Compilado de provas resolvidas PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (PE) UnB

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Probabilidade e Estatística: 00001 2
1. Questão
Em uma pesquisa realizada no Itapoã, em que foram entrevistadas 177 moradores dessa
região, na periferia do Distrito Federal, verificou-se que a renda per capita mensal média é
de 701.06 reais. Sabe-se que o desvio padrão populacional é de 127.65 reais. Com base
nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para a
renda per capita mensal média dessas pessoas com 95% de confiança.
(a) [699.67, 702.45]
(b) [682.25, 719.87]
(c) [699.65, 702.47]
(d) [682.16, 719.96]
(e) [699.64, 702.48]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é conhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 95%) =
[
x̄ − zα/2
σ√
n
, x̄ + zα/2
σ√
n
]
=
[
701.06 − 1.96 × 127.65√
177
, 701.06 + 1.96 × 127.65√
177
]
= [682.25, 719.87].
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Uma amostra de 18 dias do número de ocorrências policiais em um certo bairro apresentou
média de 18 e desvio padrão de 4.04. Com base nas informações, assinale a alternativa
correspondente ao intervalo de confiança para o número de ocorrências policiais com con-
fiança de 99%.
(a) [17.35, 18.65]
(b) [15.54, 20.46]
(c) [17.42, 18.58]
(d) [15.24, 20.76]
(e) [16.90, 19.10]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é desconhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 99%) =
[
x̄ − tα/2;n−1
s√
n
, x̄ + tα/2;n−1
s√
n
]
=
[
18 − 2.8982 × 4.04√
18
, 18 + 2.8982 × 4.04√
18
]
= [15.24, 20.76].
Probabilidade e Estatística: 00001 3
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
3. Questão
Uma empresa de telefonia celular garante cobertura de sinal em pelo menos 83% do ter-
ritório do Distrito Federal. A fim de testar essa hipótese, uma agência fiscalizadora sele-
cionou uma amostra aleatória simples de 40 coordenadas geográficas do DF e observou
presença de sinal telefônico em 30 delas. Assinale a alternativa correspondente ao p-valor
do referido teste.
(a) 0.08408
(b) 0.91149
(c) 0.81123
(d) 0.08851
(e) 0.45575
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a proporção. As hipóteses
de teste são
H0 : p ≥ 0.83 versus Ha : p < 0.83.
A estatística de teste normalizada é dada por
p̂ − p0
√
p0(1−p0)
n
= −1.35
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ −1.35) = 0.08851.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
4. Questão
Uma equipe de confeiteiros amadores quer testar o método de temperagem de chocolates.
Durante o processo, a manteiga de cacau assume uma forma cristalina estável que garante
um acabamento perfeito com um brilho acetinado e uma quebra (som) deliciosa. Sabe-se
que, para obter esse resultado, deve-se fazer com que os chocolates sejam produzidos,
em média, a 29°C. Foram temperados chocolates em 7 recipientes diferentes, com média
de 29.5949°C e desvio padrão de 0.81°C. Com base nas informações, assumindo que as
observações seguem uma distribuição Normal, assinale a alternativa correspondente ao
p-valor do teste para a temperatura média.
(a) 0.924
(b) 0.052
(c) 0.100
Probabilidade e Estatística: 00001 4
(d) 0.948
(e) 0.900
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é bilateral para a média com variância popu-
lacional desconhecida. As hipóteses de teste são
H0 : µ = 29 versus Ha : µ 6= 29.
A estatística de teste normalizada é dada por
|x̄ − 29|
s/
√
n
= 1.9432
e o p-valor
α∗ = 2(1 − P(T6 ≤ 1.9432)) = 0.1.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
5. Questão
Uma médica que trabalha com crianças carentes no Sol Nascente, suspeita que uma de-
terminada bactéria está causando infecção nos pequenos. O valor mínimo da concen-
tração de leucócitos no sangue, para ser considerado normal, é de 8682 mcL. Sabe-se, de
pesquisas passadas, que a variância para este tipo de medida é igual a 2000 mcL2. Para
testar se as crianças estão realmente sendo infectadas pela bactéria, 40 delas tiveram seu
sangue examinado, fornecendo x̄ = 8672.06. As hipóteses do teste e a conclusão a um
nível de significância de 5% são:
(a) H0 : x̄ = 8682 vs. Ha : x̄ = 8672.06. H0 não é rejeitada.
(b) H0 : µ ≥ 8682 vs. Ha : µ < 8682. H0 é rejeitada.
(c) H0 : µ = 8682 vs. Ha : µ 6= 8682. H0 é rejeitada.
(d) H0 : x̄ = 8672.06 vs. Ha : x̄ > 8672.06. H0 é rejeitada.
(e) H0 : µ ≥ 8682 vs. Ha : µ < 8682. H0 não é rejeitada.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância con-
hecida. As hipóteses do teste são H0 : µ ≥ 8682 vs. Ha : µ < 8682. Além disso, sabe-se
que o nível de significância é dado por
α = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) = P(X̄ < c|µ = 8682) = P
(
Z < c−8682√
2000/40
)
= 0.05.
Portanto, c−8682√
2000/40
= 1.64 ⇒ c = 8670.4.
Daí, como x̄ = 8672.06 > 8670.4, não rejeita-se H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 5
(e) Verdadeiro
6. Questão
Uma fábrica de bebidas precisa saber a quantidade média de água de coco contida em um
coco para produzir água de coco em caixinha. Para que se tenha lucro, é necessário que
cada coco contenha, pelo menos, 394 mL. Porém, acredita-se que esse número diminuiu
devido a uma seca na área produtora de cocos. Para testar tal hipótese, uma amostra
aleatória simples de 86 cocos foi selecionada resultando em uma quantidade média de
água por coco de 384 mL. Sabe-se que o desvio padrão populacional dessa quantidade
é de 38. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao p-valor do
teste de hipóteses em consideração.
(a) 0.0073
(b) 0.4963
(c) 0.2440
(d) 0.8835
(e) 0.1166
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância con-
hecida. As hipóteses de teste são
H0 : µ ≥ 394 versus Ha : µ < 394.
A estatística de teste normalizada é dada por
x̄ − 394
σ/
√
n
= −2.44
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ −2.44) = 0.0073.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Questão
A composição química do petróleo deve apresentar 85% de carbono. Um Engenheiro
Químico controla esse processo industrial retirando uma amostra aleatória e realizando
