Compilado de Provas Resolvidas PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (PE) UnB

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Probabilidade e Estatística: 00001 2
1. Questão
Considere que há 13 meninas e 15 meninos em um determinado grupo de estudantes.
Uma amostra de 5 pessoas é escolhida aleatoriamente, sem reposição, nesse grupo. Seja
X a variável aleatória igual ao número de meninas nessa amostra. A probabilidade de ter
pelo menos uma menina na amostra é:
(a) 0.819
(b) 0.181
(c) 0.005
(d) 0.850
(e) 0.969
Solução
Sabe-se que, nesse contexto, X ∼ Hiper(28,13,5). Daí, temos que
p(X = x) =
(13
x
)( 15
5−x
)(28
5
) .
A probabilidade desejada é, portanto, dada por
P(X ≥ 1) = 1− P(X ≤ 0) = 1− (0.031) = 0.969.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
2. Questão
A partir de dados do último censo, a assistente social de um centro de saúde constatou
que, considerando as famílias da região, 6% não possuem filhos, 18% possui um filho,
61% possui dois filhos e as famílias restantes possuem 3 filhos. Seja X a variável aleatória
referente ao número de filhos das famílias na região. Assinale a alternativa correspondente
à variância aproximada da variável X .
(a) 7.39
(b) 1.85
(c) 0.55
(d) 3.97
(e) 0.16
Solução
Para o cálculo da variância precisamos, antes, calcular os valores de E(X ) e E(X 2):
E(X ) =
3∑
i=0
iP(X = i) = 1.85,
E(X 2) =
3∑
i=0
i2P(X = i) = 3.97.
De modo que VAR(X ) = E(X 2)− {E(X )}2 = 0.55.
Probabilidade e Estatística: 00001 3
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
3. Questão
Uma caixa contém 8 bolas azuis e 5 bolas brancas. Uma bola é extraída, sua cor observada
e, a seguir, a bola é reposta na caixa com mais 2 bolas da mesma cor. Esse processo é
repetido consecutivamente. Qual a probabilidade de se extrair uma bola azul na segunda
retirada?
(a) 0.710
(b) 0.462
(c) 0.410
(d) 0.615
(e) 0.379
Solução
Considere os eventos
A = “extrair uma bola azul na segunda retirada”,
B = “extrair uma bola branca na primeira retirada”.
Note que {B, B} forma uma partição do espaço amostral, onde P(B) = 5/13 e P(B) = 8/13.
Logo, pelo Teorema da probabilidade total tem-se
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)
=
8
15
× 5
13
+
10
15
× 8
13
≈ 0.615.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
4. Questão
Segundo a empresa de consultoria Kantar no Brasil, a confiança no noticiário político
eleitoral visto em redes sociais tem diminuído nos últimos anos por causa da ocorrên-
cia de "Fake news". Estima-se que dessas notícias veiculadas nas redes sociais 52% são
"Fake news". Se uma pessoa já leu 6 notícias em uma rede social e conseguiu checar a
veracidade delas por outra fonte confiável, qual é a probabilidade condicional de que a 9ª
notícia que ela ler seja a primeira "Fake news" lida?
(a) 0.058
(b) 0.141
(c) 0.120
(d) 0.067
(e) 0.111
Probabilidade e Estatística: 00001 4
Solução
Seja X ∼ Geo(0.52) o número de notícias lidas por uma pessoa, em uma rede social, até
ler uma "Fake news". Então, usando a propriedade da perda da memória, tem-se:
P(X = 9|X > 6) = P(X = 3) = 0.52 ∗ 0.482 = 0.12.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
5. Questão
Considere que uma determinada agência de telemarketing contacte 49999 clientes em
uma semana, e que a probabilidade da pessoa contactada comprar o produto oferecido
é de 0.004%. Utilizando a aproximação de poisson da distribuição binomial, calcule a
probabilidade dessa agência vender exatamente 4 produtos em uma dada semana?
(a) 0.910
(b) 0.106
(c) 0.098
(d) 0.894
(e) 0.090
Solução
O número de vendas tem distribuição binomial com parâmetros
X ∼ Bin(49999, 0.004%).
Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproximadamente, que
X ∼ Pois(np = λ = 2).
Portanto, a probabilidade de observarmos exatamente X = 4, é
P(X = 4) = exp (−λ)× λ4/4! = 0.090.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
6. Questão
Um editor de um jornal descobre que o número médio de erros tipográficos por página do
jornal é 5. Admitindo que o número de erros por página desse jornal segue uma distribuição
de Poisson, determine a probabilidade de que em uma determinada página o número de
erros seja maior que 2.
(a) 0.045
(b) 0.875
(c) 0.860
Probabilidade e Estatística: 00001 5
(d) 0.084
(e) 0.125
Solução
Seja X o número de erros na página, logo X ∼ Poisson(5) e portanto
P[X > 2] = 1− P[X ≤ 2]
= 1− (P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2])
= 1−
(
50e−5
0!
+
51e−5
1!
+
52e−5
2!
)
= 1− (0.007 + 0.034 + 0.875)
= 0.875
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Questão
Num exame há 4 alternativas para cada questão e apenas uma delas é correta. Um de-
terminado aluno sabe 53% das questões do exame. Se ele acertou uma determinada
questão, qual a probabilidade de que ele tenha "chutado" esta questão?
(a) 0.118
(b) 0.530
(c) 0.648
(d) 0.250
(e) 0.181
Solução
Defina os eventos
S = “O aluno sabe a questão”
C = “O aluno chutou a questão”
A = “O aluno acertou a questão”
Pelo teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P(C|A) = P(A|C)P(C)
P(A|C)P(C) + P(A|S)P(S)
=
1/4× 0.47
1/4× 0.47 + 1× 0.53
= 0.181.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 6
(e) Verdadeiro
8. Questão
Marque a alternativa correta:
(a) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(b) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
(c) Se A está contido em B, então P(A) é diferente de P(B).
(d) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos even-
tos.
(e) Um espaço amostral infinito discreto pode ser equiprovável (os elementos do espaço
amostral possuem mesma probabilidade).
Solução
(a) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P(A) seja 0 ou 1.
(b) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são
todos independentes entre si.
(c) Falso. Não necessariamente. Se P(B − A) = 0, então P(A) = P(B).
(d) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
(e) Falso. Caso os elementos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabili-
dade, a soma das probabilidades será infinita.
9. Questão
Em um circuito elétrico, pelo menos dois dos três componentes (A, B e C) devem estar
ativos para que o circuito funcione. A probabilidade de A e B estarem ativos é 0.21, A e C
ativos é 0.38 e B e C ativos é 0.21. Sabendo que a probabilidade de todos os componentes
funcionarem conjuntamente é de 0.11, qual é a probabilidade do circuito não funcionar?
(a) 0.200
(b) 0.420
(c) 0.530
(d) 0.365
(e) 0.310
Solução
Considere os seguintes eventos:
A: Componente A ativo
B: Componente B ativo
C: Componente C ativo
Então, a probabilidade do circuito não funcionar é dada por
P(Não funcionar) = 1− P(A
⋂
B)− P(A
⋂
C)− P(B
⋂
C) + 2× P(A
⋂
B
⋂
C)
P(Não funcionar) = 1− 0.21− 0.38− 0.21 + 2× 0.11 = 0.42
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 7
10. Questão
Uma certa fábrica de canetas esferográficas tem encontrado defeito em 1% de sua pro-
dução. Assumindo independência entre as falhas, a probabilidade de, entre 146 canetas,
pelo menos uma ser defeituosa é:
(a) 0.626
(b) 0.970
(c) 0.769
(d) 0.460
(e) 0.030
Solução
Seja X o número de canetas defeituosas na amostra, sabe-se que X ∼ Binomial(146, 0.01).
Portanto,
P(X > 0) = 1− P(X = 0) = 1− 0.231 = 0.769.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
1. Problema
Marque a alternativa correta:
(a) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
(b) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(c) Se A está contido em B, então P (A) é diferente de P (B).
(d) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos eventos.
(e) Um espaço amostral infinito pode ser equiprovável (os elementos do espaço amostral
possuem mesma probabilidade).
Solução
(a) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são todos
independentes entre si.
(b) Falso. Um evento A pode ser independentede si mesmo caso P (A) seja 0 ou 1.
