é dada por:
x(t) = Ae −
b
2m tcoscos ω ′ t + ϕ (26).
em que:
ω ′ =
k
m
−
b
2m
2
 (27)
Essa equação descreve um movimento senoidal, cuja amplitude cai
exponencialmente até zero. Esse decréscimo depende da constante de
amortecimento b e da massa m. Quando o amortecimento é tão fraco, ou seja, o
valor de b é pequeno, que somente uma pequena fração da energia total é perdida
em cada ciclo, a frequência é, essencialmente, a mesma da oscilação sem
amortecimento, isto é, chamada de frequência natural:
ω ′ ≅ ωo = √k /m (28)
( ) ( )
√ ( )
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Por outro lado, se o amortecimento é forte, a força de amortecimento diminui o
movimento, e a frequência torna-se menor. Quando t = 2m /b, a amplitude reduz-se a
1/e de seu valor inicial, em que e = 2, 718 é a constante de Euler. Esse tempo é
chamado de meia-vida da oscilação.
As equações que você acabou de ver são válidas para b ≤ 2√k /m. Quando b atinge
um valor crítico máximo, bc = 2mωo, o sistema é chamado de criticamente
amortecido, pois este não oscila e volta ao equilíbrio de forma exponencial.
Muitos sistemas físicos podem ser modelados como osciladores amortecidos.
Amortecedores de automóveis, por exemplo, são projetados com molas especí�cas
para dar um amortecimento crítico, de modo que obtenhaum retorno rápido ao
equilíbrio, para absorver a energia transmitida pelos solavancos da estrada.
Oscilador Harmônico Forçado e
Ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando inde�nidamente, a energia mecânica
deve ser injetada no sistema. Quando isso é feito, o oscilador é dito excitado ou
forçado. Quem mantém uma criança oscilando, no balanço de jardim, empurrando-a
pelo menos uma vez a cada ciclo, está forçando um oscilador. Se o mecanismo de
excitação injeta energia no sistema a uma taxa maior do que a taxa com que esta é
dissipada, a energia mecânica do sistema e a amplitude aumenta com o tempo. Se o
mecanismo de excitação injeta energia a mesma taxa com que esta é dissipada, a
amplitude permanece constante no tempo. Nesse caso, o movimento do oscilador é
estacionário.
A Figura 1.16 mostra um sistema, o qual consiste num corpo em uma mola que está
sendo excitada, movendo-se o ponto de apoio para cima e para baixo, em um
movimento harmônico simples de freqüência ω. No início, o movimento é
complicado, mas este acaba por entrar em regime estacionário, quando o sistema
oscila com a mesma frequência de excitação e com uma amplitude constante e,
portanto, com energia constante. Em regime estacionário, a energia injetada no
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sistema pela força de excitação, a cada ciclo, é igual à energia dissipada pelo
amortecimento em cada ciclo.
A amplitude e, portanto, a energia de um sistema em regime estacionário não
depende apenas da amplitude da força de excitação, mas também depende de sua
frequência. A frequuência natural de um oscilador, ωo, é a sua frequência, quando
não há forças de excitação e nem forças de amortecimento presentes. No caso de
uma mola, por exemplo, ωo = √k /m. Se a frequência de excitação é su�cientemente
próxima da frequência natural do sistema, o sistema oscilará com uma amplitude
relativamente grande. Por exemplo, se o suporte da �gura anterior oscila em uma
frequência próxima da frequência natural do sistema massa-mola, a massa oscilará
com uma amplitude muito maior do que a que teria se o suporte oscilasse com
frequências signi�cativamente maiores ou menores, conforme ilustração na Figura
1.17. Esse fenômeno é chamado ressonância. Quando a frequência de excitação é
igual à frequência natural do oscilador, a energia por ciclo transferida ao oscilador é
máxima. A frequência natural do sistema é, então, chamada de frequência de
ressonância.
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A Figura 1.17 mostra os grá�cos da potência média, injetada em um oscilador, como
função da frequência de excitação para dois valores diferentes de amortecimento.
Essas curvas são chamadas curvas de ressonância. Quando o amortecimento é fraco
(grande Q), a largura do pico de ressonância correspondente é pequena, e dizemos
que a ressonância é estreita. Para amortecimento forte, a curva de ressonância é
larga. A largura de cada curva de ressonância, Δω, indicada na Figura 1.16, é a
largura na metade da altura máxima. Pode-se mostrar que, para o amortecimento
fraco, a razão entre a largura de ressonância e a frequência de ressonância é igual ao
inverso do fator Q:
Δω
ωo
=
1
Q
 (29)
Assim, o fator Q é uma medida direta da estreiteza da ressonância. Existem muitos
exemplos de ressonância. Quando você senta em um balanço, intuitivamente, você
inclina-se para impulsioná-lo com sua mesma frequência natural. Muitas máquinas
vibram, porque possuem partes giratórias, as quais não estão perfeitamente
balanceadas.
