eletromagnetismo aplicado 01 unisa

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ELETROMAGNETISMO APLICADO 
Marco Aurélio Gouveia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL 
Apresentação 
Cálculo Vetorial (CV) é um ramo da matemática que aborda a diferenciação e integração 
de campos vetoriais habitualmente no espaço euclidiano, ℝ3. O CV é muito utilizado em 
Física e Engenharia, principalmente na descrição de campos eletromagnéticos, campos 
gravitacionais e mecânica dos fluidos. Neste bloco vamos retomar conceitos e operações 
vetoriais fundamentais a partir do ponto de vista de aplicações em Engenharia Elétrica, 
sem nos aprofundar em deduções matemáticas, mas focando na interpretação física. 
Estudar CV é como aprender um novo idioma, ele tem seus símbolos e regras próprias, 
portanto o seu aprendizado requer concentração e prática. Caso você sinta dificuldades, 
ou queira se aprofundar no desenvolvimento matemático, faça uso das referências 
bibliográficas contidas no final deste bloco. 
1.1 Introdução a vetores 
1.1.1 Escalas e Vetores 
A análise vetorial e uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do 
eletromagnetismo (EM) são normalmente expressos e mais facilmente compreendidos. 
Precisamos, primeiramente, aprender suas regras e técnicas antes de aplicá-las com 
segurança. 
Uma grandeza, pode ser um escalar ou um vetor. O termo escalar caracteriza uma 
grandeza da qual o valor pode ser representado por um único número real (positivo ou 
negativo). O “x”, ”y” e “z” que usamos na álgebra básica são escalares e as grandezas 
que eles representam também. Se falarmos de um corpo que se desloca a uma distância 
S em um tempo t, ou a temperatura T medida em qualquer ponto de um bule de chá 
cujas coordenadas são x, y e z, então S, t, T, x, y e z são todos escalares. 
 
 
 
 
4 
 
O Sistema Internacional de Unidades, também conhecido como SI, é inspirado 
no sistema métrico e é o mais usado no mundo. É um conjunto padronizado 
de definições de unidades de medida, utilizado hoje em quase todo o mundo 
moderno e em várias áreas da atividade humana, como a técnico-científica, a 
política, a econômica e a social. Por sua lógica e coerência, pode ser usado 
por pessoas de origens, de culturas e de línguas diferentes. (SI, 2020) 
Exemplo de algumas grandezas escalar e suas unidades no S.I.: 
Tabela 1.1 – Grandezas escalares e suas unidades (S.I.) 
Grandeza Escalar Unidade (S.I.) 
Massa Quilograma 
Tempo Segundo 
Temperatura Kelvin 
Área m2 (metro quadrado) 
Energia Joule 
Carga elétrica Coulomb 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Uma grandeza vetorial possui intensidade, direção e sentido no espaço conforme pode 
ser visto na figura 1.1. No estudo do eletromagnetismo (EM), iremos trabalhar somente 
com espaços bi e tridimensionais, todavia, em aplicações mais avançadas os vetores 
podem ser definidos em espaços n-dimensionais. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Figura 1.1 - Grandeza vetorial: intensidade, direção e sentido 
 
 
 
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São exemplos de grandezas vetoriais caracterizadas por uma intensidade, uma direção 
e um sentido: 
 A força; 
 A velocidade; 
 A aceleração; 
 O campo elétrico; 
 O campo magnético; 
 O momento linear; 
 O momento angular. 
Os campos vetoriais e escalares são um tema de extrema relevância no estudo do EM. 
Matematicamente o campo escalar ou vetorial pode ser definido como uma função que 
faz a ligação entre uma origem e um ponto qualquer no espaço. É importante frisarmos 
que o conceito de campo, geralmente, está associado a uma região. 
Via de regra, conseguimos associar algum efeito físico com um campo, por exemplo, 
Campo de velocidades determinado pela rotação em torno de um ponto fixo, campo de 
velocidades determinado pelo movimento de um fluido, campo gravitacional, etc. Se a 
grandeza é um escalar, o campo é chamado de campo escalar; se a grandeza é um vetor, 
o campo e chamado de campo vetorial. 
Exemplos de campos escalares são a distribuição de temperatura em um 
edifício, a intensidade de som em um teatro, o potencial elétrico em uma 
região e o índice de refração em um meio estratificado. A forca gravitacional 
sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera 
são exemplos de campos vetoriais. (SHADIKU, 2004, P. 21) 
Existem duas formas de fazer a notação vetorial. Os vetores serão indicados por letras 
em negrito como, por exemplo, “A” ou representado por uma seta sobre a grandeza 
como, por exemplo, 𝐴. A vantagem dessa última forma é que, quando se escreve à mão, 
facilita destacar o caráter vetorial. Para identificar os escalares utilizaremos o itálico 
como, por exemplo, “A”. 
 
 
 
6 
 
ATENÇÃO: 
A notação descuidada de um vetor, sem seguir as regras (falta da seta sobre a grandeza, 
por exemplo) caracteriza um erro frequente. 
 
IMPORTANTE: 
Um escalar é uma grandeza que só possui intensidade. 
Um vetor é uma grandeza que tem intensidade, direção e sentido. 
Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de 
uma região. 
1.1.2 Soma e Subtração de vetores, produtos por um Escalar 
Algumas características da álgebra vetorial são similares as regras da álgebra escalar, 
algumas serão levemente diferentes, e outras, por sua vez, serão inteiramente novas. 
Iniciemos com a adição de vetores que seguem a lei do paralelogramo. A Figura 1.2 
mostra a soma de dois vetores, 𝐴 e �⃗⃗�. Verifica-se com facilidade 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴, ou 
seja, a adição de vetores obedece à propriedade comutativa. A adição vetorial também 
obedece à propriedade associativa, 
�⃗⃗⃗� + (�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�) + �⃗⃗⃗� 
 
Fonte: Adaptado de Shadiku (2004) 
Figura 1.2 – Soma de dois vetores, regra do paralelogramo e regra do “início de um-
final de outro" 
Note que, quando um vetor é desenhado como uma seta de comprimento finito, sua 
posição é definida no início da seta. 
 