(c) Falso. Não necessariamente. Se P (B −A) = 0, então P (A) = P (B).
(d) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
(e) Falso. Caso os elemnentos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabilidade,
a soma das probabilidades será infinita.
2. Problema
Dentre 5 números positivos e 8 negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição)
e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?
(a) 0.363
(b) 0.124
(c) 0.901
(d) 0.487
(e) 0.385
Solução
No total, existem
(
13
2
)
modos distintos de escolhermos os dois números. Para que o produto
seja positivo devemos ter dois números positivos, que podem ser escolhidos de
(
5
2
)
maneiras
distintas, ou dois números negativos, que podem ser escolhidos de
(
8
2
)
maneiras distintas.
Segue que a probabilidade desejada é(
5
2
)
+
(
8
2
)(
13
2
) = 0.487.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
3. Problema
Sabe-se que 72% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores de
clubes estrangeiros. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 69% se o cobrador
for de um clube estrangeiro e de 91% se o cobrador for de um clube nacional. Suponha
que um pênalti foi marcado a favor do Brasil. Qual a probabilidade de que um pênalti seja
convertido?
1
(a) 0.34
(b) 0.25
(c) 0.50
(d) 0.66
(e) 0.75
Solução
Defina os eventos
E = “O cobrador é de clube estrangeiro”
N = “O cobrador é de clube nacional”
C = “O cobrador converte o pênalti”
Pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade desejada é dada por
P (C) = P (C|E)P (E) + P (C|N)P (N) = 0.69× 0.72 + 0.91× 0.28 = 0.75.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
4. Problema
Suponha que 13% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 87% são urbanos. Suponha
ainda que 85% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana
esse valor é de 32%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva
ser da área rural?
(a) 0.110
(b) 0.389
(c) 0.716
(d) 0.278
(e) 0.284
Solução
Defina os eventos
R = “O imóvel é rural.”
U = “O imóvel é urbano.”
NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (R|NC) = P (NC|R)× P (R)
P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U)
=
0.85× 0.13
0.85× 0.13 + 0.32× 0.87
= 0.284.
2
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5. Problema
O tempo até a falha (em milhares de horas) de um certo componente eletrônico pode ser
representado por uma variável aleatória seguindo distribuição exponencial com média igual
a 8. Instalados cinco desses componentes, qual a probabilidade de exatamente dois deles
estarem funcionando após 4 mil horas de uso?
(a) 0.694
(b) 0.694
(c) 0.306
(d) 0.224
(e) 0.345
Solução
Seja X o tempo de vida de um componente. Então X ∼ Exponencial(0.125). Logo, a
probabilidade de que um componente dure mais que 4 mil horas é dada por P (X > 4) =
e−0.125×4 = 0.607. Assim, se cinco componentes são instalados, o número Y de componentes
funcionando após 4 mil horas é uma variável aleatória seguindo distribuição binomial com
parâmentros n = 5 e p =0.607. Portanto, P (Y = 2) = 5!2!3!0.607
20.3933 = 0.224.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
6. Problema
Suponha que a probabilidade de que um jogador de basquete acerte a cesta em um lance
livre seja 0.80, e que os lançamentos sejam independentes. Considere que o jogador continue
a realizar os lançamentos até que cometa um erro. Qual a probabilidade de que ele acerte
pelo menos 2 cestas antes de cometer o primeiro erro?
(a) 0.512
(b) 0.640
(c) 0.032
(d) 0.488
(e) 0.128
Solução
Seja X o número de cestas antes do primeiro erro. Então X ∼ Geométrica(0.20), isto é,
P (X = x) = 0.80x0.20. Assim, P (X ≥ 2) = P (acertar os 2 primeiros lances) = 0.802=0.640.
(a) Falso
3
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Para inspecionar um lote de 10 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
6 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 2 das 10 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.040
(b) 0.133
(c) 0.200
(d) 0.160
(e) 0.262
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do
lote é dada por
P (X = 0) =
(
8
6
)(
2
0
)(
10
6
) = 0.133.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
8. Problema
Considere que o número de requisições que chegam a um determinado servidor, por minuto,
é uma variável aleatória que segue distribuição Poisson com variância igual a 1.34. Suponha
que a capacidade de atendimento do servidor é de, no máximo, 2 requisições por minuto.
Qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto escolhido ao acaso, o servidor
não consiga atender a todas as requisições que forem feitas?
(a) 0.040
(b) 0.152
(c) 0.732
(d) 0.268
(e) 0.848
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de requisições. Uma vez que a capacidade é
de, no máximo, 2 requisições por minuto, a probabilidade desejada é dada por
P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1−
2∑
k=1
e−1.34
1.34k
k!
= 0.152.
(a) Falso
4
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
Qual é o erro, em valor absoluto, da aproximação Poisson a Binomial do seguinte problema:
A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 6%. Numa instalação com 20
lâmpadas, qual é a probabilidade de exatamente 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?
(a) 0.071
(b) 0.046
(c) 0.006
(d) 0.008
(e) 0.223
Solução
O número de lâmpadas queimadas X tem distribuição X ∼ Bin(20, 0.06). Utilizando a
aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se que X ∼ Poisson(20× 0.06). E o erro da
aproximação, quando X = 2, é dado por
P (X = 2|X ∼ Bin(20, 0.06))− P (X = 2|X ∼ Poisson(20× 0.06)) = 0.2246− 0.2169.
Portanto, o valor absoluto do erro é 0.008.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
10. Problema
Seja X uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
fX(x) =

0, se x < 1;
cx3, se 1 ≤ x < 2;
4.2 exp(−x), se 2 ≤ x < 3;
0, se x ≥ 3.
Qual é o valor de P(X < 1.8)?
(a) 0.362
(b) 0.596
(c) 0.638
(d) 0.404
(e) 0.170
5
1. Problema
Dentre 5 números positivos e 4 negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição)
e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?
(a) 0.556
(b) 0.005
(c) 0.348
(d) 0.739
(e) 0.444
Solução
No total, existem
(
9
2
)
modos distintos de escolhermos os dois números. Para que o produto
seja positivo devemos ter dois números positivos, que podem ser escolhidos de
(
5
2
)
maneiras
distintas, ou dois números negativos, que podem ser escolhidos de
(
4
2
)
maneiras distintas.
Segue que a probabilidade desejada é(
5
2
)
+
(
4
2
)(
9
2
) = 0.444.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
2. Problema
Considere que P (A) = 1/3, P (C) = 1/4 e P (A ∩ B) = 1/5, sendo A e C eventos indepen-
dentes, e B e C eventos disjuntos. Calcule P ((B ∪ C)|A).
(a) 0.017
(b) 0.451
(c) 0.050
(d) 0.283
(e) 0.850
Solução
Pela definição de probabilidade condicional, P ((B∪C)|A) = P ((B∪C)∩A)P (A) =
P ((B∩A)∪(C∩A))
P (A) .
Como B e C são disjuntos, então são também disjuntos os eventos (B ∩A) e (C ∩A). Logo,
P ((B ∩A)∪ (C ∩A)) = P (B ∩A) + P (C ∩A). Além disso, como A e C são independentes,
então P (C ∩ A) = P (C)P (A). Dáı, temos que P ((B∩A)∪(C∩A))P (A) =
P (B∩A)+P (C)P (A)
P (A) =
0.200+0.250∗0.333
0.333 = 0.850.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
1
3. Problema
Considere uma questão de múltipla escolha com 5 alternativas.Suponha que um aluno pode
ter certeza da resposta correta com probabilidade de 9%, ter dúvida quanto a resposta correta
com probabilidade de 28% ou não ter nenhuma ideia da resposta correta com probabilidade
de 63%. Ao ter certeza, o aluno sempre acerta a questão, enquanto que no caso de dúvida
ele acerta com probabilidade de 37% e, sem saber, ele faz uma escolha aleatória. Qual a
probabilidade do aluno acertar a questão?
(a) 0.194
(b) 0.333
(c) 0.351
(d) 0.523
(e) 0.320
Solução
Defina os eventos
C = “O aluno tem certeza da resposta correta.”
D = “O aluno tem dúvida quanto a resposta correta.”
N = “O aluno não sabe a resposta correta.”
Pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade desejada é dada por
P (A) = P (A|C)P (C)+P (A|D)P (D)+P (A|N)P (N) = 1×0.09+0.37×0.28+0.2×0.63 = 0.32.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
4. Problema
Suponha que 3.1% dos homens e 0.4% das mulheres da população sejam daltônicos. Suponha
também que 47.7% da população é formada por homens. Qual a probabilidade de que uma
pessoa seja mulher sabendo que esta pessoa é daltônica?
(a) 0.876
(b) 0.124
(c) 0.002
(d) 0.523
(e) 0.004
Solução
Defina os eventos
D = “A pessoa é daltônica”
M = “A pessoa é do sexo masculino”
F = “A pessoa é do sexo feminino”
Pelo teorema de bayes, a probabilidade desejada é dada por
2
Fabio William Souza L.
escolha aleatória = 1/5 = 0,20
Fabio William Souza L.
PROBLEMA 4: O resultado dá a letra E, mas o cálculo que é apresentado tem como resposta a letra B. Então, o gabarito é a letra B e não a letra E.
P (F |D) = P (D|F )P (F )
P (D|F )P (F ) + P (D|M)P (M)
=
0.004× 0.523
0.004× 0.523 + 0.031× 0.477
= 0.004.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5. Problema
Suponha que 15% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em
um determinado jogo de futebol esse jogador teve 6 chutes a gol, qual a probabilidade de ter
convertido mais de 1 gol?
(a) 0.556
(b) 0.224
(c) 0.623
(d) 0.601
(e) 0.776
Solução
Seja X a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(6, 0.15)
e a probabilidade desejada é dada por
1− P (X = 0)− P (X = 1) = 1−
(
6
0
)
0.150(1− 0.15)6−0 −
(
6
1
)
0.151(1− 0.15)6−1 = 0.2235.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
6. Problema
Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia
responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do cliente com probabilidade 0.02.
Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 4 pedidos para que o primeiro
cancelamento seja realizado?
(a) 0.0426
(b) 0.0188
(c) 0.0100
(d) 0.0160
(e) 0.0792
3
Solução
Como o experimento é repetido até que ocorra um sucesso, estamos diante de uma dis-
tribuição geométrica de parâmetro 0.02. Desse modo, representando por X a variável
aleatória relativa ao o número de pedidos necessários para que o primeiro cancelamento
seja realizado, a probabilidade desejada é dada por
P (X = 4) = 0.983 × 0.02 = 0.0188.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Um livreiro descuidado mistura 5 exemplares defeituosos junto com outros 5 perfeitos de
um certo livro didático. Se 4 amigas vão a essa livraria para comprar seus livros escolares e
cada uma compra um livro, então qual a probabilidade de que exatamente duas delas leve
um livro defeituoso?
(a) 0.738
(b) 0.476
(c) 0.476
(d) 0.262
(e) 0.571
Solução
Consideremos o conjunto de N = 10 livros, dos quais b = 5 são defeituosos. Seja X o número
de livros com defeito dentre os n = 4 comprados. EntãoX segue distribuição hipergeométrica
com parâmetros N , b e n. Assim, P (X = 2) =
(52)(
5
2)
(104 )
=0.476.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
8. Problema
Considere que o número de requisições que chegam a um determinado servidor, por minuto,
é uma variável aleatória que segue distribuição Poisson com variância igual a 1.8. Suponha
que a capacidade de atendimento do servidor é de, no máximo, 2 requisições por minuto.
Qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto escolhido ao acaso, o servidor
não consiga atender a todas as requisições que forem feitas?
(a) 0.019
(b) 0.372
(c) 0.628
(d) 0.731
4
(e) 0.269
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de requisições. Uma vez que a capacidade é
de, no máximo, 2 requisições por minuto, a probabilidade desejada é dada por
P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1−
2∑
k=1
e−1.8
1.8k
k!
= 0.269.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
9. Problema
Em um dia ensolarado, a probabilidade de um motociclista sofrer um acidente de moto (caso
a use) é de 0.0004. Considerando que acidentes ocorrem de forma independente (uns dos
outros), se, em um dia de sol, 6500 motociclistas pilotarem suas motos, qual é a probabilidade
de observarmos exatamente 5 acidentes?
(a) 0.074
(b) 0.078
(c) 0.926
(d) 0.917
(e) 0.083
Solução
O número de acidentes tem distribuição binomial com parâmetros n e p, ou seja, X ∼
Bin(6500, 0.0004). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproxi-
madamente, que X ∼ Poisson(np = 2.6). Portanto, a probabilidade de observarmos exata-
mente X = 5, é dada por
P (X = 5|X ∼ Bin(6500, 0.0004)) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(2.6)) = 7.4%.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
10. Problema
Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada
por
fX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 1;
3
4 , se 1 < x ≤ 2;
0, se x > 2.
Qual o valor de E(X)?
(a) 1
5
Fabio William Souza L.
PROBLEMA 10 não cai na Prova 1. É conteúdo apenas da PROVA 2.
1. Problema
Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões
em uma mesma casa. Qual a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha
nem na mesma coluna?
(a) 0.5000
(b) 0.0500
(c) 0.1667
(d) 0.3333
(e) 0.0004
Solução
Há 36 casas no tabuleiro. O número de maneiras de selecionarmos as casas para colocar
o botão é
(
36
6
)
. Como cada linha e cada coluna conterá exatamente um botão, existem 6
maneiras de escolher a casa que será utilizada na primeira linha, 5 maneiras de escolher a
segunda linha e assim por diante; desse modo temos 6! maneiras de distribuir os botões sem
que hajam dois na mesma linha ou na mesma coluna. Segue que a probabilidade desejada é
6!(
36
6
) = 4e− 04.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.500
(b) 0.420
(c) 0.216
(d) 0.592
(e) 0.333
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.45)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4082 e P (A) = 0.5918. E as probabilidades em dois lançamentos são
dadas por:
P (AA) = 0.5918× 0.5918 = 0.3503
P (AO) = 0.5918× 0.4082 = 0.2416
P (OA) = 0.2416
P (OO) = 0.4082× 0.4082 = 0.1666
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.3503
0.8334
= 0.42.
1
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3. Problema
O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos
os véıculos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 35%,
25% e 40% dos véıculos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidade 0.3, 0.2 e
0.25, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade de que o
para-brisas do seu véıculo não seja lavado?
(a) 0.250
(b) 0.015
(c) 0.255(d) 0.750
(e) 0.085
Solução
Sejam os eventos
J=João realiza o atendimento
M=Marcelo realiza o atendimento
R=Raul realiza o atendimento
N=o para-brisas não é lavado
Pelo enunciado tem-se P (J) = 0.35, P (M) = 0.25, P (R) = 0.4, P (N |J) = 0.3, P (N |M) =
0.2 e P (N |R) = 0.25. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P (N) =
P (J)P (N |J) +P (M)P (N |M) +P (R)P (N |R) = 0.35× 0.3 + 0.25× 0.2 + 0.4× 0.25 = 0.255
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
Suponha que 11% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 89% são urbanos. Suponha
ainda que 77% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana
esse valor é de 49%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva
ser da área rural?
(a) 0.521
(b) 0.436
(c) 0.085
(d) 0.837
(e) 0.163
2
Solução
Defina os eventos
R = “O imóvel é rural.”
U = “O imóvel é urbano.”
NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (R|NC) = P (NC|R)× P (R)
P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U)
=
0.77× 0.11
0.77× 0.11 + 0.49× 0.89
= 0.163.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5. Problema
Suponha que 36% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em
um determinado jogo de futebol esse jogador teve 15 chutes a gol, qual a probabilidade de
ter convertido mais de 1 gol?
(a) 0.999
(b) 0.998
(c) 0.012
(d) 0.988
(e) 0.990
Solução
SejaX a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(15, 0.36)
e a probabilidade desejada é dada por
1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−
(
15
0
)
0.360(1−0.36)15−0−
(
15
1
)
0.361(1−0.36)15−1 = 0.9883.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
6. Problema
Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia
responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do cliente com probabilidade 0.02.
Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 4 pedidos para que o primeiro
cancelamento seja realizado?