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Ondas Progressivas e ondas
Harmônicas
Em geral, falamos de onda quando há transmissão de um sinal entre dois pontos
distantes, sem que haja transporte direto de matéria. Para uma onda na superfície da
água, podemos associar esse sinal, por exemplo, a uma crista, em que a elevação da
água é máxima. Para uma onda na corda, fazemos um movimento para cima e para
baixo, causando uma perturbação, gerando uma sinuosidade ou um pulso, o qual se
deslocará ao longo da corda.
As ondas classi�cam-se em dois tipos:
1. ondas transversais: quando a vibração é perpendicular à direção de
propagação, como mostrado na Figura 1.19. Por exemplo, as ondas do mar
e ondas em uma corda.
2. ondas longitudinais: quando a direção de propagação coincide com a
direção de vibração, como mostrado na Figura 1.18. Nos líquidos e gases, a
onda propaga-se dessa forma. A mola e o som são alguns exemplos.
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Uma onda progressiva é uma onda que se propaga de um ponto a outro e transporta
energia na direção de propagação. O oposto de onda progressiva é uma onda
oscilante, denominada onda estacionária, em que não há �uxo de energia. As ondas
sonoras produzidas na fala são progressivas, enquanto que as originadas no interior
de uma �auta são ondas estacionárias.
Você verá, agora, a descrição matemática da propagação de um pulso em uma onda.
Vamos assumir que a perturbação mantém sua forma enquanto se propaga,
desprezando quaisquer perdas por atrito ou outras formas de dissipação de energia.
Para simpli�car, vamos considerar uma onda mecânica transversal, que se propaga
em uma longa corda esticada. O grá�co (a), na Figura 1.19, mostra um pulso
ondulatório,, de forma arbitrária no instante t = 0, que viaja com velocidade v na
direção x. Matematicamente, no instante t = 0, a altura y da corda passa a ser
descrita por uma função f(x), que descreve a forma do pulso. Em um instante t
posterior, o pulso percorreu uma distância vt, conforme mostra (b).
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A coordenada y indica o deslocamento transversal de um ponto particular da corda.
Esta depende da coordenada x e do tempo t, ou seja, y = y(x, t). No instante inicial,
temos:
y(x, t = 0) = f(x) (30)
f é uma função que descreve a forma da onda, ou seja, o pulso. Como estamos
assumindo que o pulso não muda ao longo de sua propagação, para qualquer tempo
posterior, a onda continuará sendo descrita pela função f(x). No referencial que
acompanha o pulso, devemos usar a relação entre as abscissas dos dois referenciais:
x ′ = x − vt (31)
Portanto, em um instante t, a onda é descrita por:
y(x, t) = f x ′ = f(x − vt) (32)
A função f(x − vt) tem, no instante t, a mesma forma em relação ao ponto x = vt, que a
função f(x) tem em relação ao ponto x = 0 no instante t = 0. Para descrever a onda
completamente, temos de conhecer a função f.
Figura 1.19 - Um pulso transversal propagando-se com velocidade v para a direita
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 502).
( )
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Quando a onda propaga-se no sentido x negativo, basta fazer v = − v. Nesse caso,
temos:
y(x, t) = f(x + vt) (33)
Como antes, f(x) representa a forma da onda em t = 0.
A função y(x, t) descreve, completamente, a forma da onda e seu movimento é válido
para ondas de diferentes formas, sejam transversais ou longitudinais.
Um caso particular de onda progressiva é a onda harmônica simples, na qual a
função em t = 0 possui a forma senoidal. Uma onda harmônica simples pode ser
produzida, por exemplo, movendo uma das extremidades de uma corda longa para
cima e para baixo, mantendo sempre o mesmo deslocamento vertical.
Escolhendo as coordenadas de forma que, em x = 0, esta possua um mínimo em t = 0,
temos:
y(x, 0) = Asen(kx)(34)
A é a amplitude da onda, e k é uma constante chamada número de onda. Se a
amplitude for máxima em t = 0, temos uma função cosseno, com constante de fase
nula:
y(x, 0) = Acos(kx) (35)
Podemos encontrar o valor de k, lembrando que a onda repete-se e, portanto,
de�nimos:
comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas ou dois vales da
onda;
período (T): intervalo de tempo para que a onda viaje por uma distância λ.