 
 
7 
 
Podemos observar na Figura 1.2 que os vetores são coplanares, isto é, pertencem a um 
mesmo plano, os vetores A e B pertencem ao plano do papel. Podemos representar cada 
vetor em relação a direção “horizontal” e “vertical” e, em seguida, somar os 
componentes correspondentes. 
O procedimento para somar os vetores em três dimensões é o mesmo, representamos 
cada vetor utilizando três componentes e depois somamos os componentes 
correspondentes. 
Os vetores no espaço ℝ2e no espaço ℝ3 têm uma relação muito próxima, o conceito de 
vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre utilizado da mesma forma, a 
diferença está nas aplicações mais elaboradas que existem em ℝ3. 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Figura 1.3 – Representação de um vetor geométrico no espaço 
Um terceiro vetor é o resultado da subtração de vetores. Este vetor, chamado diferença, 
cujas propriedades são deduzidas a partir da soma dos vetores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ e (−B⃗⃗⃗) que tem 
módulo e direção iguais ao do vetor �⃗⃗�, mas tem o sentido oposto. Consideremos os 
vetores 𝐴 e �⃗⃗� e sua subtração: 𝐶 = 𝐴-�⃗⃗�. 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Figura 1.4 – Subtração de vetores 
Podemos multiplicar um vetor por escalar (um número x). Dessa operação resulta um 
novo vetor, chamado vetor resultante com as seguintes características: 
 
 
 
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�⃗⃗� = 𝑥�⃗⃗� 
 O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de 𝑥 pelo 
módulo de V⃗⃗⃗; 
 A direção do novo vetor é a mesma; 
 O sentido de �⃗⃗� é o mesmo de �⃗⃗� se 𝑥 for positivo, entretanto o sentido será 
oposto se . 
A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece às propriedades 
associativa e distributiva da álgebra, assim sendo: 
(𝑥 + y)(𝐴 + �⃗⃗�) = 𝑥(𝐴 + �⃗⃗�) + 𝑦(𝐴 + �⃗⃗�) = 𝑥𝐴 + 𝑥�⃗⃗� + 𝑦𝐴 + 𝑦�⃗⃗� 
A divisão de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação do vetor pelo inverso do 
escalar. 
Dois vetores são iguais se a diferença entre os dois é zero: 𝐴 = �⃗⃗� 𝑠𝑒 𝐴 − 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 0. 
1.1.3 Sistema de Coordenadas Retangulares 
Para apresentar um vetor precisamenteé necessário prover algumas informações 
específicas, tais como, comprimento, direção e sentidos, ângulos, projeções ou 
componentes. Existem algumas formas de prover essas informações, a mais simples é 
utilizando o sistema de coordenadas retangulares, também conhecido como sistema de 
coordenadas cartesianas retangulares. 
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço ou o espaço xyz 
consiste em três retas mutuamente perpendiculares, denominadas eixo x, eixo y e eixo 
z, cada qual com graduação em números reais. As três retas se interceptam em um único 
ponto que tem coordenada zero em cada eixo. 
 
 
 
9 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.5 - Sistema de coordenadas cartesianas no espaço ortogonais 
tridimensionais 
O plano que é perpendicular ao eixo z e passa pela origem é chamado de plano xy. De 
forma análoga são definidos o plano yz e o plano xz. Estes três planos são conhecidos 
como planos coordenados. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.6 – Planos Coordenados 
 
 
 
 
10 
 
Para representar um ponto P(x,y,z) no sistema de coordenadas retangulares marcamos 
x unidades, a partir da origem, sobre o lado positivo do eixo x (se o valor de x for 
positivo); a partir desse ponto andamos y unidades, paralelamente ao eixo y, no sentido 
positivo do eixo y (se o valor de y for positivo), e, em seguida, andamos z unidades 
paralelamente ao eixo z, no sentido positivo do eixo z (se o valor de z for positivo). 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.6 – Pontos P (3,4,2), Q(-2,-1,3), R (3,0,-3) plotados no Sistema de 
Coordenadas Retangulares 
1.1.4 Componentes de Vetores e Vetores Unitários 
Consideremos um vetor 𝑟 partindo da origem, uma forma de identificar esse vetor 
utilizando o sistema de coordenadas cartesianas retangulares é informar os três 
componentes vetoriais ao longo do três eixos (x,y,z), a soma desses três componentes 
vetoriais representa o vetor 𝑟. Ao invés de um vetor, temos agora três, o que significa 
simplificação, porque cada um está sempre na direção de um dos eixos coordenados. 
�⃗⃗� = �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� + �⃗⃗� 
 
 
 
11 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.7 – Componentes Vetoriais 
Os componentes vetoriais possuem intensidades que dependem, em nosso exemplo, do 
vetor 𝑟, porém cada um possui direção e sentido constantes e conhecidos. Essas 
condições nos levam a dedução do conceito de vetor unitário, também chamado de 
versor. 
Vetor Unitário ou Versor: Vetor com intensidade igual a 1 e direção e sentido 
coincidentes com os dos eixos coordenados (SANTOS e FERREIRA, 2009). 
Para representar o vetor unitário usaremos a sua direção e sentido no sistema de 
coordenadas retangulares usaremos a seguinte notação: �⃗�𝑥,�⃗�𝑦,�⃗�𝑧 . 
Partindo de um componente vetorial �⃗� que tenha 2 unidades de intensidade, ou seja, 
�⃗� = 2�⃗�𝑦. Um vetor 𝑟𝑝P (1, 2, 3) é escrito como . Considerando um Q (2, -2, 1𝑟𝑝 = �⃗�𝑥 +
2𝑎𝑦 + 3𝑎𝑧P para Q aplicamos a regra de adição vetorial, resultando em: . 
 