3
(a) 0.0100
(b) 0.0188
(c) 0.0417
(d) 0.0160
(e) 0.0829
Solução
Como o experimento é repetido até que ocorra um sucesso, estamos diante de uma dis-
tribuição geométrica de parâmetro 0.02. Desse modo, representando por X a variável
aleatória relativa ao o número de pedidos necessários para que o primeiro cancelamento
seja realizado, a probabilidade desejada é dada por
P (X = 4) = 0.983 × 0.02 = 0.0188.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Para inspecionar um lote de 13 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 1 das 13 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.006
(b) 0.077
(c) 0.527
(d) 0.071
(e) 0.385
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do
lote é dada por
P (X = 0) =
(
12
8
)(
1
0
)(
13
8
) = 0.385.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
8. Problema
Considere que a chegada de aviões em um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson.
Atualmente, a taxa de chegada é de 0,5 avião por minuto, em média, e o aeroporto também
possui capacidade para atender 0,5 avião por minuto. A previsão para os próximos 10 anos
é que o tráfego aéreo irá aumentar em 4 vezes e a capacidade de atendimento será ampliada
em 2 vezes. Caso essas previsões se confirmem, qual a probabilidade de haver aviões sem
atendimento imediato daqui a 10 anos em um dado minuto?
4
(a) 0.594
(b) 0.865
(c) 0.080
(d) 0.406
(e) 0.393
Solução
Sejam X e Y variáveis aleatórias representando a quantidade de aviões que pousam em um
dado minuto no aeroporto, atualmente e em 10 anos, respectivamente.
Então, X ∼ Poisson(0.5) e Y ∼ Poisson(2).
Considerando que a capacidade do aeroporto para daqui há 10 anos será de atender 1 aviões
por minuto, a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato é dada pela proba-
bilidade de chegar mais do que 1 aviões em um dado minuto, ou seja,
P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 1) = 0.594.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.419
(b) 0.175
(c) 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 5, é dada por
P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5
10. Problema
Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada
por
fX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 1;
3
4 , se 1 < x ≤ 2;
0, se x > 2.
Qual o valor de E(X)?
(a) 27/32
(b) 1
(c) 18
(d) 3/4
(e) 21/16
Solução
Para que uma função seja densidade de probabilidade de uma variável aleatória, a integral,
tomada no conjunto dos reais, deve ser um. Para a função f(x) definida acima, segue que∫ 2
0
f(x)dx =
∫ 1
0
cx2dx+
∫ 2
1
3
4
dx
=
cx3
3
∣∣∣∣1
0
+
3x
4
∣∣∣∣2
1
=
c
3
+
3
4
.
A integral acima será um se, e somente se, c = 3/4. Finalmente, a esperança é dada por
∫ 2
0
xf(x)dx =
∫ 1
0
3x3
4
dx+
∫ 2
1
3x
4
dx
=
3x4
16
∣∣∣∣1
0
+
3x2
8
∣∣∣∣2
1
=
3
16
+
9
8
=
21
16
.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
11. Problema
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade acumulada:
F (x) =

0, se x < −1
1/8, se − 1 ≤ x < −0.5
1/2, se − 0.5 ≤ x < 5
1, se x ≥ 5
6
O valor de E(X) é
(a) 1.625
(b) 7.812
(c) 4.625
(d) 2.812
(e) 2.188
Solução
X é uma variável aleatória discreta assumindo valores com probabilidade positiva nos pontos
de salto da função de distribuição, ou seja, nos valores -1, -0.5 e 5. As probabilidades são
dadas por
P (X = −1) = 18 − 0 =
1
8
P (X = −0.5) = 12 −
1
8 =
3
8
P (X = 5) = 1− 12 =
1
2
Logo, E(X) = −1× 18 +−0.5×
3
8 + 5×
1
2 = 2.1875.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
12. Problema
Suponha que a altura, em centimetros, de uma pessoa selecionada ao acaso de uma população
distribui-se Normalmente. Visto que P (X ≤ 154) = 0.5 e P (X ≤ 148) = 0.27, qual é a
probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 165cm?
(a) 0.1539
(b) 0.1112
(c) 0.0418
(d) 0.1314
(e) 0.4562
Solução
Visto que P (X ≤ 154) = 0.5, então a média da variável X é E(X) = 154.
Além disso, tem-se que P (X ≤ 148) = 0.27, e pela tabela da distribuição Normal padrão,
P (Z ≤ −0.61) ≈ 0.27. Então,
148− 154
σ
= −0.61
Portanto, σ = 148−154−0.61 = 9.8361.
Logo,
P (X > 165) = 1− P (Z ≤ 1.12) = 0.1314.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
7
13. Problema
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de média −91 e variância 45. Qual
o valor de E(X − 22)2 ?
(a) 10812
(b) 12769
(c) 7797
(d) −5750
(e) 10767
Solução
Como X ∼ N(−91, 45) e Var(X) = E
(
X2
)
− [E(X)]2, nós temos que
E
(
X2
)
= Var(X) + [E(X)]
2
= 8326.
A partir do resultado acima segue que
E (X − 22)2 = E
(
X2 − 22X + 222
)
=E
(
X2
)
− 22E(X) + 222
= 8326− (−2002) + 484
= 10812
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
14. Problema
O tempo de cada atendimento no caixa de um banco é exponencialmente distribuido com
média de 17 minutos. O banco tem apenas 1 caixa funcionando e você é o próximo da fila,
sendo que o último cliente foi chamado há 30 minutos. Suponha que, para não perder seu
compromisso, você precisa ser chamado em, no máximo, mais 14 minutos. Considerando que
você não desistirá da fila, qual a probabilidade de você conseguir ir ao compromisso?
(a) 0.925
(b) 0.829
(c) 1.000
(d) 0.561
(e) 0.439
Solução
Seja X o tempo de atendimento no caixa do banco, então X ∼ Exp(0.0588). Utilizando a
propriedade de perda de memória da distribuição exponencial, tem-se que
P (X ≤ 14 + 30|X > 30) = P (X ≤ 14) = 1− exp (−0.0588× 14) = 0.561.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8
1. Problema
Marque a alternativa correta:
(a) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(b) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos eventos.
(c) Um espaço amostral infinito pode ser equiprovável (os elementos do espaço amostral
possuem mesma probabilidade).
(d) Se A está contido em B, então P (A) é diferente de P (B).
(e) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
Solução
(a) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P (A) seja 0 ou 1.
(b) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
(c) Falso. Caso os elemnentos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabilidade,
a soma das probabilidades será infinita.
(d) Falso. Não necessariamente. Se P (B −A) = 0, então P (A) = P (B).
(e) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são todos
independentes entre si.
2. Problema
Considere que P (A) = 1/3, P (C) = 1/4 e P (A ∩ B) = 1/5, sendo A e C eventos indepen-
dentes, e B e C eventos disjuntos. Calcule P ((B ∪ C)|A).
(a) 0.017
(b) 0.283
(c) 0.850
(d) 0.451
(e) 0.050
Solução
Pela definição de probabilidade condicional, P ((B∪C)|A) = P ((B∪C)∩A)P (A) =
P ((B∩A)∪(C∩A))
P (A) .
Como B e C são disjuntos, então são também disjuntos os eventos (B ∩A) e (C ∩A). Logo,
P ((B ∩A)∪ (C ∩A)) = P (B ∩A) + P (C ∩A). Além disso, como A e C são independentes,
então P (C ∩ A) = P (C)P (A). Dáı, temos que P ((B∩A)∪(C∩A))P (A) =
P (B∩A)+P (C)P (A)
P (A) =
0.200+0.250∗0.333
0.333 = 0.850.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
3. Problema
Sabe-se que 82% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores de
clubes estrangeiros. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 74% se o cobrador
for de um clube estrangeiro e de 86% se o cobrador for de um clube nacional. Suponha
que um pênalti foi marcado a favor do Brasil. Qual a probabilidade de que um pênalti seja
convertido?
1
(a) 0.61
(b) 0.20
(c) 0.15
(d) 0.76
(e) 0.80
Solução
Defina os eventos
E = “O cobrador é de clube estrangeiro”
N = “O cobrador é de clube nacional”
C = “O cobrador converte o pênalti”
Pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade desejada é dada por
P (C) = P (C|E)P (E) + P (C|N)P (N) = 0.74× 0.82 + 0.86× 0.18 = 0.76.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
4. Problema
Suponha que 27% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 73% são urbanos. Suponha
ainda que 86% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana
esse valor é de 43%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva
ser da área rural?