A função seno repete-se quando o ângulo ou o argumento �ca acrescido de 2π, logo,
devemos ter:
kλ = 2π (36)
ou:
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k =
2π
λ
 (37)
O número de onda é uma grandeza angular, cuja unidade no SI é o rad/m, assim,
como a frequência angular, este é medido em rad /s:
ω =
2π
T
= 2πf (38)
Existe uma relação simples entre o período e o comprimento de onda, que é a
velocidade de qualquer onda periódica. Por de�nição, a velocidade da onda é a
distância de um comprimento de onda percorrida por um período T. Assim, tem-se:
v =
λ
T (39)
Como qualquer outro movimento harmônico, o período está relacionado à
frequência:
f =
1
T
 (40)
Logo, a velocidade de propagação da onda também pode ser escrita em termos da
frequência:
v = λf (41)
Essa terminologia para as relações fundamentais da frequência e velocidade
aplicam-se tanto para ondas transversais quanto para as ondas longitudinais.
Para descrever uma onda movendo-se com velocidade v, devemos trocar x na
expressão y(x, 0) por x vt, obtendo:
y(x, t) = Acos[k(x − vt)] (42)
Sabemos que k = 2π /λ e v = λ /T. Logo, o argumento da função cosseno torna-se:
kvt =
2π
λ
λ
T
t =
2π
T
t (43)( )( )
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Um sur�sta rema para além de onde quebram-se as ondas de forma senoidal, com cristas
de 14 m de distância. Este oscila em uma crista com comprimento vertical de 3,6 m, um
processo que leva 1,5 segundos. É possível a�rmar que a equação que descreve a onda é
igual:
a) a equação apresenta uma forma do tipo y(x, t) = y1 cos (0, 100x − ωt).
b) a equação é descrita por y(x, t) = y1 cos (0, 449x − 1, 5t).
c) y(x, t) = 1, 8 cos (0, 449x − 2, 09t).
d) y(x, t) = 10 cos (0, 449x − 2, 09t).
e) y(x, t) = 3, 6 cos (0, 449x − 2, 09t).
Superposição e Interferência de
Ondas
Muitas vezes, duas ou mais ondas sonoras estão presentes no mesmo lugar, ao
mesmo tempo. Um exemplo são as ondas sonoras quando todo mundo está falando
em uma festa ou quando a música toca nos alto-falantes do sistema de som estéreo.
A Figura 1.20 ilustra esse tipo de situação. Ela mostra dois pulsos transversais de
alturas iguais, ambos “para cima”, movendo-se um em direção ao outro. Quando eles
se encontram, os dois pulsos se fundem e formam outro, que é a soma individual de
cada pulso. Esse é um exemplo do princípio de superposição linear.
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Princípio da superposição: quando duas ou mais ondas sobrepõem-se, a onda
resultante é a soma algébrica das ondas individuais. Matematicamente, quando as
ondas sobrepõem-se, o deslocamento da corda é dado pela soma algébrica:
y ′ (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) (45)
Esse princípio pode ser aplicado a todos os tipos de ondas.
No ponto de encontro das duas ondas que você viu na �gura, as cristas coincidem-se,
e a amplitude da onda resultante é, momentaneamente, a soma das duas. Nesse
caso, interferem construtivamente.
Vamos aplicar o princípio de superposição a duas ondas senoidais propagando-se no
mesmo sentido em um meio. As duas ondas podem ter a mesma frequência, mesmo
comprimento de onda e amplitude, mas fases diferentes. Assim, escrevemos:
y1(x, t) = Asen kx − ωt − ϕ1 (46)
Figura 1.20 - Exemplo de superposição linear
Fonte: Halliday (2016, p. 132).
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y2(x, t) = Asen kx − ωt − ϕ2 (47)
ϕ1 e ϕ2 são as constantes de fase de cada onda. Se essas ondas encontrarem-se, a
função de onda resultante é, de acordo com o princípio da superposição:
y(x, t) = y1 + y2 = 2Acos(Δϕ)sen kx − ωt − ϕ
′ (47)
Em que usamos a identidade trigonométrica:
sena + senb = 2coscos 
a − b
2
 sen
a + b
2
 (48)
A constante de fase da onda resultante é dada por ϕ =
ϕ1 +ϕ2
2 .
