Elepot_Cap04_2011

Prévia do material em texto

Prof. Ricardo Ribeiro
1
 Sumário
 Modelo dinâmico do conversor buck.
 Modelo dinâmico do conversor boost.
 Modelo dinâmico do conversor buck-boost.
 Controle on-off – conversor CC/CC.
 Controle por histerese – conversor CC/CC.
 Controle PI – conversor CC/CC.
 Controle PID – conversor CC/CC.
 Controle em Cascata – conversor CC/CC.
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
1
Prof. Ricardo Ribeiro
2
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
 O diagrama elétrico do conversor buck simplificado é apresentado como,
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Duas variáveis de estado são facilmente identificáveis:
 Corrente no indutor e
 Tensão no capacitor.
 O objetivo principal é manter a tensão do capacitor (tensão de saída) constante, para uma tensão de entrada que pode variar em um certo intervalo.
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
2
Prof. Ricardo Ribeiro
3
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
 Modelando a saída do conversor em função da corrente iL,
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A corrente da indutância pode ser expressa como:
ou seja,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
3
Prof. Ricardo Ribeiro
4
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
 Aplicando-se a transformada de Laplace,
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A modelagem da corrente no indutor em função de vL:
O que pode ser reescrito como,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
4
Prof. Ricardo Ribeiro
5
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Admitindo-se que a tensão vL pode ser dada por:
Em que:
Analisando-se a expressão acima, em termos dos valores médios;
ou seja,
 Onde rL é a resistência intrínseca do indutor L.
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
5
Prof. Ricardo Ribeiro
6
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Aplicando-se a transformada de Laplace,
O que pode ser reescrito como,
Ou ainda,
Fazendo a conexão com a equação da tensão do capacitor,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
6
Prof. Ricardo Ribeiro
7
 Conversor Buck – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A tensão Vo pode então ser calculada a partir de,
Explicitando-se Vo,
ou seja,
O que resulta em:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
7
Prof. Ricardo Ribeiro
8
 Conversor Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 O diagrama elétrico do conversor boost simplificado é
 Modelando a saída do conversor em função da corrente id,
 Aplicando-se a transformada de Laplace,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
8
Prof. Ricardo Ribeiro
9
 Conversor Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A tensão va está agora sobre a chave q e pode ser expressa como:
 A modelagem da corrente no indutor em função de vL:
Analogamente ao conversor buck, vL pode ser dado por:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
9
Prof. Ricardo Ribeiro
10
 Conversor Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A corrente do indutor pode ser obtida a partir de:
Aplicando-se Laplace,
O valor médio da tensão va pode ser dada por:
Portanto,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
10
Prof. Ricardo Ribeiro
11
 Conversor Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A relação entre a corrente iL e id é dada por:
Assim,
Substituindo-se na definição de Vo(s),
Reescrevendo a equação acima em termos de Vo(s),
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
11
Prof. Ricardo Ribeiro
12
 Conversor Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Reagrupando os termos dependentes de Vo(s),
ou seja,
Portanto, a função de transferência do conversor boost é
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
12
Prof. Ricardo Ribeiro
13
 Conversor Buck-Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 O diagrama elétrico do conversor buck-boost simplificado é
 Modelando a saída do conversor em função da corrente id,
 A tensão va está agora sobre o diodo d. A tensão na indutância é:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
13
Prof. Ricardo Ribeiro
14
 Conversor Buck-Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A modelagem da corrente no indutor em função de vL:
 A corrente do indutor pode ser obtida a partir de:
 De forma análoga ao conversor boost a corrente no diodo é:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
14
Prof. Ricardo Ribeiro
15
 Conversor Buck-Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Assim, a corrente no diodo é então dada por:
Substituindo-se na definição de Vo(s),
Reescrevendo a equação acima em termos de Vo(s),
 Reagrupando os termos dependentes de Vo(s),
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
15
Prof. Ricardo Ribeiro
16
 Conversor Buck-Boost – Modelo dinâmico
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 A função de transferência do modelo do conversor é então:
 É importante observar que a única imperfeição introduzida no modelo foi a resistência rL do indutor.
 É possível introduzir a resistência ESR do capacitor, bem como, a impedância da fonte.