(a) 0.314
(b) 0.232
(c) 0.546
(d) 0.425
(e) 0.575
Solução
Defina os eventos
R = “O imóvel é rural.”
U = “O imóvel é urbano.”
NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (R|NC) = P (NC|R)× P (R)
P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U)
=
0.86× 0.27
0.86× 0.27 + 0.43× 0.73
= 0.425.
2
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Problema
Para inspecionar um lote de 15 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 3 das 15 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada com reposição, qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.040
(b) 0.200
(c) 0.123
(d) 0.168
(e) 0.160
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de peças defeituosas. Esta variável aleatória
tem distribuição binomial de parâmetros n = 8 e p = 0.20. Segue que a probabilidade de
aceitação do lote é dada por
P (X = 0) =
(
8
0
)
0.200(1− 0.20)8−0 = 0.168.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
6. Problema
Suponha que uma vendedora de panos de prato tem 36% de chance de efetuar a venda para
cada mesa de bar que ela passa. Em quantas mesas, no minimo, ela deve parar para ter,
pelo menos, 78% de chance de vender seu último pano?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
Solução
Seja X a variável aleatória número de mesas percorridas para a venda de 1 pano de prato.
Então, X ∼ Geom(0.36), e o número minimo de mesas é o menor valor de k tal que:
P (X = 1) + P (X = 2) + ...+ P (X = k) ≥ 0.78
3
Como
P (X = 1) = 0.36 = 0.36
P (X = 2) = 0.36× (1− 0.36) = 0.2304
P (X = 3) = 0.36× (1− 0.36)2 = 0.1475
P (X = 4) = 0.36× (1− 0.36)3 = 0.0944
Então, k = 4.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Para inspecionar um lote de 14 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
9 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 2 das 14 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.110
(b) 0.122
(c) 0.143
(d) 0.250
(e) 0.020
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do
lote é dada por
P (X = 0) =
(
12
9
)(
2
0
)(
14
9
) = 0.110.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
8. Problema
Considere que a chegada de aviões em um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson.
Atualmente, a taxa de chegada é de 0,5 avião por minuto, em média, e o aeroporto também
possui capacidade para atender 0,5 avião por minuto. A previsão para os próximos 10 anos
é que o tráfego aéreo irá aumentar em 4 vezes e a capacidade de atendimento será ampliada
em 6 vezes. Caso essas previsões se confirmem, qual a probabilidade de haver aviões sem
atendimento imediato daqui a 10 anos em um dado minuto?
(a) 0.393
(b) 0.577
4
(c) 0.323
(d) 0.143
(e) 0.857
Solução
Sejam X e Y variáveis aleatórias representando a quantidade de aviões que pousam em um
dado minuto no aeroporto, atualmente e em 10 anos, respectivamente.
Então, X ∼ Poisson(0.5) e Y ∼ Poisson(2).
Considerando que a capacidade do aeroporto para daqui há 10 anos será de atender 3 aviões
por minuto, a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato é dada pela proba-
bilidade de chegar mais do que 3 aviões em um dado minuto, ou seja,
P (Y > 3) = 1− P (Y ≤ 3) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 3) = 0.143.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.419
(b) 0.581
(c) 0.297
(d) 0.825
(e) 0.175
Solução
O número de vencedorestem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 5, é dada por
P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5
10. Problema
Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada
por
fX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 1;
3
4 , se 1 < x ≤ 2;
0, se x > 2.
Qual o valor de E(X)?
(a) 27/32
(b) 3/4
(c) 1
(d) 21/16
(e) 18
Solução
Para que uma função seja densidade de probabilidade de uma variável aleatória, a integral,
tomada no conjunto dos reais, deve ser um. Para a função f(x) definida acima, segue que∫ 2
0
f(x)dx =
∫ 1
0
cx2dx+
∫ 2
1
3
4
dx
=
cx3
3
∣∣∣∣1
0
+
3x
4
∣∣∣∣2
1
=
c
3
+
3
4
.
A integral acima será um se, e somente se, c = 3/4. Finalmente, a esperança é dada por
∫ 2
0
xf(x)dx =
∫ 1
0
3x3
4
dx+
∫ 2
1
3x
4
dx
=
3x4
16
∣∣∣∣1
0
+
3x2
8
∣∣∣∣2
1
=
3
16
+
9
8
=
21
16
.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
11. Problema
Seja X uma variável aleatória continua cuja função de distribuição acumulada (fda) é dada
por
FX(x) =
 0, se x < 0;x2/64, se 0 ≤ x ≤ 8;
1, se x > 8.
Qual o valor de E(X)?
6
(a) 2.66667
(b) 5.33333
(c) 16.00000
(d) 16.00000
(e) 1.00000
Solução
A função de densidade dessa variável aleatória é dada por f(x) = dF (x)dx =
2x
64 .
Portanto, sua esperança é
E(X) =
∫ 8
0
xf(x) dx =
2
64
∫ 8
0
x2 dx =
2
64
× 512
3
= 5.33333.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
12. Problema
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de média 40 e variância 86. O valor
de k tal que P (40− k < X < 40 + k) = 0.89 é, aproximadamente:
(a) 11.41
(b) 14.84
(c) 137.60
(d) 105.78
(e) 1.60
Solução
Como X ∼ N(40, 86), nós temos que
P (40− k < X < −40 + k) = 0.89 ⇐⇒
P
(
− k√
86
<
X − 40√
86
<
k√
86
)
= 0.89 ⇐⇒
2P
(
Z <
k√
86
)
− 1 = 0.89 ⇐⇒
P
(
Z <
k√
86
)
= 0.945
Na tabela da Normal, podemos ver que o quantil de ordem 0.945 é 1.6. Desse modo,
k√
86
= 1.6
e, portanto,
k = 1.6×
√
86 = 14.84.
(a) Falso
7
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
13. Problema
Um dado agente de telemarketing consegue vender seu produto, em média, para 11% dos
clientes contactados. Cada venda lhe rende 3 reais. Além desse valor fixo, para estimular
os funcionários, a empresa onde trabalha oferece uma gratificação extra de 100 reais para
aqueles que conseguirem realizar ao menos 120 vendas no mês. Caso faça 1000 ligações, qual
é a probabilide do agente receber, no total, ao menos 460 reais em um único mês? (Não
utilizar correção de continuidade.)
(a) 0.168
(b) 0.026
(c) 0.872
(d) 1.000
(e) 0.867
Solução
Seja X o número de vendas realizadas, então X ∼ Bin(n, p), onde n = 1000 e p = 0.11.
Visto que np e n(1 − p) são suficientemente grandes, é possivel utilizar a aproximação da
Binomial pela Normal
Bin(n, p) ≈ N(µ = np, σ =
√
np(1− p))
Logo, X ∼ N(110, 9.89), aproximadamente. O agente receberá 460 reais ou mais se realizar
ao menos 120 vendas no mês. Portanto, a probabilidade desejada é dada por
P (X ≥ 120) = 1− P (X < 120) = 1− P (X ≤ 119) = 0.168.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
14. Problema
O tempo de cada atendimento no caixa de um banco é exponencialmente distribuido com
média de 14 minutos. O banco tem apenas 1 caixa funcionando e você é o próximo da fila,
sendo que o último cliente foi chamado há 30 minutos. Suponha que, para não perder seu
compromisso, você precisa ser chamado em, no máximo, mais 16 minutos. Considerando que
você não desistirá da fila, qual a probabilidade de você conseguir ir ao compromisso?
(a) 0.963
(b) 0.319
(c) 0.883
(d) 0.681
(e) 1.000
8
Solução
Seja X o tempo de atendimento no caixa do banco, então X ∼ Exp(0.0714). Utilizando a
propriedade de perda de memória da distribuição exponencial, tem-se que
P (X ≤ 16 + 30|X > 30) = P (X ≤ 16) = 1− exp (−0.0714× 16) = 0.681.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
9
1. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 50% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.429
(b) 0.500
(c) 0.333
(d) 0.600
(e) 0.200
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 50% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.5)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4 e P (A) = 0.6. E as probabilidades em dois lançamentos são dadas
por:
P (AA) = 0.6× 0.6 = 0.36
P (AO) = 0.6× 0.4 = 0.24
P (OA) = 0.24
P (OO) = 0.4× 0.4 = 0.16
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.36
0.84
= 0.429.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Problema
Marque a alternativa correta:
(a) Se A está contido em B, então P (A) é diferente de P (B).