A função y também é senoidal e tem a mesma frequência e comprimento de onda das
ondas individuais. A amplitude resultante é dada por:
y(x, t) = 2Acos
Δϕ
2 (49)
Em que Δϕ = ϕ2 − ϕ1 é a diferença de fase entre as ondas. Se for zero, a amplitude da
onda resultante é 2A, ou seja, o dobro da amplitude das ondas individuais. Nesse
caso, as duas ondas interferem construtivamente. A condição geral, para que
aconteça uma interferência construtiva, é:
Δϕ = 2mπ (m = 0, ± 1, ± 2, …)
Por outro lado, se $\Delta \phi $ é qualquer múltiplo ímpar de $\pi $,
Δϕ = (2m + 1)π (m = 0, ± 1, ± 2, …) (51)
A onda resultante tem amplitude nula, ou seja, as duas ondas interferem
destrutivamente. Nesse caso, o máximo de uma onda coincide com o mínimo da
outra.
( )
( )
( ) ( )
( )
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indicações
Material
Complementar
L IVRO
Vibrações e ondas
Editora: IST Press
Autor: João Paulo Silva
ISBN: 978-9898481146
Comentário: o livro cobre, essencialmente, todos os tópicos
de um curso introdutório em vibrações e ondas. Os temas
são abordados recorrendo, geralmente, a exemplos de
mecânica ou eletromagnetismo, sendo, também, dados
vários exemplos da física subatômica. Frequentemente, o
estudo de vibrações é associado a outros temas
(termodinâmica, óptica, etc.) e, nesses casos, o presente
livro cobrirá o programa de vibrações.
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Também sabemos que ω = 2π /T. A frequência angular que descreve o movimento
harmônico simples é a mesma na descrição do movimento ondulatório. Não é de
admirar-se, pois, em um ponto �xo no espaço, a onda oscila como um oscilador
harmônico simples. Dessa maneira, podemos escrever uma onda que se propaga na
forma senoidal como:
y(x, t) = Acos[kx ± ωt)] (44)
Em que usamos o sinal de +/– para descrever uma onda propagando-se na direção de
x positivo (sinal negativo) e na direção de x negativo (sinal positivo). O argumento do
cosseno é chamado de fase da onda. Para compreender melhor o assunto,
acompanhe o seguinte exemplo prático.
praticarVamos Praticar
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WEB
O que signi�ica a descoberta das ondas
gravitacionais?
Ano: 2016
Comentário: as ondas gravitacionais são ondulações na
curvatura do espaço-tempo, que se propagam para o
exterior, a partir da fonte. São ondas transversais, as quais
comprimem e esticam o que estiver em seu caminho.
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=jMVAgCPYYHY
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conclusão
Conclusão
Você estudou os elementos dos fenômenos ondulatórios e suas aplicações. Primeiro,
você entendeu a dinâmica do movimento oscilatório, por meio de um exemplotípico,
um corpo ou partícula de massa m, ligado a uma mola horizontal. Nesse caso, surge
uma força restauradora da forma Fx = kx, em que k é uma constante, e x é o
deslocamento da partícula em relação à sua posição de equilíbrio. Depois, com base
na segunda lei de Newton, você viu como resolver a equação de movimento do
sistema.
Ademais, vimos que a energia está continuamente sendo transferida nas formas de
energia potencial U e energia cinética K, sendo U máxima quando K é zero, e vice-
versa. A energia total no sistema é constante, ou seja, E = U + K =
1
2 kA
2, já que o
sistema não é dissipativo.
Como aplicação do movimento oscilatório, você estudou o pêndulo simples, que
consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um �o de comprimento L.
Na segunda parte, foram observados os elementos de uma onda progressiva, em
particular, de uma onda harmônica. Você aprendeu, também, o princípio da
superposição: quando duas ondas sobrepõem-se, a onda resultante é a soma
algébrica das ondas individuais, podendo ocorrer uma interferência construtiva ou
destrutiva.
O movimento oscilatório ocorre em todo o mundo físico. As moléculas de água
oscilam para aquecer a comida em um forno micro-ondas, por exemplo. Edifícios e
pontes sofrem movimentos desse tipo. Como engenheiro, você precisará realizar
estudos detalhados desses fenômenos, para evitar resultados desastrosos.
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referências
Referências
Bibliográ�cas
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Jr. Física para cientistas e engenheiros: oscilações,
ondas e termodinâmica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações
e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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