um teste de hipóteses, a fim de avaliar se, em média, a composição do petróleo produzido
está conforme especificação técnica. Para um determinado teste, o Engenheiro obteve
p-valor igual a 0.04. Dessa forma, ao nível de significância de 7%, deve-se concluir que:
(a) Não rejeita-se a hipótese nula. Não há evidência de que, em média, a composição
química está incorreta.
(b) Não rejeita-se a hipótese nula. Em média, a composição química está definitivamente
incorreta.
(c) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que, em média, a composição química
está correta.
(d) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que, em média, a composição química
está incorreta.
Probabilidade e Estatística: 00001 6
(e) Não rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que, em média, a composição química
está incorreta.
Solução
Primeiramente deve-se observar que as hipóteses do teste são:
H0 : p = 85% vs. Ha : p 6= 85%
.
Portanto, p-valor = 0.04 < 0.07 e rejeita-se H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Questão
Um levantamento de 133 casos de homicídio selecionados aleatoriamente em determi-
nado estado da Federação revela que 24% desses casos nunca foram solucionados. Com
base nas informações, assinale a alternativa correspondente a um intervalo de confiança
otimista para a proporção de homicídios, nesse estado, que não são resolvidos, com con-
fiança de 95%.
(a) [0.214, 0.266]
(b) [0.167, 0.313]
(c) [0.237, 0.243]
(d) [0.155, 0.325]
(e) [0.179, 0.301]
Solução
O intervalo de confiança requerido é expresso como
IC(p; 95%) =
[
p̂ − zα/2
√
p̂(1 − p̂)
n
, p̂ + zα/2
√
p̂(1 − p̂)
n
]
=
[
0.24 − 1.96 ×
√
0.1824
133
, 0.24 + 1.96 ×
√
0.1824
133
]
= [0.167, 0.313].
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotinados cigarros que fab-
rica é de, no máximo, 27.2 mg por cigarro. Sabendo que a quantidade de nicotina em um
cigarro tem distribuição Normal, um laboratório realiza 5 análises desse índice, obtendo
média de 27.39 mg e variância igual a 0.116. Considerando um nível de significância de
10%, as hipóteses do teste e sua conclusão são:
Probabilidade e Estatística: 00001 7
(a) H0 : x̄ = 27.2 vs. Ha : x̄ > 27.2. H0 é rejeitada.
(b) H0 : µ ≤ 27.2 vs. Ha : µ > 27.2. H0 é rejeitada.
(c) H0 : µ ≤ 27.2 vs. Ha : µ > 27.2. H0 não é rejeitada.
(d) H0 : µ = 27.2 vs. Ha : µ 6= 27.2. H0 é rejeitada.
(e) H0 : x̄ = 27.2 vs. Ha : x̄ > 27.2. H0 não é rejeitada.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância de-
sconhecida. As hipóteses do teste são H0 : µ ≤ 27.2 vs. Ha : µ > 27.2. Além disso,
sabe-se que o nível de significância é dado por
α = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) = P(X̄ > c|µ = 27.2) = P
(
Tn−1 >
c−27.2
0.34/
√
5
)
= 0.1.
Portanto, c−27.2
0.34/
√
5
= 1.53 ⇒ c = 27.43.
Daí, como x̄ = 27.39 < 27.43, não rejeita-se H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
10. Questão
Seja X uma variável aleatória com função densidade f (x ;λ) = λe−λ(x−ξ), x > ξ > 0, com ξ
um número real e parâmetro λ > 0. Considere
4.78 1.95 6.93 3.78 1.75
uma amostra observada de X e seja ξ = 1.27. Assinale a alternativa correspondente à
estimativa de máxima verossimilhança para λ desta amostra.
(a) 0.99
(b) 2.20
(c) 0.05
(d) 19.19
(e) 0.39
Solução
A função de verossimilhança da amostra é dada por
L(λ) = (λ)ne−λ
∑n
i=1(xi−ξ).
Aplicando o logarítmo, a função de log-verossimilhança é:
ℓ(λ) = n ln(λ) − λ
n
∑
i=1
(xi − ξ).
Ao derivar com respeito a λ e igualar a equação a zero, obtém-se
λ =
n
∑n
i=1(xi − ξ)
=
1
∑
n
i=1 xi
n
− ξ
Probabilidade e Estatística: 00001 8
Como a segunda derivada com repeito a λ é −n/λ2 < 0, concluimos que o EMV de λ é
λ̂ =
1
X̄ − ξ
.
Tomando a amostra (4.78, 1.95, 6.93, 3.78, 1.75), temos que a estimativa de máxima verossim-
ilhança a partir desta amostra é λ̂ = 0.389
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
Probabilidade e Estatística
1. Questão
Seja X uma variável aleatória com função densidade f (x ; θ) = θxθ−1, θ > 0 e 0 < x < 1.
Considere
0.3 0.3 0.8 0.1 0.6
uma amostra observada de X . Assinale a alternativa correspondente à estimativa de máx-
ima verossimilhança para θ desta amostra.
(a) 0.99
(b) 0.92
(c) 0.61
(d) 0.48
(e) 2.10
Solução
A função de verossimilhança da amostra é dada por
L(x ; θ) = θn
(
n∏
i=1
(xi )
)θ−1
.
Aplicando o logarítmo, a função de log-verossimilhança é:
`(θ) = n ln(θ) + (θ − 1)
n∑
i=1
ln(xi ).
Ao derivar com respeito a θ e igualar a equação a zero, obtém-se
θ =
−n∑n
i=1 ln(xi )
Como a segunda derivada com repeito a θ é nθ +
∑n
i=1 ln(xi ) < 0, uma vez que os logaritmos
de número entre 0 e 1 são negativos, concluímos que o EMV de θ é
θ̂ =
−n∑n
i=1 ln(xi )
.
Tomando a amostra (0.3, 0.3, 0.8, 0.1, 0.6), temos que a estimativa de máxima verossimil-
hança a partir desta amostra é θ̂ = 0.918
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Pesquisas indicam que, geralmente, pelo menos 64% dos pacientes com AIDS morrem
dentro de 15 anos. Nos últimos anos novas formas de tratamento apareceram e considera-
se que esta taxa foi reduzida. Em um estudo recente com 105 pacientes contaminados
com o vírus, 75 morreram dentro de 15 anos. Com base nas informações, e tomando
o resultado das pesquisas como hipótese nula, assinale a alternativa correspondente ao
p-valor do teste.
Probabilidade e Estatística
(a) 0.0280
(b) 0.0498
(c) 0.0559
(d) 0.7553
(e) 0.9441
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a proporção. As hipóteses
de teste são
H0 : p ≥ 0.64 versus Ha : p < 0.64.
A estatística de teste normalizada é dada por
p̂ − p0√
p0(1−p0)
n
= 1.59
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ 1.59) = 0.9441.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
3. Questão
A Agência Nacional de Estatísticas da Saúde (NCHS) americana indicou que, em 2002,
os norte americanos gastaram, em média, 3056 dólares com saúde e medicamentos. Um
pesquisador suspeita que, em 2005, os gastos diminuíram em virtude da disposição de
remédios genéricos. Para testar tal hipótese (alternativa), uma amostra aleatória simples