(b) Um espaço amostral infinito pode ser equiprovável (os elementos do espaço amostral
possuem mesma probabilidade).
(c) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos eventos.
(d) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(e) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
Solução
(a) Falso. Não necessariamente. Se P (B −A) = 0, então P (A) = P (B).
(b) Falso. Caso os elemnentos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabilidade,
a soma das probabilidades será infinita.
(c) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
1
(d) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P (A) seja 0 ou 1.
(e) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são todos
independentes entre si.
3. Problema
O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos
os véıculos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 40%,
35% e 25% dos véıculos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidade 0.3, 0.25 e
0.2, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade de que o
para-brisas do seu véıculo não seja lavado?
(a) 0.086
(b) 0.750
(c) 0.258
(d) 0.250
(e) 0.015
Solução
Sejam os eventos
J=João realiza o atendimento
M=Marcelo realiza o atendimento
R=Raul realiza o atendimento
N=o para-brisas não é lavado
Pelo enunciado tem-se P (J) = 0.4, P (M) = 0.35, P (R) = 0.25, P (N |J) = 0.3, P (N |M) =
0.25 e P (N |R) = 0.2. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P (N) =
P (J)P (N |J) +P (M)P (N |M) +P (R)P (N |R) = 0.4×0.3 + 0.35×0.25 + 0.25×0.2 = 0.2575
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
Suponha que 4.3% dos homens e 0.4% das mulheres da população sejam daltônicos. Suponha
também que 40.9% da população é formada por homens. Qual a probabilidade de que uma
pessoa seja mulher sabendo que esta pessoa é daltônica?
(a) 0.118
(b) 0.004
(c) 0.591
(d) 0.002
(e) 0.882
2
Solução
Defina os eventos
D = “A pessoa é daltônica”
M = “A pessoa é do sexo masculino”
F = “A pessoa é do sexo feminino”
Pelo teorema de bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (F |D) = P (D|F )P (F )
P (D|F )P (F ) + P (D|M)P (M)
=
0.004× 0.591
0.004× 0.591 + 0.043× 0.409
= 0.004.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5. Problema
Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia
responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do clientecom probabilidade 0.03.
Se 96 clientes solicitam o cancelamento, qual a probabilidade de que a companhia cancele o
cartão de exatamente 4 clientes?
(a) 0.1633
(b) 0.4510
(c) 0.5524
(d) 0.0417
(e) 0.0274
Solução
Como cada cliente é independente do outro, a variável aleatória X relativa ao número de
clientes que tenham o cartão efetivamente cancelado possui distribuição binomial de parâmet-
ros n = 96 e p = 0.03. Desse modo, a probabilidade de que a companhia cancele o cartão de
exatamente 4 clientes é
P (X = 4) =
(
96
4
)
0.034 × 0.9792 ≈ 0.1633.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3
6. Problema
Suponha que a probabilidade de que um jogador de basquete acerte a cesta em um lance
livre seja 0.80, e que os lançamentos sejam independentes. Considere que o jogador continue
a realizar os lançamentos até que cometa um erro. Qual a probabilidade de que ele acerte
pelo menos 2 cestas antes de cometer o primeiro erro?
(a) 0.032
(b) 0.488
(c) 0.128
(d) 0.512
(e) 0.640
Solução
Seja X o número de cestas antes do primeiro erro. Então X ∼ Geométrica(0.20), isto é,
P (X = x) = 0.80x0.20. Assim, P (X ≥ 2) = P (acertar os 2 primeiros lances) = 0.802=0.640.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
7. Problema
Um livreiro descuidado mistura 5 exemplares defeituosos junto com outros 5 perfeitos de
um certo livro didático. Se 3 amigas vão a essa livraria para comprar seus livros escolares e
cada uma compra um livro, então qual a probabilidade de que exatamente duas delas leve
um livro defeituoso?
(a) 0.833
(b) 0.083
(c) 0.875
(d) 0.417
(e) 0.917
Solução
Consideremos o conjunto de N = 10 livros, dos quais b = 5 são defeituosos. Seja X o número
de livros com defeito dentre os n = 3 comprados. EntãoX segue distribuição hipergeométrica
com parâmetros N , b e n. Assim, P (X = 2) =
(52)(
5
1)
(103 )
=0.417.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
4
8. Problema
Considere que o número de requisições que chegam a um determinado servidor, por minuto,
é uma variável aleatória que segue distribuição Poisson com variância igual a 1.68. Suponha
que a capacidade de atendimento do servidor é de, no máximo, 3 requisições por minuto.
Qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto escolhido ao acaso, o servidor
não consiga atender a todas as requisições que forem feitas?
(a) 0.003
(b) 0.910
(c) 0.687
(d) 0.313
(e) 0.090
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de requisições. Uma vez que a capacidade é
de, no máximo, 3 requisições por minuto, a probabilidade desejada é dada por
P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1−
3∑
k=1
e−1.68
1.68k
k!
= 0.090.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 3 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.864
(b) 0.238
(c) 0.339
(d) 0.136
(e) 0.661
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 3, é dada por
P (X = 3|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 3|X ∼ Poisson(5.085)) = 13.6%.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
5
(d) Verdadeiro
(e) Falso
10. Problema
Seja X uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
fX(x) =

0, se x < 1;√
x
c , se 1 ≤ x < 2;
0.031 exp(x), se 2 ≤ x < 3;
0, se x ≥ 3.
Qual é o valor de P(X > 1.2)?
(a) 0.500
(b) 0.105
(c) 0.895
(d) 0.609
(e) 0.391
Solução
A função de densidade da variável aleatória em questão apenas existe se c = 2.
Tal valor pode ser encontrado notando-se que∫ 3
2
0.031 exp(x)dx = 0.031 exp(x)
∣∣∣3
2
= 0.031(exp(3)− exp(2)) = 0.394
e, portanto, ∫ 2
1
√
x
c
dx =
2x3/2
3c
∣∣∣2
1
= 0.606⇒ c = 2 (1)
Assim, temos que
P (X > 1.2) = 1− P (X ≤ 1.2)
= 1− FX(1.2) = 1−
∫ 1.2
1
√
x
c
dx
= 1− 2x
3/2
3c
∣∣∣1.2
1
= 1− 0.105 = 0.895.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
11. Problema
Seja X o tempo até a desintegração de uma particula radioativa cuja função de distribuição
acumulada (fda) é dada por: F (x) = 1 − e−λx, para x > 0. Qual é o valor de λ tal que
P (X ≥ 0.11) = 0.81?
(a) −1.916
6
(b) 1.916
(c) −15.098
(d) 2.725
(e) 15.098
Solução
Sabe-se que
P (X < 0.11) = 1− P (X ≥ 0.11) = 0.6.
Dessa forma, tem-se que 1− e−λx = 0.6, e resolvendo para λ temos que
λ = − ln(0.81)
0.11
= 1.916.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
12. Problema
Suponha que a altura, em centimetros, de uma pessoa selecionada ao acaso de uma população
distribui-se Normalmente. Visto que P (X ≤ 156) = 0.5 e P (X ≤ 150) = 0.29, qual é a
probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 169cm?
(a) 0.0985
(b) 0.1170
(c) 0.4562
(d) 0.1379
(e) 0.0409
Solução
Visto que P (X ≤ 156) = 0.5, então a média da variável X é E(X) = 156.
Além disso, tem-se que P (X ≤ 150) = 0.29, e pela tabela da distribuição Normal padrão,
P (Z ≤ −0.55) ≈ 0.29. Então,
150− 156
σ
= −0.55
Portanto, σ = 150−156−0.55 = 10.9091.
Logo,
P (X > 169) = 1− P (Z ≤ 1.19) = 0.117.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
13. Problema
Um dado agente de telemarketing consegue vender seu produto, em média, para 18% dos
clientes contactados. Cada venda lhe rende 3 reais. Além desse valor fixo, para estimular
os funcionários, a empresa onde trabalha oferece uma gratificação extra de 100 reais para
aqueles que conseguirem realizar ao menos 200 vendas no mês. Caso faça 1000 ligações, qual
é a probabilide do agente receber, no total, ao menos 700 reais em um único mês? (Não
utilizar correção de continuidade.)