 A modelagem foi obtida linearizando-se o pólo chaveado pelos seus valores médios. É possível obter-se um modelo mais preciso através da adoção da técnica de pequenos sinais.
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
16
Prof. Ricardo Ribeiro
17
 Controle on-off – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck apresentado na figura abaixo:
Admita-se que o erro de tensão  pode ser dado por:
Analisando o comportamento dinâmico do circuito acima infere-se que:
 Se q = 1, a corrente na indutância aumenta e conseqüentemente a tensão na carga também aumenta. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
17
Prof. Ricardo Ribeiro
18
 Controle on-off – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck apresentado na figura abaixo:
 Se q = 0, a corrente na indutância diminui e conseqüentemente a tensão na carga também diminui. 
É possível definir a seguinte lei de controle:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
18
Prof. Ricardo Ribeiro
19
 Controle on-off – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Análise da Lei de Controle on-off:
 O controlador on-off não leva em consideração o modelo do conversor. 
 A sua atuação é implementada em função do comportamento do circuito, em função do estado da chave. 
 A definição do estado da chave é obtida a partir da comparação do erro de tensão com zero. 
 O efeito prático desta comparação, faz com que a freqüência de chaveamento tenda ao infinito. 
 Esse incremento em Fs pode levar o pólo chaveado a destruição. 
 É possível limitar a máxima freqüência de operação introduzindo na lógica de comparação, uma banda de histerese.
 No exemplo do controlador foi utilizado o conversor buck, mas a técnica pode ser implementada em qualquer conversor.
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
19
Prof. Ricardo Ribeiro
20
 Controle por histerese – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck apresentado na figura abaixo:
Dado o erro de tensão  definido como:
É possível definir a seguinte lei de controle:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
20
Prof. Ricardo Ribeiro
21
 Controle por histerese – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck apresentado na figura abaixo:
 A inserção da variável hys introduz uma zona morta em que não há transição do estado da chave do conversor. 
 O efeito prático desta zona é a limitação da máxima freqüência de comutação do conversor. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
21
Prof. Ricardo Ribeiro
22
 Controle por histerese – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Comportamento do controle de hysterese:
 No gráfico acima, observa-se que o valor médio da tensão de saída corresponde ao valorde referência:
 A máxima freqüência é função de hys e é determinada pela completa comutação da chave q. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
22
Prof. Ricardo Ribeiro
23
 Controle por histerese – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento de hys para o controle de hysterese:
É possível determinar o valor de hys em função de Fs desejado. Considere os valor de Vo para os conversores buck, boost e buck-boost:
 Para o conversor buck, Vo é dado por:
É possível reescrever a expressão acima como:
A relação entre Vo e Fs pode ser dada por:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
23
Prof. Ricardo Ribeiro
24
 Controle por histerese – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento de hys para o controle de hysterese:
 Para os conversores boost e buck-boost, Vo é dado por:
Em função de Fs, a expressão acima como:
Consequentemente,
hys depende dos parâmetros do conversor e da condição de operação determinada pelo D. Assim, a máxima freqüência é limitada pelo valor hys relativo ao pior caso de operação do conversor. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
24
Prof. Ricardo Ribeiro
25
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck da figura abaixo:
 Os controladores on-off e por histerese são reguladores não lineares. 
 A saída destes controladores já geram o sinal de comando da chave do conversor. 
 Os controladores lineares geram sinais de controle lineares e portanto requerem um tradutor (PWM) para produzir o sinal de comando para q. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
25
Prof. Ricardo Ribeiro
26
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck da figura abaixo:
 O modelo dinâmico do conversor buck pode ser dado por:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
26
Prof. Ricardo Ribeiro
27
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PI:
Em função de transferência anterior pode ser reescrita como:
 A FT acima é de segunda ordem e possui dois pólos determinado pelos componentes L e C do conversor. 
A FT acima pode ser reescrita como sendo:
 Pela própria natureza do conversor, espera-se que uma das raízes esteja próximo ao eixo Im e a outra bem mais afastada da primeira. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
27
Prof. Ricardo Ribeiro
28
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PI:
Os pólos da FT anterior são dados por:
A FT de um controlador PI pode ser dada por:
A FT de malha aberta do conversor + PI é dada então por:
onde:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
28
Prof. Ricardo Ribeiro
29
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PI:
A escolha do valor de z e de Kpi para controlador será feita da seguinte forma:
Com base nas considerações acima, tem-se que:
 O valor de z será escolhido para cancelar o pólo mais próximo do eixo Im. 
 O valor de Kpi será determinado para obtenção de pólos reais e iguais em malha fechada. 
Em malha fechada a FT acima pode é dada por:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
29
Prof. Ricardo Ribeiro
30
 Controle PI – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PI:
A obtenção de pólos reais e iguais leva a seguinte identidade:
Em relação ao tempo do integrador Ti, pode-se escrever que:
Algumas observações são importantes sobre este critério de projeto:
 Não é o critério mais adequado para um sistema de 2ª ordem. 
 É possível obter ajustes mas adequados com um regulador PI, todavia ainda resta um pólo que não foi compensado. 
 Um incremento significativo pode ser obtido aumentando a ordem do controlador ou utilizando-se e um esquema de controle em cascata. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
30
Prof. Ricardo Ribeiro
31
 Controle PID – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck da figura abaixo:
Da sessão anterior sabe-se que a FT do conversor buck é
A FT do controlador PID é:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
31
Prof. Ricardo Ribeiro
32
 Controle PID – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PID:
O controlador PID possui dois zeros determinados em função de Ti e Td, que são dados por:
A FT do controlador PID é:
 A FT do PID dada acima utiliza uma derivada simples. Na prática, associa-se esta derivada em cascata com um filtro de 1ª ordem. 
Assim, a FT do PID pode ser reescrita como:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
32
Prof. Ricardo Ribeiro
33
 Controle PID – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do controlador PID:
Desta forma a FT de malha aberta do PID + conversor buck é dada por:
Utilizando o critério de cancelamento de pólos e zeros, pode-se fazer:
Fechando a malha do conversor + PID, obtém-se:
 A FT de malha fechada acima é de primeira ordem e o valor Kpid pode ser determinado em função da especificação do tempo de regime permanente. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
33
Prof. Ricardo Ribeiro
34
 Controle em Cascata – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Considere o conversor buck da figura abaixo:
 A tensão de saída e a corrente do indutor podem ser individualmente controladas por uma associação em cascata de PIs.
Considere a seguinte FT que representa a dinâmica da tensão Vo,
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
34
Prof. Ricardo Ribeiro
35
 Controle em Cascata – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do PI de tensão:
Considere a seguinte FT que representa a dinâmica da tensão Vo,
Admitindo-se que a FT do controlador PI é dada por:
Utilizando-se o critério de cancelado de pólos-zeros,
Assim, a FT de malha aberta PI + conversor é dada por
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
35
Prof. Ricardo Ribeiro
36
 Controle em Cascata – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
 Dimensionamento do PI de tensão:
Conseqüentemente, a FT de malha fechada do PI + conversor é
Considere a seguinte FT para dinâmica da corrente na indutância L,
 A FT de malha fechada acima é de primeira ordem e o valor Kpi é determinado em função da especificação do tempo de regime permanente. 
 Dimensionamento do PI de corrente:
Fazendo:
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
36
Prof. Ricardo Ribeiro
37
 Controle em Cascata – Conversor CC/CC
4A. Modelagem Dinâmica dos Conversores CC/CC 
Para este critério de projeto a FT de malha aberta é,
 Dimensionamento do PI de corrente:
E a FT de malha fechada é dada por:
 Como na malha de tensão, o valor Kpi é determinado em função da especificação do tempo de regime permanente. 
 É importante observar que nas estruturas com PI ou PID são utilizados limitadores do sinal de controle pra garantir as limitações físicas dos componentes do conversor. 