de 108 cidadãos dos EUA foi selecionada e seus gastos com saúde e medicamentos, em
2005, foram medidos, resultando em uma média amostral de 3004. Sabe-se que o desvio
padrão deste tipo de gasto é de 304. Com base nas informações, assinale a alternativa
correspondente ao p-valor do teste de hipóteses em consideração.
(a) 0.2875
(b) 0.0375
(c) 0.4812
(d) 0.0992
(e) 0.8566
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância con-
hecida. As hipóteses de teste são
H0 : µ ≥ 3056 versus Ha : µ < 3056.
A estatística de teste normalizada é dada por
x̄ − 3056
σ/
√
n
= −1.78
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ −1.78) = 0.0375.
Probabilidade e Estatística
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Um levantamento realizado pelo DataSenado sobre o projeto de lei PLS 782/2015, que
institui o pagamento de anuidade em universidades públicas por estudantes com alta renda
familiar, revela que 89% dos participantes se manifestaram contra a proposta. A pesquisa
recebeu 243 respostas. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente
ao intervalo de confiança para o percentual de eleitores contra a proposta, com confiança
de 95%. Considere que os respoondentes da pesquisa foram selecionados aleatoriamente
da população de eleitores. (Utilize a fórmula disponível no conjunto de equações fornecidas
para a prova.)
(a) [0.277, 1.503]
(b) [0.729, 1.051]
(c) [0.870, 0.910]
(d) [0.851, 0.929]
(e) [0.831, 0.949]
Solução
O intervalo de confiança requerido é expresso como
IC(p; 95%) =
[
p̂ − zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
, p̂ + zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
]
=
[
0.89− 1.96×
√
0.0979
243
, 0.89 + 1.96×
√
0.0979
243
]
= [0.851, 0.929].
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
A glicemia de jejum é um exame que mede o nível de glicose (açúcar) na circulação san-
guínea de um indivíduo em jejum (de 8 a 12 horas). Valores entre 70 e 110 mg/dL são
considerados normais. Nesse contexto, para estimar o nível médio de glicose de jejum das
pessoas de uma dada comunidade rural, pesquisadores realizaram o exame em 24 pes-
soas escolhidas ao acaso dessa comunidade, obtendo-se média e variância amostrais de
108 e 83, respectivamente. Supondo normalidade da glicemia de jejum, assinale a alter-
nativa correspondente a um intervalo de confiança para a glicemia de jejum média dessa
população com confiança de 90%.
(a) [102.073, 113.927]
Probabilidade e Estatística
(b) [105.620, 110.380]
(c) [104.813, 111.187]
(d) [104.355, 111.645]
(e) [101.222, 114.778]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é desconhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 90%) =
[
x̄ − tα/2;n−1
s√
n
, x̄ + tα/2;n−1
s√
n
]
=
[
108− 1.7139× 9.11√
24
, 108 + 1.7139× 9.11√
24
]
= [104.813, 111.187].
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
6. Questão
O Ministério da Defesa pretende realizar um novo estudo sobre o nível de interesse das
mulheres em atuar no Exército brasileiro. Considerando pesquisas anteriores, estima-
se que 2% das mulheres estejam interessadas em buscar tal opção. Qual deverá ser o
tamanho mínimo da amostra para que, para o intervalo de confiança de 97%, a margem de
erro da estimativa seja de no máximo 0.7 pontos percentuais? (Considerar a aproximação
indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas fornecidas para a prova.)
(a) 1978
(b) 1414
(c) 1884
(d) 2072
(e) 1507
Solução
O tamanho mínimo da amostra é dado por
n ≥
(z
ε
)2
× p̂ × (1− p̂)
Considerando nível de confiança de 97%, então z = 2.17. Então,
n ≥
(
2.17
0.007
)2
× 0.02× (1− 0.02) = 1883.56.
Portanto, o tamanho mínimoda amostra deve ser n = 1884.
(a) Falso
(b) Falso
Probabilidade e Estatística
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
7. Questão
Mesmo diante da exigência, prevista em lei, de percentual mínimo de candidatas mulheres
a cargos eletivos no Brasil, suspeita-se que a proporção de mulheres entre os candidatos
não aumentou nas últimas eleições. A partir de uma amostra aleatória simples de can-
didatos, um pesquisador conduziu um teste de hipótese para avaliar se as mulheres rep-
resentam menos de 30% da lista de candidatos. Foi encontrado um p-valor igual a 0.1.
Dessa forma, ao nível de significância de 9%, deve-se concluir que:
(a) Não se rejeita a hipótese nula. A proporção de candidatas mulheres é inferior a 30
(b) Rejeita-se a hipótese nula. Não há evidência de que a proporção de candidatas mul-
heres é inferior a 30
(c) Não se rejeita a hipótese nula. Não há evidência de que a proporção de candidatas
mulheres seja inferior a 30
(d) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a proporção de candidatas mulheres
é inferior a 30
(e) Não se rejeita a hipótese nula. Há evidência de que a proporção de candidatas mul-
heres é inferior a 30
Solução
Primeiramente deve-se observar que as hipóteses do teste são:
H0 : p ≥ 30% vs. Ha : p < 30%.
Como p-valor = 0.1 > 0.09, não rejeitamos H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8. Questão
Em um estudo sobre a produção de papel por eucaliptos plantados na mesma área foi me-
dida a produção individual (em resmas de papel) de uma amostra aleatória simples de 26
árvores. Obteve-se o valor médio de 21 resmas por árvore. Sabe-se que o desvio-padrão
populacional da produção de eucaliptos é de 2.94 resmas. Com base nas informações,
assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para a produção média em
toda a área plantada com 95% de confiança.
(a) [20.778, 21.222]
(b) [19.870, 22.130]
(c) [20.449, 21.551]
(d) [19.813, 22.187]
(e) [20.767, 21.233]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é conhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
Probabilidade e Estatística
IC(µ; 95%) =
[
x̄ − zα/2
σ√
n
, x̄ + zα/2
σ√
n
]
=
[
21− 1.96× 2.94√
26
, 21 + 1.96× 2.94√
26
]
= [19.870, 22.130].
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Um laboratório criou um novo método para identificar Selenoureia na água, um composto
organosselênico que se apresenta em forma de sólido branco. Para a água encanada,
a taxa de Selenoureia segue uma distribuição Normal com valor esperado de 50 ng/ml.
Retira-se uma amostra de tamanho 5 da água da torneira. A média desses valores é de
51.07 ng/ml e o desvio padrão é de 1.41. Considerando um nível de significância de 10%,
há evidências de que a média mudou?
(a) H0 : x̄ ≤ 51.07 vs. Ha : x̄ > 51.07. Há evidência de que a média (µ) mudou.
(b) H0 : µ = 50 vs. Ha : µ 6= 50. Não há evidência de que a média (µ) mudou.
(c) H0 : µ = 50 vs. Ha : µ 6= 50. Há evidência de que a média (µ) mudou.
(d) H0 : µ ≥ 50 vs. Ha : µ < 50. A média (µ) certamente se alterou.
(e) H0 : x̄ = 50 vs. Ha : x̄ = 51.07. Não há evidência de que a média não (µ) mudou.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é bilateral para a média com variância de-
sconhecida. As hipóteses do teste são H0 : µ = 50 vs. Ha : µ 6= 50. Além disso, sabe-se
que o nível de significância é dado por
α = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) = 2P(X̄ > |c| | µ = 50) = 2P
(
Tn−1 > c−501.9881/√5
)
= 0.1.
Portanto, c−50
1.41/
√
5
= 2.13⇒ c = 51.34.
Daí, como x̄ = 51.07 < 51.34, não se rejeita H0.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
10. Questão
Em um estudo sobre as condições de saúde de certa comunidade, deseja-se estimar
o número médio de remédios diferentes consumidos por pessoa por ano. A partir de
pesquisas anteriores, assume-se que o desvio padrão populacional da quantidade de
remédios consumida por um indivíduo é 3.3. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra
para que, com confiança de 96%, a média amostral não difira da média populacional por
mais de 0.3 unidades?
Probabilidade e Estatística
(a) 371
(b) 128
(c) 585
(d) 318
(e) 509
Solução
O tamanho mínimo da amostra é dado por
n ≥
(
z × σ
ε
)2
Considerando nível de confiança de 96%, então z = 2.05. Então,
n ≥
(
2.05× 3.3
0.3
)2
= 508.5.
Portanto o tamanho mínimo da amostra deve ser n = 509.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
Probabilidade e Estatística
1. Questão
A foto de um Chevrolet Camaro com um cilindro de gás natural no porta-malas viralizou
nas redes sociais. A queima do GNV, gás natural veicular, é reconhecidamente uma das
mais limpas, além de ter o menor custo benefício em relação ao preço da gasolina e do
etanol. Deseja-se estimar o custo médio de 1m³ de GNV. Em anos anteriores o desvio
padrão populacional dos preços foi de 0.21 reais. Em um levantamento por amostragem
aleatória de postos de abastecimento, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para
que, com confiança de 97.5%, a média amostral não difira da média populacional por mais
de 0.01 reais?
(a) 2213
(b) 1384
(c) 1695
(d) 554
(e) 2656
Solução
O tamanho mínimo da amostra é dado por
n ≥
(
z × σ
ε
)2
Considerando nível de confiança de 97.5%, então z = 2.24. Então,
n ≥
(
2.24× 0.21
0.01
)2
= 2212.76.
Portanto o tamanho mínimo da amostra deve ser n = 2213.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Seja X uma variável aleatória com função densidade f (x ;β) = (γβ)(xβ)γ−1 exp[−(xβ)γ ],
x ≥ 0, β > 0 e γ > 0 conhecido. Suponha γ = 2 e considere
7 4 3 3 3
uma amostra aleatória simples de X . Assinale a alternativa correspondente à estimativa
de máxima verossimilhança para β dessa amostra.
(a) 0.51
(b) 4.00
(c) 0.05
(d) 0.16
(e) 0.60
Probabilidade e Estatística
Solução
A função de verossimilhança da amostra é dada por
L(β) = (γβ)n
n∏
i=1
(xiβ)γ−1 exp
[
−βγ
n∑
i=1
xγi
]
.
Aplicando o logaritmo, a função de log-verossimilhança é:
`(β) = n [ln(γ) + ln(β)] + (γ − 1)
[
n ln(β) +
n∑
i=1
ln(xi )
]
− βγ
n∑
i=1
xγi .
Ao derivarmos com respeito a β e igualarmos a equação a zero, obtemos
β =
[
n
γ
∑n
i=1 x
γ
i
] 1
γ
.
Como a segunda derivada com repeito a β é − γ
β2
− γ(γ − 1)βγ−2
∑n
i=1 x
γ
i < 0, concluímos
que o EMV de γ é
β̂ =
[
n
γ
∑n
i=1 x
γ
i
] 1
γ
.
Tomando a amostra (7, 4, 3, 3, 3), temos que o estimador de máxima verossimilhança desta
amostra é β̂ = 0.16
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
3. Questão
Uma amostra aleatória de 20 brasileiros para verificar a quantidade de livros lidos por ano
por pessoa apresentou média amostral de 2 e desvio padrão amostral de 0.57. Com base
nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para o
número médio de livros lidos pelos brasileiros por ano com confiança de 95%.
(a) [1.944, 2.056]
(b) [1.733, 2.267]
(c) [1.750, 2.250]
(d) [1.940, 2.060]
(e) [1.723, 2.277]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é desconhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 95%) =
[
x̄ − tα/2;n−1
s√
n
, x̄ + tα/2;n−1
s√
n
]
=
[
2− 2.093× 0.57√
20
, 2 + 2.093× 0.57√
20
]
= [1.733, 2.267].
Probabilidade e Estatística
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Uma mensagem de texto comum apresenta, em geral, 7% de letras maiúsculas, enquanto
que em mensagens spam esse percentual é mais elevado. Com base na porcentagem de
letras maiúsculas em uma amostra de uma mensagem de texto, um provedor de e-mail
realiza um teste de hipóteses com o intuito de excluir automaticamente e-mails detectados
como spam. Para uma determinada mensagem, o resultado do teste teve p-valor igual a
0.02. Dessa forma, ao nível de significância de 5%, deve-se concluir que:
(a) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a mensagem não é spam.
(b) Não se rejeita a hipótese nula. Não há evidência de que a mensagem é spam.
(c) Não se rejeita a hipótese nula. A mensagem certamente não é spam.
(d)Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a mensagem é spam.
(e) Não se rejeita a hipótese nula. Há evidência de que a mensagem é spam.
Solução
Primeiramente deve-se observar que as hipóteses do teste são:
H0 : p = 7% vs. Ha : p > 7%.
Portanto, p-valor = 0.02 < 0.05 e rejeita-se H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
Uma fábrica de lâmpadas quer testar sua qualidade de produção. Sabe-se que o tempo de
vida em horas de um bulbo de lâmpada de 75W é distribuída de forma aproximadamente
normal com desvio padrão de 33.9. Uma amostra aleatória de 15 bulbos apresentou tempo
de vida médio de 1248.34 horas. Assinale a alternativa correspondente ao intervalo de
confiança para duração desses bulbos com 95% de confiança.
(a) [1231.184, 1265.496]
(b) [1229.567, 1267.113]
(c) [1243.910, 1252.770]
(d) [1245.875, 1250.805]
(e) [1243.493, 1253.187]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é conhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
Probabilidade e Estatística
IC(µ; 95%) =
[
x̄ − zα/2
σ√
n
, x̄ + zα/2
σ√
n
]
=
[
1248.34− 1.96× 33.9√
15
, 1248.34 + 1.96× 33.9√
15
]
= [1231.184, 1265.496].
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
6. Questão
Uma grande empresa de serviço de streaming deseja lançar uma nova série. Para tanto,
decidiu apresentá-la a um grupo aleatório de voluntários. Considerando séries anteriores,
a estimativa preliminar de pessoas que gostarão da série é de 75.6%. Qual deverá ser o
tamanho mínimo da amostra tal que, para um intervalo de confiança de 98%, a margem de
erro da estimativa seja de, no máximo, 2.1 pontos percentuais? (Considerar a aproximação
indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas fornecidas para a prova.)
(a) 2271
(b) 1930
(c) 2442
(d) 2612
(e) 1758
Solução
O tamanho mínimo da amostra é dado por
n ≥
(z
ε
)2
× p̂ × (1− p̂)
Considerando nível de confiança de 98%, então z = 2.33. Então,
n ≥
(
2.33
0.021
)2
× 0.756× (1− 0.756) = 2270.83.
Portanto, o tamanho mínimo da amostra deve ser n = 2271.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Questão
Uma amostra aleatória de 567 mesas atendidas de um restaurante revela que 29% delas
oferecem gorjetas aos garçons. Com base nas informações, assinale a alternativa corre-
spondente ao intervalo de confiança para a proporção das mesas que oferecem gorjetas
com confiança de 90%. (Utilize a fórmula disponível no conjunto de equações fornecidas
para a prova.)
Probabilidade e Estatística
(a) [0.026, 0.554]
(b) [0.243, 0.337]
(c) [0.274, 0.306]
(d) [−0.454, 1.034]
(e) [0.259, 0.321]
Solução
O intervalo de confiança requerido é expresso como
IC(p; 90%) =
[
p̂ − zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
, p̂ + zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
]
=
[
0.29− 1.64×
√
0.2059
567
, 0.29 + 1.64×
√
0.2059
567
]
= [0.259, 0.321].
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
8. Questão
A nota média de PE tem sido historicamente igual a 5. Desconfia-se que as provas ficaram
mais fáceis e que a nota média atual é maior. Para verificar, uma amostra de 20 notas foi
selecionada ao acaso, resultando numa média e variância amostrais iguais a 5.49 e 4.4,
respectivamente. Considerando que as notas são normalmente distribuídas e um nível de
significância de 10%, as hipóteses do teste e sua conclusão são:
(a) H0 : µ ≤ 5 vs. Ha : µ > 5. H0 não é rejeitada.
(b) H0 : µ = 5 vs. Ha : µ 6= 5. H0 é rejeitada.
(c) H0 : µ ≤ 5 vs. Ha : µ > 5. H0 é rejeitada.
(d) H0 : x̄ = 5.49 vs. Ha : x̄ > 5.49. H0 é rejeitada.
(e) H0 : x̄ = 5 vs. Ha : x̄ = 5.49. H0 não é rejeitada.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância de-
sconhecida. As hipóteses do teste são H0 : µ ≤ 5 vs. Ha : µ > 5. Além disso, sabe-se que
o nível de significância é dado por
α = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) = P(X̄ > c|µ = 5) = P
(
Tn−1 > c−5√4.4/20
)
= 0.1.
Portanto, c−5√
4.4/20
= 1.33⇒ c = 5.62.
Daí, como x̄ = 5.49 < 5.62, não se rejeita H0.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
Probabilidade e Estatística
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Em um leilão de arte moderna nos EUA, é arrecadado, em média, 350000 dólares por
quadro. Sabe-se que o desvio padrão populacional dos valores de venda é de 57749. Uma
empresa leiloeira suspeita que, no último leilão que realizaram, a arrecadação diminuiu,
possivelmente devido à temporada de tornados muito intensa. Para testar esta hipótese,
uma amostra aleatória simples de 8 quadros foi selecionada com seus valores de venda
resultando em uma média amostral de 340112 dólares. Supondo normalidade para os val-
ores das vendas de leilão de arte moderna nos EUA, assinale a alternativa correspondente
ao p-valor do teste.
(a) 0.0114
(b) 0.3422
(c) 0.3156
(d) 0.6091
(e) 0.6844
Solução
Primeiramente, deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância pop-
ulacional conhecida. As hipóteses de teste são
H0 : µ ≥ 350000 versus Ha : µ < 350000.
A estatística de teste normalizada é dada por
x̄ − 350000
σ/
√
n
= −0.48
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ −0.48) = 0.3156.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
10. Questão
Com base nos resultados do segundo turno da eleição, 79% dos eleitores votaram no can-
didato A. No entanto, a oposição desconfia do resultado oficial, alegando que uma disputa
mais acirrada entre os 2 candidatos era esperada. Com base em uma amostra aleatória
simples de 100 eleitores, o partido de oposição conduziu um teste de hipóteses e observou
que 72 pessoas haviam votado no candidato A. Assinale a alternativa correspondente ao
p-valor do referido teste.
(a) 0.9573
(b) 0.4786
(c) 0.0427
(d) 0.8520
(e) 0.0342
Probabilidade e Estatística
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a proporção. As hipóteses
de teste são
H0 : p ≥ 0.79 versus Ha : p < 0.79.
A estatística de teste normalizada é dada por
p̂ − p0√
p0(1−p0)
n
= −1.72
e o p-valor
α∗ = P(Z ≤ −1.72) = 0.0427.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
4. Problema
O tempo de reação a um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição
normal com desvio padrão igual a 2.17 minutos. 31 pacientes foram sorteados, receberam o
medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado. Da amostra, a média resultante foi
4.69 minutos. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo
de confiança para o tempo de reação médio ao medicamento com confiança de 90%.
(a) [4.05, 5.33]
(b) [4.03, 5.35]
(c) [4.58, 4.80]
(d) [4.57, 4.81]
(e) [4.35, 5.03]
Solução
Do texto, nós temos que a variância é conhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 90%) =

x̄� z↵/2
�p
n
, x̄+ z↵/2
�p
n
�
=

4.69� 1.64⇥ 2.17p
31
, 4.69 + 1.64⇥ 2.17p
31
�
= [4.05, 5.33].
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5. Problema
Uma amostra de 20 dias do número de ocorrências policiais em um certo bairro apresentou
média de 16 e desvio padrão de 1.7. Com base nas informações, assinale a alternativa cor-
respondente ao intervalo de confiança para o número de ocorrências policiais com confiança
de 99%.
(a) [15.76, 16.24]
(b) [14.91, 17.09]
(c) [15.78, 16.22]
(d) [15.32, 16.68]
(e) [15.02, 16.98]
3
Solução
Do texto, nós temos que a variância é desconhecida. Deste modo, o intervalo de confiança
requerido é expresso como
IC(µ; 99%) =

x̄� t↵/2;n�1
sp
n
, x̄+ t↵/2;n�1
sp
n
�
=

16� 2.8609⇥ 1.7p
20
, 16 + 2.8609⇥ 1.7p
20
�
= [14.91, 17.09].
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
6. Problema
Uma amostra de 2143 estudantes de uma universidade mostrou que 1684 deles consideram
que os pais fazem pressão excessiva sobre seus filhos. Com base nas informações, assinale a
alternativa correspondente ao intervalo de confiança aproximado (otimista) para proporçãoo
real de estudantes universitários que tem a mesma opinião com confiançade 99%. Aproxime
a proporção amostral com três casas de precisão.
(a) [0.395, 1.177]
(b) [0.758, 0.814]
(c) [�0.272, 1.844]
(d) [0.765, 0.807]
(e) [0.763, 0.809]
Solução
O intervalo de confiança requerido é expresso como
IC(p; 99%) =
"
p̂� z↵/2
r
p̂(1� p̂)
n
, p̂+ z↵/2
r
p̂(1� p̂)
n
#
=
"
0.786� 2.58⇥
r
0.168
2143
, 0.786 + 2.58⇥
r
0.168
2143
#
= [0.763, 0.809].
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
7. Problema
A análise dos dados históricos indica que na segunda metade do último século eram observa-
dos anualmente, em média, µ = 9 furacões no Atlântico. Um pesquisador deseja avaliar se µ
4
sofreu alteração no século atual. Considere os valores obtidos nos 10 primeiros anos do novo
século como sendo uma amostra independente de uma distribuição N(µ,�2 = 99). Nesse
contexto, se a média amostral observada foi x̄ = 14.47, então, a um ńıvel de significância de
5%, deve-se concluir que:
(a) H0 : µ = 9 vs. Ha : µ < 9. Há evidência de que o média (µ) não se alterou
(b) H0 : µ = 9 vs. Ha : µ 6= 9. Há evidência de que a média (µ) mudou.
(c) H0 : x̄ = 14.47 vs. Ha : x̄ > 14.47. Há evidência de que a média (µ) mudou.
(d) H0 : µ = 9 vs. Ha : µ 6= 9. Não há evidência de que a média (µ) mudou.
(e) H0 : x̄ = 9 vs. Ha : x̄ = 14.47. Não há evidência de que a média não (µ) mudou.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é bilateral para a média com variância conhecida.
As hipóteses do teste são H0 : µ = 9 vs. Ha : µ 6= 9. Além disso, sabe-se que o ńıvel de
significância é dado por
↵ = P (rejeitar H0|H0 é verdadeira) = 2P (X̄ > |c| | µ = 9) = 2P
✓
Z >
c�9p
99/10
◆
= 0.05.
Portanto, c�9p
99/10
= 1.96 ) c = 15.17.
Dáı, como x̄ = 14.47 < 15.17, não rejeita-se H0.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Problema
A nota média de PE tem sido historicamente igual a 5.7. Desconfia-se que as provas ficaram
mais dif́ıceis e que a nota média atual é menor. Para verificar, uma amostra de 27 notas
foi selecionada ao acaso, resultando numa média e variância amostrais iguais a 5.31 e 3.7,
respectivamente. Considerando que as notas são normalmente distribúıdas e um ńıvel de
significância de 10%, as hipóteses do teste e sua conclusão são:
(a) H0 : µ = 5.7 vs. Ha : µ < 5.7. H0 é rejeitada.
(b) H0 : x̄ = 5.31 vs. Ha : x̄ < 5.31. H0 é rejeitada.
(c) H0 : µ = 5.7 vs. Ha : µ < 5.7. H0 não é rejeitada.
(d) H0 : x̄ = 5.7 vs. Ha : x̄ = 5.31. H0 não é rejeitada.
(e) H0 : µ = 5.7 vs. Ha : µ 6= 5.7. H0 é rejeitada.
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância descon-
hecida. As hipóteses do teste são H0 : µ = 5.7 vs. Ha : µ < 5.7. Além disso, sabe-se que o
ńıvel de significância é dado por
↵ = P (rejeitar H0|H0 é verdadeira) = P (X̄ < c|µ = 5.7) = P
✓
Tn�1 <
c�5.7p
3.7/27
◆
= 0.1.
Portanto, c�5.7p
3.7/27
= 1.31 ) c = 5.22.
Dáı, como x̄ = 5.31 > 5.22, não rejeita-se H0.
(a) Falso
5
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
Em uma linha de produção, deseja-se que a taxa de itens defeituosos não ultrapasse 2%.
Caso isso ocorra, será necessário parar a máquina para avaliar o problema. Considerando
que os prejúızos em parar a máquina são muito altos, a empresa decide tomar sua decisão
realizando periodicamente um teste de hipóteses com ńıvel de significância de 5%. Para uma
determinada amostra, os responsáveis técnicos obtiveram p-valor igual a 0.06. Dessa forma:
(a) Não rejeita-se a hipótese nula. Não há evidência de que a máquina não está operando
adequadamente.
(b) Não rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a máquina está operando adequada-
mente.
(c) Não rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que de que a máquina não está operando
adequadamente.
(d) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a máquina não está operando ade-
quadamente.
(e) Rejeita-se a hipótese nula. Há evidência de que a máquina está operando adequada-
mente.
Solução
Primeiramente deve-se observar que as hipóteses do teste são:
H0 : p = 2% vs. Ha : p > 2%.
Portanto, p-valor = 0.06 > 0.05 e não rejeita-se H0.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
10. Problema
A carga axial de uma lata de alumı́nio é o peso máximo que os lados podem suportar antes
de cederem. Um fabricante de refrigerantes está testando latas com alumı́nio mais fino. Uma
amostra de 102 destas latas forneceu uma carga axial média igual a 45.24 libras. Sabe-se
que as latas utilizadas atualmente tem uma carga média de 46 libras e um desvio-padrão de
20.88 libras. Supondo que o fabricante deseja testar se a carga axial média das latas mais
finas é 46 contra a hipótese de que carga axial média das latas mais finas seja inferior à 46,
assinale a alternativa correspondente ao p-valor para o teste.
(a) 0.3486
(b) 0.5734
(c) 0.6443
(d) 0.3557
(e) 0.3222
6
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é unilateral para a média com variância con-
hecida. As hipóteses de teste são
H0 : µ = 46 versus Ha : µ < 46.
A estat́ıstica de teste normalizada é dada por
x̄� 46
�/
p
n
= �0.37
e o p-valor
↵
⇤ = P (Z  �0.37) = 0.3557.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
11. Problema
Um cientista de uma determinada cidade afirma que a proporção de crianças do sexo feminino
nascidas em um ano é de 52%. Um hospital da cidade registrou, no ano de 2018, 259 bebês
do sexo feminino num total de 467 bebês nascidos e deseja testar a afirmação do cientista.
Com base nas informações, e tomando a afirmação do cientista como hipótese nula, assinale
a alternativa correspondente ao p-valor do teste.
(a) 0.1336
(b) 0.0595
(c) 0.9145
(d) 0.9332
(e) 0.0668
Solução
Primeiramente deve-se observar que o teste é bilateral para a proporção. As hipóteses de
teste são
H0 : p = 0.52 versus Ha : p 6= 0.52.
A estat́ıstica de teste normalizada é dada por
|p̂� p|q
p0(1�p0)
n
= 1.5
e o p-valor
↵
⇤ = 2(1� P (Z  1.5)) = 0.1336.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7
12. Problema
Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x; ✓) = (✓↵)x↵�1e�✓x
↵
, x > 0, ↵
conhecido e parâmetro ✓ > 0. Considere
6.06 5.43 5.33 5.89 5.37
uma amostra observada de X e seja ↵ = 0.63. Assinale a alternativa correspondente à
estimativa de máxima verossimilhança para ✓ desta amostra.
(a) 28.08
(b) 1.99
(c) 0.34
(d) 0.04
(e) 0.32
Solução
Seja (x1, . . . , xn) um valor observado da amostra aleatória. Note que a função de verosimil-
hança é
L(✓) = c ✓ne�✓
Pn
i=1 x
↵
i , onde c =
nY
i=1
↵x
↵�1
i .
Logo, a função log-verosimilhança é dada por
`(✓) = ln(c) + n ln(✓)� ✓
nX
i=1
x
↵
i .
A ideia é maximizar a função `(✓), para tal, derivando `(✓) com respeito a ✓ temos que
`
0(✓) =
n
✓
�
nX
i=1
x
↵
i .
Logo, um posśıvel ponto de máximo é ✓ = n/
Pn
i=1 x
↵
i . Uma vez que `
00(✓) = �n/✓2 < 0 8✓,
conclúımos que ✓̂EMV = n/
Pn
i=1 X
↵
i .
Tomando a amostra (6.06, 5.43, 5.33, 5.89, 5.37), temos que o estimador de máxima verossim-
ilhança desta amostra é ✓̂ = 0.34
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8
Prova 3 de Probabilidade e Estatística – UnB – 1º semestre de 2019 
 
Questão 01 – Em determinada população, o peso dos homens adultos é distribuído 
normalmente com um desvio padrão de 19,89 Kg. Uma amostra aleatória simples de 27 homens 
adultos é sorteada desta população, obtendo-se um peso médio de 75,73 Kg. Construa um intervalo 
de confiança de 85% para o peso médio de todos os homens adultos dessa população. 
 
 
Questão 02 – Uma fábrica de carros na Europa, ants de liberá-los, testa seus carros para 
verificar se eles estão nos padrões legais de emissão de carbono, que é de até 95 gramas de CO2 
por Km. Para testar se os veículos respeitam esse critério, 31 deles foram testados fornecendo uma 
médiaamostral de 95,59. Considerando que a variância da emissão de carbono é de 2, as hipóteses 
do teste e a conclusão a um nível de significância de 5% são: 
 
 
Questão 03 – Deseja-se estimar a participação de livros de ficção no mercado editorial 
brasileiro. Considerando pesquisas anteriores, a estimativa preliminar do percentual de vendas de 
livros de ficção no Brasil é de 8,8%. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, para o 
intervalo de confiança de 95%, a margem de erro da estimativa seja de no máximo 1,1 pontos 
percentuais? (Considerar a aproximação indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas 
fornecidas para a prova.) 
 
 
Questão 04 – Uma empresa fornecedora de painéis solares garante que o produto entregue 
ao cliente supre a sua necessidade diária em pelo menos 86% dos dias do ano. Um cliente 
insatisfeito com a qualidade do seu produto decidiu realizar um teste de hipóteses e, ao sortear uma 
amostra aleatória simples de 30 dias, verificou que sua demanda foi suprida em 23 dias. Assinala a 
alternativa correspondente ao p-valor do referido teste. 
 
 
Questão 05 – A Agência Nacional de Estatística da Saúde (ACHS) americana indicou que, 
em 2002, os norte-americanos gastaram, em média, 3221 dólares com saúde e medicamentos. Um 
pesquisador suspeita que, em 2005, os gastos diminuíram em virtude da disposição de remédios 
genéricos. Para testar tal hipótese (alternativa), uma amostra aleatória simples de 101 cidadãos dos 
EUA foi selecionada e seus gastos com saúde e medicamentos, em 2005, foram medidos, 
resultando em uma média amostral de 3165. Sabe-se que o desvio padrão deste tipo de gasto é de 
302. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao p-valor do teste de 
hipóteses em consideração. 
 
 
Questão 06 – Uma amostra aleatória de 22 aeromoças que trabalham em vôos nacionais 
apresentou média amostral de horas de vôo por mês de 84, com desvio padrão amostral de 14. 
Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para o 
número médio de horas de vôo mensais das aeromoças com confiança de 95%. 
 
 
Questão 07 – A fim de estimar o resultado do 1º turno das eleições no Brasil, foi selecionada 
uma amostra aleatória de eleitores e em seguida realizada uma pesquisa sobre a intenção de votos. 
A pesquisa mostrou que determinado candidato obteve 56% das intenções de votos válidos e está 
a frente dos demais candidatos. No total, foram 116 eleitores entrevistados. Estime o intervalo de 
confiança para o resultado do candidato que irá liderar o primeiro turno com confiança de 95%. 
(Utilize a fórmula disponível no conjunto de equações fornecidas para a prova). 
 
 
Questão 08 – Um software de processamento de voz deseja descartar automaticamente 
clips cujo percentual de ruído seja superior a 70%. Utilizando uma amostra aleatória de trechos do 
clip, faz-se um teste de hipótese a fim de identificar automaticamente clips para exclusão. Para um 
determinado teste, foi encontrado um p-valor igual a 0,08. Desa forma, ao nível de significância de 
5%, deve-se concluir que: 
 
 
 
Questão 09 – Professores do Departamento de Estatística da Universidade elaboraram uma 
nova metodologia de avaliação no curso de Probabilidade e Estatística, com o objetivo de garantir 
uniformidade no processo avaliativo e na aplicação do projeto pedagógico. Sabe-se que o desvio 
padrão das notas obtidas anteriormente era de 2,4 pontos. Assumindo que a variância não se 
alterou, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, com confiança de 95%, a média 
amostral não difira da média populacional por mais de 0,9 ponto? 
 
 
Questão 10 – Seja X uma variável aleatória com função densidade: 
 
f(x;β) = (γβ)(xβ)γ-1 exp[-(xβ)γ] ,x≥0, β>0 e γ>0 conhecido. 
 
Suponha γ=2 e considere [ 5 8 8 3 8 ] uma amostra aleatória simples de X. Calcule a 
estimativa de máxima verossimilhança para β dessa amostra.