7
(a) 0.010
(b) 0.886
(c) 1.000
(d) 0.056
(e) 0.891
Solução
Seja X o número de vendas realizadas, então X ∼ Bin(n, p), onde n = 1000 e p = 0.18.
Visto que np e n(1 − p) são suficientemente grandes, é possivel utilizar a aproximação da
Binomial pela Normal
Bin(n, p) ≈ N(µ = np, σ =
√
np(1− p))
Logo, X ∼ N(180, 12.15), aproximadamente. O agente receberá 700 reais ou mais se realizar
ao menos 200 vendas no mês. Portanto, a probabilidade desejada é dada por
P (X ≥ 200) = 1− P (X < 200) = 1− P (X ≤ 199) = 0.056.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
14. Problema
Sabe-se que o tempo de vida útil das válvulas de uma certa marca de amplificador é expo-
nencialmente distribúıdo com média de 60 meses. O guitarrista da banda “Probabilistas do
Sucesso” usou sua guitarra por 52 meses seguidos e sua banda ainda tem mais 9 meses para
fechar a turnê. A probabilidade de que a banda termine sua turnê sem necessidade de trocar
as válvulas é aproximadamente:
(a) 1.00
(b) 0.42
(c) 0.86
(d) 0.14
(e) 0.00
Solução
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de vida útil das válvulas. Sabemos que
E(X) = 60, então X ∼ Exp(1/60). Como a função distribuição da variável aleatória X é
F (x) = 1− e−0.02x, segue que a probabilidade desejada é dada por
P (X > 52 + 9|X > 52) = P (X > 9)
= 1− F (9)
= 1− (1− e−0.02×9)
= 0.86
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8
1. Problema
Marque a alternativa correta:
(a) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos eventos.
(b) Um espaço amostral infinito pode ser equiprovável (os elementos do espaço amostral
possuem mesma probabilidade).
(c) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.(d) Se A está contido em B, então P (A) é diferente de P (B).
(e) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
Solução
(a) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
(b) Falso. Caso os elemnentos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabilidade,
a soma das probabilidades será infinita.
(c) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são todos
independentes entre si.
(d) Falso. Não necessariamente. Se P (B −A) = 0, então P (A) = P (B).
(e) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P (A) seja 0 ou 1.
2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 25% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.333
(b) 0.500
(c) 0.556
(d) 0.385
(e) 0.273
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 25% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.25)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4444 e P (A) = 0.5556. E as probabilidades em dois lançamentos são
dadas por:
P (AA) = 0.5556× 0.5556 = 0.3086
P (AO) = 0.5556× 0.4444 = 0.2469
P (OA) = 0.2469
P (OO) = 0.4444× 0.4444 = 0.1975
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.3086
0.8025
= 0.385.
(a) Falso
(b) Falso
1
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
3. Problema
Considere uma questão de múltipla escolha com 5 alternativas. Suponha que um aluno pode
ter certeza da resposta correta com probabilidade de 15%, ter dúvida quanto a resposta
correta com probabilidade de 39% ou não ter nenhuma ideia da resposta correta com prob-
abilidade de 46%. Ao ter certeza, o aluno sempre acerta a questão, enquanto que no caso
de dúvida ele acerta com probabilidade de 37% e, sem saber, ele faz uma escolha aleatória.
Qual a probabilidade do aluno acertar a questão?
(a) 0.333
(b) 0.409
(c) 0.386
(d) 0.294
(e) 0.523
Solução
Defina os eventos
C = “O aluno tem certeza da resposta correta.”
D = “O aluno tem dúvida quanto a resposta correta.”
N = “O aluno não sabe a resposta correta.”
Pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade desejada é dada por
P (A) = P (A|C)P (C)+P (A|D)P (D)+P (A|N)P (N) = 1×0.15+0.37×0.39+0.2×0.46 = 0.386.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
No campeonato mundial de bridge de 1965, dois jogadores foram acusados de trapacear por
meio de sinais que indicavam o tamanho das sequências de cartas de copas que cada um
possúıa. Suponha que a probabilidade de que a dupla tenha trapaceado seja 0.5, e que,
trapaceando, a probabilidade de que ganhassem uma partida fosse 0.95, ao passo que sem
trapacear essa probabilidade fosse 0.5. Se sabemos que a dupla venceu uma partida, então
qual a probabilidade de que eles tenham trapaceado nesta partida?
(a) 0.655
(b) 0.725
(c) 0.475
(d) 0.250
(e) 0.345
2
Fabio William Souza L.
escolha aleatória = 1/5=0,20
Solução
Sejam os eventos
T=trapaceiam
G=ganham a partida
Pelo enunciado tem-se P (T ) = 0.5, P (G|T ) = 0.95, P (G|TC) = 0.5. Logo, pelo Teorema de
Bayes tem-se que P (T |G) = P (G|T )P (T )P (T ) =
P (G|T )P (T )
P (G|T )P (T )+P (G|TC)P (TC) =
0.950×0.500
0.950×0.500+0.500×0.500 =
0.655.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5. Problema
O tempo até a falha (em milhares de horas) de um certo componente eletrônico pode ser
representado por uma variável aleatória seguindo distribuição exponencial com média igual
a 8. Instalados cinco desses componentes, qual a probabilidade de exatamente dois deles
estarem funcionando após 4 mil horas de uso?
(a) 0.306
(b) 0.224
(c) 0.694
(d) 0.345
(e) 0.694
Solução
Seja X o tempo de vida de um componente. Então X ∼ Exponencial(0.125). Logo, a
probabilidade de que um componente dure mais que 4 mil horas é dada por P (X > 4) =
e−0.125×4 = 0.607. Assim, se cinco componentes são instalados, o número Y de componentes
funcionando após 4 mil horas é uma variável aleatória seguindo distribuição binomial com
parâmentros n = 5 e p =0.607. Portanto, P (Y = 2) = 5!2!3!0.607
20.3933 = 0.224.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
6. Problema
Suponha que a probabilidade de que um jogador de basquete acerte a cesta em um lance
livre seja 0.80, e que os lançamentos sejam independentes. Considere que o jogador continue
a realizar os lançamentos até que cometa um erro. Qual a probabilidade de que ele acerte
pelo menos 3 cestas antes de cometer o primeiro erro?
(a) 0.102
3
Fabio William Souza L.
PROBLEMA 5 não cai na Prova 1. Ele é conteúdo da PROVA 2.
(b) 0.006
(c) 0.512
(d) 0.590
(e) 0.410
Solução
Seja X o número de cestas antes do primeiro erro. Então X ∼ Geométrica(0.20), isto é,
P (X = x) = 0.80x0.20. Assim, P (X ≥ 3) = P (acertar os 3 primeiros lances) = 0.803=0.512.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Uma raspadinha contém 40 números (1, 2, 3, ..., 40), e o jogador deve escolher raspar exata-
mente 10 deles. Caso todos os números divisiveis por 10 presentes apareçam em uma única
cartela, o jogador ganha o prêmio. Qual é a probabilidade de um jogador que comprou 80
cartelas ganhar o prêmio?
(a) 0.0023
(b) 0.0043
(c) 0.1838
(d) 0.8928
(e) 0.0112
Solução
Seja X a variável aleatória quantidade de números divisiveis por 10 na amostra de tamanho
10, sem reposição, dos elementos (1, 2, 3, ..., 40). Então, X ∼ Hiperg(N = 40, r = 4, n = 10)
e a probabilidade desejada é dada por
80× P (X = 4) = 80×
(
4
4
)(
36
6
)(
40
10
) = 0.1838.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8. Problema
Considere que o número de requisições que chegam a um determinado servidor, por minuto,
é uma variável aleatória que segue distribuição Poisson com variância igual a 1.73. Suponha
que a capacidade de atendimento do servidor é de, no máximo, 2 requisições por minuto.
Qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto escolhido ao acaso, o servidor
não consiga atender a todas as requisições que forem feitas?
(a) 0.575
4
(b) 0.251
(c) 0.749
(d) 0.425
(e) 0.021
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de requisições. Uma vez que a capacidade é
de, no máximo, 2 requisições por minuto, a probabilidade desejada é dada por
P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1−
2∑
k=1
e−1.73
1.73k
k!