 
 
12 
 
 
Fonte: Adaptado de Hayt e Bulk (2013, p. 6) 
 
Como podemos observar na figura 1.8, o vetor  não parte da origem, contudo vetores 
com a mesma intensidade, direção e sentido são iguais, para facilitar a visualização, 
podemos (desde que mantido o paralelismo) deslocar qualquer vetor até a origem antes 
de determinarmos seus componentes vetoriais. 
Chamemos de �⃗� um vetor de força F, adotaremos a notação 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦, 𝐹𝑧 para seus três 
componentes escalar, portanto, �⃗� = 𝐹𝑥�⃗�𝑥+𝐹𝑦�⃗�𝑦+𝐹𝑧�⃗�𝑧, sendo 𝐹𝑥�⃗�𝑥, 𝐹𝑦�⃗�𝑦, 𝐹𝑧�⃗�𝑧 seus 
componentes vetoriais. 
Qualquer vetor �⃗⃗� pode ser descrito como �⃗⃗� = 𝐵𝑥�⃗�𝑥+𝐵𝑦�⃗�𝑦+𝐵𝑧�⃗�𝑧, a intensidade de �⃗⃗� é 
escrita como |�⃗⃗�| ou B, podemos, então, dizer que: 
|�⃗⃗⃗�| = √𝑩𝒙
𝟐 + 𝑩𝒚
𝟐 + 𝑩𝒛
𝟐 
Um vetor unitário que possua direção e sentido especificados pode ser obtido dividindo-
o pelo vetor da sua intensidade: 
�⃗⃗⃗�𝑩 =
�⃗⃗⃗�
√𝑩𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑩𝒛𝟐
=
�⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�| 
 
 
 
 
13 
 
Exemplo: 
1) Calcule o módulo do vetor 𝑣 = (2, 4). Em seguida responda: 
a) O vetor 𝑣 é unitário? 
b) Explicite um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor 𝑣 e 
comprimento igual a 1. 
Resolução: 
Cálculo do módulo do vetor: 
|𝑣| = √22 + 42 = √4+ 16 = √20 = 2√5 
a) |𝑣| = 2√5 ≠ 1 ∴ 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 
b) Todo vetor possui um versor. E o versor do vetor  é o vetor unitário de mesma 
direção e mesmo sentido de , portanto: 
�⃗⃗⃗� =
𝑣
|𝑣|
=
(2,4)
2√5
= (
1
√5
,
2
√5
) = (
√5
5
,
2√5
5
) 
|�⃗⃗⃗�| = √(
√5
5
)
2
+ (
2√5
5
)
2
= 1 
2) Seja 𝐴 = 10�⃗�𝑥 − 4�⃗�𝑦 + 6�⃗�𝑐 𝑒 �⃗⃗� = 2�⃗�𝑥 + �⃗�𝑦, determine: 
a) O componente de  ao longo de 𝐴; 
b) A magnitude de 3𝐴 − �⃗⃗�; 
c) Um vetor unitário ao longo de 𝐴 + 2�⃗⃗�. 
 
a) O componente de 𝐴�⃗�𝑦 
b) 3𝐴 − �⃗⃗� = 3(10,−4,6) − (2,1,0) = (30 − 12,18) − (2,1,0) =
(28,−13,18) 
Portanto: 
|3𝐴 − �⃗⃗�| = √282 + (−132) + 182 = 35,74 
 
 
 
 
14 
 
c) 𝐶 = 𝐴 + 2�⃗⃗� = (10,−4,6) + (4,2,0) = (14,−2,6) 
�⃗�𝑐 =
𝐶
|𝐶|
=
(14,−2,6)
√142 + (−22) + 62
 
�⃗�𝑐 = 0,9113�⃗�𝑥 − 0,1302�⃗�𝑦 + 0,3906�⃗�𝑧 
1.2 Produtos e vetores 
1.2.1 Produto Escalar 
Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores �⃗⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗� e 
𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗� representa por 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ . 𝑣, ao número real: 
�⃗⃗� . 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
Este produto também é indicado por < �⃗⃗�, 𝑣 > e lê-se " �⃗⃗� 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑣". 
As propriedades do Produto Escalar são: 
Para quaisquer que sejam os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 2) e �⃗⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) 
e m ∈ ℝ: 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 0 ⇔ �⃗⃗� = 0⃗⃗ = (0,0,0) 
�⃗⃗� . 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣 . �⃗⃗⃗⃗� 
�⃗⃗�. (𝑣 + �⃗⃗⃗�) = �⃗⃗� . 𝑣 = �⃗⃗� . �⃗⃗⃗� 
𝑚 . �⃗⃗� . (𝑣) = 𝑚 . (�⃗⃗� . 𝑣) = �⃗⃗� . (𝑚 . 𝑣) 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗�|2 = 𝑢 
�⃗⃗� ⊥ 𝑣 ⇔ �⃗⃗� . 𝑣 = 0 
Exemplo: 
1) Determine o valor de “m” de modo que os vetores �⃗� = 𝑚𝑖 + 5𝑗 − 4�⃗⃗� 𝑒 �⃗⃗� =
(𝑚 + 1)𝑖 + 2𝑗 + 4�⃗⃗� sejam ortogonais. 
 
 
 
15 
 
�⃗� = �⃗⃗⃗�𝑖 + 5𝑗 − 4�⃗⃗� 
�⃗⃗� = (𝑚 + 1)𝑖 + 2𝑗 + 4�⃗⃗�
⟩ �⃗� ⊥ �⃗⃗� 
Se �⃗� ⊥ �⃗⃗� então �⃗� . 𝑏⃗⃗ ⃗ = 0, assim: 
�⃗� . 𝑏⃗⃗ ⃗ = 𝑚(𝑚 + 1) + 5(2) + (−4)(4) 
0 = 𝑚2 +𝑚 + 10 − 16 
𝑚2 +𝑚 − 6 = 0, resolvendo a equação: 
{𝑚
′ = 2 
𝑚′′ = −3
 
 Portanto: 
𝑆 = {−3, 2} 
1.2.2 Ângulos entre dois Vetores, Ângulos Diretores, Cossenos Diretores 
O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formados. 
Se �⃗⃗� ≠ 0⃗⃗, 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ ≠ 0⃗⃗ e se 𝜃 é o ângulo formado por eles, então: 
�⃗⃗� . 𝑣 = |�⃗⃗�| . |𝑣| cos 𝜃 
Os ângulos diretores são formados pelos ângulos que um vetor forma com os eixos 
coordenados. O vetor , representado em um plano cartesiano 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑥), 
juntamente com os vetores, formam os ângulos α, β e γ (Figura 1. 𝑖, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� 
 
 
 
16 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.9 – Ângulos diretores 
Os cossenos diretores desses ângulos diretores, cos α, cos β e cos γ, são os cossenos 
diretores de 𝑣. 
Seja 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑥), considerando a definição de ângulos diretores, temos: 
cos 𝛼 =
𝑖 . 𝑣⃗⃗⃗ ⃗
|𝑖| . |𝑣| 
⇒ cos𝛼 =
(1, 0, 0) . (𝑥, 𝑦, 𝑧)
|𝑣| 
 ⇒ cos𝛼 =
𝑥
|𝑣| 
 
cos 𝛽 =
𝑗 . 𝑣⃗⃗⃗ ⃗
|𝑗| . |𝑣| 
⇒ cos 𝛽 =
(0, 1, 0) . (𝑥, 𝑦, 𝑧)
|𝑣| 
 ⇒ cos𝛽 =
𝑦
|𝑣| 
 
cos 𝛾 =
𝑗 . 𝑘⃗⃗⃗ ⃗
|𝑗| . |�⃗⃗�| 
⇒ cos 𝛾 =
(0, 0, 1) . (𝑥, 𝑦, 𝑧)
|�⃗⃗�| 
 ⇒ cos 𝛾 =
𝑧
|𝑣| 
 
As componentes do versor �⃗⃗�𝑣 são os cossenos diretores de 𝑣. Seja 𝑣 o versor de um 
vetor �⃗⃗�, então: 
�⃗⃗� =
𝑣
|𝑣|
⇒ �⃗⃗� =
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
|𝑣|
⇒ 𝑢 = (
𝑥
|𝑣|
,
𝑦
|𝑣|
,
𝑧
|𝑣|
, ) 
Ou seja: 
�⃗⃗� = (cos𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾) 
 
 
 
17 
 
Tendo em vista que o versor de �⃗⃗� é um vetor unitário, então |�⃗⃗�| = 1, ou seja: 
�⃗⃗� = |(cos𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)| = 1, mas 
�⃗⃗� = √(cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾) = 1 então: 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1 
Exemplo: 
1) Determine os ângulos diretoresdo vetor �⃗� = (1, 2, 3) 
|�⃗�| = √12 + 22 + 32 = √14 
cos 𝛼 =
𝑥
|�⃗�| 
=
1
√14
 cos𝛽 =
𝑦
|�⃗�| 
=
2
√14
 cos 𝛾 =
𝑧
|�⃗�| 
=
3
√14
 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1
1
√14
≅ 74𝑜 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1
2
√14
≅ 58𝑜 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1
3
√14
≅ 37𝑜 
1.2.3 Produto Vetorial 
Dados os vetores �⃗⃗� = �⃗�1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗� e 𝑣 = �⃗�2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗� tomados nesta ordem, 
chama-se produto vetorial dos vetores �⃗⃗� e 𝑣, representado por �⃗⃗� 𝑋 𝑣 ou �⃗⃗� ∧ 𝑣 (lê-se 
"�⃗⃗� 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 �⃗⃗�") ao vetor: 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2)𝑖 − (𝑥1𝑧2 − 𝑧1𝑥2)𝑗 + (𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2)�⃗⃗� 
Cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante 
de 2º ordem: 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| �⃗⃗� 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 é ortogonal simultaneamente aos vetores �⃗⃗� 𝑒 𝑣 e seu sentido é dado pela regra 
da mão direita (Figura 1.10). 
 
 
 
18 
 
 
Fonte: adaptado de Shadiku (2004, p.28) 
Figura 1.10 – Regra da mão direita 
1.2.3.1 Propriedades do Produto Vetorial 
1) �⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� = 0, qualquer que seja �⃗⃗�. 
�⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥1 𝑦1 𝑧1
| 
2) �⃗⃗� 𝑥 𝑣 = 0, se: 
a) Um dos vetores for nulo. 
b) �⃗⃗� 𝑒 𝑣 forem colineares, pois 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 quando 𝜃 = 0 ou 180𝑜. 
 
3) Anticomutativa �⃗⃗� 𝑥 𝑣 = −𝑣 𝑥 �⃗⃗�. Porém �⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |𝑣 𝑥 �⃗⃗�| 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
 
 
 
19 
 
−𝑣 𝑥 �⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
−𝑥2 −𝑦2 −𝑧2
𝑥1 𝑦1 𝑧1
| 
4) Associativa 𝑚(�⃗⃗� 𝑥 𝑣) = (𝑚�⃗⃗�) 𝑥 𝑣 = �⃗⃗� 𝑥 (𝑚𝑣). 
5) Os vetores 𝑖, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗�, nesta ordem, representam um triedo positivo (Figura 1.11). 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.11 – Triedo positivo 
Portanto, �⃗⃗� = 𝑖 𝑥 𝑗, 𝑗 = �⃗⃗� 𝑥 𝑖, 𝑖 = 𝑗 𝑥 �⃗⃗� , 
Consequentemente:−�⃗⃗� = 𝑗 𝑥 𝑖, −𝑗 = 𝑖 𝑥 �⃗⃗�, −𝑖 = �⃗⃗� 𝑥 𝑗, 
Casos particulares: 𝑖 𝑥 𝑖 = 0, 𝑗 𝑥 𝑗 = 0, 𝑘⃗⃗⃗ ⃗ 𝑥 �⃗⃗� = 0. 
6) �⃗⃗� 𝑥 (𝑣 + �⃗⃗⃗�) = �⃗⃗� 𝑥 𝑣 + �⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗⃗�. 
7) �⃗⃗� 𝑥 𝑣 é 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 �⃗⃗� 𝑒 𝑣. 
8) Se �⃗⃗� ≠ 0⃗⃗ 𝑒 𝜃 é 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 �⃗⃗� 𝑒 𝑣, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: |�⃗⃗� 𝑥 𝑣| = |�⃗⃗�| |�⃗�| 𝑠𝑒𝑛𝜃. 
9) �⃗⃗� 𝑥 (𝑣 + �⃗⃗⃗�) ≠ (�⃗⃗� 𝑥 𝑣) 𝑥 �⃗⃗⃗�, o produto vetorial não é associativo. 
 1.2.3.2 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial 
Conhecidas as expressões cartesianas, podemos determinar o produto vetorial de dois 
vetores da seguinte forma: 
Sejam: �⃗⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗� 𝑒 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗� 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗�) 𝑋 (𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗�) ⇒ 
 
 
 
 
20 
 
 �⃗⃗� 𝑥 𝑣 = 𝑥1𝑥2(𝑖 𝑋 𝑖) + 𝑥1𝑦2(𝑖 𝑋 𝑗) + 𝑥1𝑧2(𝑖 𝑋 �⃗⃗�) + 𝑥2𝑦1(𝑗 𝑋 𝑖) + 𝑦1𝑦2(𝑗 𝑋 𝑗) +
𝑦1𝑧2(𝑗 𝑋 �⃗⃗�) + 𝑥2𝑧1(�⃗⃗� 𝑋 𝑖) + 𝑦2𝑧1(�⃗⃗� 𝑋 𝑗) + 𝑧1𝑧2(�⃗⃗� 𝑋 �⃗⃗�) 
Considerando que: 𝑖 𝑥 𝑖 = 0, 𝑖 𝑥 𝑗 = �⃗⃗�, 𝑖 𝑥 �⃗⃗� = −𝑗, 𝑗 𝑥 𝑖 = −�⃗⃗�, 𝑗 𝑥 𝑗 = 0, 𝑗 𝑥 �⃗⃗� = 𝑖,
�⃗⃗� 𝑥 𝑖 = 𝑗, �⃗⃗� 𝑥 𝑗 = −𝑖, �⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� = 0, 𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖, 𝑗 𝑒 �⃗⃗� 𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1)𝑖 + (𝑥2𝑧1 − 𝑥1𝑧2)𝑗 + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1)�⃗⃗� 
Como: 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 = |
𝑦1 𝑦2
𝑧1 𝑧2
| , 𝑥2𝑧1 − 𝑥1𝑧2 = |
𝑥1 𝑥2
𝑧1 𝑧2
| 𝑒 𝑥1𝑦2 − 𝑥2 − 𝑦1 =
|
𝑥1 𝑥2
𝑦1 𝑦2
| ∴ 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑦1 𝑦2
𝑧1 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑥2
𝑧1 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑥2
𝑦1 𝑦2
| �⃗⃗� 
Um modo para facilmente memorizar esta fórmula é utilizar a notação: 
�⃗⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
Devemos ressaltar que |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
|, baseado no Teorema de Laplace, não representa 
um determinante, porque a primeira linha não são números reais, e sim vetores. 
Utilizamos essa notação, considerando essa ressalva, pela facilidade de memorizar a 
fórmula. 
Saiba mais 
Para saber mais sobre o teorema de Laplace veja o “manual compacto de matemática” 
de autoria de Bosquilha et al. (2010, p. 208), disponível na Biblioteca Virtual. 
 
1.2.3.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial de dois vetores �⃗⃗� 𝑒 𝑣 mede a área do 
paralelogramo cujos lados são os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� 𝑒 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣 (Figura 1.12). 
 
 
 
21 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
Note que a área 𝐴𝐵𝐶𝐷 = |�⃗⃗�|. ℎ, considerando que ℎ = |𝑣|. 𝑠𝑒𝑛 𝜃, temos: área de 
𝐴𝐵𝐶𝐷 = |�⃗⃗�|. |𝑣|. 𝑠𝑒𝑛 𝜃, mas |�⃗⃗� 𝑥 𝑣| = |�⃗⃗�|. |𝑣|. 𝑠𝑒𝑛 𝜃, então a área de: 
𝐴𝐵𝐶𝐷 = |�⃗⃗� 𝑥 𝑣| 
Exemplo: 
Dados os pontos M(0,1, −0,2, −0,1), N(−0,2, 0,1, 0,3) e P(0,4, 0, 0,1), encontre: 
a) O vetor �⃗⃗�𝑀𝑁; 
b) O produto escalar �⃗⃗�𝑀𝑁 . �⃗⃗�𝑀𝑃; 
c) A projeção escalar de �⃗⃗�𝑀𝑁 em �⃗⃗�𝑀𝑃; 
d) O ângulo entre �⃗⃗�𝑀𝑁 𝑒 �⃗⃗�𝑀𝑃. 
a) �⃗⃗�𝑀𝑁 = (−0,2, 0,1, 0,3) − (0,1,−0,2,−0,1) = (−0,3, 0,3, 0,4) 
b) �⃗⃗�𝑀𝑁 = (0,4, 0, 0,1) − (0,1,−0,2, −0,1) = (−0,3, 0,2, 0,2) 
�⃗⃗�𝑀𝑁 . �⃗⃗�𝑀𝑁 = (−0,3, 0,3 0,4). (0,3, 0,2, 0,2) = −0,09 + 0,06 + 0,08 = 0,05 
c) �⃗⃗�𝑀𝑁 . �⃗�𝑅𝑀𝑃 = (−0,3, 0,3, 0,4)
(0,3, 0,2, 0,2)
√0,09+0,04+0,04
=
0,05
√0,17
= 0,12 
d) 𝜃𝑀 = 𝑐𝑜𝑠
−1 (
�⃗⃗�𝑀𝑁 . �⃗⃗�𝑀𝑃 
|�⃗⃗�𝑀𝑁| . |�⃗⃗�𝑀𝑁|
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
0,05
√0,34√0,17
) = 78𝑜 
1.2.4 Produto Misto 
Chama-se produto misto dos vetores �⃗⃗�, 𝑣 𝑒 �⃗⃗⃗�, tomados nesta ordem e representados 
por (𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣 𝑒 �⃗⃗⃗�), o número ral �⃗⃗�(𝑣𝑋�⃗⃗⃗�) 
 
 
 
22 
 
Se �⃗⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗�, 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� = 𝑥3𝑖 + 𝑦3𝑗 + 𝑧3�⃗⃗�, temos: 
�⃗⃗� . (𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗�) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) . | 
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
�⃗⃗� . (𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗�) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) . (|
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| , − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| , |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
|) 
�⃗⃗� . (𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗�) = 𝑥1 |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| , −𝑦1 |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| , 𝑧1 |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| 
De acordo com o Teorema de Laplace: 
�⃗⃗� (𝑣 𝑋 𝑣) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
1.2.4.1 Propriedades do Produto Misto 
1) (�⃗⃗�, 𝑣⃗⃗⃗ ⃗, �⃗⃗⃗�) = 0 𝑠𝑒: 
a) um dos vetores for nulo; 
b) nenhum dos vetores é nulo, mas dois são colineares; 
c) os três são coplanares (figura 1.13) 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Figura 1.13 - �⃗⃗⃗�, 𝒗⃗⃗⃗⃗ 𝒆 �⃗⃗⃗⃗� são coplanares 
2) A ordem cíclica dos vetores não altera o produto misto. Assim, (�⃗⃗�, 𝑣, �⃗⃗⃗�) =
(𝑣, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� ) = (�⃗⃗⃗�, �⃗⃗�, 𝑣 ) 
3) (�⃗⃗�, 𝑣, �⃗⃗⃗� + 𝑟) = (�⃗⃗�, 𝑣, �⃗⃗⃗�) + (�⃗⃗�, 𝑣, 𝑟) (propriedade dos determinantes). 
 
 
 
 
23 
 
1.2.4.2 Interpretação Geométria do Produto Misto 
Geometricamente, o módulo do produto misto (�⃗⃗�, 𝑣, �⃗⃗⃗�) é igual ao volume de um 
paralelepípedo cujas arestas são representadas pelos vetores �⃗⃗�, 𝑣, 𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗(Figura 1.14) 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
O volume do paralelepípedo é dado pela expressão: 𝑉 =
(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒). (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝑜𝑢 𝑉 = 𝐴𝑏ℎ, mas 𝐴𝑏 = |𝑣 𝑥 �⃗⃗�|, sendo 𝜃 o ângulo entre os 
vetores �⃗⃗� 𝑒 𝑣 𝑥 𝑣, a altura do paralelepípedo é determinadao por ℎ = |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃. Faz-se 
necessário considerar o valor absoluto de 𝑐𝑜𝑠𝜃, pois 𝜃 pode ser obtuso, portanto: 
𝑉 = |�⃗⃗�| . |𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗�| . |𝑐𝑜𝑠𝜃| 
Fazendo 𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗� = �⃗�, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑉 = |�⃗⃗�| . |�⃗�| . |𝑐𝑜𝑠𝜃| (I) 
mas de acordo com a definição de produto interno: 
�⃗⃗� . �⃗� = |�⃗⃗�| |�⃗�| . |𝑐𝑜𝑠𝜃| ⇒ |�⃗⃗� . �⃗�| = |�⃗⃗�| |�⃗�| . |𝑐𝑜𝑠𝜃| (II) 
Comparando I e II temos: 
𝑉 = |�⃗⃗� . �⃗�| 𝑜𝑢 𝑉 = |�⃗⃗� . (𝑣 𝑥 �⃗⃗⃗�)| 𝑜𝑢 𝑉 = |�⃗⃗�, 𝑣, �⃗⃗⃗�| 
Exemplo: 
Dados os pontos 𝐴 (1, 2, 3), 𝐵 (−1, 0, 3) 𝑒 𝐶 (4, 2,−1), 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−1, 0, 3) − (1, 2, 3) = (−2, −2, 0) 
 
 
 
24 
 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (4, 2, −1) − (−1, 0, 3) = (5, 2,−4) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (4, 2, −1) − (1, 2, 3) = (3, 0,−4) 
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = |
−2 −2 0
5 2 −4
3 0 −4
| = −2 . |
2 −4
0 −4
| − (−2) |
5 −4
3 −4
| + 0 |
5 2
3 0
| 
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 16 − 64 + 0 = −48 
1.3 Sistema deCoordenas Cilíndricas e Sistemas de Coordenadas Esféricas 
1.3.1 Sistema de Coordenas Cilíndricas 
Para o estudo do Eletromagnetismo são necessários sistemas de coordenadas além do 
cartesiano. Os dois sistemas mais utilizados são o cilíndrico e o esférico. Não serão 
considerados os três eixos como no sistema de coordenadas cartesianas, ao invés, 
consideraremos qualquer ponto como a interseção de três superfícies mutuamente 
perpendiculares. 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 15) 
Figura 14 - As três superfícies mutuamente perpendiculares do sistema de 
coordenadas cilíndricas circulares 
Um ponto no espaço tridimensional é dado por: 
Distância do ponto ao eixo 𝑧 (𝜌) 
Ângulo que �⃗� faz com o eixo 𝑥 (∅) 
Altura (𝑧) 
 
 
 
25 
 
Os vetores unitários em coordenadas cilíndricas, �⃗�𝜌 𝑒 �⃗�∅ variam com a coordenada ∅, 
uma vez que suas direções também variam. Assim, em operações de integração ou 
diferenciação em relação a ∅, �⃗�𝜌 𝑒 �⃗�∅ não podem ser tratados como constantes. 
Os vetores unitários são perpendiculares entre si, pois cada um é normal a uma das três 
superfícies mutuamente perpendiculares, e assim podemos definir um sistema de 
coordenadas cilíndricas do tipo triedro direto, onde 𝑎𝜌 𝑥 𝑎∅ = 𝑎𝑧. 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 15) 
Figura 1.15 - Os três vetores do sistema de coordenadas cilíndricas circulares 
A relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas é: 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 15) 
 
 
 
 
26 
 
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛∅ 
𝑧 = 𝑧 
Ou 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 
∅ = 𝑡𝑎𝑛−1 
𝑧 = 𝑧 
Um elemento de volume diferencial em coordenadas cilíndricas pode ser obtido: 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 15) 
Figura 1.17 - Elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas cilíndricas 
circulares 
Como 𝜌 𝑒 𝑧 têm dimensão de comprimento, os elementos diferenciais são 𝑑𝜌 𝑒 𝑑𝑧, 
respectivamente a componente diferencial na direção de 𝑎∅ é 𝜌𝑑∅. 
As superfícies possuem áreas de 𝜌 𝑑𝑝 𝑑∅, 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑒 𝜌 𝑑∅ 𝑑𝑧; 
O volume é 𝜌 𝑑𝑝 𝑑∅ 𝑑𝑧 
A conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas é 
feita da seguinte forma: 
Seja 𝐴 = 𝐴𝑥�⃗�𝑥 + 𝐴𝑦�⃗�𝑦 + 𝐴𝑧�⃗�𝑧, queremo obter 𝐴 = 𝐴𝜌�⃗�𝜌 + 𝐴∅�⃗�∅ + 𝐴𝑧�⃗�𝑧. Para isto 
projetamos o vetor em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
27 
 
𝐴𝜌 = 𝐴 . �⃗�𝜌 = 𝐴𝑥�⃗�𝑥 . �⃗�𝜌 + 𝐴𝑦�⃗�𝑦 . �⃗�𝜌 + 𝐴𝑧�⃗�𝑧 . �⃗�𝜌 
𝐴∅ = 𝐴 . �⃗�∅ = 𝐴𝑥�⃗�𝑥 . �⃗�∅ + 𝐴𝑦�⃗�𝑦 . �⃗�∅ + 𝐴𝑧�⃗�𝑧 . �⃗�∅ 
𝐴𝑧 = 𝐴 . �⃗�𝑧 = 𝐴𝑥�⃗�𝑥 . �⃗�𝑧 + 𝐴𝑦�⃗�𝑦 . �⃗�𝑧 + 𝐴𝑧�⃗�𝑧 . �⃗�𝑧 
Analisando os produtos escalares entre vetores unitários, podemos resumi-los: 
Tabela 1.2 - Produtos escalares de vetores unitários nos sistemas de coordenadas 
cartesianas e cilíndricas 
 �⃗⃗⃗�𝝆 �⃗⃗⃗�∅ �⃗⃗⃗�𝒛 
�⃗⃗⃗�𝒙 cos ∅ −sen ∅ 0 
�⃗⃗⃗�𝒚 𝑠𝑒𝑛 ∅ cos ∅ 0 
�⃗⃗⃗�𝒛 0 0 1 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Exemplo: 
Considere que, em uma determinada região do espaço, a temperatura em um ponto 
genérico 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pode ser expressa por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 240 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦. Expresse a 
temperatura desta região no sistema de coordenadas cilíndricas. 
Sendo 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) um campo escalar, porque a cada ponto de uma determinada região 
do espaço é atribuida uma temperatura (que é uma grandeza escalar), temos: 
𝑇(𝜌, ∅, 𝑧) = 240 + 𝑧2 − 2𝜌2𝑠𝑒𝑛 ∅ cos∅, podemos escrever essa equação como: 
𝑇(𝜌, ∅, 𝑧) = 240 + 𝑧2 − 𝜌2𝑠𝑒𝑛 (2∅) 
1.3.2 Sistema de Coordenadas Esféricas 
Um ponto no espaço tridimensional é dado pela Distância do ponto a origem (𝑟), 
Ângulo que 𝑟 faz com o eixo 𝑧 (𝜃) (Figura 1.18). 
 
 
 
28 
 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 19) 
Figura 18 - As três coordenadas esféricas 
Os vetores unitários �⃗�𝑟 , �⃗�𝜃, �⃗�∅, são perpendiculares enter si; não são eixos, são funções 
das coordenadas; e formam um sistema de coordenadas cilíndricas do tipo triedro 
direto, onde 𝑎𝑟 𝑥 𝑎∅ = 𝑎∅. (Figura 1.19). 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 19) 
 
A transformação de escalares do sistema de coordenadas cartesianas para esféricas é 
realizado relacionando os dois conjuntos de variáveis (Figura 20). 
 
 
 
29 
 
 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Ou 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ∅ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) 
Podemos construir um elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas 
incrementando 𝑟, 𝜃 𝑒 ∅ 𝑑𝑒 𝑑𝑟, 𝑑𝜃 𝑒 𝑑∅. A distância entre as duas superfícies esféricas 
de raios 𝑟 𝑒 𝑟 + 𝑑𝑟 é 𝑑𝑟, a distância entre os dois cones cujos ângulos geradores são 
𝜃 𝑒 𝜃 + 𝑑𝜃 é 𝑟 𝑑𝜃, a distância entre os dois planos radiais nos ângulos ∅ 𝑒 ∅ + 𝑑∅ é 
definida como 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃. Por meio de deduções trigonométricas conclui-se que as 
superfícies possuem áreas de 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑∅ 𝑒 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅ e o volume é 
dado por 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅. (Figura 1.20). 
 
Fonte: Hayt e Buck (2013, p. 19) 
Figura 1.20 - O elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas esféricas 
 
 
 
30 
 
Parar transformarmos escalares para o sistema de coordenadas cartesianas 
relacionamos os dois conjuntos de variáveis: 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛∅ 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅ 
Por outro lado, a transformação do sistema de coordenadas cartesianas para escalares 
se dá por: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝑟 ≥ 0) 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 (0° ≤ 𝜃 ≤ 180°) 
∅ = 𝑡𝑔−1
𝑦
𝑥
 
Para fazermos a conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares 
e esféricas, podemos utilizar a seguinte tabela: 
Tabela 1.3 - Produtos escalares de vetores unitários nos sistemas de coordenadas 
cartesianas e esféricas 
 �⃗⃗⃗�𝒓 �⃗⃗⃗�𝜽 �⃗⃗⃗�∅ 
�⃗⃗⃗�𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos ∅ cos𝜃 cos𝜃 −sen 𝜃 
�⃗⃗⃗�𝒚 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 ∅ cos𝜃 sen 𝜃 cos ∅ 
�⃗⃗⃗�𝒛 cos∅ −sen 𝜃 0 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Para ilustrar a construção da tabela, �⃗�𝑟 . �⃗�𝑥 é obtido pela projeção de �⃗�𝑟 no plano 𝑥𝑦, 
resultando em 𝑠𝑒𝑛 𝜃; depois, projeta-se sen 𝜃 no eixo 𝑥, o que nos leva a 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos ∅. 
Exemplo: 
Expresse o vetor unitáiro �⃗�𝑥 em coordenadas esféricas no ponto 𝑟 = 2, 𝜃 = 1, ∅ 𝑟𝑎𝑑 =
0,8 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
31 
 
�⃗�𝑥 = (�⃗�𝑥 . �⃗�𝑟)�⃗�𝑟 + (�⃗�𝑥 . �⃗�𝜃)�⃗�𝜃 + (�⃗�𝑥 . �⃗�∅)�⃗�∅
= 𝑠𝑒𝑛 (1) cos (0,8)�⃗�𝑟 + 𝑐𝑜𝑠 (1) cos (0,8)�⃗�𝜃 + (−𝑠𝑒𝑛 (0,8))�⃗�∅
= 0,59�⃗�𝑟 + 0,38�⃗�𝜃 − 0,72�⃗�∅ 
Conclusão 
Este bloco foi dedicado a revisão de Cálculo Vetorial. Essa revisão se faz importante 
porque o Cálculo Vetorial é fundamental para o entendimento das relações que 
envolvem os campos elétricos e magnéticos. Iniciamos revisando a Álgebra Vetorial, 
passando pela caracterização de Escalares e Vetores, avançamos no estudo dos 
mecanismos e das propriedades da Soma e Subtração de Vetores e do Produto por um 
Escalar. 
Revisados os conceitos de Álgebra Vetorial partimos para o estudo do Sistema de 
Coordenadas Retangulares e dos Componentes de Vetores e Vetores Unitários. Boa 
parte deste bloco foi dedicada a revisão de Produto de Vetores, incluindo suas 
interpretações geométricas. Terminamos esse bloco revisando os conceitos e 
representações geométricas dos Sistemas de Coordenas Cilíndricas e Esféricas. No 
decorrer na revisão foram apresentados exemplos para fixar os conceitos. É importante 
recorrer aos materiais indicados para aprofundar sua revisão visando garantir sua 
compreensão dos conteúdos vindouros. 
REFERÊNCIAS 
BOSQUILHA, A. Et al. Manual compacto de matemática. 1ª ed. São Paulo: Rideel, 
2010. 
HAYT, W. H. E.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
SANTOS, F. S.; FERREIRA S. F. Geometria Analítica. Porto Alegre; Bookman, 2009. 
SHADIKU, M. N.O. Elementos do Eletromagnetismo. 3ª edição. Porto Alegre: 
Bookman, 2004. 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). In Britannica Escola. Web, 2020. 
Disponível em: <https://escola.britannica.com.br/artigo/Sistema-Internacional-de-Unidades-SI/483009>. Acesso em: 14 de jun. 2020.