Eletrônica de Potência
Fevereiro/2010
37
)
(
)
(
)
(
t
i
t
i
t
i
R
C
L
+
=
R
v
dt
dv
C
R
v
dt
dv
C
i
o
o
C
C
L
+
=
+
=
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
s
V
R
sC
R
s
V
s
sCV
s
I
o
o
o
L
+
=
+
=
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
s
I
sRC
R
s
V
s
V
R
sRC
s
I
L
o
o
L
+
=
Þ
+
=
)
(
)
(
)
(
t
v
t
v
t
v
o
a
L
-
=
î
í
ì
-
=
=
=
)
)
1
((
0
0
)
(
1
)
(
s
s
in
a
T
D
q
se
DT
q
se
V
t
v
)
(
)
(
)
(
t
v
DV
t
v
DV
T
DT
V
t
v
o
in
L
in
s
s
in
a
-
=
Þ
=
=
dt
di
L
i
r
t
v
DV
L
L
L
o
in
+
=
-
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
sLI
s
I
r
s
V
s
DV
L
L
L
o
in
+
=
-
)
(
)
(
)
(
)
(
s
I
sL
r
s
V
s
DV
L
L
o
in
+
=
-
))
(
)
(
(
)
1
(
/
1
)
(
s
V
s
DV
r
L
s
r
s
I
o
in
L
L
L
-
+
=
))
(
)
(
(
)
/
1
(
/
1
)
1
(
)
(
s
V
s
DV
r
sL
r
sRC
R
s
V
o
in
L
L
o
-
+
+
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
(
s
V
r
sL
sRC
r
R
s
V
r
sL
sRC
r
DR
s
V
o
L
L
in
L
L
o
+
+
-
+
+
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
)
/
1
)(
1
(
/
)
/
1
)(
1
(
)(
(
s
V
r
sL
sRC
r
DR
r
sL
sRC
r
R
r
sL
sRC
s
V
in
L
L
LL
L
o
+
+
=
+
+
+
+
+
)
(
/
)
/
1
)(
1
(
/
)
(
s
V
r
R
r
sL
sRC
r
DR
s
V
in
L
L
L
o
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
L
L
in
o
r
R
L
Rr
s
LRC
s
DR
s
V
s
V
+
+
+
+
=
R
v
dt
dv
C
i
o
o
d
+
=
)
(
1
)
(
s
I
sRC
R
s
V
d
o
+
=
î
í
ì
-
=
=
=
)
)
1
((
0
)
(
1
0
)
(
s
o
s
a
T
D
q
se
V
DT
q
se
t
v
)
(
)
(
t
v
V
t
v
a
in
L
-
=
dt
di
L
i
r
t
v
V
L
L
L
a
in
+
=
-
)
(
))
(
)
(
(
/
1
/
1
)
(
)
(
)
(
s
V
s
V
r
sL
r
sL
r
s
V
s
V
s
I
a
in
L
L
L
a
in
L
-
+
=
+
-
=
o
in
L
o
s
s
o
a
v
D
V
t
v
v
D
T
T
D
v
t
v
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
-
-
=
Þ
-
=
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
/
1
/
1
)
(
)
(
)
(
s
V
D
s
V
r
sL
r
sL
r
s
V
s
V
s
I
o
in
L
L
L
a
in
L
-
-
+
=
+
-
=
L
d
i
D
i
)
1
(
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
/
1
/
1
)
1
(
)
(
s
V
D
s
V
r
sL
r
D
s
I
o
in
L
L
d
-
-
+
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
)
/
1
(
/
1
)
1
(
)
1
(
)
(
s
V
D
s
V
r
sL
r
D
sRC
R
s
V
o
in
L
L
o
-
-
+
-
+
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
(
2
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
s
V
o
L
L
in
L
L
o
+
+
-
-
+
+
-
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
/
1
)(
1
(
)(
(
2
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
r
sL
sRC
r
R
D
r
sL
sRC
s
V
in
L
L
L
L
L
o
+
+
-
=
+
+
-
+
+
+
)
(
/
)
1
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
(
2
s
V
r
R
D
r
sL
sRC
r
R
D
s
V
in
L
L
L
o
-
+
+
+
-
=
)
)
1
((
)
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
L
L
in
o
r
R
D
L
Rr
s
LRC
s
R
D
s
V
s
V
+
-
+
+
+
-
=
)
(
)
1
(
)
(
)
(
s
V
D
s
DV
s
V
o
in
L
-
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
/
1
/
1
)
(
s
V
D
s
DV
r
sL
r
s
I
o
in
L
L
L
-
-
+
=
)
(
)
1
(
)
(
s
I
D
s
I
L
d
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
/
1
/
1
)
1
(
)
(
s
V
D
s
DV
r
sL
r
D
s
I
o
in
L
L
L
-
-
+
-
=
))
(
)
1
(
)
(
(
)
/
1
(
/
1
)
1
(
)
1
(
)
(
s
V
D
s
DV
r
sL
r
D
sRC
R
s
V
o
in
L
L
o
-
-
+
-
+
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
(
2
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
D
s
V
o
L
L
in
L
L
o
+
+
-
-
+
+
-
=
)
(
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
)
/
1
)(
1
(
/
)
1
(
)
/
1
)(
1
(
)(
(
2
s
V
r
sL
sRC
r
R
D
D
r
sL
sRC
r
R
D
r
sL
sRC
s
V
in
L
L
L
L
L
o
+
+
-
=
+
+
-
+
+
+
)
)
1
((
)
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
L
L
in
o
r
R
D
L
Rr
s
LRC
s
R
D
D
s
V
s
V
+
-
+
+
+
-
=
o
o
v
v
-
=
*
e
î
í
ì
=
Þ
<
=
Þ
>
0
0
1
0
q
q
e
e
î
í
ì
=
Þ
-
<
=
Þ
>
0
1
q
hys
q
hys
e
e
(
)
s
o
s
o
T
D
L
V
T
C
V
-
=
D
1
8
1
(
)
D
CLF
V
V
s
o
o
-
=
D
1
8
2
2
2
o
o
V
hys
V
hys
D
=
Þ
D
=
s
o
o
RCF
D
V
V
=
D
RC
DT
V
V
s
o
o
=
D
s
o
boost
buck
boost
RCF
D
V
hys
2
/
=
-
LRC
r
R
LRC
L
Rr
s
s
LC
D
s
V
s
V
L
L
in
o
)
(
)
(
)
(
)
(
2
+
+
+
+
=
)
)(
(
)
(
)
(
2
1
t
t
+
+
=
s
s
K
s
V
s
V
buck
in
o
RLC
LC
Rr
LC
R
L
L
Rr
Rr
L
Rr
l
l
l
l
2
4
4
2
)
(
2
2
2
2
,
1
-
-
+
+
±
-
-
=
t
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
s
z
s
K
s
R
pi
pi
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
1
t
t
+
+
+
=
s
s
s
z
s
K
K
s
G
buck
pi
o
i
T
z
1
=
)
(
)
(
2
1
t
t
+
=
Þ
=
s
s
K
K
s
G
z
buck
pi
o
buck
pi
buck
pi
f
K
K
s
s
K
K
s
G
+
+
=
2
2
)
(
t
1
1
1
1
1
t
t
t
=
Þ
=
Þ
=
i
i
T
T
z
buck
pi
buck
pi
K
K
K
K
4
0
4
2
2
2
2
t
t
=
Þ
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
s
T
s
s
T
K
s
R
i
d
pid
pid
/
1
)
(
2
d
d
i
T
T
T
z
2
4
1
1
2
,
1
+
±
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
s
z
s
z
s
K
s
R
pid
pid
)
)(
(
)
(
2
1
î
í
ì
=
=
2
2
1
1
t
t
z
z
s
K
K
s
G
buck
pid
o
=
)
(
buck
pid
buck
pid
f
K
K
s
K
K
s
G
+
=
)
(
RC
s
C
s
I
s
V
L
o
/
1
/
1
)
(
)
(
+
=
RC
T
RC
T
z
i
i
=
Þ
=
=
1
1
s
C
K
s
G
pi
o
/
)
(
=
C
K
s
C
K
s
G
pi
pi
f
/
/
)
(
+
=
L
r
s
L
s
V
s
I
L
L
L
+
=
/
1
)
(
)
(
l
i
l
i
r
L
T
L
r
T
z
=
Þ
=
=
1
s
L
K
s
G
pi
o
/
)
(
=
L
K
s
L
K
s
G
pi
pi
f
/
/
)
(
+
=