= 0.251.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 2 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.264
(b) 0.920
(c) 0.736
(d) 0.080
(e) 0.172
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 2, é dada por
P (X = 2|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 2|X ∼ Poisson(5.085)) = 8%.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
10. Problema
Seja X uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
fX(x) =

0, se x < 1;√
x
c , se 1 ≤ x < 2;
0.031 exp(x), se 2 ≤ x < 3;
0, se x ≥ 3.
Qual é o valor de P(X > 1.7)?
5
Fabio William Souza L.
Problema 10 não cai na Prova 1. Ele é conteúdo apenas da PROVA 2.
Probabilidade e Estatística:00001 2
1. Questão
Um piloto de Fórmula 1 tem 81% de probabilidade de vencer determinada corrida quando
esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é
de 48%. O serviço de Meteorologia estima em 26% a probabilidade de que chova durante a
corrida. Dado que este piloto ganhou a corrida, qual a probabilidade de que tenha chovido?
(a) 0.372
(b) 0.566
(c) 0.434
(d) 0.818
(e) 0.628
Solução
Defina os eventos
C = “Choveu durante a corrida.”
G = “O piloto ganhou a corrida.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P(C|G) =
P(C ∩ G)
P(G)
=
P(C) × P(G|C)
P(C) × P(G|C) + P(Cc) × P(G|Cc)
=
0.26 × 0.81
0.26 × 0.81 + 0.74 × 0.48
= 0.372.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Em 2018, um corretor imobiliário estima que a probabilidade de não vender um aparta-
mento em Brasília é de 0.59. Se ele já mostrou um apartamento para 4 clientes e não teve
sucesso de venda, qual é a probabilidade de precisar mostrar o apartamento a mais de 6
clientes para conseguir vendê-lo?
(a) 0.348
(b) 0.242
(c) 0.099
(d) 0.143
(e) 0.205
Solução
Uma v.a. X ∼ Geo(0.41) representa o número de vezes que o corretor deve mostrar o
apartamento até conseguir vendê-lo. Então, usando a propriedade da perda da memória,
tem-se:
P(X > 6|X > 4) = P(X > 2) = (1 − 0.41)2 = 0.348.
Probabilidade e Estatística: 00001 3
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3. Questão
Numa certa população, 9% das pessoas estão infectadas por um determinado vírus. Um
teste para detecção do vírus detecta corretamente 92% dos casos nos quais os indivíduos
estão infectados, mas, equivocadamente, atribui 3% de resultados positivos para os não
infectados (falso positivos). Qual a probabilidade de que o teste de uma pessoa dessa
população dê resultado positivo?
(a) 0.090
(b) 0.110
(c) 0.088
(d) 0.180
(e) 0.083
Solução
Considere os eventos
A = “o resultado do teste é positivo”,
B = “a pessoa está infectada”.
Por hipótese temos que P(B) = 9%, P(A|B) = 92% e P(A|B) = 3%. Desejamos calcular
P(A). Para isso, note que {B, B} forma uma partição do espaço amostral. Logo, pelo
Teorema da probabilidade total tem-se
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)
= 0.92 × 0.09 + 0.03 × 0.91 = 0.11
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Uma empresa de construção civil comprou 2000000 tijolos para construção de um prédio.
O fornecedor afirma que a proporção de defeitos no seu produto é de 0.2 por lote de
100 mil unidades. Utilizando a aproximação de poisson da distribuição binomial, calcule a
probabilidade de observarmos exatamente 6 tijolos defeituosos nessa compra?
(a) 0.113
(b) 0.896
(c) 0.879
(d) 0.104
(e) 0.121
Probabilidade e Estatística: 00001 4
Solução
O número de defeitos tem distribuição binomial com parâmetros
X ∼ Bin(2e + 06, 0.2/100000).
Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproximadamente, que
X ∼ Pois(np = λ = 4).
Portanto, a probabilidade de observarmos exatamente 6, é
P(6) = exp (−λ) × λ6/6! = 0.104
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
P(X = x) =
k
x
, onde X assume os valores 3, 4, 6 e 7.
Assinale a alternativa correspondente à variância de X .
(a) 112/5
(b) 28/25
(c) 26544/625
(d) 1456/625
(e) 112/25
Solução
Primeiramente devemos determinar o valor de k . Uma vez que a soma das probabilidades
deve ser um, basta resolver a equação
k
3
+
k
4
+
k
6
+
k
7
= 1,
resultando em k = 28/25. Para o cálculo da variância precisamos, antes, calcular os
valores de E(X ) e E(X 2):
E(X ) = 3 × P(X = 3) + 4 × P(X = 4) + 6 × P(X = 6) + 7 × P(X = 7) = 112/25,
E(X 2) = 32 × P(X = 3) + 42 × P(X = 4) + 62 × P(X = 6) + 72 × P(X = 7) = 112/5.
De modo que VAR(X ) = E(X 2) − {E(X )}
2
= 1456/625.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 5
6. Questão
Uma rede de distribuição de energia é alimentada por duas usinas hidrelétricas (A e B) e
uma eólica. A hidrelétrica B funciona como back-up, e só entra na rede caso nenhuma outra
usina esteja funcionando. A probabilidade de a usina eólica não estar em funcionamento é
0.62, e da hidrelétrica A é 0.66. Sabendo que a hidrelétrica A e a eólica fornecem energia
simultaneamente com probabilidade de 0.1, qual é a probabilidade da usina back-up B ser
acionada?
(a) 0.49
(b) 0.28
(c) 0.41
(d) 0.55
(e) 0.38
Solução
Considere os seguintes eventos:
A: Usina hidrelétrica A operando
B: Usina hidrelétrica B operando
C: Usina eólica C operando
Então,
P(B) = 1 − P(A
⋃
C) = 1 − P(A) − P(C) + P(A
⋂
C)
P(B) = 1 − (1 − 0.66) − (1 − 0.62) + 0.1 = 0.38.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
7. Questão
O SAC de uma empresa recebe, em média, 86 ligações por dia em horário comercial. A fim
de estimar o número adequado de atendentes para trabalhar nesses horários, a empresa
deseja estimar a probabilidade de receber mais do que 122 ligações em um único dia
no horário comercial. Seja X o número de ligações em um determinado dia, qual das
distribuições de probabilidade seria adequada para modelar a variável aleatória X?
(a) Binomial(0.5, 86)
(b) Binomial(0.5, 122)
(c) Poisson(122)
(d) Poisson(86)
(e) Geométrica(86/122)
Solução
Como a probabilidade de sucesso (receber uma ligação de uma dado cliente) é pequena
e há muitas chances de sucesso (número de clientes que potencialmente ligarão), a dis-
tribuição de probabilidade adequada para descrever o comportamento da variável aleatória
X é Poisson(86).
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 6
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Questão
Suponha que você esteja formando uma equipe de 5 executivos, de diferentes departa-
mentos de sua empresa. Sua empresa tem um total 21 de executivos, e 10 deles são do
departamento financeiro. Se os membros da equipe forem selecionados ao acaso, sem
reposição, qual é probabilidade de que a equipe conterá 2 executivos do departamento
financeiro?
(a) 0.348
(b) 0.635
(c) 0.365
(d) 0.376
(e) 0.190
Solução
P(X = 2) =
(
10
2
)(
21−10
5−2
)
(
21
5
) = 0.365.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Marque a alternativa correta:
(a) Um espaço amostral infinito discreto pode ser equiprovável (os elementos do espaço
amostral possuem mesma probabilidade).
(b) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
(c) Se A está contido em B, então P(A) é diferente de P(B).
(d) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(e) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos even-
tos.
Solução
(a) Falso. Caso os elementos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabili-
dade, a soma das probabilidades será infinita.
(b) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são
todos independentes entre si.
(c) Falso. Não necessariamente. Se P(B − A) = 0, então P(A) = P(B).
(d) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P(A) seja 0 ou 1.
(e) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
Probabilidade e Estatística: 00001 7
10. Questão
Uma certa fábrica de canetas esferográficas tem encontrado defeito em 3% de sua pro-
dução. Assumindo independência entre as falhas, a probabilidade de, entre 115 canetas,
pelo menos uma ser defeituosa é:
(a) 0.970
(b) 0.161
(c) 0.020
(d) 0.573
(e) 0.980
Solução
Seja X o número de canetas defeituosas na amostra, sabe-se que X ∼ Binomial(115, 0.03).
Portanto,
P(X > 0) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.03 = 0.970.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso